RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 1 परिमेय संख्याएँ Exercise 1.1

संख्याएं Ex 1.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए - (संख्या रेखा पर भी हल कीजिए)
(i) \( \frac { 5 }{ 2 } + (\frac { -3 }{ 4 }) \)
(ii) \( \frac { -2 }{ 3 } + (\frac { -4 }{ 5 } ) + \frac { 5 }{ 6 } \)
(iii) \( 0 + \frac { 2 }{ 3 } \)
(iv) \( -2 \frac { 1 }{ 3 } + 4 \frac { 3 }{ 5 } \)
(v) \( \frac { -6 }{ 5 } + (\frac { -13 }{ 7 } ) \)
(vi) \( \frac { -8 }{ 19 } + \frac { -4 }{ 57 } \)
Answer:
(i) हम \( \frac { 5 }{ 2 } + (\frac { -3 }{ 4 } ) \) को सरल करेंगे।
सबसे पहले, हम 2 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 4 है।
\( = \frac { 5 \times 2 }{ 2 \times 2 } + \frac { -3 }{ 4 } \)
\( = \frac { 10 }{ 4 } + \frac { -3 }{ 4 } \)
\( = \frac { 10 + (-3) }{ 4 } \)
\( = \frac { 7 }{ 4 } \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{4} \) है।
\( \frac {5}{2} \) में \( (\frac {-3}{4}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {10}{4} \) में \( (\frac {-3}{4}) \) जोड़ना।
इसका मतलब है कि हम \( \frac {10}{4} \) से बाईं ओर 3 कदम चलते हैं (क्योंकि \( \frac {3}{4} \) एक ऋणात्मक चिह्न के साथ जोड़ा जा रहा है)।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {7}{4} \) पर पहुँचते हैं।

(ii) हम \( \frac { -2 }{ 3 } + (\frac { -4 }{ 5 } ) + \frac { 5 }{ 6 } \) को सरल करेंगे।
पहले, हम 3 और 5 का LCM ज्ञात करते हैं, जो 15 है।
\( = [ \frac { -2 \times 5 }{ 3 \times 5 } + \frac { -4 \times 3 }{ 5 \times 3 } ] + \frac { 5 }{ 6 } \)
\( = [ \frac { -10 }{ 15 } + \frac { -12 }{ 15 } ] + \frac { 5 }{ 6 } \)
\( = \frac { (-10) + (-12) }{ 15 } + \frac { 5 }{ 6 } \)
\( = \frac { -22 }{ 15 } + \frac { 5 }{ 6 } \)
अब, हम 15 और 6 का LCM ज्ञात करते हैं, जो 30 है।
\( = \frac { -22 \times 2 }{ 15 \times 2 } + \frac { 5 \times 5 }{ 6 \times 5 } \)
\( = \frac { -44 }{ 30 } + \frac { 25 }{ 30 } \)
\( = \frac { (-44) + 25 }{ 30 } \)
\( = \frac { -19 }{ 30 } \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{30} \) है।
\( \frac {-44}{30} \) में \( \frac {25}{30} \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-44}{30} \) के दाईं ओर 25 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-19}{30} \) पर पहुँचते हैं।

(iii) हम \( 0 + \frac { 2 }{ 3 } \) को सरल करेंगे।
किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त होती है।
\( = \frac { 2 }{ 3 } \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर \( 0 \) से शुरू करके \( \frac {2}{3} \) कदम दाईं ओर चलने पर हम \( \frac {2}{3} \) पर पहुँचते हैं।

(iv) हम \( -2 \frac {1}{3} + 4 \frac {3}{5} \) को सरल करेंगे।
पहले, मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं:
\( -2 \frac {1}{3} = -(\frac {2 \times 3 + 1}{3}) = \frac {-7}{3} \)
\( 4 \frac {3}{5} = \frac {4 \times 5 + 3}{5} = \frac {23}{5} \)
तो, हमें \( \frac {-7}{3} + \frac {23}{5} \) का योग ज्ञात करना है।
हम 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो 15 है।
\( = \frac {-7 \times 5 }{ 3 \times 5 } + \frac { 23 \times 3 }{ 5 \times 3 } \)
\( = \frac {-35}{15} + \frac {69}{15} \)
\( = \frac {(-35) + 69}{15} \)
\( = \frac {34}{15} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{15} \) है।
\( \frac {-35}{15} \) में \( \frac {69}{15} \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-35}{15} \) के दाईं ओर 69 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {34}{15} \) पर पहुँचते हैं।

(v) हम \( \frac {-6}{5} + (\frac {-13}{7} ) \) को सरल करेंगे।
हम 5 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो 35 है।
\( = \frac {-6 \times 7}{5 \times 7} + \frac {-13 \times 5}{7 \times 5} \)
\( = \frac {-42}{35} + \frac {-65}{35} \)
\( = \frac {-42 + (-65)}{35} \)
\( = \frac {-107}{35} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{35} \) है।
\( \frac {-42}{35} \) में \( (\frac {-65}{35}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-42}{35} \) के बाईं ओर 65 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-107}{35} \) पर पहुँचते हैं।

(vi) हम \( \frac {-8}{19} + \frac {-4}{57} \) को सरल करेंगे।
हम 19 और 57 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो 57 है।
\( = \frac {-8 \times 3}{19 \times 3} + \frac {-4}{57} \)
\( = \frac {-24}{57} + \frac {-4}{57} \)
\( = \frac {-24 + (-4)}{57} \)
\( = \frac {-28}{57} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{57} \) है।
\( \frac {-24}{57} \) में \( (\frac {-4}{57}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-24}{57} \) के बाईं ओर 4 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-28}{57} \) पर पहुँचते हैं।

In simple words: हम भिन्नों को जोड़ते हैं या घटाते हैं, तो पहले उनके हरों (नीचे वाले नंबरों) का एक जैसा बनाना होता है। इसके लिए हम LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालते हैं। एक बार जब हर एक जैसे हो जाते हैं, तो हम ऊपर वाले नंबरों (अंशों) को सीधे जोड़ या घटा सकते हैं। संख्या रेखा पर हल करने के लिए, हम एक बिंदु से शुरू करते हैं और दूसरे भिन्न के मान के अनुसार दाईं या बाईं ओर चलते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ने या घटाने से पहले हमेशा उनका LCM लेकर हरों को समान करें। संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याएँ बाईं ओर जाती हैं और धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर।

