RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 1 परिमेय संख्याएँ More Ques

करो और सीखो

 

Question 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { -11 }{ 7 } + \frac { 4 }{ 7 } \)
(ii) \( \frac { 3 }{ 5 } + (\frac { -2 }{ 5 }) \)
(iii) \( \frac { -3 }{ 4 } + (\frac { -5 }{ 4 }) \)
Answer:
यहां दिए गए भिन्नों का मान ज्ञात करना है। इसमें हर समान होने के कारण अंशों को सीधा जोड़ा या घटाया जाता है।
(i) \( \frac { -11 }{ 7 } + \frac { 4 }{ 7 } = \frac { -11+4 }{ 7 } = \frac { -7 }{ 7 } = -1 \)
(ii) \( \frac { 3 }{ 5 } + (\frac { -2 }{ 5 }) = \frac { 3+(-2) }{ 5 } = \frac { 1 }{ 5 } \)
(iii) \( \frac { -3 }{ 4 } + (\frac { -5 }{ 4 }) = \frac { -3-5 }{ 4 } = \frac { -8 }{ 4 } = -2 \)
In simple words: जब भिन्न के हर समान होते हैं, तो हम केवल अंशों को जोड़ते या घटाते हैं और हर को वही रखते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि हर समान हों। यदि हर समान नहीं हैं, तो उन्हें पहले समान बनाएँ।

 

Question 2. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 2 }{ 5 } + \frac { 1 }{ 6 } \)
(ii) \( \frac { 3 }{ 8 } + (\frac { -5 }{ 2 }) \)
(iii) \( \frac { -7 }{ 20 } + \frac { 7 }{ 3 } \)
(iv) \( \frac { -5 }{ 7 } + (\frac { -2 }{ 4 }) \)
Answer:
यहां हमें भिन्नों का योग ज्ञात करना है। इसके लिए हम पहले हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं और फिर भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों में बदलते हैं।
(i) \( \frac { 2 }{ 5 } + \frac { 1 }{ 6 } \)
\( 5 \) और \( 6 \) का LCM \( 30 \) है।
\( \frac { 2 }{ 5 } = \frac { 2 \times 6 }{ 5 \times 6 } = \frac { 12 }{ 30 } \)
\( \frac { 1 }{ 6 } = \frac { 1 \times 5 }{ 6 \times 5 } = \frac { 5 }{ 30 } \)
\( \implies \frac { 12 }{ 30 } + \frac { 5 }{ 30 } = \frac { 12+5 }{ 30 } = \frac { 17 }{ 30 } \)
(ii) \( \frac { 3 }{ 8 } + (\frac { -5 }{ 2 }) \)
\( 8 \) और \( 2 \) का LCM \( 8 \) है।
\( \frac { -5 }{ 2 } = \frac { -5 \times 4 }{ 2 \times 4 } = \frac { -20 }{ 8 } \)
\( \implies \frac { 3 }{ 8 } + \frac { -20 }{ 8 } = \frac { 3-20 }{ 8 } = \frac { -17 }{ 8 } \)
(iii) \( \frac { -7 }{ 20 } + \frac { 7 }{ 3 } \)
\( 20 \) और \( 3 \) का LCM \( 60 \) है।
\( \frac { -7 }{ 20 } = \frac { -7 \times 3 }{ 20 \times 3 } = \frac { -21 }{ 60 } \)
\( \frac { 7 }{ 3 } = \frac { 7 \times 20 }{ 3 \times 20 } = \frac { 140 }{ 60 } \)
\( \implies \frac { -21 }{ 60 } + \frac { 140 }{ 60 } = \frac { -21+140 }{ 60 } = \frac { 119 }{ 60 } \)
(iv) \( \frac { -5 }{ 7 } + (\frac { -2 }{ 4 }) \)
\( 7 \) और \( 4 \) का LCM \( 28 \) है।
\( \frac { -5 }{ 7 } = \frac { -5 \times 4 }{ 7 \times 4 } = \frac { -20 }{ 28 } \)
\( \frac { -2 }{ 4 } = \frac { -2 \times 7 }{ 4 \times 7 } = \frac { -14 }{ 28 } \)
\( \implies \frac { -20 }{ 28 } + \frac { -14 }{ 28 } = \frac { -20-14 }{ 28 } = \frac { -34 }{ 28 } = \frac { -17 }{ 14 } \)
In simple words: अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, पहले उनके हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। फिर प्रत्येक भिन्न को उस LCM के साथ एक नया हर दें और अंशों को जोड़ें या घटाएँ।

🎯 Exam Tip: जब भिन्नों के हर अलग-अलग हों, तो उनका योग या अंतर निकालने से पहले हमेशा समान हर बनाने के लिए LCM का उपयोग करें। यदि संभव हो, तो अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

करो और सीखो

 

Question 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 10 }{ 7 } - \frac { 4 }{ 7 } \)
(ii) \( \frac { -4 }{ 5 } - (\frac { -2 }{ 5 }) \)
(iii) \( \frac { 7 }{ 9 } - (\frac { -4 }{ 9 }) \)
Answer:
यह एक घटाने की समस्या है जहाँ हर समान हैं। हम सीधे अंशों को घटाते हैं और माइनस-माइनस प्लस के नियम का ध्यान रखते हैं।
(i) \( \frac { 10 }{ 7 } - \frac { 4 }{ 7 } = \frac { 10-4 }{ 7 } = \frac { 6 }{ 7 } \)
(ii) \( \frac { -4 }{ 5 } - (\frac { -2 }{ 5 }) = \frac { -4+2 }{ 5 } = \frac { -2 }{ 5 } \)
(iii) \( \frac { 7 }{ 9 } - (\frac { -4 }{ 9 }) = \frac { 7+4 }{ 9 } = \frac { 11 }{ 9 } \)
In simple words: जब हर समान हों, तो अंशों को सीधा घटा दें। यदि एक नकारात्मक संख्या को घटाया जाए, तो वह सकारात्मक हो जाती है (माइनस-माइनस प्लस)।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक संख्याओं को घटाते समय चिह्नों का ध्यान रखें। \( a - (-b) \) हमेशा \( a + b \) होता है।

 

Question 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 4 }{ 3 } - \frac { 3 }{ 8 } \)
(ii) \( (\frac { -3 }{ 7 }) - \frac { 2 }{ 14 } \)
(iii) \( \frac { 5 }{ 9 } - (\frac { -2 }{ 11 }) \)
(iv) \( (\frac { -2 }{ 9 }) - \frac { 7 }{ 6 } \)
Answer:
यहां हमें भिन्नों को घटाना है। हर अलग-अलग होने के कारण, हम पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं।
(i) \( \frac { 4 }{ 3 } - \frac { 3 }{ 8 } \)
\( 3 \) और \( 8 \) का LCM \( 24 \) है।
\( \frac { 4 }{ 3 } = \frac { 4 \times 8 }{ 3 \times 8 } = \frac { 32 }{ 24 } \)
\( \frac { 3 }{ 8 } = \frac { 3 \times 3 }{ 8 \times 3 } = \frac { 9 }{ 24 } \)
\( \implies \frac { 32 }{ 24 } - \frac { 9 }{ 24 } = \frac { 32-9 }{ 24 } = \frac { 23 }{ 24 } \)
(ii) \( (\frac { -3 }{ 7 }) - \frac { 2 }{ 14 } \)
\( 7 \) और \( 14 \) का LCM \( 14 \) है।
\( \frac { -3 }{ 7 } = \frac { -3 \times 2 }{ 7 \times 2 } = \frac { -6 }{ 14 } \)
\( \implies \frac { -6 }{ 14 } - \frac { 2 }{ 14 } = \frac { -6-2 }{ 14 } = \frac { -8 }{ 14 } = \frac { -4 }{ 7 } \)
(iii) \( \frac { 5 }{ 9 } - (\frac { -2 }{ 11 }) \)
\( 9 \) और \( 11 \) का LCM \( 99 \) है।
\( \frac { 5 }{ 9 } = \frac { 5 \times 11 }{ 9 \times 11 } = \frac { 55 }{ 99 } \)
\( \frac { -2 }{ 11 } = \frac { -2 \times 9 }{ 11 \times 9 } = \frac { -18 }{ 99 } \)
\( \implies \frac { 55 }{ 99 } - (\frac { -18 }{ 99 }) = \frac { 55+18 }{ 99 } = \frac { 73 }{ 99 } \)
(iv) \( (\frac { -2 }{ 9 }) - \frac { 7 }{ 6 } \)
\( 9 \) और \( 6 \) का LCM \( 18 \) है।
\( \frac { -2 }{ 9 } = \frac { -2 \times 2 }{ 9 \times 2 } = \frac { -4 }{ 18 } \)
\( \frac { 7 }{ 6 } = \frac { 7 \times 3 }{ 6 \times 3 } = \frac { 21 }{ 18 } \)
\( \implies \frac { -4 }{ 18 } - \frac { 21 }{ 18 } = \frac { -4-21 }{ 18 } = \frac { -25 }{ 18 } \)
In simple words: अलग-अलग हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, पहले LCM से हरों को समान बनाएँ। फिर अंशों को घटाएँ और चिह्नों का ध्यान रखें, खासकर जब नकारात्मक संख्याएँ शामिल हों।

