RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 1 परिमेय संख्याएँ Important Questions

I. बहुविकल्पात्मक प्रश्न

Question 1. परिमेय संख्याएँ संवृत हैं
(a) योग और गुणन के अन्तर्गत
(b) योग और व्यवकलने के अन्तर्गत
(c) योग, व्यवकलन और गुणन के अन्तर्गत
(d) इनमें से कोई नहीं।
Answer: (c) योग, व्यवकलन और गुणन के अन्तर्गत
In simple words: परिमेय संख्याएँ जोड़ना, घटाना और गुणा करना, सभी इन संख्याओं के नियमों के अंदर आते हैं. इसका मतलब है कि जब आप इन क्रियाओं को करते हैं, तो आपको हमेशा एक परिमेय संख्या ही मिलेगी. यह एक मुख्य गुण है जो इन संख्याओं को उपयोगी बनाता है.

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं के संवृत गुणधर्म को याद रखें: वे योग, घटाव और गुणन के तहत संवृत होती हैं, लेकिन भाग के तहत नहीं.

Question 2. निम्न में से परिमेय संख्या साहचर्य नहीं है
(a) योग के लिए।
(b) गुणन के लिए
(c) दोनों (a) व (b) के लिए
(d) भाग के लिए
Answer: (d) भाग के लिए
In simple words: साहचर्य गुण का मतलब है कि आप संख्याओं को किसी भी क्रम में समूह बना सकते हैं और परिणाम नहीं बदलेगा. परिमेय संख्याएँ भाग के लिए इस गुण का पालन नहीं करती हैं. उदाहरण के लिए, (a ÷ b) ÷ c, a ÷ (b ÷ c) के बराबर नहीं होता है.

🎯 Exam Tip: साहचर्य गुणधर्म को हमेशा ऑपरेशन के साथ याद रखें. योग और गुणन साहचर्य होते हैं, जबकि घटाव और भाग साहचर्य नहीं होते हैं.

Question 3. \(\frac {a}{b}\) का योज्य प्रतिलोम होगा
(a) \(\frac {a}{b}\)
(b) \(-\frac {a}{b}\)
(c) \(\frac {b}{a}\)
(d) axb
Answer: (b) \(-\frac {a}{b}\)
In simple words: योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है. इसलिए, किसी धनात्मक संख्या का योज्य प्रतिलोम एक ऋणात्मक संख्या होती है, और इसके विपरीत.

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम का मतलब केवल संख्या का चिन्ह बदलना है, मान नहीं.

Question 4. \(\frac {-11}{15} \times -\frac {-3}{7} = \frac {-3}{7} \times \frac {11}{15}\) के अन्तर्गत उपयोग किए गए गुणधर्म का नाम लिखिए
(a) गुणन क्रम विनिमेयता
(b) गुणनात्मक प्रतिलोम
(c) गुणन सहचारिता
Answer: (a) गुणन क्रम विनिमेयता
In simple words: क्रम विनिमेयता का मतलब है कि जब आप दो संख्याओं को गुणा करते हैं, तो उनका क्रम बदलने पर भी परिणाम वही रहता है. यहाँ, \(\frac{-11}{15} \times (-\frac{3}{7})\) और \((-\frac{3}{7}) \times \frac{-11}{15}\) का परिणाम समान है.

🎯 Exam Tip: क्रम विनिमेयता गुणधर्म याद रखें: योग और गुणन के लिए a + b = b + a और a × b = b × a होता है.

Question 6. वह परिमेय संख्या जिसका कोई व्युत्क्रम नहीं है,
(a) 0
(b) 1
(c) - 1
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 0
In simple words: व्युत्क्रम (या गुणात्मक प्रतिलोम) वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है. शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करने पर शून्य ही आता है, 1 नहीं. इसलिए, शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी संख्या का व्युत्क्रम, उस संख्या का उल्टा होता है (जैसे a का 1/a). शून्य का व्युत्क्रम परिभाषित नहीं है.

Question 7. वह परिमेय संख्या जो अपने व्युत्क्रम के बराबर
(a) 1, - 1
(b) 0
(c) \(\frac {1}{2}\)
(d) \(\frac {1}{10}\)
Answer: (a) 1, - 1
In simple words: व्युत्क्रम वह संख्या है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 मिलता है. संख्या 1 का व्युत्क्रम 1 है क्योंकि \(1 \times 1 = 1\). संख्या -1 का व्युत्क्रम -1 है क्योंकि \((-1) \times (-1) = 1\).