प्रश्न 2. मान ज्ञात कीजिए - (संख्या रेखा पर हल कीजिए)।
(i) \( \frac { 2 }{ 3 } + \frac { 5 }{ 4 } \)
(ii) \( -2 \frac { 1 }{ 9 } + \frac { 7 }{ 9 } \)
(iii) \( \frac { -7 }{ 16 } + (\frac { -3 }{ 48 } ) \)
(iv) \( \frac { -7 }{ 63 } + (\frac { -5 }{ 21 } ) \)
(v) \( -2 \frac { 1 }{ 13 } + \frac { -1 }{ 7 } \)
(vi) \( 4 \frac { 3 }{ 5 } - (-2 \frac { 1 }{ 3 } ) \)
Answer:
(i) हम \( \frac { 2 }{ 3 } + \frac { 5 }{ 4 } \) को सरल करेंगे।
3 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 है।
\( = \frac { 2 \times 4 }{ 3 \times 4 } + \frac { 5 \times 3 }{ 4 \times 3 } \)
\( = \frac { 8 }{ 12 } + \frac { 15 }{ 12 } \)
\( = \frac { 8 + 15 }{ 12 } = \frac { 23 }{ 12 } \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{12} \) है।
\( \frac {8}{12} \) में \( \frac {15}{12} \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {8}{12} \) के दाईं ओर 15 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {23}{12} \) पर पहुँचते हैं।

(ii) हम \( -2 \frac {1}{9} + \frac {7}{9} \) को सरल करेंगे।
पहले, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलते हैं:
\( -2 \frac {1}{9} = -(\frac {2 \times 9 + 1}{9}) = \frac {-19}{9} \)
अब, हमें \( \frac {-19}{9} + \frac {7}{9} \) का योग ज्ञात करना है।
चूँकि हर समान हैं, हम सीधे अंशों को जोड़ सकते हैं।
\( = \frac {-19 + 7}{9} = \frac {-12}{9} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{9} \) है।
\( \frac {-19}{9} \) में \( \frac {7}{9} \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-19}{9} \) के दाईं ओर 7 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-12}{9} \) पर पहुँचते हैं।

(iii) हम \( \frac {-7}{16} + (\frac {-3}{48} ) \) को सरल करेंगे।
16 और 48 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 48 है।
\( = \frac {-7 \times 3}{16 \times 3} + \frac {-3}{48} \)
\( = \frac {-21}{48} + \frac {-3}{48} \)
\( = \frac {(-21) + (-3)}{48} = \frac {-24}{48} = \frac {-1}{2} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{48} \) है।
\( \frac {-21}{48} \) में \( (\frac {-3}{48}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-21}{48} \) के बाईं ओर 3 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-24}{48} \) पर पहुँचते हैं।

(iv) हम \( \frac {-7}{63} + (\frac {-5}{21} ) \) को सरल करेंगे।
63 और 21 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 63 है।
\( = \frac {-7}{63} + \frac {-5 \times 3}{21 \times 3} \)
\( = \frac {-7}{63} + \frac {-15}{63} \)
\( = \frac {(-7) + (-15)}{63} = \frac {-22}{63} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{63} \) है।
\( \frac {-7}{63} \) में \( (\frac {-15}{63}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-7}{63} \) के बाईं ओर 15 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-22}{63} \) पर पहुँचते हैं।

(v) हम \( -2 \frac {1}{13} + \frac {-1}{7} \) को सरल करेंगे।
पहले, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलते हैं:
\( -2 \frac {1}{13} = -(\frac {2 \times 13 + 1}{13}) = \frac {-27}{13} \)
अब, हमें \( \frac {-27}{13} + \frac {-1}{7} \) का योग ज्ञात करना है।
13 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 91 है।
\( = \frac {-27 \times 7}{13 \times 7} + \frac {-1 \times 13}{7 \times 13} \)
\( = \frac {-189}{91} + \frac {-13}{91} \)
\( = \frac {-189 + (-13)}{91} = \frac {-202}{91} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{91} \) है।
\( \frac {-189}{91} \) में \( (\frac {-13}{91}) \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {-189}{91} \) के बाईं ओर 13 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {-202}{91} \) पर पहुँचते हैं।

(vi) हम \( 4 \frac {3}{5} - (-2 \frac {1}{3} ) \) को सरल करेंगे।
पहले, मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं:
\( 4 \frac {3}{5} = \frac {4 \times 5 + 3}{5} = \frac {23}{5} \)
\( -2 \frac {1}{3} = -(\frac {2 \times 3 + 1}{3}) = \frac {-7}{3} \)
तो, हमें \( \frac {23}{5} - (\frac {-7}{3}) \) का मान ज्ञात करना है।
माइनस और माइनस मिलकर प्लस हो जाते हैं: \( \frac {23}{5} + \frac {7}{3} \)
5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 15 है।
\( = \frac {23 \times 3}{5 \times 3} + \frac {7 \times 5}{3 \times 5} \)
\( = \frac {69}{15} + \frac {35}{15} \)
\( = \frac {69 + 35}{15} = \frac {104}{15} \)
संख्या रेखा पर:
संख्या रेखा पर दो लगातार बिन्दुओं के बीच की दूरी \( \frac {1}{15} \) है।
\( \frac {69}{15} \) में \( \frac {35}{15} \) जोड़ने का मतलब है \( \frac {69}{15} \) के दाईं ओर 35 कदम चलना।
ऐसा करने पर, हम \( \frac {104}{15} \) पर पहुँचते हैं।

In simple words: किसी भी भिन्न का मान निकालने के लिए, पहले उसे एक आसान रूप में बदलें (जैसे मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में)। फिर, अगर जोड़ना या घटाना है, तो हरों को एक जैसा बनाने के लिए LCM लें। जब हर समान हो जाते हैं, तो ऊपर के अंशों को हल करें। संख्या रेखा पर, हम हर को देखकर छोटे-छोटे कदम बनाते हैं और अंश के अनुसार दाईं या बाईं ओर चलते हैं।

