RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 10 गुणनखण्ड More Ques

करो और सीखो

प्रश्न. दो पूर्णांक a तथा b ऐसे ज्ञात कीजिए कि

Answer:
\( a \) और \( b \) के मान ज्ञात करने के लिए, हम दो बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) और \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)। इन दोनों को घटाने पर, हमें \( (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab \) मिलता है। इससे हम \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) सूत्र प्राप्त करते हैं। एक बार जब हम \( a-b \) का मान जान जाते हैं, तो हम \( a+b \) और \( a-b \) के समीकरणों को हल करके \( a \) और \( b \) के मान आसानी से निकाल सकते हैं। यह विधि \( a \) और \( b \) की गणना करने का एक सीधा तरीका है।

(i) जब \( a+b=8 \) तथा \( ab=15 \) तब:
\( (a-b)^2 = (8)^2 - 4(15) \)
\( (a-b)^2 = 64 - 60 \)
\( (a-b)^2 = 4 \)
\( a-b = \sqrt{4} \)
\( a-b = 2 \)
अब, हमारे पास दो समीकरण हैं: \( a+b=8 \) और \( a-b=2 \)।
इन्हें जोड़ने पर: \( (a+b) + (a-b) = 8+2 \)
\( 2a = 10 \)
\( a = \frac{10}{2} \)
\( a = 5 \)
\( a \) का मान \( a+b=8 \) में रखने पर:
\( 5+b=8 \)
\( b = 8-5 \)
\( b = 3 \)

(ii) जब \( a+b=13 \) तथा \( ab=12 \) तब:
\( (a-b)^2 = (13)^2 - 4(12) \)
\( (a-b)^2 = 169 - 48 \)
\( (a-b)^2 = 121 \)
\( a-b = \sqrt{121} \)
\( a-b = 11 \)
अब हम \( a+b=13 \) और \( a-b=11 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = 13+11 \)
\( 2a = 24 \)
\( a = 12 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( 12+b=13 \)
\( b = 13-12 \)
\( b = 1 \)

(iii) जब \( a+b=-1 \) तथा \( ab=-20 \) तब:
\( (a-b)^2 = (-1)^2 - 4(-20) \)
\( (a-b)^2 = 1 + 80 \)
\( (a-b)^2 = 81 \)
\( a-b = \sqrt{81} \)
\( a-b = 9 \)
अब हम \( a+b=-1 \) और \( a-b=9 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = -1+9 \)
\( 2a = 8 \)
\( a = 4 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( 4+b=-1 \)
\( b = -1-4 \)
\( b = -5 \)

(iv) जब \( a+b=-5 \) तथा \( ab=4 \) तब:
\( (a-b)^2 = (-5)^2 - 4(4) \)
\( (a-b)^2 = 25 - 16 \)
\( (a-b)^2 = 9 \)
\( a-b = \sqrt{9} \)
\( a-b = 3 \)
अब हम \( a+b=-5 \) और \( a-b=3 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = -5+3 \)
\( 2a = -2 \)
\( a = -1 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( -1+b=-5 \)
\( b = -5-(-1) \)
\( b = -5+1 \)
\( b = -4 \)

(v) जब \( a+b=10 \) तथा \( ab=21 \) तब:
\( (a-b)^2 = (10)^2 - 4(21) \)
\( (a-b)^2 = 100 - 84 \)
\( (a-b)^2 = 16 \)
\( a-b = \sqrt{16} \)
\( a-b = 4 \)
अब हम \( a+b=10 \) और \( a-b=4 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = 10+4 \)
\( 2a = 14 \)
\( a = 7 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( 7+b=10 \)
\( b = 10-7 \)
\( b = 3 \)

(vi) जब \( a+b=-11 \) तथा \( ab=10 \) तब:
\( (a-b)^2 = (-11)^2 - 4(10) \)
\( (a-b)^2 = 121 - 40 \)
\( (a-b)^2 = 81 \)
\( a-b = \sqrt{81} \)
\( a-b = 9 \)
अब हम \( a+b=-11 \) और \( a-b=9 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = -11+9 \)
\( 2a = -2 \)
\( a = -1 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( -1+b=-11 \)
\( b = -11-(-1) \)
\( b = -11+1 \)
\( b = -10 \)

(vii) जब \( a+b=-7 \) तथा \( ab=10 \) तब:
\( (a-b)^2 = (-7)^2 - 4(10) \)
\( (a-b)^2 = 49 - 40 \)
\( (a-b)^2 = 9 \)
\( a-b = \sqrt{9} \)
\( a-b = 3 \)
अब हम \( a+b=-7 \) और \( a-b=3 \) को हल करते हैं।
जोड़ने पर: \( 2a = -7+3 \)
\( 2a = -4 \)
\( a = -2 \)
\( a \) का मान रखने पर: \( -2+b=-7 \)
\( b = -7-(-2) \)
\( b = -7+2 \)
\( b = -5 \)

उपरोक्त सभी गणनाओं के आधार पर, पूर्ण तालिका इस प्रकार है:

In simple words: हम \( a+b \) और \( ab \) के दिए गए मानों का उपयोग करके \( a-b \) का मान निकालते हैं। फिर, हमें \( a+b \) और \( a-b \) के दो समीकरण मिलते हैं, जिन्हें हल करके हम \( a \) और \( b \) के मान प्राप्त करते हैं।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) सूत्र का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। इससे \( a \) और \( b \) को खोजना आसान हो जाता है, खासकर जब हमें उनका योग और गुणनफल पता हो।