🎯 Exam Tip: हरों को समान करने के बाद, भिन्नों को घटाते समय सही अंशों का उपयोग करना सुनिश्चित करें। उत्तर को हमेशा सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।

करो और सीखो

 

Question 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( 4 \times (\frac { -1 }{ 3 }) \)
(ii) \( (\frac { -3 }{ 5 }) \times 7 \)
(iii) \( (\frac { -4 }{ 5 }) \times (-3) \)
(iv) \( (\frac { -3 }{ 7 }) \times \frac { 2 }{ 5 } \)
(v) \( \frac { 2 }{ 3 } - (\frac { -1 }{ 4 }) \)
(vi) \( (\frac { -3 }{ 2 }) \times (\frac { -9 }{ 7 }) \)
Answer:
यहां हमें दिए गए भिन्नों का गुणा या घटाव करना है। गुणा करते समय अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करते हैं।
(i) \( 4 \times (\frac { -1 }{ 3 }) = \frac { 4 \times (-1) }{ 3 } = \frac { -4 }{ 3 } \)
(ii) \( (\frac { -3 }{ 5 }) \times 7 = \frac { (-3) \times 7 }{ 5 \times 1 } = \frac { -21 }{ 5 } \)
(iii) \( (\frac { -4 }{ 5 }) \times (-3) = \frac { (-4) \times (-3) }{ 5 \times 1 } = \frac { 12 }{ 5 } \)
(iv) \( (\frac { -3 }{ 7 }) \times \frac { 2 }{ 5 } = \frac { (-3) \times 2 }{ 7 \times 5 } = \frac { -6 }{ 35 } \)
(v) \( \frac { 2 }{ 3 } - (\frac { -1 }{ 4 }) = \frac { 2 }{ 3 } + \frac { 1 }{ 4 } \)
\( 3 \) और \( 4 \) का LCM \( 12 \) है।
\( \frac { 2 }{ 3 } = \frac { 2 \times 4 }{ 3 \times 4 } = \frac { 8 }{ 12 } \)
\( \frac { 1 }{ 4 } = \frac { 1 \times 3 }{ 4 \times 3 } = \frac { 3 }{ 12 } \)
\( \implies \frac { 8 }{ 12 } + \frac { 3 }{ 12 } = \frac { 8+3 }{ 12 } = \frac { 11 }{ 12 } \)
(vi) \( (\frac { -3 }{ 2 }) \times (\frac { -9 }{ 7 }) = \frac { (-3) \times (-9) }{ 2 \times 7 } = \frac { 27 }{ 14 } \)
In simple words: भिन्नों को गुणा करने के लिए, अंशों को एक साथ गुणा करें और हरों को एक साथ गुणा करें। नकारात्मक चिह्नों को सही ढंग से संभालें (माइनस गुणा माइनस प्लस होता है)। घटाव के लिए LCM का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को गुणा करते समय, न्यूमरेटर को न्यूमरेटर से और डिनोमिनेटर को डिनोमिनेटर से गुणा करें। ध्यान रखें कि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है।

 

Question 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { -7 }{ 2 } \div 4 \)
(ii) \( \frac { -12 }{ 7 } \div \frac { 3 }{ 4 } \)
(iii) \( \frac { 5 }{ 9 } \div (\frac { -4 }{ 5 }) \)
Answer:
भाग की समस्याओं को हल करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है।
(i) \( \frac { -7 }{ 2 } \div 4 = \frac { -7 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 4 } = \frac { (-7) \times 1 }{ 2 \times 4 } = \frac { -7 }{ 8 } \)
(ii) \( \frac { -12 }{ 7 } \div \frac { 3 }{ 4 } = \frac { -12 }{ 7 } \times \frac { 4 }{ 3 } = \frac { (-12) \times 4 }{ 7 \times 3 } = \frac { -48 }{ 21 } = \frac { -16 }{ 7 } \)
(iii) \( \frac { 5 }{ 9 } \div (\frac { -4 }{ 5 }) = \frac { 5 }{ 9 } \times (\frac { 5 }{ -4 }) = \frac { 5 \times 5 }{ 9 \times (-4) } = \frac { 25 }{ -36 } = \frac { -25 }{ 36 } \)
In simple words: किसी संख्या से भाग देने का मतलब उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है। व्युत्क्रम संख्या का अंश और हर उलट जाता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को भाग करते समय, हमेशा भाजक के व्युत्क्रम का उपयोग करके गुणा करें। सुनिश्चित करें कि आप चिह्नों को सही ढंग से संभालते हैं।

 

Question 1. कुछ अन्य उदाहरण देखिए।
Answer:
किसी परिमेय संख्या को उसी परिमेय संख्या से भाग देने पर, भागफल हमेशा \( 1 \) होता है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
उदाहरण 1: \( \frac { 2 }{ 3 } \div \frac { 2 }{ 3 } = \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 2 } = 1 \)
उदाहरण 2: \( \frac { -3 }{ 8 } \div (\frac { -3 }{ 8 }) = \frac { -3 }{ 8 } \times (\frac { 8 }{ -3 }) = 1 \)
दूसरे शब्दों में, किसी परिमेय संख्या का उसके व्युत्क्रम से गुणनफल हमेशा \( 1 \) होता है। शून्य का कोई गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता है।
In simple words: जब आप किसी परिमेय संख्या को उसी संख्या से भाग देते हैं, तो आपको हमेशा \( 1 \) मिलता है। इसका मतलब है कि एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का गुणा हमेशा \( 1 \) होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि किसी भी गैर-शून्य संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर परिणाम \( 1 \) होता है। इस गुण को 'गुणात्मक प्रतिलोम' कहते हैं।

करो और सीखो

 

Question 1. हल कीजिए
(i) \( \frac { 5 }{ 7 } + \frac { 5 }{ 7 } \)
(ii) \( \frac { -9 }{ 4 } + \frac { -9 }{ 4 } \)
(iii) \( \frac { -7 }{ 11 } + \frac { -7 }{ 11 } \)
Answer:
इन प्रश्नों में, हर समान हैं, इसलिए हम सीधे अंशों को जोड़ या घटा सकते हैं। यह भिन्न के योग या घटाव का सबसे सीधा तरीका है।
(i) \( \frac { 5 }{ 7 } + \frac { 5 }{ 7 } = \frac { 5+5 }{ 7 } = \frac { 10 }{ 7 } \)
(ii) \( \frac { -9 }{ 4 } + \frac { -9 }{ 4 } = \frac { -9+(-9) }{ 4 } = \frac { -18 }{ 4 } = \frac { -9 }{ 2 } \)
(iii) \( \frac { -7 }{ 11 } + \frac { -7 }{ 11 } = \frac { -7+(-7) }{ 11 } = \frac { -14 }{ 11 } \)
In simple words: जब दो भिन्नों के हर एक जैसे होते हैं, तो उनका योग या अंतर निकालने के लिए केवल उनके अंशों को जोड़ें या घटाएँ।

🎯 Exam Tip: जब हर समान हों, तो अंशों को सही ढंग से जोड़ें या घटाएँ। यदि परिणाम एक विषम भिन्न है, तो इसे सरलतम रूप में लिखें।

परिमेय संख्याओं के गुणधर्म

 

(i) योग-आइये, दो परिमेय संख्याओं के योग पर विचार करते हैं।

 

Question 1. परिमेय संख्याओं के योग के क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कीजिए।
Answer:
क्रम विनिमेय गुणधर्म बताता है कि दो संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ने पर परिणाम वही रहता है (अर्थात् \( a+b = b+a \))। हम इसे विभिन्न परिमेय संख्याओं के उदाहरणों से जाँचते हैं।
उदाहरण 1: \( \frac { 3 }{ 5 } + \frac { 2 }{ 7 } \)
\( 5 \) और \( 7 \) का LCM \( 35 \) है।
\( \frac { 3 }{ 5 } + \frac { 2 }{ 7 } = \frac { 3 \times 7 }{ 5 \times 7 } + \frac { 2 \times 5 }{ 7 \times 5 } = \frac { 21 }{ 35 } + \frac { 10 }{ 35 } = \frac { 21+10 }{ 35 } = \frac { 31 }{ 35 } \)
अब, क्रम बदलकर जोड़ें:
\( \frac { 2 }{ 7 } + \frac { 3 }{ 5 } = \frac { 2 \times 5 }{ 7 \times 5 } + \frac { 3 \times 7 }{ 5 \times 7 } = \frac { 10 }{ 35 } + \frac { 21 }{ 35 } = \frac { 10+21 }{ 35 } = \frac { 31 }{ 35 } \)
अतः \( \frac { 3 }{ 5 } + \frac { 2 }{ 7 } = \frac { 2 }{ 7 } + \frac { 3 }{ 5 } \)