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम और योज्य प्रतिलोम के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें. व्युत्क्रम 1 देता है, योज्य प्रतिलोम 0 देता है.

Question 8. वह परिमेय संख्या जो अपने ऋणात्मक के बराबर
(a) 0
(b) 1
(c) - 1
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 0
In simple words: कोई संख्या जो अपने ही ऋणात्मक के बराबर हो, वह केवल शून्य (0) ही है. शून्य का ऋणात्मक भी शून्य ही होता है, क्योंकि इसमें कोई मान या चिन्ह नहीं होता है.

🎯 Exam Tip: शून्य ही एकमात्र संख्या है जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक, और यह अपने योज्य प्रतिलोम के बराबर होती है.

Question 9. \(3 \frac {1}{3}\) का गुणात्मक प्रतिलोम है।
(a) 3
(b) \( \frac {-1}{3} \)
(c) 0.3
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) 0.3
In simple words: पहले मिश्रित भिन्न \(3 \frac{1}{3}\) को सामान्य भिन्न में बदलें, जो \(\frac{10}{3}\) है. फिर इसका व्युत्क्रम (गुणात्मक प्रतिलोम) \(\frac{3}{10}\) होगा. इसे दशमलव में बदलने पर 0.3 मिलता है.

🎯 Exam Tip: गुणात्मक प्रतिलोम निकालने से पहले हमेशा मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें. गुणात्मक प्रतिलोम को 'व्युत्क्रम' भी कहते हैं.

Question 11. परिमेय संख्या -३ का योज्य प्रतिलोम है
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac {3}{5}\)
(d) \(\frac {-5}{3}\)
Answer: (c) \(\frac {3}{5}\)
In simple words: योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर परिणाम शून्य होता है. संख्या -3 का योज्य प्रतिलोम 3 होगा. यहाँ दिए गए विकल्पों में से 3 के बराबर कोई भी संख्या नहीं है. हालाँकि, विकल्प (c) को उत्तर के रूप में दिया गया है.

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम केवल संख्या के चिन्ह को बदलने से प्राप्त होता है. हमेशा ध्यान दें कि मूल संख्या और उसके योज्य प्रतिलोम का योग हमेशा शून्य होता है.

II. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question 1. परिमेय संख्याएँ व्यवकलन के अन्तर्गत ______
Answer: संवृत
In simple words: परिमेय संख्याएँ घटाने के नियम के अनुसार संवृत होती हैं, जिसका मतलब है कि दो परिमेय संख्याओं को घटाने पर हमेशा एक परिमेय संख्या ही प्राप्त होती है.

🎯 Exam Tip: संवृत का अर्थ है कि उस क्रिया को करने पर संख्या समूह के बाहर का परिणाम नहीं मिलता है. परिमेय संख्याएँ योग, घटाव और गुणन के लिए संवृत होती हैं.

Question 2. परिमेय संख्याओं के लिए ______ परिमेय संख्या योज्य तत्समक है।
Answer: 0
In simple words: योज्य तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या में जोड़ने पर वही संख्या वापस मिल जाती है. परिमेय संख्याओं के लिए, यह संख्या 0 है.

🎯 Exam Tip: योज्य तत्समक (0) और गुणनात्मक तत्समक (1) के बीच का अंतर याद रखें. दोनों संख्याओं को उनके संबंधित गुणों के लिए विशेष माना जाता है.

Question 3. \(\frac {3}{8} \times ...... = 1\)
Answer: \(\frac {8}{3}\)
In simple words: इस समीकरण में खाली स्थान में वह संख्या आएगी जो \(\frac{3}{8}\) का गुणनात्मक प्रतिलोम (या व्युत्क्रम) है, ताकि उनका गुणनफल 1 हो जाए.

🎯 Exam Tip: किसी भिन्न का गुणनात्मक प्रतिलोम प्राप्त करने के लिए, अंश को हर और हर को अंश में बदल दें. उनका गुणनफल हमेशा 1 होता है.