त्रुटियों को पहचानो

Question 1. दिए गए समीकरण को हल करने में त्रुटि पहचानिए और सही उत्तर ज्ञात कीजिए:
\( 3x + x + 4 = 56 \)
\( 7x = 56 \)
\( x = \frac{56}{7} \)
\( = 8 \)
Answer:
इस समीकरण को हल करने में पहली पंक्ति में एक त्रुटि है। जब \( 3x + x \) को जोड़ा जाता है, तो इसे गलती से \( 7x \) लिखा गया है। गणित में, \( x \) का मतलब \( 1x \) होता है। इसलिए, \( 3x + x = 3x + 1x = 4x \) होना चाहिए। किसी पद के गुणांक 1 को प्रायः लिखा नहीं जाता है, लेकिन समान पदों को जोड़ते समय इसे योग में शामिल करना महत्वपूर्ण है।

सही हल इस प्रकार है:
\( 3x + x + 4 = 56 \)
\( 4x + 4 = 56 \) (यहाँ \( 3x + x \) को \( 4x \) के रूप में जोड़ा गया)
अब, दोनों तरफ से 4 घटाने पर:
\( 4x = 56 - 4 \)
\( 4x = 52 \)
दोनों तरफ 4 से भाग देने पर:
\( x = \frac{52}{4} \)
\( x = 13 \)
In simple words: गलती यह है कि \( 3x + x \) को \( 7x \) लिखा गया था; यह वास्तव में \( 4x \) है। सही उत्तर \( x = 13 \) है।

🎯 Exam Tip: चर (variable) वाले पदों को जोड़ते समय, हमेशा उनके गुणांकों (coefficients) को सही ढंग से जोड़ें। यदि कोई गुणांक नहीं लिखा है, तो उसे 1 मानें।

Question 2. दिए गए समीकरण में त्रुटि पहचानिए और सही मान ज्ञात कीजिए:
\( 5x \) का मान \( -2 \) पर ज्ञात कीजिए।
\( = 5 - 2 = 3 \)
Answer:
यहाँ त्रुटि \( 5x \) का मान निकालते समय हुई है। \( 5x \) का अर्थ है \( 5 \) को \( x \) से गुणा करना। दिए गए हल में \( 5x \) को \( 5-x \) समझा गया है, जो गलत है। जब \( x \) का मान \( -2 \) दिया गया हो, तो हमें \( 5 \) को \( -2 \) से गुणा करना चाहिए। समीकरणों में पदों के अर्थ को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

सही मान इस प्रकार होगा:
\( 5x \) का मान \( x = -2 \) पर
\( = 5 \times (-2) \)
\( = -10 \)
In simple words: \( 5x \) का मतलब \( 5 \) गुना \( x \) होता है, ना कि \( 5 \) घटा \( x \)। जब \( x = -2 \) है, तो \( 5x \) का मान \( 5 \times (-2) = -10 \) होगा।

🎯 Exam Tip: बीजगणित में, जब एक संख्या और एक चर एक साथ लिखे होते हैं (जैसे \( 5x \)), तो इसका मतलब हमेशा गुणा होता है, घटाव नहीं। इस नियम को याद रखें।

Question 3. व्यंजकों के हल कॉलम A तथा कॉलम B में दिए गए हैं। जाँच करके बताएँ कौनसा हल सही है?

Answer:
नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजक के लिए सही हल की पहचान की गई है:

(i) \( 3(x - 4) \)
वितरण गुणधर्म (distributive property) का उपयोग करने पर, \( 3 \times x - 3 \times 4 = 3x - 12 \)।
इसलिए, कॉलम B में दिया गया हल सही है। यह गुणधर्म बताता है कि कोष्ठक के बाहर की संख्या को अंदर के सभी पदों से गुणा किया जाता है।

(ii) \( (2x)^2 \)
\( (2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2 \)।
इसलिए, कॉलम B में दिया गया हल सही है। यह घात के नियमों पर आधारित है, जहाँ गुणनफल की घात को प्रत्येक गुणनखंड की घात के रूप में लिखा जाता है।

(iii) \( (x + 4)^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर,
\( (x+4)^2 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \)।
इसलिए, कॉलम B में दिया गया हल सही है। यह एक मानक बीजगणितीय सूत्र है जिसका उपयोग योग के वर्ग को खोलने के लिए किया जाता है।

(iv) \( (x - 3)^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर,
\( (x-3)^2 = x^2 - 2(x)(3) + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \)।
इसलिए, कॉलम B में दिया गया हल सही है। यह भी एक मानक बीजगणितीय सूत्र है जिसका उपयोग अंतर के वर्ग को खोलने के लिए किया जाता है।

(v) \( \frac{y+5}{5} \)
यह व्यंजक \( \frac{y}{5} + \frac{5}{5} \) के बराबर है, जिसे \( \frac{y}{5} + 1 \) के रूप में सरल किया जा सकता है। हम अंश के प्रत्येक पद को हर से अलग-अलग भाग करते हैं।
इसलिए, कॉलम B में दिया गया हल सही है। भिन्न को सरल करते समय यह एक बुनियादी नियम है।
In simple words: दिए गए सभी व्यंजकों के लिए, कॉलम B में दिए गए हल सही हैं। ये हल बीजगणित के बुनियादी नियमों और सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों को हल करते समय, वितरण गुणधर्म, घात के नियम और सर्वसमिकाएँ जैसे \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) को सही ढंग से लागू करना सुनिश्चित करें। भिन्न वाले व्यंजकों में, अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करें।