उदाहरण 2: \( (\frac { -7 }{ 9 }) + \frac { 2 }{ 9 } \)
\( \frac { -7 }{ 9 } + \frac { 2 }{ 9 } = \frac { -7+2 }{ 9 } = \frac { -5 }{ 9 } \)
अब, क्रम बदलकर जोड़ें:
\( \frac { 2 }{ 9 } + (\frac { -7 }{ 9 }) = \frac { 2-7 }{ 9 } = \frac { -5 }{ 9 } \)
अतः \( (\frac { -7 }{ 9 }) + \frac { 2 }{ 9 } = \frac { 2 }{ 9 } + (\frac { -7 }{ 9 }) \)

उदाहरण 3: \( \frac { 5 }{ 13 } + \frac { 8 }{ 13 } \)
\( \frac { 5 }{ 13 } + \frac { 8 }{ 13 } = \frac { 5+8 }{ 13 } = \frac { 13 }{ 13 } = 1 \)
अब, क्रम बदलकर जोड़ें:
\( \frac { 8 }{ 13 } + \frac { 5 }{ 13 } = \frac { 8+5 }{ 13 } = \frac { 13 }{ 13 } = 1 \)
अतः \( \frac { 5 }{ 13 } + \frac { 8 }{ 13 } = \frac { 8 }{ 13 } + \frac { 5 }{ 13 } \)
इससे सिद्ध होता है कि परिमेय संख्याओं के लिए योग क्रम विनिमेय है, अर्थात् किन्हीं परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए \( a+b=b+a \)।
In simple words: जोड़ते समय परिमेय संख्याओं का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता है। इसे क्रम विनिमेय गुणधर्म कहते हैं।

🎯 Exam Tip: क्रम विनिमेय गुणधर्म को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें और विभिन्न धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का उपयोग करके इसकी जाँच करें।

 

(ii) व्यवकलन-आइये, दो परिमेय संख्याओं के व्यवकलन पर विचार करते हैं।

 

Question 1. परिमेय संख्याओं के व्यवकलन के क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कीजिए।
Answer:
क्रम विनिमेय गुणधर्म व्यवकलन पर लागू नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि संख्याओं को घटाने का क्रम बदलने से परिणाम बदल जाता है (अर्थात् \( a-b \neq b-a \))। हम इसे उदाहरणों से जाँचते हैं।
उदाहरण 1: \( \frac { 2 }{ 5 } - \frac { 4 }{ 7 } \)
\( 5 \) और \( 7 \) का LCM \( 35 \) है।
\( \frac { 2 }{ 5 } - \frac { 4 }{ 7 } = \frac { 2 \times 7 }{ 5 \times 7 } - \frac { 4 \times 5 }{ 7 \times 5 } = \frac { 14 }{ 35 } - \frac { 20 }{ 35 } = \frac { 14-20 }{ 35 } = \frac { -6 }{ 35 } \)
अब, क्रम बदलकर घटाएँ:
\( \frac { 4 }{ 7 } - \frac { 2 }{ 5 } = \frac { 4 \times 5 }{ 7 \times 5 } - \frac { 2 \times 7 }{ 5 \times 7 } = \frac { 20 }{ 35 } - \frac { 14 }{ 35 } = \frac { 20-14 }{ 35 } = \frac { 6 }{ 35 } \)
अतः \( \frac { 2 }{ 5 } - \frac { 4 }{ 7 } \neq \frac { 4 }{ 7 } - \frac { 2 }{ 5 } \)

उदाहरण 2: \( (\frac { -5 }{ 6 }) - (\frac { -3 }{ 4 }) \)
\( 6 \) और \( 4 \) का LCM \( 12 \) है।
\( (\frac { -5 }{ 6 }) - (\frac { -3 }{ 4 }) = (\frac { -5 \times 2 }{ 6 \times 2 }) - (\frac { -3 \times 3 }{ 4 \times 3 }) = \frac { -10 }{ 12 } - (\frac { -9 }{ 12 }) = \frac { -10+9 }{ 12 } = \frac { -1 }{ 12 } \)
अब, क्रम बदलकर घटाएँ:
\( (\frac { -3 }{ 4 }) - (\frac { -5 }{ 6 }) = (\frac { -3 \times 3 }{ 4 \times 3 }) - (\frac { -5 \times 2 }{ 6 \times 2 }) = \frac { -9 }{ 12 } - (\frac { -10 }{ 12 }) = \frac { -9+10 }{ 12 } = \frac { 1 }{ 12 } \)
अतः \( (\frac { -5 }{ 6 }) - (\frac { -3 }{ 4 }) \neq (\frac { -3 }{ 4 }) - (\frac { -5 }{ 6 }) \)
इससे सिद्ध होता है कि परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन क्रम विनिमेय नहीं है, अर्थात् किन्हीं परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए \( a-b \ne b-a \)।
In simple words: घटाते समय परिमेय संख्याओं का क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है। इसलिए, व्यवकलन क्रम विनिमेय नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: हमेशा यह ध्यान रखें कि व्यवकलन क्रम विनिमेय नहीं है। उदाहरणों में दोनों तरफ की गणना को स्पष्ट रूप से दर्शाकर इसे सिद्ध करें।

 

(iii) गुणन – आइये, अब दो परिमेय संख्याओं के गुणनफल का अध्ययन करते हैं

 

Question 1. परिमेय संख्याओं के गुणन के क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कीजिए।
Answer:
गुणा क्रम विनिमेय होता है, जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा करने पर परिणाम वही रहता है (अर्थात् \( a \times b = b \times a \))। हम इसे विभिन्न परिमेय संख्याओं के उदाहरणों से जाँचते हैं।
उदाहरण 1: \( (\frac { -3 }{ 4 }) \times \frac { 2 }{ 9 } \)
\( (\frac { -3 }{ 4 }) \times \frac { 2 }{ 9 } = \frac { -3 \times 2 }{ 4 \times 9 } = \frac { -6 }{ 36 } = \frac { -1 }{ 6 } \)
अब, क्रम बदलकर गुणा करें:
\( \frac { 2 }{ 9 } \times (\frac { -3 }{ 4 }) = \frac { 2 \times (-3) }{ 9 \times 4 } = \frac { -6 }{ 36 } = \frac { -1 }{ 6 } \)
अतः \( (\frac { -3 }{ 4 }) \times \frac { 2 }{ 9 } = \frac { 2 }{ 9 } \times (\frac { -3 }{ 4 }) \)

उदाहरण 2: \( (\frac { -5 }{ 11 }) \times (\frac { -7 }{ 13 }) \)
\( (\frac { -5 }{ 11 }) \times (\frac { -7 }{ 13 }) = \frac { (-5) \times (-7) }{ 11 \times 13 } = \frac { 35 }{ 143 } \)
अब, क्रम बदलकर गुणा करें:
\( (\frac { -7 }{ 13 }) \times (\frac { -5 }{ 11 }) = \frac { (-7) \times (-5) }{ 13 \times 11 } = \frac { 35 }{ 143 } \)
अतः \( (\frac { -5 }{ 11 }) \times (\frac { -7 }{ 13 }) = (\frac { -7 }{ 13 }) \times (\frac { -5 }{ 11 }) \)

उदाहरण 3: \( \frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 7 } \)
\( \frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 7 } = \frac { 2 \times 3 }{ 5 \times 7 } = \frac { 6 }{ 35 } \)
अब, क्रम बदलकर गुणा करें:
\( \frac { 3 }{ 7 } \times \frac { 2 }{ 5 } = \frac { 3 \times 2 }{ 7 \times 5 } = \frac { 6 }{ 35 } \)
अतः \( \frac { 2 }{ 5 } \times \frac { 3 }{ 7 } = \frac { 3 }{ 7 } \times \frac { 2 }{ 5 } \)

उदाहरण 4: \( (\frac { -9 }{ 11 }) \times (\frac { -4 }{ 7 }) \)
\( (\frac { -9 }{ 11 }) \times (\frac { -4 }{ 7 }) = \frac { (-9) \times (-4) }{ 11 \times 7 } = \frac { 36 }{ 77 } \)
अब, क्रम बदलकर गुणा करें:
\( (\frac { -4 }{ 7 }) \times (\frac { -9 }{ 11 }) = \frac { (-4) \times (-9) }{ 7 \times 11 } = \frac { 36 }{ 77 } \)
अतः \( (\frac { -9 }{ 11 }) \times (\frac { -4 }{ 7 }) = (\frac { -4 }{ 7 }) \times (\frac { -9 }{ 11 }) \)
नोट: परिमेय संख्याओं के लिए गुणन क्रम विनिमेय है, अर्थात् किन्हीं परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए \( a \times b = b \times a \)।
नोट: परिमेय संख्याओं के लिए भाग क्रम विनिमेय नहीं है, अर्थात् किन्हीं परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए \( a \div b \neq b \div a \)।
In simple words: परिमेय संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा करने पर उत्तर हमेशा समान आता है। लेकिन भाग करते समय ऐसा नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: क्रम विनिमेयता के गुण को गुणन के लिए सिद्ध करते समय, सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक चिह्नों को सही ढंग से संभालते हैं। यह भी याद रखें कि भाग क्रम विनिमेय नहीं होता है।

करो और सीखो

 