Question 4. दी हुई दो परिमेय संख्याओं के मध्य परिमेय संख्याएँ होती हैं।
Answer: अपरिमित
In simple words: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनगिनत (अपरिमित) परिमेय संख्याएँ होती हैं. आप कितनी भी छोटी से छोटी संख्याएँ खोज सकते हैं जो उन दो संख्याओं के बीच हों.

🎯 Exam Tip: यह गुणधर्म परिमेय संख्याओं की सघनता को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि संख्या रेखा पर वे बहुत करीब-करीब स्थित होती हैं.

Question 5. \(\frac { 1 }{ x } \) (जहाँ \( x \ne 0 \)) का व्युत्क्रम......होता है।
Answer: x
In simple words: किसी भी संख्या का व्युत्क्रम वह होता है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है. इसलिए, \(\frac{1}{x}\) का व्युत्क्रम x है, क्योंकि \(\frac{1}{x} \times x = 1\).

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम और गुणनात्मक प्रतिलोम एक ही चीज हैं. यह सुनिश्चित करें कि आप 'शून्य का व्युत्क्रम अपरिभाषित है' याद रखें.

III. सत्य/असत्य

Question 1. \( -1\frac{1}{8} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\frac{8}{9}\) है।
Answer: असत्य
In simple words: \( -1\frac{1}{8} \) को हम \( -\frac{9}{8} \) लिख सकते हैं. इसका गुणात्मक प्रतिलोम \( -\frac{8}{9} \) होगा, न कि \(\frac{8}{9}\). गुणात्मक प्रतिलोम में संख्या का चिन्ह वही रहता है.

🎯 Exam Tip: गुणात्मक प्रतिलोम निकालते समय मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलना और चिन्ह को बनाए रखना बहुत महत्वपूर्ण है.

Question 2. \(\frac{-7}{19}\) का योज्य व्युत्क्रमक \(\frac{7}{19}\) है।
Answer: सत्य
In simple words: योज्य व्युत्क्रमक वह संख्या है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर परिणाम शून्य (0) आता है. \(\frac{-7}{19}\) में \(\frac{7}{19}\) जोड़ने पर \( \frac{-7+7}{19} = \frac{0}{19} = 0 \) आता है.

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम में संख्या का मान वही रहता है, केवल उसका चिन्ह बदल जाता है.

Question 3. परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है।
Answer: सत्य
In simple words: हाँ, किसी भी परिमेय संख्या को संख्या रेखा पर एक विशेष बिंदु के रूप में दिखाया जा सकता है. यह संख्याएं पूर्णांकों और भिन्न दोनों को शामिल करती हैं, जो संख्या रेखा पर एक स्थान लेती हैं.

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को निरूपित करने के लिए, उन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त करना और फिर पूर्णांकों के बीच उचित विभाजन करना सीखें.

Question 4. दो परिमेय संख्याओं a और b के बीच की परिमेय संख्या \(\frac{a+b}{2}\) होगी।
Answer: सत्य
In simple words: दो संख्याओं के बीच की परिमेय संख्या निकालने का एक तरीका है उन दोनों को जोड़कर 2 से भाग देना. यह उन दोनों संख्याओं का ठीक बीच का मान देता है, जिसे हम माध्य भी कहते हैं.

🎯 Exam Tip: यह दो परिमेय संख्याओं के बीच की एक परिमेय संख्या ज्ञात करने की सबसे सरल विधि है. ध्यान रखें कि दो संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं.

Question 5. प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
Answer: सत्य
In simple words: प्राकृतिक संख्याएँ (जैसे 1, 2, 3...) वे संख्याएँ हैं जिन्हें गिनने के लिए उपयोग किया जाता है. हर प्राकृतिक संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(q=1\) होता है (जैसे \(1 = \frac{1}{1}\)), इसलिए सभी प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं.

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्या की परिभाषा याद रखें (\(\frac{p}{q}\) के रूप में, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और \(q \ne 0\)). इस परिभाषा से, आप विभिन्न प्रकार की संख्याओं को परिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत कर सकते हैं.

V. अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. क्या 12 का \(1\frac {2}{3}\) गुणनात्मक प्रतिलोम 0.6 है? क्यों अथवा क्यों नहीं
Answer: हाँ, \(1\frac {2}{3}\) का गुणात्मक प्रतिलोम 0.6 है.
पहले \(1\frac {2}{3}\) को भिन्न के रूप में बदलेंगे:
\(1\frac {2}{3} = \frac {1\times3+2}{3} = \frac {3+2}{3} = \frac {5}{3}\)
अब, इसका गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करेंगे:
गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac {1}{\frac{5}{3}} = \frac {3}{5}\)
दशमलव रूप में \(\frac {3}{5} = 0.6\)
In simple words: हाँ, \(1\frac{2}{3}\) का उल्टा 0.6 है. \(1\frac{2}{3}\) का मतलब \(\frac{5}{3}\) है. इसका उल्टा \(\frac{3}{5}\) होगा, जिसे दशमलव में 0.6 लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: गुणात्मक प्रतिलोम की जांच करने के लिए, मूल संख्या और उसके प्रतिलोम को गुणा करें. यदि परिणाम 1 आता है, तो आपका उत्तर सही है.

Question 2. परिमेय संख्या किसे कहते हैं ?
Answer: कोई भी संख्या जिसे \(\frac {p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक होते हैं और q शून्य (\(q \ne 0\)) के बराबर नहीं होता है, वह परिमेय संख्या कहलाती है. उदाहरण के लिए, \( \frac{1}{2}, \frac{-3}{4}, 5 (\text{जो } \frac{5}{1} \text{ है}) \) आदि परिमेय संख्याएँ हैं.
In simple words: परिमेय संख्या वह होती है जिसे भिन्न (जैसे \(\frac{1}{2}\) या \(\frac{3}{4}\)) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ ऊपर और नीचे की संख्याएँ पूरी संख्याएँ होती हैं और नीचे की संख्या शून्य नहीं होती.

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्या की परिभाषा को याद रखें, खासकर \(q \ne 0\) की शर्त को. यह शर्त बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि शून्य से भाग करना अपरिभाषित है.

Question 3. परिमेय संख्याओं के लिए गुणनात्मक तत्समक क्या है?
Answer: परिमेय संख्याओं के लिए गुणनात्मक तत्समक 1 है. गुणनात्मक तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या से गुणा करने पर वही संख्या वापस मिल जाती है. किसी भी परिमेय संख्या 'a' के लिए, \(a \times 1 = a\) और \(1 \times a = a\) होता है.
In simple words: परिमेय संख्याओं के लिए गुणनात्मक तत्समक 1 होता है. इसका मतलब है कि किसी भी परिमेय संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है.

🎯 Exam Tip: गुणनात्मक तत्समक (1) और योज्य तत्समक (0) में भ्रमित न हों. दोनों के कार्य अलग-अलग होते हैं.

Question 4. \(\frac {-2}{3} \times \frac {4}{5}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: मान ज्ञात करने के लिए, हम अंशों को आपस में गुणा करते हैं और हरों को आपस में गुणा करते हैं.
\( \frac {-2}{3} \times \frac {4}{5} = \frac {-2\times4}{3\times5} \)
\( = \frac {-8}{15} \)
अतः, गुणनफल \(\frac {-8}{15}\) है.
In simple words: \(\frac {-2}{3}\) और \(\frac {4}{5}\) को गुणा करने के लिए, ऊपर वाली संख्याओं (-2 और 4) को गुणा करें और नीचे वाली संख्याओं (3 और 5) को गुणा करें. फिर जो भिन्न मिलेगी, वही उत्तर होगा.

🎯 Exam Tip: भिन्न को गुणा करते समय, अंशों को अंश से और हरों को हर से गुणा करना सीधा नियम है. यदि संभव हो तो गुणा करने से पहले संख्याओं को सरल करें.

VI. लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. सत्यापित कीजिए कि \( -(-x) = x \) जब:
(i) \( x = \frac {13}{17} \)
(ii) \( x = \frac {-21}{31} \)
Answer:
(i) \( x = \frac {13}{17} \)
पहले \( -x \) का मान ज्ञात करें:
\( -x = -\frac {13}{17} \)
अब, \( -(-x) \) का मान ज्ञात करें:
\( -(-x) = -(-\frac {13}{17}) = \frac {13}{17} \)
चूंकि \( \frac {13}{17} = x \) है, इसलिए \( -(-x) = x \) सत्यापित होता है.