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को हल करते समय हमेशा पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलें। घटाव के सवालों में, दो ऋणात्मक चिह्न एक साथ आने पर वह धनात्मक हो जाते हैं (जैसे \( -(-a) = +a \))।

प्रश्न 3. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए
Answer:
(i) हम \( \frac {13}{15} \times 5 \) को गुणा करेंगे।
\( = \frac {13}{15} \times \frac {5}{1} \)
\( = \frac {13 \times 5}{15 \times 1} \)
\( = \frac {13 \times 1}{3 \times 1} \) (अंश और हर दोनों को 5 से भाग देने पर)
\( = \frac {13}{3} \)
(ii) हम \( \frac {4}{-5} \times \frac {-5}{4} \) को गुणा करेंगे।
\( = \frac {4 \times (-5)}{(-5) \times 4} \)
\( = \frac {-20}{-20} \)
\( = 1 \)
(v) हम \( (\frac {15}{18} \times \frac {5}{6}) \times \frac {21}{5} \) को गुणा करेंगे।
\( = [ \frac {15 \times 5}{18 \times 6} ] \times \frac {21}{5} \)
\( = \frac {75}{108} \times \frac {21}{5} \)
\( = \frac {75 \times 21}{108 \times 5} \)
\( = \frac {15 \times 5 \times 7 \times 3}{36 \times 3 \times 5} \) (गुणनखंडों में तोड़ने पर)
\( = \frac {15 \times 7}{36} \) (सामान्य गुणनखंडों को रद्द करने पर)
\( = \frac {5 \times 3 \times 7}{12 \times 3} \)
\( = \frac {5 \times 7}{12} = \frac {35}{12} \)
(vi) हम \( 2 \frac {1}{9} \times (\frac {-7}{2} ) \) को गुणा करेंगे। (नोट: प्रदान किए गए समाधान के चरण `-7/2` का उपयोग करते हैं)
पहले, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलते हैं:
\( 2 \frac {1}{9} = \frac {2 \times 9 + 1}{9} = \frac {19}{9} \)
अब, हमें \( \frac {19}{9} \times (\frac {-7}{2} ) \) को गुणा करना है।
\( = \frac {19 \times (-7)}{9 \times 2} \)
\( = \frac {-133}{18} \)
In simple words: दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, हम सीधे उनके अंशों को आपस में गुणा करते हैं और हरों को आपस में गुणा करते हैं। अगर कोई मिश्रित भिन्न है, तो उसे पहले अनुचित भिन्न में बदलें। गुणा करने के बाद, परिणाम को सबसे सरल रूप में बदलें।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, अंश और हर में सामान्य गुणनखंडों को पहले ही काट देने से गणना आसान हो जाती है। मिश्रित भिन्नों को हमेशा पहले अनुचित भिन्नों में बदलें।

प्रश्न 4. मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) हम \( (\frac {-6}{1}) \times (\frac {5}{3}) \) को गुणा करेंगे। (नोट: प्रदान किए गए समाधान के चरण इस भिन्न का उपयोग करते हैं)
\( = \frac {(-6) \times 5}{1 \times 3} \)
\( = \frac {-30}{3} \)
\( = -10 \)
(ii) हम \( (\frac {-27}{5}) \div (\frac {-54}{10}) \) का मान ज्ञात करेंगे। (नोट: प्रदान किए गए समाधान के चरण भाग की प्रक्रिया का पालन करते हैं)
किसी भिन्न से भाग करने का मतलब उसके व्युत्क्रम से गुणा करना होता है।
\( = \frac {-27}{5} \times (\frac {10}{-54}) \)
\( = \frac {-27 \times 10}{5 \times (-54)} \)
\( = \frac {-270}{-270} \)
\( = 1 \)
(iii) हम \( (\frac {21}{36}) \times (\frac {-18}{7}) \) का मान ज्ञात करेंगे। (नोट: प्रदान किए गए समाधान के चरण इस भिन्न का उपयोग करते हैं)
\( = \frac {21 \times (-18)}{36 \times 7} \)
\( = \frac {7 \times 3 \times (-18)}{18 \times 2 \times 7} \) (गुणनखंडों में तोड़कर)
\( = \frac {3 \times (-1)}{2} \) (सामान्य गुणनखंडों को रद्द करने पर)
\( = \frac {-3}{2} \)
(iv) हम \( (\frac {-7}{12}) \times (\frac {-13}{3}) \) का मान ज्ञात करेंगे। (नोट: प्रदान किए गए समाधान के चरण गुणन की प्रक्रिया का पालन करते हैं)
\( = \frac {-7 \times (-13)}{12 \times 3} \)
\( = \frac {91}{36} \)
(v) हम \( -2 \frac {1}{9} + 6 \frac {9}{9} \) का मान ज्ञात करेंगे।
पहले, मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं:
\( -2 \frac {1}{9} = -(\frac {2 \times 9 + 1}{9}) = \frac {-19}{9} \)
\( 6 \frac {9}{9} = 6 + 1 = 7 = \frac {63}{9} \)
अब, हमें \( \frac {-19}{9} + \frac {63}{9} \) का योग ज्ञात करना है।
\( = \frac {-19 + 63}{9} = \frac {44}{9} \)
(vi) हम \( \frac {2}{15} \div (\frac {-8}{45}) \) का मान ज्ञात करेंगे।
\( = \frac {2}{15} \times \frac {45}{-8} \)
\( = \frac {2 \times 45}{15 \times (-8)} \)
\( = \frac {90}{-120} \)
\( = \frac {-3}{4} \)
In simple words: इस तरह के सवालों को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और भाग करने के नियम याद रखने होंगे। मिश्रित भिन्नों को पहले साधारण भिन्नों में बदलें। हरों को समान करने के लिए LCM का उपयोग करें जब जोड़ या घटाव हो। भाग करते समय, दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि ऑपरेशन के क्रम का पालन करें और सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक संख्याओं के चिह्नों को सही ढंग से संभालते हैं। मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलना एक महत्वपूर्ण पहला कदम है।