Question 1. सारणी में खाली स्थानों को भरिए

Answer:
यहां हमें विभिन्न संख्या प्रणालियों के लिए संवृत गुणधर्म (closure property) की जाँच करनी है। संवृत गुणधर्म का मतलब है कि जब आप किसी विशेष संक्रिया को संख्याओं के एक सेट पर लागू करते हैं, तो परिणाम उसी सेट के भीतर रहता है।

In simple words: संवृत गुणधर्म का मतलब है कि अगर आप कुछ संख्याओं पर कोई गणितीय क्रिया करते हैं, तो उत्तर भी उसी तरह की संख्याओं में आना चाहिए। जैसे, दो पूर्णांकों को जोड़ें तो उत्तर भी पूर्णांक ही होगा।

🎯 Exam Tip: संवृत गुणधर्म को समझने के लिए, प्रत्येक संख्या प्रणाली (प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय) और प्रत्येक संक्रिया (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) के लिए कुछ छोटे उदाहरणों का उपयोग करें। भाग के लिए, शून्य से भाग की स्थिति का ध्यान रखें।

पृष्ठ 15

परिमेय संख्याओं के लिए जोड़ (योग) क्रम विनिमेय होता है। इसका मतलब है कि किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए, \( a + b \) का मान \( b + a \) के मान के बराबर होता है।

 

Question 1. आप ऐसी ही कुछ और परिमेय संख्याएँ लेकर योग के लिए क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कीजिए।
Answer: हम कुछ और परिमेय संख्याएँ लेकर योग के क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कर सकते हैं।
जैसे, यदि हम \( \frac{3}{7} \) और \( \frac{2}{5} \) को लें:
\( \frac{3}{7} + \frac{2}{5} \)
पहले हरों को समान बनाने के लिए 7 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) 35 लेते हैं।
\( = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} + \frac{2 \times 7}{5 \times 7} \)
\( = \frac{15}{35} + \frac{14}{35} \)
\( = \frac{15 + 14}{35} = \frac{29}{35} \)
अब क्रम बदलकर जोड़ते हैं:
\( \frac{2}{5} + \frac{3}{7} \)
यहाँ भी हरों को समान करने के लिए 5 और 7 का ल.स. 35 लेते हैं।
\( = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} + \frac{3 \times 5}{7 \times 5} \)
\( = \frac{14}{35} + \frac{15}{35} \)
\( = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35} \)
दोनों परिणाम समान हैं, इसलिए योग का क्रम विनिमेय गुणधर्म यहाँ सत्य है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग संख्याएँ लेकर उन्हें जोड़ा और फिर उनका क्रम बदलकर जोड़ा। दोनों बार उत्तर एक जैसा ही आया। इसका मतलब है कि संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ने पर परिणाम वही रहता है।

🎯 Exam Tip: क्रम विनिमेय गुणधर्म को जाँचते समय, हमेशा दोनों संभावित क्रमों में गणना करें और दिखाएँ कि परिणाम समान है। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

(ii) \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \)
Answer: हम \( \frac{2}{9} \) और \( \frac{-7}{9} \) के लिए क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच करते हैं।
पहले इन संख्याओं को जोड़ते हैं:
\( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \)
क्योंकि हर समान हैं, सीधे अंशों को जोड़ सकते हैं।
\( = \frac{2 + (-7)}{9} \)
\( = \frac{2 - 7}{9} = \frac{-5}{9} \)
अब क्रम बदलकर जोड़ते हैं:
\( (\frac{-7}{9}) + \frac{2}{9} \)
हर समान होने के कारण अंशों को जोड़ते हैं।
\( = \frac{-7 + 2}{9} \)
\( = \frac{-5}{9} \)
दोनों ही स्थितियों में परिणाम \( \frac{-5}{9} \) है। इससे पता चलता है कि जोड़ का क्रम विनिमेय गुणधर्म इन संख्याओं के लिए भी सत्य है।
In simple words: हमने दो संख्याओं को जोड़ा, फिर उनका क्रम बदलकर जोड़ा। दोनों बार उत्तर समान आया। यह दर्शाता है कि जोड़ने पर संख्याओं का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता।

🎯 Exam Tip: जब हर समान हों, तो अंशों को सीधा जोड़ना या घटाना याद रखें। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय उनके चिह्न का ध्यान रखें।

पृष्ठ 16

 

(ii) \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} + \frac{(-7) \times 9}{7 \times 9} \)
Answer: यहाँ, हम \( \frac{2}{9} \) और \( \frac{-7}{9} \) के योग की गणना करते हैं। 9 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) 63 है।
पहले क्रम में:
\( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \)
\( = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} + \frac{-7 \times 9}{7 \times 9} \)
\( = \frac{14}{63} + \frac{-63}{63} \)
\( = \frac{14 + (-63)}{63} \)
\( = \frac{14 - 63}{63} = \frac{-49}{63} \)
अब क्रम बदलकर दूसरे क्रम में जोड़ते हैं:
\( (\frac{-7}{9}) + \frac{2}{9} \)
\( = \frac{-7 \times 7}{9 \times 7} + \frac{2 \times 9}{7 \times 9} \)
\( = \frac{-49}{63} + \frac{18}{63} \)
\( = \frac{-49 + 18}{63} = \frac{-31}{63} \)
यहाँ परिणामों में विसंगति है, क्योंकि \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \) में हर 9 था, और \( \frac{-7}{9} \) में हर 9 है, ना कि 7. ऊपर दिए गए प्रश्न में टाइपिंग त्रुटि हो सकती है। सही प्रश्न होना चाहिए \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{7}) \) या \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \)। यदि प्रश्न \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{9}) \) होता, तो उत्तर \( \frac{-5}{9} \) होगा (जैसा कि पिछले भाग में दिखाया गया है)। यदि प्रश्न \( \frac{2}{9} + (\frac{-7}{7}) \) होता, तो 9 और 7 का ल.स. 63 होता, और गणना इस प्रकार होती: \( \frac{14}{63} + \frac{-63}{63} = \frac{-49}{63} \). यह उदाहरण दिखाता है कि संख्याओं का क्रम बदलने पर भी योग का क्रम विनिमेय गुणधर्म सत्य रहता है, बशर्ते हरों को सही ढंग से संभाला जाए।
In simple words: हमने संख्याओं को दो अलग-अलग क्रमों में जोड़ा। भले ही उत्तर थोड़ा अलग आया क्योंकि प्रश्न में एक अंक में शायद गलती थी, लेकिन आमतौर पर संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ने पर उत्तर समान ही रहता है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न में दिए गए हरों को ध्यान से पढ़ें और उनका सही लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय सावधानी बरतें।

 

(iv) \( (\frac{-2}{9}) - \frac{7}{6} \)
Answer: हम \( (\frac{-2}{9}) - \frac{7}{6} \) के लिए क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच करते हैं। घटाने के लिए क्रम विनिमेय गुणधर्म आमतौर पर लागू नहीं होता है।
पहले घटाते हैं:
\( (\frac{-2}{9}) - \frac{7}{6} \)
9 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) 18 है।
\( = \frac{-2 \times 2}{9 \times 2} - \frac{7 \times 3}{6 \times 3} \)
\( = \frac{-4}{18} - \frac{21}{18} \)
\( = \frac{-4 - 21}{18} = \frac{-25}{18} \)
अब क्रम बदलकर घटाते हैं:
\( \frac{7}{6} - (\frac{-2}{9}) \)
\( = \frac{7}{6} + \frac{2}{9} \)
\( = \frac{7 \times 3}{6 \times 3} + \frac{2 \times 2}{9 \times 2} \)
\( = \frac{21}{18} + \frac{4}{18} \)
\( = \frac{21 + 4}{18} = \frac{25}{18} \)
यहाँ, \( \frac{-25}{18} \neq \frac{25}{18} \)। इससे सिद्ध होता है कि घटाना (व्यवकलन) क्रम विनिमेय नहीं होता है।
In simple words: हमने संख्याओं को घटाया, फिर उनका क्रम बदलकर घटाया। दोनों बार उत्तर अलग-अलग आया। इसका मतलब है कि घटाने में संख्याओं का क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि घटाना क्रम विनिमेय नहीं होता है। \( a - b \neq b - a \) (जब तक \( a = b \) न हो)। भिन्नों को घटाते समय, ऋणात्मक चिह्नों को सही ढंग से संभालना महत्वपूर्ण है।

करो और सीखो

 

Question. सारणी में खाली स्थानों को भरिए
Answer: खाली स्थानों को भरने के बाद सारणी इस प्रकार है:

In simple words: हमने एक तालिका पूरी की जो दिखाती है कि अलग-अलग तरह की संख्याएँ (जैसे प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ) जोड़ना, घटाना, गुणा करना और भाग करना जैसे कामों में 'संवृत' होती हैं या नहीं। संवृत होने का मतलब है कि अगर आप उन संख्याओं के साथ कोई काम करते हैं, तो उत्तर भी उसी तरह की संख्या होगी।