(ii) \( x = \frac {-21}{31} \)
पहले \( -x \) का मान ज्ञात करें:
\( -x = -(\frac {-21}{31}) = \frac {21}{31} \)
अब, \( -(-x) \) का मान ज्ञात करें:
\( -(-x) = -(\frac {21}{31}) = \frac {-21}{31} \)
चूंकि \( \frac {-21}{31} = x \) है, इसलिए \( -(-x) = x \) सत्यापित होता है.
In simple words: किसी संख्या के ऋणात्मक का ऋणात्मक वही संख्या होती है. जैसे, यदि \(x\) एक संख्या है, तो \(-x\) उसका ऋणात्मक है, और \(-(-x)\) फिर से \(x\) के बराबर हो जाएगा. यह दो बार घटाने जैसा है, जिससे मूल संख्या वापस मिल जाती है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सत्यापन प्रश्नों में, \( -x \) का मान पहले निकालना और फिर उसका फिर से ऋणात्मक करना सुनिश्चित करें, जिससे कोई गलती न हो.

Question 2. -2 से बड़ी पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।
Answer: -2 से बड़ी पाँच परिमेय संख्याएँ हैं: -1, 0, 1, 2 और 3.
संख्या रेखा पर, जो संख्याएँ -2 के दाईं ओर होती हैं, वे -2 से बड़ी होती हैं. इन संख्याओं को किसी भी भिन्न रूप में भी लिखा जा सकता है, जैसे \( \frac{-1}{1}, \frac{0}{1}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{6}{2} \).
In simple words: -2 से बड़ी कोई भी पाँच संख्याएँ लिखनी हैं. आप -1, 0, 1, 2, 3 जैसी पूर्णांक संख्याएँ चुन सकते हैं, या आप \(\frac{-1}{2}\), \(\frac{1}{2}\) जैसी भिन्न भी लिख सकते हैं, क्योंकि वे सभी -2 से बड़ी हैं.

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर किसी संख्या से बड़ी संख्याएँ उसके दाईं ओर होती हैं, और छोटी संख्याएँ उसके बाईं ओर होती हैं. अनेक सही उत्तर संभव हैं, इसलिए कोई भी पांच परिमेय संख्याएँ लिखें जो -2 से अधिक हों.

Question 3. \(\frac {-2}{11}, \frac {-5}{11}, \frac {-9}{11}\) को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।
Answer: इन परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए, हमें 0 से -1 के बीच के हिस्से को 11 बराबर भागों में बांटना होगा, क्योंकि इन सभी भिन्नों का हर 11 है और वे सभी 0 से छोटी हैं.
0 से बाईं ओर 2 भाग चलने पर बिंदु A प्राप्त होगा जो \(\frac {-2}{11}\) को निरूपित करेगा.
0 से बाईं ओर 5 भाग चलने पर बिंदु B प्राप्त होगा जो \(\frac {-5}{11}\) को निरूपित करेगा.
0 से बाईं ओर 9 भाग चलने पर बिंदु C प्राप्त होगा जो \(\frac {-9}{11}\) को निरूपित करेगा.

In simple words: ये सभी भिन्न ऋणात्मक हैं और 0 और -1 के बीच आती हैं. संख्या रेखा पर 0 और -1 के बीच 11 छोटे-छोटे बराबर हिस्से करें. फिर, \(-\frac{2}{11}\) के लिए 0 से बाईं ओर 2 भाग गिनें, \(-\frac{5}{11}\) के लिए 5 भाग और \(-\frac{9}{11}\) के लिए 9 भाग गिनें.

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर भिन्न को निरूपित करते समय, हर को देखें कि कितने भागों में बांटना है, और अंश को देखें कि कितने भाग चलना है. ऋणात्मक संख्याओं के लिए हमेशा 0 से बाईं ओर बढ़ें.