प्रश्न 5. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac {3}{5} + \frac {7}{10} + (\frac {-8}{12}) + (\frac {4}{3}) \)
(ii) \( (2 \frac {1}{2}) + (-3 \frac {1}{2}) + (-2 \frac {1}{3}) + (2 \frac {1}{9}) \)
(iii) \( (\frac {-7}{5}) \times (\frac {2}{7}) \times \frac {15}{16} \times (\frac {-8}{9}) \)
(iv) \( \frac {1}{2} + [(\frac {1}{3}) \div (\frac {2}{7})] \)
Answer:
(i) हम \( \frac {3}{5} + \frac {7}{10} + (\frac {-8}{12}) + (\frac {4}{3}) \) का मान ज्ञात करेंगे।
हम 5, 10, 12 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो 60 है।
\( = \frac {3 \times 12}{5 \times 12} + \frac {7 \times 6}{10 \times 6} + \frac {-8 \times 5}{12 \times 5} + \frac {4 \times 20}{3 \times 20} \)
\( = \frac {36}{60} + \frac {42}{60} + \frac {-40}{60} + \frac {80}{60} \)
\( = \frac {36 + 42 - 40 + 80}{60} \)
\( = \frac {78 - 40 + 80}{60} \)
\( = \frac {38 + 80}{60} \)
\( = \frac {118}{60} \)
इसे सरल करने पर: \( = \frac {59}{30} \)
(ii) हम \( (2 \frac {1}{2}) + (-3 \frac {1}{2}) + (-2 \frac {1}{3}) + (2 \frac {1}{9}) \) का मान ज्ञात करेंगे।
पहले, सभी मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं:
\( 2 \frac {1}{2} = \frac {5}{2} \)
\( -3 \frac {1}{2} = \frac {-7}{2} \)
\( -2 \frac {1}{3} = \frac {-7}{3} \)
\( 2 \frac {1}{9} = \frac {19}{9} \)
तो, हमें \( \frac {5}{2} + \frac {-7}{2} + \frac {-7}{3} + \frac {19}{9} \) का मान ज्ञात करना है।
पहले दो पदों को जोड़ते हैं: \( \frac {5 + (-7)}{2} = \frac {-2}{2} = -1 \)
अब, हमें \( -1 + \frac {-7}{3} + \frac {19}{9} \) का मान ज्ञात करना है।
हम 1, 3 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो 9 है।
\( = \frac {-1 \times 9}{1 \times 9} + \frac {-7 \times 3}{3 \times 3} + \frac {19}{9} \)
\( = \frac {-9}{9} + \frac {-21}{9} + \frac {19}{9} \)
\( = \frac {-9 - 21 + 19}{9} \)
\( = \frac {-30 + 19}{9} \)
\( = \frac {-11}{9} \)
In simple words: जब आपके पास कई भिन्न होते हैं, तो उन्हें एक साथ हल करने के लिए, सभी हरों का LCM लेकर उन्हें एक समान आधार पर लाना सबसे अच्छा तरीका होता है। फिर, अंशों को उनके चिह्नों के अनुसार जोड़ें या घटाएँ। अंत में, परिणाम को सरल रूप में लिखें।

🎯 Exam Tip: कई भिन्नों को एक साथ हल करते समय, सभी हरों का एक सामान्य LCM ज्ञात करना सबसे प्रभावी तरीका है। ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखें और गणनाएँ सावधानी से करें।

Question 5. मान ज्ञात कीजिए
(ii) \( (\frac{2}{3}) + (-3\frac{1}{2}) + (-2\frac{1}{3}) + (2\frac{1}{9}) \)
Answer: सबसे पहले मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें और फिर उनका योगफल ज्ञात करें। सभी भिन्नों को एक ही हर पर लाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें। परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए यह एक सामान्य तरीका है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
\( \frac{2}{3} + (-\frac{7}{2}) + (-\frac{7}{3}) + (\frac{19}{9}) \)
\( = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} + \frac{-7 \times 9}{2 \times 9} + \frac{-7 \times 6}{3 \times 6} + \frac{19 \times 2}{9 \times 2} \)
\( = \frac{12}{18} + \frac{-63}{18} + \frac{-42}{18} + \frac{38}{18} \)
\( = \frac{12 - 63 - 42 + 38}{18} \)
\( = \frac{50 - 105}{18} \)
\( = \frac{-55}{18} \)
In simple words: पहले सभी मिश्रित भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें. फिर, सभी भिन्नों को एक ही हर पर लाने के लिए उनका LCM लें. अंत में, अंशों को जोड़कर उत्तर निकालें.

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को हल करते समय, उन्हें पहले विषम भिन्नों में बदलना हमेशा आसान होता है। गणना में त्रुटियों से बचने के लिए नकारात्मक संकेतों को ध्यान से संभालें।

Question 5. मान ज्ञात कीजिए
(iii) \( (\frac{-7}{5}) \times (\frac{2}{15}) \times (\frac{15}{16}) \times (\frac{-8}{9}) \)
Answer: परिमेय संख्याओं का गुणा करने के लिए, अंशों को अंशों से और हरों को हरों से गुणा किया जाता है। गुणा करने से पहले समान कारकों को रद्द करके गणना को सरल बनाया जा सकता है। यह विधि गुणा को आसान बनाती है और अंतिम उत्तर को सबसे सरल रूप में प्राप्त करने में मदद करती है।
\( = (\frac{-7}{5}) \times (\frac{2}{15}) \times (\frac{15}{16}) \times (\frac{-8}{9}) \)
\( = \frac{-7 \times 2 \times 15 \times (-8)}{5 \times 15 \times 16 \times 9} \)
समान कारकों को रद्द करें: \( \text{15 से 15 रद्द करें, } 2 \text{ और } 16 \text{ को } 2 \text{ से काटें, } -8 \text{ और } 8 \text{ को } 8 \text{ से काटें} \)
\( = \frac{-7 \times 1 \times 1 \times (-1)}{5 \times 1 \times 8 \times 9} \)
\( = \frac{7}{360} \)
In simple words: गुणा करने के लिए अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा करें। गणना को आसान बनाने के लिए समान संख्याओं को ऊपर और नीचे काटें।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय हमेशा भिन्नों को सरल बनाने के लिए सामान्य कारकों को रद्द करने का प्रयास करें। यह बड़ी संख्याओं के गुणा से बचाता है और उत्तर को सटीक रखता है।