🎯 Exam Tip: संवृतता गुणधर्म को याद रखना महत्वपूर्ण है। प्राकृत संख्याएँ घटाने और भाग के लिए संवृत नहीं होतीं, पूर्ण संख्याएँ भी इन्हीं के लिए नहीं होतीं। पूर्णांक भाग के लिए संवृत नहीं होते, जबकि परिमेय संख्याएँ भी भाग के लिए संवृत नहीं होतीं (शून्य से भाग को छोड़कर)।

पृष्ठ 17

 

Question 1. क्या दोनों ओर के योग समान हैं?
(i) \( \frac{-3}{5} + (\frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = (\frac{-3}{5} + \frac{2}{3}) + \frac{4}{7} \)
Answer: हम दोनों पक्षों की गणना करेंगे और देखेंगे कि क्या वे समान हैं। यह साहचर्य गुणधर्म की जाँच है।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{-3}{5} + (\frac{2}{3} + \frac{4}{7}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 3 और 7 का ल.स. 21 है।
\( = \frac{-3}{5} + (\frac{2 \times 7}{3 \times 7} + \frac{4 \times 3}{7 \times 3}) \)
\( = \frac{-3}{5} + (\frac{14}{21} + \frac{12}{21}) \)
\( = \frac{-3}{5} + \frac{14 + 12}{21} \)
\( = \frac{-3}{5} + \frac{26}{21} \)
अब 5 और 21 का ल.स. 105 है।
\( = \frac{-3 \times 21}{5 \times 21} + \frac{26 \times 5}{21 \times 5} \)
\( = \frac{-63}{105} + \frac{130}{105} \)
\( = \frac{-63 + 130}{105} = \frac{67}{105} \)
दायाँ पक्ष:
\( (\frac{-3}{5} + \frac{2}{3}) + \frac{4}{7} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 5 और 3 का ल.स. 15 है।
\( = (\frac{-3 \times 3}{5 \times 3} + \frac{2 \times 5}{3 \times 5}) + \frac{4}{7} \)
\( = (\frac{-9}{15} + \frac{10}{15}) + \frac{4}{7} \)
\( = \frac{-9 + 10}{15} + \frac{4}{7} \)
\( = \frac{1}{15} + \frac{4}{7} \)
अब 15 और 7 का ल.स. 105 है।
\( = \frac{1 \times 7}{15 \times 7} + \frac{4 \times 15}{7 \times 15} \)
\( = \frac{7}{105} + \frac{60}{105} \)
\( = \frac{7 + 60}{105} = \frac{67}{105} \)
दोनों पक्षों के योग समान हैं। इसलिए, साहचर्य गुणधर्म यहाँ सत्य है।
In simple words: हमने एक ही सवाल को दो अलग-अलग तरीकों से हल किया, बस कोष्ठक की जगह बदली। दोनों बार उत्तर एक जैसा ही आया। इसका मतलब है कि संख्याओं को समूह में जोड़ने का तरीका बदलने से कुल योग नहीं बदलता।

🎯 Exam Tip: साहचर्य गुणधर्म को जाँचते समय, कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। भिन्न संख्याओं को जोड़ते समय हमेशा सही लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करके हरों को समान बनाएँ।

 

(ii) \( \frac{1}{2} + (\frac{-3}{4} + \frac{-5}{8}) = (\frac{1}{2} + \frac{-3}{4}) + \frac{-5}{8} \)
Answer: हम दोनों पक्षों की गणना करेंगे और देखेंगे कि क्या वे समान हैं। यह साहचर्य गुणधर्म की जाँच है।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{1}{2} + (\frac{-3}{4} + \frac{-5}{8}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 4 और 8 का ल.स. 8 है।
\( = \frac{1}{2} + (\frac{-3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{-5}{8}) \)
\( = \frac{1}{2} + (\frac{-6}{8} + \frac{-5}{8}) \)
\( = \frac{1}{2} + \frac{-6 + (-5)}{8} \)
\( = \frac{1}{2} + \frac{-11}{8} \)
अब 2 और 8 का ल.स. 8 है।
\( = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{-11}{8} \)
\( = \frac{4}{8} + \frac{-11}{8} \)
\( = \frac{4 - 11}{8} = \frac{-7}{8} \)
दायाँ पक्ष:
\( (\frac{1}{2} + \frac{-3}{4}) + \frac{-5}{8} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 2 और 4 का ल.स. 4 है।
\( = (\frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{-3}{4}) + \frac{-5}{8} \)
\( = (\frac{2}{4} + \frac{-3}{4}) + \frac{-5}{8} \)
\( = \frac{2 + (-3)}{4} + \frac{-5}{8} \)
\( = \frac{-1}{4} + \frac{-5}{8} \)
अब 4 और 8 का ल.स. 8 है।
\( = \frac{-1 \times 2}{4 \times 2} + \frac{-5}{8} \)
\( = \frac{-2}{8} + \frac{-5}{8} \)
\( = \frac{-2 - 5}{8} = \frac{-7}{8} \)
दोनों पक्षों के योग समान हैं। इसलिए, साहचर्य गुणधर्म यहाँ भी सत्य है।
In simple words: हमने इस सवाल को भी दो अलग-अलग समूहों में जोड़ा और दोनों बार हमें वही जवाब मिला। यह दिखाता है कि आप संख्याओं के समूह को कैसे भी बदलें, जोड़ का अंतिम उत्तर हमेशा समान रहता है।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय उनके चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। गलत चिह्नों से पूरी गणना गलत हो सकती है। हमेशा धीरे-धीरे गणना करें और हर चरण को दोबारा जाँचें।

पृष्ठ 18

 

(iii) \( \frac{-4}{5} + (\frac{1}{7} + \frac{-5}{9}) = (\frac{-4}{5} + \frac{1}{7}) + \frac{-5}{9} \)
Answer: हम दोनों पक्षों की गणना करेंगे और देखेंगे कि क्या वे समान हैं। यह साहचर्य गुणधर्म की जाँच है।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{-4}{5} + (\frac{1}{7} + \frac{-5}{9}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 7 और 9 का ल.स. 63 है।
\( = \frac{-4}{5} + (\frac{1 \times 9}{7 \times 9} + \frac{-5 \times 7}{9 \times 7}) \)
\( = \frac{-4}{5} + (\frac{9}{63} + \frac{-35}{63}) \)
\( = \frac{-4}{5} + \frac{9 - 35}{63} \)
\( = \frac{-4}{5} + \frac{-26}{63} \)
अब 5 और 63 का ल.स. 315 है।
\( = \frac{-4 \times 63}{5 \times 63} + \frac{-26 \times 5}{63 \times 5} \)
\( = \frac{-252}{315} + \frac{-130}{315} \)
\( = \frac{-252 - 130}{315} = \frac{-382}{315} \)
दायाँ पक्ष:
\( (\frac{-4}{5} + \frac{1}{7}) + \frac{-5}{9} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 5 और 7 का ल.स. 35 है।
\( = (\frac{-4 \times 7}{5 \times 7} + \frac{1 \times 5}{7 \times 5}) + \frac{-5}{9} \)
\( = (\frac{-28}{35} + \frac{5}{35}) + \frac{-5}{9} \)
\( = \frac{-28 + 5}{35} + \frac{-5}{9} \)
\( = \frac{-23}{35} + \frac{-5}{9} \)
अब 35 और 9 का ल.स. 315 है।
\( = \frac{-23 \times 9}{35 \times 9} + \frac{-5 \times 35}{9 \times 35} \)
\( = \frac{-207}{315} + \frac{-175}{315} \)
\( = \frac{-207 - 175}{315} = \frac{-382}{315} \)
दोनों पक्षों के योग समान हैं। इसलिए, साहचर्य गुणधर्म यहाँ भी सत्य है।
In simple words: हमने फिर से तीन संख्याओं को दो अलग-अलग तरीकों से जोड़ा। कोष्ठक की जगह बदलने से उत्तर नहीं बदला, जो यह साबित करता है कि जोड़ने का तरीका बदलने से कुल योग पर कोई फर्क नहीं पड़ता।

🎯 Exam Tip: जब कई भिन्नों को जोड़ना हो, तो हरों का LCM सावधानी से ज्ञात करें। ऋणात्मक चिह्नों को सही ढंग से प्रबंधित करना सुनिश्चित करें ताकि अंतिम उत्तर सटीक हो।

 

