RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 10 गुणनखण्ड Exercise 10.3

Question 1. निम्नलिखित विभाजन कीजिए
(i) \( 28x^4 \div 56x \)
(ii) \( -36y^3 \div 9y^2 \)
(iii) \( 34x^3y^3z^3 \div 51xy^3z^3 \)
(iv) \( 12a^8b^8 \div (-6a^6b^4) \)
Answer:
(i) \( 28x^4 \div 56x = \frac{28x^4}{56x} \)
\( = \frac{2 \times 2 \times 7 \times x \times x \times x \times x}{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times x} \)
\( = \frac{x \times x \times x}{2} \)
\( = \frac{x^3}{2} \) अब हम समझते हैं कि जब एक चर की घात को उसी चर की छोटी घात से भाग दिया जाता है, तो घातें घट जाती हैं (जैसे \( x^4 \div x^1 = x^{4-1} = x^3 \))।
In simple words: \( 28x^4 \) को \( 56x \) से भाग देने के लिए, पहले इसे एक भिन्न के रूप में लिखें। फिर संख्याओं और x के पदों को सरल करें, जो कट रहे हैं उन्हें काट दें। अंत में \( \frac{x^3}{2} \) उत्तर मिलेगा।
(ii) \( -36y^3 \div 9y^2 = \frac{-36y^3}{9y^2} \)
\( = \frac{-2 \times 2 \times 3 \times 3 \times y \times y \times y}{3 \times 3 \times y \times y} \)
\( = -2 \times 2 \times y \)
\( = -4y \) ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर उत्तर हमेशा ऋणात्मक ही आता है।
In simple words: \( -36y^3 \) को \( 9y^2 \) से भाग देने के लिए, इसे भिन्न के रूप में लिखकर, संख्याओं और y के घातों को सरल करें। 9 और \( y^2 \) से भाग देने पर, \( -4y \) उत्तर मिलेगा।
(iii) \( 34x^3y^3z^3 \div 51xy^3z^3 = \frac{34x^3y^3z^3}{51xy^3z^3} \)
\( = \frac{2 \times 17 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z}{3 \times 17 \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z} \)
\( = \frac{2 \times x \times x}{3} \)
\( = \frac{2x^2}{3} \) इस तरह के बीजगणितीय विभाजन में, आप अलग-अलग चर और गुणांकों को अलग-अलग सरल कर सकते हैं।
In simple words: \( 34x^3y^3z^3 \) को \( 51xy^3z^3 \) से भाग दें। संख्या और \( x, y, z \) के घातों को सरल करें। \( y^3 \) और \( z^3 \) कट जाएँगे। उत्तर \( \frac{2x^2}{3} \) होगा।
(iv) \( 12a^8b^8 \div (-6a^6b^4) = \frac{12a^8b^8}{-6a^6b^4} \)
\( = \frac{2 \times 2 \times 3 \times a^8 \times b^8}{-2 \times 3 \times a^6 \times b^4} \)
\( = -2 \times a^{8-6} \times b^{8-4} \)
\( = -2a^2b^4 \) जब आधार समान हों, तो भाग करते समय घातों को घटाया जाता है, और जब गुणा करते हैं तो घातों को जोड़ा जाता है।
In simple words: \( 12a^8b^8 \) को \( -6a^6b^4 \) से भाग दें। पहले 12 को -6 से भाग दें, जो -2 है। फिर a की घातों को घटाएं (\( 8-6=2 \)) और b की घातों को घटाएं (\( 8-4=4 \))। उत्तर \( -2a^2b^4 \) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजकों का भाग करते समय, संख्यात्मक गुणांकों को अलग से सरल करें और प्रत्येक चर की घातों को घटाएं, ध्यान रखें कि आधार समान होने पर ही यह नियम लागू होता है।

