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Detailed Chapter 9 त्रिभुजों की सर्वांगसमता RBSE Solutions for Class 7 Mathematics
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Class 7 Mathematics Chapter 9 त्रिभुजों की सर्वांगसमता RBSE Solutions PDF
Rajasthan Board RBSE Class 7 Maths Chapter 9 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Ex 9.2
Question 1. दिए गए चित्र में \( \triangle ABC \cong \triangle PRQ \) हो तो निम्न का मान ज्ञात कीजिए
(i) भुजा PR
(ii) भुजा QR
(iii) भुजा PQ
(iv) ∠P
(v) ∠Q
(vi) ∠R
Answer: सबसे पहले, \( \triangle ABC \) में अज्ञात कोण \( \angle C \) का मान ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 45^\circ + 65^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( 110^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
अब, चूंकि \( \triangle ABC \cong \triangle PRQ \) है, तो सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।
(i) भुजा PR = भुजा AB = 3.5 सेमी
(ii) भुजा QR = भुजा CB = 2 सेमी
(iii) भुजा PQ = भुजा AC = 2.9 सेमी
(iv) \( \angle P = \angle A = 45^\circ \)
(v) \( \angle Q = \angle C = 70^\circ \)
(vi) \( \angle R = \angle B = 65^\circ \)
In simple words: पहले त्रिभुज ABC में तीसरा कोण C निकालो. फिर, क्योंकि दोनों त्रिभुज एक जैसे हैं (सर्वांगसम हैं), तो उनकी एक जैसी भुजाएं और कोण भी बराबर होंगे. बस उनकी सही जोड़ियां देखकर मान लिख दो.
🎯 Exam Tip: सर्वांगसम त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ और संगत कोण हमेशा बराबर होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही संगत भागों का मिलान कर रहे हैं, सर्वांगसमता के क्रम (जैसे \( \triangle ABC \cong \triangle PRQ \)) का सावधानीपूर्वक पालन करें।
Question 2. दिए गए चित्रों में प्रत्येक त्रिभुज के जोड़े के लिए, सर्वांगसमता की जाँच कीजिए और कारण बताइए।
Answer:
(i) \( \triangle PQT \) और \( \triangle SRT \) में:
\( QT = RT = 2.8 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( \angle PQT = \angle SRT = 70^\circ \) (दिए गए कोण)
\( \angle PTQ = \angle STR \) (शीर्षाभिमुख कोण, जो हमेशा बराबर होते हैं)
इसलिए, A.S.A. (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle PQT \cong \triangle SRT \)
(ii) \( \triangle ABD \) और \( \triangle CDB \) में:
\( \angle ABD = \angle CDB = 35^\circ \) (दिए गए कोण)
\( AB = CD = 4.5 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( BD = BD \) (यह दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है)
इसलिए, S.A.S. (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle ABD \cong \triangle CDB \)
(iii) \( \triangle ABC \) और \( \triangle ADC \) में (चित्र 3 (iii) से):
\( AB = AD = 2.5 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( BC = CD = 3.5 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( AC = AC \) (यह दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है)
इसलिए, S.S.S. (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle ABC \cong \triangle ADC \)
In simple words: त्रिभुजों को ध्यान से देखें. यदि उनकी दो भुजाएं और उनके बीच का कोण बराबर हैं (SAS), या दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर है (ASA), या तीनों भुजाएं बराबर हैं (SSS), तो वे सर्वांगसम होते हैं. शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं और उभयनिष्ठ भुजाएं भी बराबर होती हैं.