(iv) \( \frac{2}{3} + (\frac{3}{4} + \frac{4}{5}) = (\frac{2}{3} + \frac{3}{4}) + \frac{4}{5} \)
Answer: हम दोनों पक्षों की गणना करेंगे और देखेंगे कि क्या वे समान हैं। यह साहचर्य गुणधर्म की जाँच है।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{2}{3} + (\frac{3}{4} + \frac{4}{5}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 4 और 5 का ल.स. 20 है।
\( = \frac{2}{3} + (\frac{3 \times 5}{4 \times 5} + \frac{4 \times 4}{5 \times 4}) \)
\( = \frac{2}{3} + (\frac{15}{20} + \frac{16}{20}) \)
\( = \frac{2}{3} + \frac{15 + 16}{20} \)
\( = \frac{2}{3} + \frac{31}{20} \)
अब 3 और 20 का ल.स. 60 है।
\( = \frac{2 \times 20}{3 \times 20} + \frac{31 \times 3}{20 \times 3} \)
\( = \frac{40}{60} + \frac{93}{60} \)
\( = \frac{40 + 93}{60} = \frac{133}{60} \)
दायाँ पक्ष:
\( (\frac{2}{3} + \frac{3}{4}) + \frac{4}{5} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। 3 और 4 का ल.स. 12 है।
\( = (\frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}) + \frac{4}{5} \)
\( = (\frac{8}{12} + \frac{9}{12}) + \frac{4}{5} \)
\( = \frac{8 + 9}{12} + \frac{4}{5} \)
\( = \frac{17}{12} + \frac{4}{5} \)
अब 12 और 5 का ल.स. 60 है।
\( = \frac{17 \times 5}{12 \times 5} + \frac{4 \times 12}{5 \times 12} \)
\( = \frac{85}{60} + \frac{48}{60} \)
\( = \frac{85 + 48}{60} = \frac{133}{60} \)
दोनों पक्षों के योग समान हैं। इसलिए, साहचर्य गुणधर्म यहाँ भी सत्य है।
In simple words: हमने इस सवाल को दो अलग-अलग तरीकों से हल किया, जिसमें कोष्ठक की जगह बदली। दोनों बार उत्तर एक जैसा ही आया। यह दिखाता है कि आप संख्याओं के समूह को कैसे भी बदलें, जोड़ का अंतिम उत्तर हमेशा समान रहता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि योग का साहचर्य गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए हमेशा सत्य होता है। लंबी गणनाओं में, अंश और हर दोनों के लिए गुणा और जोड़/घटाव को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है।

नोट – परिमेय संख्याओं के लिए योग साहचर्य है, अर्थात् किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं \( a, b \) और \( c \) के लिए, \( a + (b + c) = (a + b) + c \) होता है।

पृष्ठ 22

 

Question 1. कुछ और परिमेय संख्याएँ लेकर स्वयं गुणन साहचर्य नियम की जाँच कीजिए।
Answer: हम गुणन के साहचर्य नियम की जाँच करने के लिए कुछ परिमेय संख्याएँ लेते हैं। गुणन का साहचर्य नियम कहता है कि किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं \( a, b, c \) के लिए \( a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \) होता है।
उदाहरण के लिए, हम \( \frac{3}{5}, \frac{-6}{11}, \frac{2}{3} \) लेते हैं।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{3}{5} \times (\frac{-6}{11} \times \frac{2}{3}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं।
\( = \frac{3}{5} \times (\frac{-6 \times 2}{11 \times 3}) \)
\( = \frac{3}{5} \times (\frac{-12}{33}) \)
\( = \frac{3 \times (-12)}{5 \times 33} \)
\( = \frac{-36}{165} \)
दायाँ पक्ष:
\( (\frac{3}{5} \times \frac{-6}{11}) \times \frac{2}{3} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं।
\( = (\frac{3 \times (-6)}{5 \times 11}) \times \frac{2}{3} \)
\( = (\frac{-18}{55}) \times \frac{2}{3} \)
\( = \frac{-18 \times 2}{55 \times 3} \)
\( = \frac{-36}{165} \)
दोनों पक्षों के परिणाम समान हैं। इससे सिद्ध होता है कि गुणन का साहचर्य नियम इन परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है।
In simple words: हमने तीन संख्याओं को लिया और उन्हें दो अलग-अलग तरीकों से गुणा किया, बस गुणा करने के समूह को बदल दिया। दोनों बार उत्तर समान आया। इसका मतलब है कि आप संख्याओं को किसी भी समूह में गुणा करें, अंतिम उत्तर वही रहेगा।

🎯 Exam Tip: गुणन के साहचर्य गुणधर्म को जाँचते समय, कोष्ठक के अंदर के गुणन को पहले हल करें। ऋणात्मक चिह्नों को गुणा करते समय विशेष ध्यान रखें - दो ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक परिणाम देती हैं।

पृष्ठ 23

 

(ii) \( \frac{-2}{7} \times \{ (\frac{-3}{4}) \times (\frac{-5}{9}) \} = \{ (\frac{-2}{7}) \times (\frac{-3}{4}) \} \times (\frac{-5}{9}) \)
Answer: हम गुणन के साहचर्य नियम की जाँच करने के लिए इन परिमेय संख्याओं का उपयोग करेंगे।
बायाँ पक्ष:
\( \frac{-2}{7} \times \{ (\frac{-3}{4}) \times (\frac{-5}{9}) \} \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं।
\( = \frac{-2}{7} \times (\frac{-3 \times -5}{4 \times 9}) \)
\( = \frac{-2}{7} \times (\frac{15}{36}) \)
\( = \frac{-2 \times 15}{7 \times 36} \)
\( = \frac{-30}{252} \)
दायाँ पक्ष:
\( \{ (\frac{-2}{7}) \times (\frac{-3}{4}) \} \times (\frac{-5}{9}) \)
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं।
\( = (\frac{-2 \times -3}{7 \times 4}) \times (\frac{-5}{9}) \)
\( = (\frac{6}{28}) \times (\frac{-5}{9}) \)
\( = \frac{6 \times (-5)}{28 \times 9} \)
\( = \frac{-30}{252} \)
दोनों पक्षों के परिणाम समान हैं। इससे सिद्ध होता है कि गुणन का साहचर्य नियम इन परिमेय संख्याओं के लिए भी सत्य है।
In simple words: हमने तीन संख्याओं को गुणा किया, उन्हें दो अलग-अलग तरीकों से समूह में रखकर। दोनों बार उत्तर वही आया। यह दिखाता है कि गुणा करते समय संख्याओं के समूह का तरीका बदलने से उत्तर नहीं बदलता।

🎯 Exam Tip: गुणन में ऋणात्मक चिह्नों को गिनना न भूलें। दो ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक गुणनफल देती हैं, जबकि एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या ऋणात्मक गुणनफल देती है। भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें।

अतः \( \frac{-2}{7} \times \{ (\frac{-3}{4}) \times (\frac{-5}{9}) \} = \{ (\frac{-2}{7}) \times (\frac{-3}{4}) \} \times (\frac{-5}{9}) \)

पृष्ठ 24

 

Question. सारणी में खाली स्थानों को भरिए
Answer: खाली स्थानों को भरने के बाद साहचर्य गुणधर्म की सारणी इस प्रकार है:

In simple words: हमने एक तालिका भरी जो बताती है कि अलग-अलग संख्या समूह (जैसे प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ) जोड़, घटाना, गुणा और भाग के लिए 'साहचर्य' नियम का पालन करते हैं या नहीं। साहचर्य नियम कहता है कि संख्याओं के समूह को बदलने से परिणाम नहीं बदलता।

🎯 Exam Tip: साहचर्य गुणधर्म को याद रखें: जोड़ और गुणा के लिए यह नियम अक्सर लागू होता है, जबकि घटाना और भाग के लिए यह आमतौर पर लागू नहीं होता है। विभिन्न संख्या प्रणालियों के लिए इन गुणों को समझना महत्वपूर्ण है।

पृष्ठ 25

 

Question 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) \( 3 + \Box = 3 \)
(ii) \( -7 + \Box = -7 \)
(iii) \( \frac{-4}{9} + \Box = \frac{-4}{9} \)
(iv) \( \Box + \frac{9}{13} = \frac{9}{13} \)
(v) \( \frac{-5}{11} + \Box = \frac{-5}{11} \)
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
(i) \( 3 + \mathbf{0} = 3 \)
(ii) \( -7 + \mathbf{0} = -7 \)
(iii) \( \frac{-4}{9} + \mathbf{0} = \frac{-4}{9} \)
(iv) \( \mathbf{0} + \frac{9}{13} = \frac{9}{13} \)
(v) \( \frac{-5}{11} + \mathbf{0} = \frac{-5}{11} \)
In simple words: हमने खाली जगह में 0 भरा। इसका मतलब है कि किसी भी संख्या में 0 जोड़ने पर संख्या वही रहती है। 0 को योज्य तत्समक कहते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि '0' योज्य तत्समक है। किसी भी संख्या में 0 जोड़ने पर उस संख्या में कोई बदलाव नहीं आता। यह एक मूलभूत गुणधर्म है।

 

Question 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) \( 8 \times \Box = 8 \)
(ii) \( -5 \times \Box = -5 \)
(iii) \( \frac{2}{3} \times \Box = \frac{2}{3} \)
(iv) \( \Box \times \frac{-4}{7} = \frac{-4}{7} \)
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
(i) \( 8 \times \mathbf{1} = 8 \)
(ii) \( -5 \times \mathbf{1} = -5 \)
(iii) \( \frac{2}{3} \times \mathbf{1} = \frac{2}{3} \)
(iv) \( \mathbf{1} \times \frac{-4}{7} = \frac{-4}{7} \)
In simple words: हमने खाली जगह में 1 भरा। इसका मतलब है कि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर संख्या वही रहती है। 1 को गुणात्मक तत्समक कहते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि '1' गुणात्मक तत्समक है। किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर उस संख्या में कोई बदलाव नहीं आता। यह एक महत्वपूर्ण गणितीय गुणधर्म है।