Question 2. दिए हुए बहुपद को दिए हुए एक पदी से भाग दीजिए
(i) \( (5x^2 - 6x) \div 3x \)
(ii) \( (x^3 + 2x^2 + 3x) \div 2x \)
(iii) \( (p^3q^6 - p^6q^3) \div p^3q^3 \)
(iv) \( (3x^8 - 4x^6 + 5x^4) \div x^4 \)
Answer:
(i) \( (5x^2 - 6x) \div 3x = \frac{5x^2 - 6x}{3x} \)
\( = \frac{x(5x - 6)}{3x} \)
\( = \frac{5x-6}{3} \)
\( = \frac{5}{3}x - 2 \) बहुपद को एकपदी से भाग देने के लिए, हम हर पद को अलग-अलग भाग भी दे सकते हैं, जैसे \( \frac{5x^2}{3x} - \frac{6x}{3x} \)।
In simple words: \( 5x^2 - 6x \) को \( 3x \) से भाग देने के लिए, पहले अंश से \( x \) को बाहर निकालें। फिर \( x \) को काट दें। बचे हुए \( 5x-6 \) को 3 से भाग दें, जो \( \frac{5}{3}x - 2 \) है।
(ii) \( (x^3 + 2x^2 + 3x) \div 2x = \frac{x^3 + 2x^2 + 3x}{2x} \)
\( = \frac{x(x^2 + 2x + 3)}{2x} \)
\( = \frac{x^2 + 2x + 3}{2} \)
\( = \frac{x^2}{2} + \frac{2x}{2} + \frac{3}{2} \)
\( = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2} \) यह प्रक्रिया सुनिश्चित करती है कि आप पूरे बहुपद को सही ढंग से भाग कर रहे हैं, न कि केवल एक हिस्से को।
In simple words: \( x^3 + 2x^2 + 3x \) को \( 2x \) से भाग देने के लिए, अंश से \( x \) को बाहर निकालें और हर के \( x \) से काट दें। फिर बचे हुए पदों को 2 से भाग दें। उत्तर \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2} \) मिलेगा।
(iii) \( (p^3q^6 - p^6q^3) \div p^3q^3 = \frac{p^3q^6 - p^6q^3}{p^3q^3} \)
\( = \frac{p^3q^3(q^3 - p^3)}{p^3q^3} \)
\( = \frac{q^3 - p^3}{1} \)
\( = q^3 - p^3 \) इस तरह के सवालों में, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को बाहर निकालना और रद्द करना गणना को बहुत सरल बना देता है।
In simple words: \( p^3q^6 - p^6q^3 \) को \( p^3q^3 \) से भाग दें। अंश से \( p^3q^3 \) को बाहर निकालें और हर के \( p^3q^3 \) से काट दें। आपको \( q^3 - p^3 \) उत्तर मिलेगा।
(iv) \( (3x^8 - 4x^6 + 5x^4) \div x^4 = \frac{3x^8 - 4x^6 + 5x^4}{x^4} \)
\( = \frac{x^4(3x^4 - 4x^2 + 5)}{x^4} \)
\( = \frac{3x^4 - 4x^2 + 5}{1} \)
\( = 3x^4 - 4x^2 + 5 \) यह विधि तब उपयोगी होती है जब हर एक साधारण एकपदी होता है जो अंश के सभी पदों का गुणनखंड होता है।
In simple words: \( 3x^8 - 4x^6 + 5x^4 \) को \( x^4 \) से भाग देने के लिए, अंश से \( x^4 \) को बाहर निकालें। फिर \( x^4 \) को काट दें। उत्तर \( 3x^4 - 4x^2 + 5 \) होगा।

🎯 Exam Tip: बहुपद को एकपदी से भाग देते समय, यदि अंश में उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो उसे बाहर निकालकर हर से रद्द करना गणना को आसान बना देता है।

Question 3. निम्नलिखित विभाजन कीजिए
(i) \( 10y(6y + 21) \div 5(2y + 7) \)