Question 4. \(\frac {-5}{6}\) और \(\frac {5}{8}\) के बीच 10 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों को समान करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) ज्ञात करेंगे. 6 और 8 का ल.स. 24 है.
\( \frac {-5}{6} = \frac {-5 \times 4}{6 \times 4} = \frac {-20}{24} \)
\( \frac {5}{8} = \frac {5 \times 3}{8 \times 3} = \frac {15}{24} \)
अब, \(\frac {-20}{24}\) और \(\frac {15}{24}\) के बीच 10 परिमेय संख्याएँ निम्न हैं:
\( \frac {-19}{24}, \frac {-18}{24}, \frac {-17}{24}, \frac {-16}{24}, \frac {-15}{24}, \frac {-14}{24}, \frac {-13}{24}, \frac {-12}{24}, \frac {-11}{24}, \frac {-10}{24} \)
यदि हमें अधिक संख्याएँ चाहिए होतीं, तो हम अंश और हर को किसी बड़ी संख्या से गुणा करते.
In simple words: पहले दोनों भिन्नों के नीचे की संख्याओं को एक जैसा (24) बनाओ. फिर, \(\frac{-20}{24}\) और \(\frac{15}{24}\) के बीच की कोई भी 10 संख्याएँ लिखो, जैसे \(\frac{-19}{24}, \frac{-18}{24}\) और इसी तरह.

🎯 Exam Tip: जब दो भिन्नों के बीच कई परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हों, तो पहले हरों का ल.स. लेकर उन्हें समान हर वाले भिन्न में बदलें. यदि आवश्यक संख्याओं के लिए पर्याप्त अंतर न मिले, तो अंश और हर दोनों को एक ही बड़ी संख्या (जैसे 10) से गुणा करें.

Question 5. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल \(\frac {-28 }{ 81 }\) है। यदि एक संख्या \(\frac {14}{27}\) है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि दूसरी परिमेय संख्या y है.
प्रश्नानुसार, दोनों संख्याओं का गुणनफल है:
\( \frac {14}{27} \times y = \frac {-28}{81} \)
दूसरी संख्या y ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल को पहली संख्या से भाग देंगे:
\( y = \frac {-28}{81} \div \frac {14}{27} \)
भाग करने के लिए, हम भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं:
\( y = \frac {-28}{81} \times \frac {27}{14} \)
अब संख्याओं को सरल करेंगे:
\( y = \frac {-28 \times 27}{81 \times 14} \)
\( y = \frac {- (2 \times 14) \times 27}{(3 \times 27) \times 14} \)
\( y = \frac {-2 \times 14 \times 27}{3 \times 27 \times 14} \)
\( y = \frac {-2}{3} \)
अतः, दूसरी संख्या \(\frac {-2}{3}\) है.
In simple words: हमें दो संख्याओं का गुणा पता है और उनमें से एक संख्या पता है. दूसरी संख्या निकालने के लिए, गुणनफल को दी गई संख्या से भाग दे दें. भाग करने का मतलब है कि दी गई संख्या के उल्टे (व्युत्क्रम) से गुणा करना.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, अज्ञात संख्या को 'x' या 'y' मानें और समीकरण बनाएं. भाग को गुणा में बदलने के लिए व्युत्क्रम का उपयोग करना न भूलें, और गुणा करने से पहले संख्याओं को सरल करें.

Question 6. यदि 24 पायजामे समान आमाप वाले 54 मीटर कपड़े में तैयार हो जाते हैं, तो प्रत्येक पायजामे के लिए कितने मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी?
Answer: कुल कपड़े की लंबाई = 54 मीटर
बनाए गए पायजामों की संख्या = 24
प्रत्येक पायजामे के लिए आवश्यक कपड़ा ज्ञात करने के लिए, हम कुल कपड़े की लंबाई को पायजामों की संख्या से भाग देंगे:
प्रत्येक पायजामे के लिए आवश्यक कपड़ा \( = \frac {54 \text{ मीटर}}{24} \)
\( = \frac {54}{24} \)
अब इस भिन्न को सरल करेंगे. 54 और 24 दोनों 6 से विभाज्य हैं:
\( = \frac {54 \div 6}{24 \div 6} = \frac {9}{4} \)
इस भिन्न को दशमलव में भी बदला जा सकता है:
\( \frac {9}{4} = 2.25 \)
अतः, प्रत्येक पायजामे के लिए \(\frac {9}{4}\) मीटर या 2.25 मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी.
In simple words: 54 मीटर कपड़े में 24 पायजामे बनते हैं. एक पायजामे के लिए कितना कपड़ा चाहिए, यह जानने के लिए, कुल कपड़े को पायजामों की संख्या से भाग दें.

🎯 Exam Tip: ऐसे साधारण भाग के प्रश्नों में, उत्तर को हमेशा सरलतम भिन्न रूप में या दशमलव रूप में लिखें, जैसा प्रश्न में पूछा गया हो या आमतौर पर अपेक्षित हो.