नोट - किसी परिमेय संख्या को 1 से गुणा करते हैं, तो गुणनफल वही परिमेय संख्या प्राप्त होती है। अर्थात् किसी परिमेय संख्या \( a \) के लिए \( a \times 1 = 1 \times a = a \) होता है।

पृष्ठ 26

 

Question 3. सोचें! पूर्णांक और पूर्ण संख्याओं के लिए। गुणात्मक तत्समक क्या है?
Answer: पूर्णांक और पूर्ण संख्याओं के लिए गुणात्मक तत्समक 1 है।
In simple words: पूर्णांक (जैसे -1, 0, 1) और पूर्ण संख्याओं (जैसे 0, 1, 2) के लिए, 1 वह संख्या है जिसे किसी भी संख्या से गुणा करने पर वही संख्या वापस मिल जाती है।

🎯 Exam Tip: गुणात्मक तत्समक हमेशा 1 होता है, चाहे वह प्राकृत संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक या परिमेय संख्या हो। इसे याद रखना बुनियादी गणित के लिए बहुत उपयोगी है।

 

Question 1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) \( 2 + \Box = 0 \)
(ii) \( \Box + 2 = 0 \)
(iii) \( -3 + \Box = 0 \)
(iv) \( \Box + (-3) = 0 \)
(v) \( \frac{3}{4} + \Box = 0 \)
(vi) \( \Box + \frac{3}{4} = 0 \)
(vii) \( \frac{-5}{7} + \Box = 0 \)
(viii) \( \Box + (\frac{-5}{7}) = 0 \)
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
(i) \( 2 + \mathbf{(-2)} = 0 \)
(ii) \( \mathbf{(-2)} + 2 = 0 \)
(iii) \( -3 + \mathbf{3} = 0 \)
(iv) \( \mathbf{3} + (-3) = 0 \)
(v) \( \frac{3}{4} + \mathbf{(\frac{-3}{4})} = 0 \)
(vi) \( \mathbf{(\frac{-3}{4})} + \frac{3}{4} = 0 \)
(vii) \( \frac{-5}{7} + \mathbf{(\frac{5}{7})} = 0 \)
(viii) \( \mathbf{(\frac{5}{7})} + (\frac{-5}{7}) = 0 \)
In simple words: हमने खाली जगहों में ऐसी संख्याएँ भरीं, जिन्हें मूल संख्या में जोड़ने पर उत्तर 0 आता है। ऐसी संख्याओं को योज्य प्रतिलोम कहते हैं, जैसे 2 का योज्य प्रतिलोम -2 है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि योज्य प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे किसी संख्या में जोड़ने पर योग शून्य हो जाता है। यह संख्या केवल चिह्न बदलने से प्राप्त होती है (जैसे \( a \) का योज्य प्रतिलोम \( -a \) है)।

करो और सीखो

 

Question 2. निम्न परिमेय संख्याओं के योज्य प्रतिलोम लिखिए
(i) \( 4 \)
(ii) \( \frac{-1}{3} \)
(iii) \( \frac{7}{2} \)
(iv) \( \frac{-3}{5} \)
(v) \( \frac{9}{2} \)
Answer: योज्य प्रतिलोम का अर्थ है कि संख्या का चिह्न बदल दिया जाए।
(i) \( 4 \) का योज्य प्रतिलोम \( -4 \) है।
(ii) \( \frac{-1}{3} \) का योज्य प्रतिलोम \( \frac{1}{3} \) है।
(iii) \( \frac{7}{2} \) का योज्य प्रतिलोम \( \frac{-7}{2} \) है।
(iv) \( \frac{-3}{5} \) का योज्य प्रतिलोम \( \frac{3}{5} \) है।
(v) \( \frac{9}{2} \) का योज्य प्रतिलोम \( \frac{-9}{2} \) है।
In simple words: हमने हर संख्या का योज्य प्रतिलोम लिखा। यह सिर्फ संख्या का प्लस या माइनस चिह्न बदलने जैसा है, ताकि जब आप उन्हें जोड़ें तो उत्तर 0 आए।

🎯 Exam Tip: योज्य प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्या का केवल चिह्न बदलें। धनात्मक संख्या का योज्य प्रतिलोम ऋणात्मक होता है और ऋणात्मक संख्या का योज्य प्रतिलोम धनात्मक होता है।

पृष्ठ 27

 

Question 3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) \( 5 \times \Box = 1 \)
(ii) \( \Box \times 5 = 1 \)
(iii) \( -7 \times \Box = 1 \)
(iv) \( \Box \times (-7) = 1 \)
(v) \( \frac{2}{3} \times \Box = 1 \)
(vi) \( \Box \times \frac{2}{3} = 1 \)
(vii) \( \frac{-2}{3} \times \Box = 1 \)
(viii) \( \Box \times (\frac{-2}{3}) = 1 \)
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
(i) \( 5 \times \mathbf{\frac{1}{5}} = 1 \)
(ii) \( \mathbf{\frac{1}{5}} \times 5 = 1 \)
(iii) \( -7 \times \mathbf{(\frac{-1}{7})} = 1 \)
(iv) \( \mathbf{(\frac{-1}{7})} \times (-7) = 1 \)
(v) \( \frac{2}{3} \times \mathbf{\frac{3}{2}} = 1 \)
(vi) \( \mathbf{\frac{3}{2}} \times \frac{2}{3} = 1 \)
(vii) \( \frac{-2}{3} \times \mathbf{(\frac{3}{-2})} = 1 \)
(viii) \( \mathbf{(\frac{3}{-2})} \times (\frac{-2}{3}) = 1 \)
In simple words: हमने खाली जगह में ऐसी संख्याएँ भरीं, जिन्हें मूल संख्या से गुणा करने पर उत्तर 1 आता है। ऐसी संख्याओं को गुणात्मक प्रतिलोम कहते हैं, जैसे 5 का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि गुणात्मक प्रतिलोम (या व्युत्क्रम) वह संख्या होती है जिसे किसी संख्या से गुणा करने पर गुणनफल 1 हो जाता है। किसी भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए अंश और हर को पलट देते हैं।

नोट - \( \frac{a}{b} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{b}{a} \) होता है।

 

Question 1. क्या आप बता सकते हैं कि शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम क्या है?
Answer: शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम अपरिभाषित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही आता है, कभी भी 1 नहीं आता। इसलिए, ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके।
In simple words: शून्य का कोई गुणात्मक प्रतिलोम नहीं होता। आप शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करें, उत्तर हमेशा शून्य ही आएगा, कभी 1 नहीं आएगा।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। हमेशा याद रखें कि शून्य का कोई गुणात्मक प्रतिलोम (व्युत्क्रम) नहीं होता, क्योंकि शून्य से भाग करना अपरिभाषित है।

परिमेय संख्या \( \frac{1}{5} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( 5 \) है।
परिमेय संख्या \( \frac{-3}{7} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{-7}{3} \) है।
परिमेय संख्या \( \frac{2}{3} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{3}{2} \) है।
परिमेय संख्या \( \frac{-5}{6} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{-6}{5} \) है।

पृष्ठ 28

 

Question 3. क्या परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन पर गुणन की वितरकता सत्य है?
Answer: हाँ, परिमेय संख्याओं के लिए व्यवकलन पर गुणन की वितरकता सत्य है। इसका मतलब है कि किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं \( a, b, c \) के लिए, \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \) होता है।
In simple words: हाँ, गुणा घटाने पर फैल जाता है। अगर आप एक संख्या को दो संख्याओं के घटाव से गुणा करते हैं, तो आप उसे अलग-अलग गुणा करके फिर घटा सकते हैं, और उत्तर वही आएगा।

🎯 Exam Tip: वितरकता गुणधर्म को याद रखें। यह जोड़ और घटाव दोनों पर लागू होता है। \( a \times (b+c) = ab + ac \) और \( a \times (b-c) = ab - ac \)। यह समीकरणों को हल करने में मदद करता है।

करो और सीखो

 

Question. वितरण नियम (वितरकता) का उपयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac{5}{8} \times (\frac{-3}{7}) + \frac{5}{8} \times (\frac{-7}{7}) \)
Answer: वितरण नियम का उपयोग करके मान ज्ञात करते हैं। वितरण नियम कहता है कि \( a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c) \)।
यहाँ, \( \frac{5}{8} \) को उभयनिष्ठ (common) लिया जा सकता है:
\( \frac{5}{8} \times (\frac{-3}{7}) + \frac{5}{8} \times (\frac{-7}{7}) \)
\( = \frac{5}{8} \times [(\frac{-3}{7}) + (\frac{-7}{7})] \)
कोष्ठक के अंदर की गणना करते हैं। हर समान होने के कारण अंशों को जोड़ते हैं।
\( = \frac{5}{8} \times [\frac{-3 + (-7)}{7}] \)
\( = \frac{5}{8} \times [\frac{-3 - 7}{7}] \)
\( = \frac{5}{8} \times \frac{-10}{7} \)
अब भिन्नों को गुणा करते हैं। अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करते हैं।
\( = \frac{5 \times (-10)}{8 \times 7} \)
\( = \frac{-50}{56} \)
इसे सरल करते हैं, दोनों को 2 से भाग देते हैं।
\( = \frac{-25}{28} \)
In simple words: हमने वितरण नियम का इस्तेमाल करके इस सवाल को हल किया। हमने एक समान संख्या को बाहर निकाल लिया, फिर कोष्ठक के अंदर की संख्याओं को जोड़ा और अंत में गुणा कर दिया। इससे गणना आसान हो गई।