🎯 Exam Tip: सर्वांगसमता के नियमों (SSS, SAS, ASA, RHS) को अच्छे से समझें और पहचानें कि कौन सा नियम दिए गए त्रिभुजों के लिए लागू होता है। उभयनिष्ठ भुजाओं और शीर्षाभिमुख कोणों को पहचानना न भूलें, क्योंकि ये अक्सर सर्वांगसमता सिद्ध करने में मदद करते हैं।
Question 3. नीचे दिए गए त्रिभुज के जोड़ों में कौनसे जोड़े सर्वांगसम हैं लिखिए
Answer:
(i) \( \triangle PRQ \) और \( \triangle QSP \) में (चित्र (i) से):
\( PR = QS = 3 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( PQ = PQ = 5 \) सेमी (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा)
\( \angle RPQ = \angle SQP = 50^\circ \) (दीर्घ भुजाओं के बीच के संगत कोण)
इसलिए, S.A.S. (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle PRQ \cong \triangle SQP \)
(ii) \( \triangle MXZ \) और \( \triangle NYZ \) में (चित्र (ii) से):
\( \angle X = \angle Y = 110^\circ \) (दिए गए कोण)
\( XZ = YZ = 2.5 \) सेमी (दी गई भुजाएँ)
\( \angle MXZ = \angle NYZ = 40^\circ \) (दिए गए कोण)
इसलिए, A.S.A. (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle MXZ \cong \triangle NYZ \)
In simple words: दो त्रिभुजों को सर्वांगसम कहने के लिए, उनके कम से कम तीन संगत भाग (जैसे दो भुजाएं और उनके बीच का कोण, या दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीनों भुजाएं) एक जैसे होने चाहिए. चित्र में दिए गए मापों का उपयोग करके सही नियम ढूंढें.
🎯 Exam Tip: जब त्रिभुज के जोड़े दिए जाते हैं, तो सर्वांगसमता नियम लागू करने से पहले संगत भुजाओं और कोणों को सावधानीपूर्वक पहचानें। सुनिश्चित करें कि आप नियम की शर्तों को पूरा कर रहे हैं, जैसे कि SAS में कोण का भुजाओं के बीच होना चाहिए।
Question 4. कथन को पूरा कीजिए
(i) \( \triangle ADB \cong ? \)
(ii) \( \triangle PQR \cong ? \)
Answer:
(i) \( \triangle ABD \) और \( \triangle ACD \) में (चित्र (i) से):
\( AB = AC \) (दी गई भुजाएँ)
\( BD = CD \) (दी गई भुजाएँ)
\( AD = AD \) (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा)
अतः S.S.S. (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)
(ii) \( \triangle PQR \) और \( \triangle PSR \) में (चित्र (ii) से):
\( QR = RS \) (दी गई भुजाएँ)
\( PQ = PS \) (दी गई भुजाएँ)
\( RP = RP \) (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा)
अतः S.S.S. (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle PQR \cong \triangle PSR \)
In simple words: जब आपको ऐसे दो त्रिभुज मिलते हैं जिनकी सभी तीन संगत भुजाएं बराबर होती हैं, तो वे SSS नियम के अनुसार सर्वांगसम होते हैं. उभयनिष्ठ भुजा का मतलब है कि एक ही भुजा दोनों त्रिभुजों में उपयोग हो रही है.
🎯 Exam Tip: SSS सर्वांगसमता नियम को लागू करते समय, सुनिश्चित करें कि तीनों संगत भुजाओं की लंबाई समान है। उभयनिष्ठ भुजाओं को पहचानना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे अक्सर एक छिपी हुई संगत भुजा होती हैं।
Question 5. दिए गए चित्र में MNOL एक आयत है तो क्या \( \triangle NOL \cong \triangle LMN \) ? यदि हाँ तो कारण बताइए।
Answer: हाँ, \( \triangle NOL \cong \triangle LMN \) है।
कारण:
चूंकि MNOL एक आयत है, तो उसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है।
\( MN = LO \) (आयत की सम्मुख भुजाएँ)
\( NO = LM \) (आयत की सम्मुख भुजाएँ)
\( NL = NL \) (यह दोनों त्रिभुजों \( \triangle NOL \) और \( \triangle LMN \) की उभयनिष्ठ भुजा है)
इसलिए, S.S.S. (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle NOL \cong \triangle LMN \)
वैकल्पिक रूप से, हम SAS नियम का भी उपयोग कर सकते हैं:
\( MN = LO \)
\( \angle LMN = \angle NOL = 90^\circ \) (आयत के कोण)
\( LM = NO \)
इस प्रकार, SAS (भुजा-कोण-भुजा) नियम से भी \( \triangle NOL \cong \triangle LMN \) सिद्ध होता है। एक आयत के विकर्ण हमेशा इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
In simple words: हाँ, वे सर्वांगसम हैं. एक आयत की आमने-सामने की भुजाएं बराबर होती हैं, और उनका विकर्ण (तिरछी रेखा) दोनों त्रिभुजों के लिए समान होता है. इसलिए, तीनों भुजाएं बराबर होने के कारण वे सर्वांगसम हैं.