Question 7. मान ज्ञात कीजिए \(\frac {5}{2} + \frac {21}{10} + \frac {(-6)}{15}\)
Answer: मान ज्ञात करने के लिए, हम भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) लेंगे. 2, 10 और 15 का ल.स. 30 है.
अब प्रत्येक भिन्न को समान हर (30) वाली भिन्न में बदलेंगे:
\( \frac {5}{2} = \frac {5 \times 15}{2 \times 15} = \frac {75}{30} \)
\( \frac {21}{10} = \frac {21 \times 3}{10 \times 3} = \frac {63}{30} \)
\( \frac {-6}{15} = \frac {-6 \times 2}{15 \times 2} = \frac {-12}{30} \)
अब इन्हें जोड़ेंगे:
\( \frac {75}{30} + \frac {63}{30} + \frac {-12}{30} \)
\( = \frac {75 + 63 + (-12)}{30} \)
\( = \frac {138 - 12}{30} \)
\( = \frac {126}{30} \)
अब इस भिन्न को सरल करेंगे. 126 और 30 दोनों 6 से विभाज्य हैं:
\( = \frac {126 \div 6}{30 \div 6} = \frac {21}{5} \)
अतः, मान \(\frac {21}{5}\) या 4.2 है.
In simple words: इस सवाल में तीन भिन्नों को जोड़ना है. पहले उनके नीचे की संख्या (हर) को एक जैसा बनाने के लिए सबसे छोटी एक ही संख्या (ल.स.) ढूंढो. फिर सभी भिन्नों को उस नए हर में बदलो और ऊपर की संख्याओं (अंश) को जोड़ दो. आखिर में, यदि संभव हो, तो भिन्न को सरल बना दो.

🎯 Exam Tip: भिन्न के योग और घटाव के लिए हमेशा पहले हरों का ल.स. निकालें. ध्यान रखें कि ऋणात्मक चिन्हों को सही ढंग से संभाला जाए, खासकर जब जोड़ने या घटाने की प्रक्रिया हो.

Question 8. संख्या \(\frac {3}{-14}\) को किस संख्या से गुणा किया जाए कि गुणनफल \(\frac {5}{12}\) हो?
Answer: माना कि वह अभीष्ट संख्या x है.
प्रश्न के अनुसार, \(\frac {3}{-14}\) को x से गुणा करने पर गुणनफल \(\frac {5}{12}\) प्राप्त होता है:
\( \frac {3}{-14} \times x = \frac {5}{12} \)
x का मान ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल को \(\frac {3}{-14}\) से भाग देंगे:
\( x = \frac {5}{12} \div \frac {3}{-14} \)
भिन्न से भाग करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं:
\( x = \frac {5}{12} \times \frac {-14}{3} \)
अब अंशों को गुणा करेंगे और हरों को गुणा करेंगे:
\( x = \frac {5 \times (-14)}{12 \times 3} \)
\( x = \frac {-70}{36} \)
इस भिन्न को सरल करेंगे. 70 और 36 दोनों 2 से विभाज्य हैं:
\( x = \frac {-70 \div 2}{36 \div 2} = \frac {-35}{18} \)
अतः, अभीष्ट संख्या \(\frac {-35}{18}\) है.
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि \(\frac{3}{-14}\) को किस संख्या से गुणा करें ताकि उत्तर \(\frac{5}{12}\) आए. इसके लिए, \(\frac{5}{12}\) को \(\frac{3}{-14}\) से भाग दे दो. भाग देने का मतलब है कि दूसरे भिन्न के उल्टे से गुणा करना.

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक चिन्हों को सही ढंग से ट्रैक करें. भिन्न से भाग करते समय, भाजक का व्युत्क्रम करना और फिर गुणा करना याद रखें.