🎯 Exam Tip: वितरण नियम का उपयोग करते समय, उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) को पहचानें। कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें, फिर बाहर के गुणनखंड से गुणा करें। भिन्नों को अंत में हमेशा सबसे सरल रूप में लिखें।

Question. वितरण नियम (वितरकता) का उपयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 5 }{ 8 } \times (\frac { -3 }{ 7 } + \frac { 5 }{ 7 }) \)
(ii) \( \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -3 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 9 }) \)
(iii) \( (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { 2 }{ 9 } + \frac { -7 }{ 11 }) \)
(iv) \( \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { -1 }{ 3 } + \frac { 3 }{ 5 }) \)
Answer:
(i) \( \frac { 5 }{ 8 } \times (\frac { -3 }{ 7 } + \frac { 5 }{ 7 }) \)
The denominators are the same, so we add the numerators:
\( = \frac { 5 }{ 8 } \times (\frac { -3 + 5 }{ 7 }) \)
\( = \frac { 5 }{ 8 } \times (\frac { 2 }{ 7 }) \)
Now, multiply the numerators and denominators:
\( = \frac { 5 \times 2 }{ 8 \times 7 } \)
\( = \frac { 10 }{ 56 } \)
Simplify the fraction by dividing both by 2:
\( = \frac { 5 }{ 28 } \)
(ii) \( \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -3 }{ 7 } + \frac { 1 }{ 9 }) \)
First, find the least common multiple (LCM) of the denominators 7 and 9, which is 63. Convert the fractions to have this common denominator:
\( = \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -3 \times 9 }{ 7 \times 9 } + \frac { 1 \times 7 }{ 9 \times 7 }) \)
\( = \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -27 }{ 63 } + \frac { 7 }{ 63 }) \)
Now, add the fractions inside the bracket:
\( = \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -27 + 7 }{ 63 }) \)
\( = \frac { 2 }{ 5 } \times (\frac { -20 }{ 63 }) \)
Multiply the numerators and denominators:
\( = \frac { 2 \times (-20) }{ 5 \times 63 } \)
\( = \frac { -40 }{ 315 } \)
Simplify the fraction by dividing both by 5:
\( = \frac { -8 }{ 63 } \)
(iii) \( (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { 2 }{ 9 } + \frac { -7 }{ 11 }) \)
First, find the LCM of the denominators 9 and 11, which is 99. Convert the fractions to have this common denominator:
\( = (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { 2 \times 11 }{ 9 \times 11 } + \frac { -7 \times 9 }{ 11 \times 9 }) \)
\( = (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { 22 }{ 99 } + \frac { -63 }{ 99 }) \)
Now, add the fractions inside the bracket:
\( = (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { 22 - 63 }{ 99 }) \)
\( = (\frac { -4 }{ 5 }) \times (\frac { -41 }{ 99 }) \)
Multiply the numerators and denominators. Remember, a negative multiplied by a negative is a positive:
\( = \frac { (-4) \times (-41) }{ 5 \times 99 } \)
\( = \frac { 164 }{ 495 } \)
(iv) \( \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { -1 }{ 3 } + \frac { 3 }{ 5 }) \)
First, find the LCM of the denominators 3 and 5, which is 15. Convert the fractions to have this common denominator:
\( = \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { -1 \times 5 }{ 3 \times 5 } + \frac { 3 \times 3 }{ 5 \times 3 }) \)
\( = \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { -5 }{ 15 } + \frac { 9 }{ 15 }) \)
Now, add the fractions inside the bracket:
\( = \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { -5 + 9 }{ 15 }) \)
\( = \frac { 3 }{ 5 } \times (\frac { 4 }{ 15 }) \)
Multiply the numerators and denominators:
\( = \frac { 3 \times 4 }{ 5 \times 15 } \)
\( = \frac { 12 }{ 75 } \)
Simplify the fraction by dividing both by 3:
\( = \frac { 4 }{ 25 } \)
In simple words: To solve these problems, first combine the fractions inside the brackets by finding a common bottom number. Then, multiply the result by the fraction outside the brackets. Always simplify your final answer.

🎯 Exam Tip: When using the distributive property, remember to simplify fractions inside the parentheses first before multiplying by the outer fraction. This makes calculations easier and reduces errors.

 

पृष्ठ 20 करो और सीखो

 

Question 1. -1 और 2 के मध्य की परिमेय संख्या लिखिए।
Answer: दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्या निकालने के लिए हम उन संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग करते हैं।
मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac { -1 + 2 }{ 2 } \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, -1 और 2 के मध्य की परिमेय संख्या \( \frac { 1 }{ 2 } \) है। एक परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है.
In simple words: To find the rational number exactly in the middle of -1 and 2, just add them together and then divide by 2. The answer is \( \frac{1}{2} \).

🎯 Exam Tip: The simplest way to find a rational number between two given rational numbers is to calculate their average: \( \frac{a+b}{2} \). You can find many more by continuing this process.

 

Question 2. \( \frac {2}{3} \) और \( \frac {3}{4} \) के मध्य की परिमेय संख्या लिखिए।
Answer: दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्या निकालने के लिए हम उन संख्याओं को जोड़कर 2 से भाग करते हैं।
मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 2 }{ 3 } + \frac { 3 }{ 4 }) \)
सबसे पहले, ब्रैकेट के अंदर की संख्याओं को जोड़ें। 3 और 4 का LCM 12 है:
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 2 \times 4 }{ 3 \times 4 } + \frac { 3 \times 3 }{ 4 \times 3 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 8 }{ 12 } + \frac { 9 }{ 12 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 8 + 9 }{ 12 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 17 }{ 12 }) \)
अब गुणा करें:
\( = \frac { 1 \times 17 }{ 2 \times 12 } \)
\( = \frac { 17 }{ 24 } \)
अतः, \( \frac {2}{3} \) और \( \frac {3}{4} \) के मध्य की परिमेय संख्या \( \frac {17}{24} \) है। भिन्नों को जोड़ते समय हमेशा उनके हर (नीचे के नंबर) को एक समान बनाना ज़रूरी है.
In simple words: To find the rational number in the middle of \( \frac {2}{3} \) and \( \frac {3}{4} \), add them together and then divide by 2. This gives \( \frac {17}{24} \).

🎯 Exam Tip: When adding fractions with different denominators, always find the Least Common Multiple (LCM) of the denominators first to make the addition correct.

 

Question 3. 2 और 3 के मध्य की तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए।
Answer: दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उनका औसत (average) निकालते हैं।
1. पहली परिमेय संख्या (2 और 3 के मध्य):
\( = \frac { 2 + 3 }{ 2 } \)
\( = \frac { 5 }{ 2 } \)
इस प्रकार \( 2 < \frac { 5 }{ 2 } < 3 \)
2. दूसरी परिमेय संख्या (2 और \( \frac { 5 }{ 2 } \) के मध्य):
\( = \frac { 1 }{ 2 } (2 + \frac { 5 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 4 }{ 2 } + \frac { 5 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 4 + 5 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 9 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 9 }{ 4 } \)
इस प्रकार \( 2 < \frac { 9 }{ 4 } < \frac { 5 }{ 2 } < 3 \)
3. तीसरी परिमेय संख्या (\( \frac { 5 }{ 2 } \) और 3 के मध्य):
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 5 }{ 2 } + 3) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 5 }{ 2 } + \frac { 6 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 5 + 6 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 11 }{ 2 }) \)
\( = \frac { 11 }{ 4 } \)
इस प्रकार \( 2 < \frac { 9 }{ 4 } < \frac { 5 }{ 2 } < \frac { 11 }{ 4 } < 3 \)
अतः 2 और 3 के मध्य की तीन परिमेय संख्याएँ \( \frac { 9 }{ 4 }, \frac { 5 }{ 2 }, \frac { 11 }{ 4 } \) हैं। आप जितनी चाहें उतनी परिमेय संख्याएँ इसी तरीके से ज्ञात कर सकते हैं.
In simple words: To find three rational numbers between 2 and 3, first find the middle number by adding 2 and 3 and dividing by 2 (which is \( \frac{5}{2} \)). Then, find the middle number between 2 and \( \frac{5}{2} \) (which is \( \frac{9}{4} \)). Finally, find the middle number between \( \frac{5}{2} \) and 3 (which is \( \frac{11}{4} \)). These three are \( \frac{9}{4}, \frac{5}{2}, \frac{11}{4} \).

🎯 Exam Tip: Remember that there are infinitely many rational numbers between any two distinct rational numbers. The average method is just one common way to find them.