Question 5. मान ज्ञात कीजिए
(iv) \( \frac{1}{2} + [(\frac{1}{3}) + \frac{2}{7}] \)
Answer: भिन्नों को जोड़ने के लिए, पहले कोष्ठक के अंदर की संख्याओं को हल करें। फिर, सभी भिन्नों का एक सामान्य हर प्राप्त करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें और फिर उन्हें जोड़ें। यह सुनिश्चित करता है कि सभी भाग एक ही आधार पर जुड़ें।
पहले कोष्ठक के अंदर का हल करें: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{7} \)
\( = \frac{1 \times 7}{3 \times 7} + \frac{2 \times 3}{7 \times 3} \)
\( = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} \)
\( = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21} \)
अब, परिणाम को \( \frac{1}{2} \) में जोड़ें: \( \frac{1}{2} + \frac{13}{21} \)
\( = \frac{1 \times 21}{2 \times 21} + \frac{13 \times 2}{21 \times 2} \)
\( = \frac{21}{42} + \frac{26}{42} \)
\( = \frac{21+26}{42} = \frac{47}{42} \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर के भिन्नों को जोड़ें। फिर, इस उत्तर को पहले भिन्न में जोड़ें। सभी भिन्नों को जोड़ने के लिए उनका LCM लें।

🎯 Exam Tip: जब एक से अधिक संक्रियाएँ हों, तो हमेशा BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें - पहले कोष्ठक हल करें। भिन्नों को जोड़ते समय हमेशा सामान्य हर का उपयोग करें।

Question 6. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac{3}{5} \times (\frac{-3}{7}) - \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \)
Answer: दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम गुणन संक्रिया को पहले करते हैं और फिर जोड़ या घटाव करते हैं। इसमें वितरण नियम का उपयोग किया जा सकता है, जो गणना को सरल बनाने में मदद करता है।
व्यंजक है: \( \frac{3}{5} \times (\frac{-3}{7}) - \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \)
यहां, \( \frac{3}{5} \) सभी पदों में एक सामान्य गुणनखंड है। इसे बाहर निकालें:
\( = \frac{3}{5} \times [(\frac{-3}{7}) - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}] \)
कोष्ठक के अंदर के भिन्नों का LCM \( (7, 3, 2) = 42 \) है।
\( = \frac{3}{5} \times [\frac{-3 \times 6}{7 \times 6} - \frac{2 \times 14}{3 \times 14} + \frac{1 \times 21}{2 \times 21}] \)
\( = \frac{3}{5} \times [\frac{-18}{42} - \frac{28}{42} + \frac{21}{42}] \)
\( = \frac{3}{5} \times [\frac{-18 - 28 + 21}{42}] \)
\( = \frac{3}{5} \times [\frac{-46 + 21}{42}] \)
\( = \frac{3}{5} \times \frac{-25}{42} \)
अब गुणा करें और सरल करें:
\( = \frac{3 \times (-25)}{5 \times 42} \)
\( = \frac{3 \times (-5 \times 5)}{5 \times (3 \times 14)} \)
\( = \frac{-5}{14} \)
In simple words: पहले सभी गुणन खंडों को हल करें। फिर सभी भिन्नों को एक ही हर पर लाने के लिए LCM लें। अंत में, जोड़ और घटाव करके अंतिम उत्तर निकालें।

🎯 Exam Tip: जब एक सामान्य गुणनखंड हो, तो उसे बाहर निकालना गणना को सरल बना सकता है। भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय हमेशा उनके हरों का LCM लें।

Question 6. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए
(ii) \( \frac{5}{2} - \frac{3}{5} \times \frac{7}{3} + \frac{1}{2} \times (\frac{-2}{3}) \)
Answer: इस व्यंजक को हल करने के लिए, पहले गुणा करें और फिर जोड़ें या घटाएँ। गुणा की संक्रिया को प्राथमिकता देने से हमें सही क्रम में परिणाम निकालने में मदद मिलती है। यह गणितीय संक्रियाओं के क्रम का पालन करने का एक अच्छा उदाहरण है।
व्यंजक है: \( \frac{5}{2} - \frac{3}{5} \times \frac{7}{3} + \frac{1}{2} \times (\frac{-2}{3}) \)
पहले गुणा वाले पदों को हल करें:
\( \frac{3}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{3 \times 7}{5 \times 3} = \frac{7}{5} \) (यहां 3 से 3 रद्द हो जाता है)
\( \frac{1}{2} \times (\frac{-2}{3}) = \frac{1 \times (-2)}{2 \times 3} = \frac{-1}{3} \) (यहां 2 से 2 रद्द हो जाता है)
अब व्यंजक को फिर से लिखें:
\( = \frac{5}{2} - \frac{7}{5} + \frac{-1}{3} \)
\( = \frac{5}{2} - \frac{7}{5} - \frac{1}{3} \)
हरों \( (2, 5, 3) \) का LCM \( = 30 \) है।
\( = \frac{5 \times 15}{2 \times 15} - \frac{7 \times 6}{5 \times 6} - \frac{1 \times 10}{3 \times 10} \)
\( = \frac{75}{30} - \frac{42}{30} - \frac{10}{30} \)
\( = \frac{75 - 42 - 10}{30} \)
\( = \frac{33 - 10}{30} \)
\( = \frac{23}{30} \)
In simple words: पहले गुणा के भागों को हल करें। फिर, सभी भिन्नों को एक ही हर पर लाने के लिए LCM लें। अंत में, जोड़ और घटाव करके अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: हमेशा BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। भिन्न में गुणा करते समय सरल करने के लिए सामान्य कारकों को रद्द करना न भूलें।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(i) \( \frac{7}{19} \)
Answer: किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है। यह संख्या मूल संख्या का नकारात्मक रूप होती है। योज्य प्रतिलोम ढूंढने से हमें संख्या रेखा पर समान दूरी पर विपरीत दिशा में स्थित संख्या का पता चलता है।
\( \frac{7}{19} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -\frac{7}{19} \)
In simple words: योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर 0 मिलता है। यह बस मूल संख्या का उल्टा चिन्ह होता है।