Question 9. \(\frac {9}{14}\) तथा \(\frac {23}{14}\) के योग में से \(\frac {5}{14}\) तथा \(\frac {-4}{7}\) के योग को घटाइए।
Answer: पहले \(\frac {9}{14}\) तथा \(\frac {23}{14}\) का योग ज्ञात करेंगे:
\( \text{पहला योग} = \frac {9}{14} + \frac {23}{14} = \frac {9+23}{14} = \frac {32}{14} \)
अब \(\frac {5}{14}\) तथा \(\frac {-4}{7}\) का योग ज्ञात करेंगे. इसके लिए, \(\frac {-4}{7}\) को हर 14 वाली भिन्न में बदलेंगे:
\( \frac {-4}{7} = \frac {-4 \times 2}{7 \times 2} = \frac {-8}{14} \)
\( \text{दूसरा योग} = \frac {5}{14} + \frac {-8}{14} = \frac {5+(-8)}{14} = \frac {5-8}{14} = \frac {-3}{14} \)
अब पहले योग में से दूसरे योग को घटाएँगे:
\( \text{आवश्यक मान} = \frac {32}{14} - (\frac {-3}{14}) \)
\( = \frac {32}{14} + \frac {3}{14} \)
\( = \frac {32+3}{14} = \frac {35}{14} \)
इसे सरल करने पर:
\( = \frac {35 \div 7}{14 \div 7} = \frac {5}{2} \)
अतः, आवश्यक मान \(\frac {5}{2}\) है.
In simple words: पहले, पहली दो भिन्नों को जोड़ो. फिर, अगली दो भिन्नों को जोड़ो. जब दोनों जोड़ मिल जाएं, तो पहले जोड़ में से दूसरा जोड़ घटा दो. याद रहे कि घटाने से पहले सभी भिन्नों के नीचे की संख्याएँ (हर) एक जैसी होनी चाहिए.

🎯 Exam Tip: इस तरह के बहु-चरण प्रश्नों को हल करते समय, प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें. ऋणात्मक संख्याओं को घटाते समय चिन्ह बदलने का विशेष ध्यान रखें (जैसे \( -(-x) = +x \)).

Question 10. मान ज्ञात कीजिए \(3\frac{1}{2}+(-1\frac{1}{2})-(-\frac{4}{3})+(\frac{2}{5})\)
Answer: दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, पहले सभी मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्न में बदलें और फिर हरों का ल.स. लें.
\(3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}\)
\( -1\frac{1}{2} = -(\frac{1 \times 2 + 1}{2}) = -\frac{3}{2} \)
व्यंजक बन जाता है:
\( \frac{7}{2} + (-\frac{3}{2}) - (-\frac{4}{3}) + (\frac{2}{5}) \)
\( = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \)
हरों 2, 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) 30 है.
प्रत्येक भिन्न को 30 के हर के साथ लिखें:
\( \frac{7}{2} = \frac{7 \times 15}{2 \times 15} = \frac{105}{30} \)
\( -\frac{3}{2} = -\frac{3 \times 15}{2 \times 15} = -\frac{45}{30} \)
\( \frac{4}{3} = \frac{4 \times 10}{3 \times 10} = \frac{40}{30} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30} \)
अब सभी भिन्नों को एक साथ जोड़ें:
\( = \frac{105}{30} - \frac{45}{30} + \frac{40}{30} + \frac{12}{30} \)
\( = \frac{105 - 45 + 40 + 12}{30} \)
\( = \frac{60 + 40 + 12}{30} \)
\( = \frac{100 + 12}{30} \)
\( = \frac{112}{30} \)
इस भिन्न को सरल करेंगे. 112 और 30 दोनों 2 से विभाज्य हैं:
\( = \frac{112 \div 2}{30 \div 2} = \frac{56}{15} \)
अतः, व्यंजक का मान \(\frac{56}{15}\) है. इसे दशमलव में भी लिख सकते हैं, जो लगभग 3.73 होता है.
In simple words: पहले सभी मिश्रित भिन्नों को सामान्य भिन्न में बदलो. फिर सभी भिन्नों के नीचे की संख्याओं (हरों) का एक ही सबसे छोटा गुणांक (ल.स.) निकालो. अब सभी भिन्नों को नए हर में बदलो और फिर उनके ऊपर की संख्याओं (अंशों) को जोड़ो या घटाओ, चिन्हों का ध्यान रखते हुए. अंत में, उत्तर को सरलतम रूप में लिखो.

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को हल करते समय उन्हें पहले अनुचित भिन्न में बदलना महत्वपूर्ण है. ऋणात्मक चिन्हों और घटाव के नियमों को सही ढंग से लागू करें (\( -(-x) = +x \)). हमेशा हरों का ल.स. लेकर ही भिन्नों को जोड़ें या घटाएँ.