(ii) \( 9x^2y^2(3z - 24) \div 27xy(z - 8) \)
(iii) \( (10y + 14) \div 2 \)
(iv) \( (6x - 15) \div (2x - 5) \)
Answer:
(i) \( 10y(6y + 21) \div 5(2y + 7) = \frac{10y(6y+21)}{5(2y+7)} \)
\( = \frac{10y \times 3(2y+7)}{5(2y+7)} \)
\( = \frac{2 \times 3 \times y}{1} \)
\( = 6y \) इस प्रकार के विभाजन में, हमें पहले यह देखना चाहिए कि क्या कोई पद गुणनखंडित होकर सरल हो सकता है।
In simple words: \( 10y(6y + 21) \) को \( 5(2y + 7) \) से भाग दें। अंश में \( 6y+21 \) से 3 बाहर निकालें, तो \( 3(2y+7) \) मिलेगा। फिर \( (2y+7) \) को अंश और हर से काट दें। 10 को 5 से भाग देने पर 2 बचेगा। तो, \( 2 \times 3 \times y = 6y \)।
(ii) \( 9x^2y^2(3z - 24) \div 27xy(z - 8) = \frac{9x^2y^2(3z-24)}{27xy(z-8)} \)
\( = \frac{9x^2y^2 \times 3(z-8)}{27xy(z-8)} \)
\( = \frac{9x^2y^2 \times 3}{27xy} \)
\( = \frac{27x^2y^2}{27xy} \)
\( = xy \) बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण करते समय, हमेशा पहले उभयनिष्ठ गुणनखंडों को पहचानना और उन्हें रद्द करना सबसे अच्छा तरीका है।
In simple words: \( 9x^2y^2(3z - 24) \) को \( 27xy(z – 8) \) से भाग दें। अंश में \( 3z-24 \) से 3 बाहर निकालें, तो \( 3(z-8) \) मिलेगा। फिर \( (z-8) \) को काट दें। 9 और 3 को गुणा करके 27 बनाएँ, और इसे हर के 27 से काट दें। \( x^2 \) को \( x \) से और \( y^2 \) को \( y \) से भाग दें। उत्तर \( xy \) होगा।
(iii) \( (10y + 14) \div 2 = \frac{10y+14}{2} \)
\( = \frac{2(5y+7)}{2} \)
\( = 5y+7 \) जब एक बहुपद को एक अचर संख्या से भाग दिया जाता है, तो बहुपद के प्रत्येक पद को उस संख्या से भाग किया जा सकता है।
In simple words: \( 10y + 14 \) को 2 से भाग देने के लिए, अंश से 2 को बाहर निकालें। फिर अंश और हर के 2 को काट दें। उत्तर \( 5y+7 \) होगा।
(iv) \( (6x - 15) \div (2x - 5) = \frac{6x-15}{2x-5} \)
\( = \frac{3(2x-5)}{2x-5} \)
\( = 3 \) इस तरह के प्रश्नों में, यदि अंश को हर के गुणनखंड के रूप में लिखा जा सके, तो विभाजन बहुत आसान हो जाता है।
In simple words: \( 6x - 15 \) को \( 2x - 5 \) से भाग दें। अंश में \( 6x-15 \) से 3 बाहर निकालें, तो \( 3(2x-5) \) मिलेगा। फिर \( (2x-5) \) को काट दें। उत्तर 3 होगा।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप भाग करने से पहले सभी संभावित उभयनिष्ठ गुणनखंडों को अंश और हर दोनों से हटा दें ताकि सरलीकरण सही हो।

Question 4. व्यंजक के गुणनखण्ड कीजिए और भाग दीजिए
(i) \( (y^2 + 7y + 10) \div (y + 5) \)
(ii) \( (5x^2 - 25x + 20) \div (x - 1) \)
(iii) \( 12xy(9x^2 - 16y^2) \div 4xy(3x + 4y) \)
(iv) \( 4yz (z^2 + 6z - 16) \div 2y (z + 8) \)
Answer:
(i) पहले बहुपद \( y^2 + 7y + 10 \) का गुणनखंडन करें:
\( y^2 + 7y + 10 \)
\( = y^2 + 2y + 5y + 10 \)
\( = y(y+2) + 5(y+2) \)