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम का अर्थ है बस संख्या का चिन्ह बदलना। यदि संख्या धनात्मक है तो वह ऋणात्मक हो जाती है, और यदि ऋणात्मक है तो धनात्मक।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(ii) \( \frac{-9}{5} \)
Answer: किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है। यह संख्या मूल संख्या का विपरीत चिन्ह वाली संख्या होती है। योज्य प्रतिलोम किसी भी संख्या का संतुलन बिंदु होता है।
\( \frac{-9}{5} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -(\frac{-9}{5}) = \frac{9}{5} \)
In simple words: योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर 0 मिलता है। यह बस मूल संख्या का उल्टा चिन्ह होता है।

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम का अर्थ है बस संख्या का चिन्ह बदलना। यदि संख्या धनात्मक है तो वह ऋणात्मक हो जाती है, और यदि ऋणात्मक है तो धनात्मक।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(iii) \( \frac{-3}{-7} \)
Answer: \( \frac{-3}{-7} \) को पहले सरल करें। दो ऋण चिन्ह (negative signs) एक धन चिन्ह (positive sign) बनाते हैं। फिर, इस धनात्मक संख्या का योज्य प्रतिलोम ज्ञात करें, जो उसका ऋणात्मक रूप होगा। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि दो ऋण चिन्हों का गुणा हमेशा एक धन चिन्ह देता है।
सबसे पहले, \( \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7} \)
अब, \( \frac{3}{7} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -\frac{3}{7} \)
In simple words: पहले दिए गए भिन्न को सरल करें। अगर ऊपर और नीचे दोनों में माइनस चिन्ह है, तो वह प्लस बन जाता है। फिर, बस उस सरल भिन्न का चिन्ह बदल दें।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक चिन्हों को सरल करने के लिए ध्यान रखें: \( \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \) और \( \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} \)। फिर योज्य प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए चिन्ह बदल दें।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(iv) \( \frac{5}{-9} \)
Answer: किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है। जब हर में ऋण चिन्ह हो, तो उसे अंश या पूरे भिन्न के सामने रखा जा सकता है। यह ऋणात्मकता का मानक प्रतिनिधित्व है।
\( \frac{5}{-9} = -\frac{5}{9} \)
\( -\frac{5}{9} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -(-\frac{5}{9}) = \frac{5}{9} \)
In simple words: पहले भिन्न को सही तरीके से लिखें ताकि माइनस का चिन्ह बीच में या ऊपर रहे। फिर, बस उस भिन्न का चिन्ह बदल दें।

🎯 Exam Tip: \( \frac{a}{-b} \) को \( -\frac{a}{b} \) के रूप में लिखना बेहतर है। फिर योज्य प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए बस चिन्ह बदल दें।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(v) \( \frac{-13}{-17} \)
Answer: सबसे पहले \( \frac{-13}{-17} \) को सरल करें। जब अंश और हर दोनों में ऋण चिन्ह होता है, तो वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं और भिन्न धनात्मक हो जाता है। फिर इस धनात्मक भिन्न का योज्य प्रतिलोम ज्ञात करें, जो एक ऋणात्मक संख्या होगी। ऋणात्मक चिन्हों को सही ढंग से संभालना महत्वपूर्ण है।
पहले, \( \frac{-13}{-17} = \frac{13}{17} \)
\( \frac{13}{17} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -\frac{13}{17} \)
In simple words: यदि भिन्न में ऊपर और नीचे दोनों जगह माइनस का चिन्ह है, तो यह प्लस बन जाता है। फिर, उस धनात्मक भिन्न का बस चिन्ह बदल दें ताकि वह ऋणात्मक हो जाए।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि दो ऋण चिन्ह एक धन चिन्ह बनाते हैं। इसलिए \( \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \)। फिर योज्य प्रतिलोम के लिए इस धनात्मक संख्या का ऋणात्मक लें।

Question 7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का योज्य प्रतिलोम लिखिए
(vi) \( \frac{21}{-31} \)
Answer: किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है। हर में ऋण चिन्ह वाले भिन्न को अक्सर अंश में ऋण चिन्ह के साथ लिखा जाता है, या पूरे भिन्न के सामने। यह सुनिश्चित करता है कि भिन्न का मूल्य वही रहे।
\( \frac{21}{-31} = -\frac{21}{31} \)
\( -\frac{21}{31} \) का योज्य प्रतिलोम \( = -(-\frac{21}{31}) = \frac{21}{31} \)
In simple words: पहले भिन्न को ऐसे लिखें कि माइनस का चिन्ह बीच में या ऊपर रहे। फिर, बस उस भिन्न का चिन्ह बदल दें ताकि वह उल्टा हो जाए।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि \( \frac{a}{-b} \) और \( -\frac{a}{b} \) दोनों समान मान दर्शाते हैं। योज्य प्रतिलोम केवल संख्या के चिन्ह को उलट देता है।

Question 8. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
(i) -17
Answer: किसी संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम, जिसे व्युत्क्रम (reciprocal) भी कहते हैं, वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है। यह संख्या मूल संख्या के अंश और हर को उलट कर प्राप्त की जाती है। गुणात्मक प्रतिलोम ढूंढने से हमें वह संख्या मिलती है जो गुणा करने पर तत्समक (identity) देती है।
-17 का गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17} \)
In simple words: गुणात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 मिलता है। यह बस मूल संख्या के अंश और हर को उलट देता है।

🎯 Exam Tip: गुणात्मक प्रतिलोम के लिए, अंश और हर को उलट दें। चिन्ह वही रहता है। यदि संख्या एक पूर्णांक है, तो उसे \( \frac{\text{संख्या}}{1} \) के रूप में सोचें, फिर उलट दें।