🎯 Exam Tip: आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज जैसे ज्यामितीय आकृतियों के गुणों को याद रखें, क्योंकि ये गुण अक्सर सर्वांगसमता सिद्ध करने में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं। यह जानना कि आयत के कोण 90 डिग्री होते हैं और सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, बहुत उपयोगी है।
Question 6. दिए गए चित्र में \( \triangle PQR \) तथा \( \triangle PQS \) में भुजा PR = भुजा QS, तथा भुजा RQ = भुजा PS तब बताइए कौन - सा कथन सत्य है।
(i) \( \triangle PQR \cong \triangle PQS \)
(ii) \( \triangle PQR \cong \triangle QPS \)
(iii) \( \triangle PQR \cong \triangle QSP \)
Answer: \( \triangle PQR \) और \( \triangle QPS \) में:
\( PR = QS \) (दिया गया है)
\( RQ = PS \) (दिया गया है)
\( PQ = PQ \) (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा)
इसलिए, S.S.S. (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle PQR \cong \triangle QPS \)
अतः (ii) कथन सत्य है। त्रिभुजों के क्रम को ध्यान से देखें, यह संगतता के लिए महत्वपूर्ण है।
In simple words: यदि दो त्रिभुजों की तीनों संगत भुजाएं एक-दूसरे के बराबर हैं, तो वे SSS नियम से सर्वांगसम होते हैं. यहां \( \triangle PQR \) और \( \triangle QPS \) की सभी भुजाएं समान हैं, इसलिए वे सर्वांगसम हैं और विकल्प (ii) सही है.
🎯 Exam Tip: सर्वांगसमता कथन लिखते समय, संगत शीर्षों के क्रम का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, यदि भुजा AB भुजा DE के बराबर है, तो A को D से और B को E से संगत होना चाहिए।
Question 7. दिए गए चित्र में \( \triangle ABC \) में \( \angle A = 40^\circ \), \( \angle C = 35^\circ \) तथा भुजा AB = 2.5 सेमी है, तथा \( \triangle ADEF \) में \( \angle F = 35^\circ \), \( \angle E = 105^\circ \) एवं भुजा DE = 2.5 सेमी हो तो बताइए क्या \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) है।
Answer: पहले \( \triangle ABC \) में अज्ञात कोण \( \angle B \) का मान ज्ञात करते हैं।
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) (त्रिभुज के कोणों का योग)
\( 40^\circ + \angle B + 35^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle B + 75^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle B = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \)
अब, \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) की तुलना करते हैं:
\( \angle A = 40^\circ \)
\( \angle B = 105^\circ \)
\( \angle C = 35^\circ \)
और \( \triangle DEF \) में:
\( \angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (105^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
\( \angle E = 105^\circ \)
\( \angle F = 35^\circ \)
हम देखते हैं कि:
\( \angle A = \angle D = 40^\circ \)
\( AB = DE = 2.5 \) सेमी
\( \angle B = \angle E = 105^\circ \)
इसलिए, A.S.A. (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम से,
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)। त्रिभुजों के कोणों का योग \(180^\circ\) होता है, जिससे किसी भी अज्ञात कोण को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: सबसे पहले, त्रिभुज ABC का तीसरा कोण B पता करें. फिर, दोनों त्रिभुजों के कोणों और दी गई भुजाओं की तुलना करें. यदि दो कोण और उनके बीच की भुजा (ASA नियम) दोनों त्रिभुजों में समान हैं, तो वे सर्वांगसम होते हैं.
🎯 Exam Tip: जब दो त्रिभुजों के कोण और एक भुजा दी गई हो, तो हमेशा पहले अज्ञात कोण ज्ञात करें। फिर, संगत कोणों और भुजाओं का मिलान करके देखें कि कौन सा सर्वांगसमता नियम (जैसे ASA) लागू होता है।
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RBSE Solutions Class 7 Mathematics Chapter 9 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
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