\( = (y+2)(y+5) \)
अब, भाग दें:
\( \frac{y^2 + 7y + 10}{y+5} \)
\( = \frac{(y+2)(y+5)}{y+5} \)
\( = y+2 \) मध्य पद को इस तरह से विभाजित करने की विधि को 'मध्य पद विभाजन विधि' कहते हैं, जो द्विघात बहुपदों के गुणनखंडन में बहुत उपयोगी है।
In simple words: पहले \( y^2 + 7y + 10 \) के गुणनखंड करें। इसे \( (y+2)(y+5) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर इसे \( (y+5) \) से भाग दें। \( (y+5) \) कट जाएगा, और उत्तर \( y+2 \) मिलेगा।
(ii) पहले बहुपद \( 5x^2 - 25x + 20 \) का गुणनखंडन करें:
\( 5x^2 - 25x + 20 \)
\( = 5(x^2 - 5x + 4) \)
\( = 5(x-1)(x-4) \)
अब, भाग दें:
\( \frac{5x^2 - 25x + 20}{x-1} \)
\( = \frac{5(x-1)(x-4)}{x-1} \)
\( = 5(x-4) \) इस प्रक्रिया में, पहले सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालना अक्सर बाद के चरणों को सरल बना देता है।
In simple words: पहले \( 5x^2 - 25x + 20 \) के गुणनखंड करें। 5 को बाहर निकालें, फिर \( x^2 - 5x + 4 \) को \( (x-1)(x-4) \) में बदलें। तो यह \( 5(x-1)(x-4) \) बन जाएगा। फिर इसे \( (x-1) \) से भाग दें। \( (x-1) \) कट जाएगा, और उत्तर \( 5(x-4) \) मिलेगा।
(iii) \( 12xy(9x^2 - 16y^2) \div 4xy(3x + 4y) \)
\( = \frac{12xy(9x^2 - 16y^2)}{4xy(3x + 4y)} \)
\( = \frac{12xy((3x)^2 - (4y)^2)}{4xy(3x + 4y)} \)
\( = \frac{12xy(3x-4y)(3x+4y)}{4xy(3x+4y)} \)
\( = \frac{3(3x-4y)}{1} \)
\( = 3(3x-4y) \) 'दो वर्गों के अंतर' वाला सूत्र \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) बीजगणित में गुणनखंडन के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है।
In simple words: \( 12xy(9x^2 – 16y^2) \) को \( 4xy(3x + 4y) \) से भाग दें। \( 9x^2 - 16y^2 \) को \( (3x-4y)(3x+4y) \) में तोड़ें। फिर \( 4xy \) और \( (3x+4y) \) को काट दें। 12 को 4 से भाग देने पर 3 बचेगा। उत्तर \( 3(3x-4y) \) होगा।
(iv) पहले बहुपद \( z^2 + 6z - 16 \) का गुणनखंडन करें:
\( z^2 + 6z - 16 \)
\( = z^2 + 8z - 2z - 16 \)
\( = z(z+8) - 2(z+8) \)
\( = (z+8)(z-2) \)
अब, भाग दें:
\( \frac{4yz(z^2 + 6z - 16)}{2y(z + 8)} \)
\( = \frac{4yz(z+8)(z-2)}{2y(z+8)} \)
\( = \frac{4yz(z-2)}{2y} \)
\( = 2z(z-2) \) यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गुणनखंडन के बाद ही आप पदों को रद्द कर सकते हैं, अन्यथा नहीं।
In simple words: पहले \( z^2 + 6z - 16 \) के गुणनखंड करें। इसे \( (z+8)(z-2) \) के रूप में लिखें। फिर \( 4yz(z+8)(z-2) \) को \( 2y(z+8) \) से भाग दें। \( 2y \) और \( (z+8) \) को काट दें। 4 को 2 से भाग देने पर 2 बचेगा। उत्तर \( 2z(z-2) \) होगा।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन और विभाजन के सवालों में, हमेशा पहले अंश का गुणनखंडन करें, फिर उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को सरल करें।