Question 8. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
(ii) \( \frac{-11}{17} \)
Answer: किसी परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम अंश और हर को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है, जबकि चिन्ह वही रहता है। यह हमें वह संख्या देता है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 मिलता है। गुणात्मक प्रतिलोम भिन्न के 'उल्टे' को दर्शाता है।
\( \frac{-11}{17} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{17}{-11} = -\frac{17}{11} \)
In simple words: अंश और हर को उलट दें। माइनस का चिन्ह वही रहता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न के गुणात्मक प्रतिलोम के लिए, अंश को हर और हर को अंश बना दें। नकारात्मक चिन्ह को न बदलें।

Question 8. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
(iii) \( -1 \times \frac{-3}{5} \)
Answer: गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, पहले दिए गए व्यंजक को सरल करें। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है। फिर, परिणामी धनात्मक संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करें, जो उसके अंश और हर को उलट कर प्राप्त होगा। यह पहला कदम सरल गणना के लिए महत्वपूर्ण है।
पहले, \( -1 \times \frac{-3}{5} = \frac{(-1) \times (-3)}{5} = \frac{3}{5} \)
अब, \( \frac{3}{5} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{5}{3} \)
In simple words: पहले दी गई संख्याओं को गुणा करें। दो माइनस चिन्हों को गुणा करने पर प्लस मिलता है। फिर, उस उत्तर के अंश और हर को उलट दें।

🎯 Exam Tip: किसी भी गुणनफल का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने से पहले उसे हमेशा सरल करें। याद रखें कि \( (-1) \times (-a) = a \)।

Question 8. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
(iv) \( \frac{13}{-19} \)
Answer: किसी परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को आपस में बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया में संख्या का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है। हर में ऋण चिन्ह होने पर उसे अक्सर अंश में या पूरे भिन्न के सामने स्थानांतरित कर दिया जाता है। यह हमें वह संख्या देता है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 मिलता है।
\( \frac{13}{-19} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{-19}{13} \)
In simple words: अंश और हर को उलट दें। माइनस का चिन्ह वही रहता है।

🎯 Exam Tip: हर में ऋण चिन्ह वाले भिन्न के लिए, गुणात्मक प्रतिलोम में भी चिन्ह हर से अंश में चला जाता है। \( \frac{a}{-b} \) का व्युत्क्रम \( \frac{-b}{a} \) होता है।

Question 9. परिमेय संख्या \( \frac{5}{7} \) को \( \frac{-7}{15} \) के व्युत्क्रम से गुणा कीजिए।
Answer: पहले \( \frac{-7}{15} \) का व्युत्क्रम ज्ञात करें, जिसका अर्थ है उसके अंश और हर को उलट देना। फिर, मूल संख्या \( \frac{5}{7} \) को इस व्युत्क्रम से गुणा करें। भिन्नों का गुणा करने के लिए, अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा किया जाता है।
\( \frac{-7}{15} \) का व्युत्क्रम \( = \frac{15}{-7} = -\frac{15}{7} \)
अब \( \frac{5}{7} \) को \( -\frac{15}{7} \) से गुणा करें:
\( \frac{5}{7} \times (-\frac{15}{7}) \)
\( = \frac{5 \times (-15)}{7 \times 7} \)
\( = \frac{-75}{49} \)
In simple words: पहले \( \frac{-7}{15} \) का उल्टा (व्युत्क्रम) करें। फिर, \( \frac{5}{7} \) को उस उल्टी संख्या से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम का अर्थ है अंश और हर को आपस में बदलना। गुणा करते समय, चिन्हों को ध्यान से संभालें, विशेष रूप से ऋण चिन्हों को।

Question 10. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव __________ होता है। (परिमेय/पूर्णांक)
(ii) किसी ऋणात्मक परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम __________ होता है। (ऋणात्मक/धनात्मक)
(iii) शून्य का व्युत्क्रम __________ होता है। (शून्य/अनिधारित)
(iv) परिमेय संख्याओं का योज्य तत्समक __________ होता है। (शून्य/एक)
(v) परिमेय संख्याओं के लिए गुणात्मक तत्समक __________ है। (शून्य/एक)
(vi) परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम उसका __________ होता है। (व्युत्क्रम/वही)
(vii) ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सदैव शून्य के __________ ओर होती हैं। (दाईं/बाईं)
(viii) धनात्मक परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सदैव शून्य के __________ ओर होती हैं। (दाईं/बाईं)
(ix) किसी परिमेय संख्या में उसके योज्य प्रतिलोम को जोड़ने पर परिणाम __________ प्राप्त होता है। (शून्य/वही संख्या)
Answer:
(i) दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव परिमेय होता है।
(ii) किसी ऋणात्मक परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम धनात्मक होता है।
(iii) शून्य का व्युत्क्रम अनिर्धारित होता है।
(iv) परिमेय संख्याओं का योज्य तत्समक शून्य होता है।
(v) परिमेय संख्याओं के लिए गुणात्मक तत्समक एक है।
(vi) परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम उसका व्युत्क्रम होता है।
(vii) ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सदैव शून्य के बाईं ओर होती हैं।
(viii) धनात्मक परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर सदैव शून्य के दाईं ओर होती हैं।
(ix) किसी परिमेय संख्या में उसके योज्य प्रतिलोम को जोड़ने पर परिणाम शून्य प्राप्त होता है।
In simple words: ये परिमेय संख्याओं के बारे में कुछ बुनियादी नियम हैं। उदाहरण के लिए, दो परिमेय संख्याओं को गुणा करने पर हमेशा एक परिमेय संख्या ही मिलती है।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं के गुणों को समझना बहुत ज़रूरी है। योज्य तत्समक 0 है और गुणात्मक तत्समक 1 है। शून्य का व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है।

Question 11. माध्य विधि से
(i) -3 और 0 के बीच कोई पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।
Answer: माध्य विधि का उपयोग करके दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उन दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से विभाजित किया जाता है। इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराकर हम किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत संख्या में परिमेय संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। यह तरीका संख्याओं को खोजने का एक सीधा और आसान रास्ता है।
-3 और 0 के बीच पहली परिमेय संख्या: \( \frac{-3+0}{2} = -\frac{3}{2} \)
अब -3 और \( -\frac{3}{2} \) के बीच एक संख्या ज्ञात करें:
\( \frac{-3 + (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{\frac{-6-3}{2}}{2} = \frac{-9}{4} \)
अब \( -\frac{3}{2} \) और 0 के बीच एक संख्या ज्ञात करें:
\( \frac{-\frac{3}{2} + 0}{2} = -\frac{3}{4} \)
अब -3 और \( -\frac{9}{4} \) के बीच एक संख्या ज्ञात करें:
\( \frac{-3 + (-\frac{9}{4})}{2} = \frac{\frac{-12-9}{4}}{2} = \frac{-21}{8} \)
अब \( -\frac{9}{4} \) और \( -\frac{3}{2} \) के बीच एक संख्या ज्ञात करें:
\( \frac{-\frac{9}{4} + (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{\frac{-9-6}{4}}{2} = \frac{-15}{8} \)
अतः -3 और 0 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं: \( -\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{21}{8}, -\frac{15}{8} \) (और भी बहुत सारी हो सकती हैं)
In simple words: दो संख्याओं के बीच की संख्याएँ ढूंढने के लिए, उन्हें जोड़कर 2 से भाग दें। इस तरीके को बार-बार दोहराकर आप कई संख्याएँ ढूंढ सकते हैं।

🎯 Exam Tip: माध्य विधि का उपयोग करके संख्याओं को बार-बार खोजना सुनिश्चित करता है कि वे हमेशा दी गई दो संख्याओं के बीच होंगी। उत्तर में कई संभावित संख्याएँ हो सकती हैं, कोई भी पाँच सही मानी जाएँगी।

Question 11. माध्य विधि से
(ii) 0 से बड़ी और \( \frac{5}{6} \) से छोटी कोई चार परिमेय संख्याएँ लिखिए।
Answer: माध्य विधि का उपयोग करके 0 और \( \frac{5}{6} \) के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 से विभाजित करते हैं। इस प्रक्रिया को आवश्यक संख्याएँ मिलने तक दोहराया जा सकता है। यह विधि दो संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याओं को खोजने में मदद करती है।
0 और \( \frac{5}{6} \) के बीच पहली परिमेय संख्या: \( \frac{0+\frac{5}{6}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} \)
0 और \( \frac{5}{12} \) के बीच दूसरी परिमेय संख्या: \( \frac{0+\frac{5}{12}}{2} = \frac{\frac{5}{12}}{2} = \frac{5}{24} \)
\( \frac{5}{12} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच तीसरी परिमेय संख्या: \( \frac{\frac{5}{12}+\frac{5}{6}}{2} = \frac{\frac{5+10}{12}}{2} = \frac{\frac{15}{12}}{2} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \)
\( \frac{5}{24} \) और \( \frac{5}{12} \) के बीच चौथी परिमेय संख्या: \( \frac{\frac{5}{24}+\frac{5}{12}}{2} = \frac{\frac{5+10}{24}}{2} = \frac{\frac{15}{24}}{2} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16} \)
अतः, 0 से बड़ी और \( \frac{5}{6} \) से छोटी चार परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac{5}{12}, \frac{5}{24}, \frac{5}{8}, \frac{5}{16} \)। (और भी बहुत सारी हो सकती हैं)
In simple words: दो संख्याओं के बीच की संख्याएँ ढूंढने के लिए, उन्हें जोड़कर 2 से भाग दें। इस तरीके को बार-बार दोहराकर आप कई संख्याएँ ढूंढ सकते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि हर बार आप जो संख्याएँ जोड़ रहे हैं वे दी गई सीमा के अंदर हों। दशमलव के बजाय भिन्नों के रूप में उत्तर देना सबसे अच्छा है।

Question 11. माध्य विधि से
(iii) \( \frac{-3}{4} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच की कोई तीन परिमेय संख्याएँ बताइए।
Answer: माध्य विधि का उपयोग करके \( \frac{-3}{4} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम दोनों भिन्नों को जोड़कर 2 से विभाजित करते हैं। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक हमें आवश्यक संख्याएँ नहीं मिल जातीं। यह विधि हमें दो भिन्नों के बीच स्थित संख्याओं को व्यवस्थित रूप से खोजने में मदद करती है।
\( \frac{-3}{4} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच पहली परिमेय संख्या: \( \frac{\frac{-3}{4}+\frac{5}{6}}{2} \)
अंश में LCM \( (4,6) = 12 \) लें: \( \frac{\frac{-3 \times 3}{12} + \frac{5 \times 2}{12}}{2} = \frac{\frac{-9+10}{12}}{2} = \frac{\frac{1}{12}}{2} = \frac{1}{24} \)
\( \frac{-3}{4} \) और \( \frac{1}{24} \) के बीच दूसरी परिमेय संख्या: \( \frac{\frac{-3}{4}+\frac{1}{24}}{2} \)
अंश में LCM \( (4,24) = 24 \) लें: \( \frac{\frac{-3 \times 6}{24} + \frac{1}{24}}{2} = \frac{\frac{-18+1}{24}}{2} = \frac{\frac{-17}{24}}{2} = \frac{-17}{48} \)
\( \frac{1}{24} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच तीसरी परिमेय संख्या: \( \frac{\frac{1}{24}+\frac{5}{6}}{2} \)
अंश में LCM \( (24,6) = 24 \) लें: \( \frac{\frac{1}{24} + \frac{5 \times 4}{24}}{2} = \frac{\frac{1+20}{24}}{2} = \frac{\frac{21}{24}}{2} = \frac{21}{48} = \frac{7}{16} \)
अतः, \( \frac{-3}{4} \) और \( \frac{5}{6} \) के बीच की तीन परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac{1}{24}, \frac{-17}{48}, \frac{7}{16} \)।
In simple words: दो भिन्नों के बीच की संख्याएँ ढूंढने के लिए, उन्हें जोड़कर 2 से भाग दें। यह सुनिश्चित करता है कि मिली हुई संख्या हमेशा उन दोनों के बीच होगी।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते समय हमेशा उनके हरों का LCM लें। गणना को सरल बनाने के लिए अंतिम उत्तर को सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।