NCERT Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 08 त्रिभुज और उसके गुण
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Practice Class 7 Mathematics Solutions: Chapter 08 त्रिभुज और उसके गुण
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प्रश्न. क्या त्रिभुज के किसी कोण को बदलने पर उसके अन्य दो कोणों की माप भी बदलती है? आप अलग – अलग त्रिभुज बनाकर जाँचे और तालिका में भरें
Answer: हाँ, त्रिभुज के किसी एक कोण को बदलने पर उसके अन्य दो कोणों की माप भी बदलती है। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है। यदि एक कोण बदलता है, तो दूसरे कोणों को भी बदलना होगा ताकि योग \( 180^\circ \) ही रहे। तालिका से इसे और स्पष्ट किया जा रहा है:
| त्रिभुज का नाम | कोणों की माप |
|---|---|
| \( \Delta ABC \) | \( \angle A = 50^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 70^\circ \) |
| \( \Delta ABC \) | \( \angle A = 30^\circ, \angle B = 120^\circ, \angle C = 30^\circ \) |
| \( \Delta ABC \) | \( \angle A = 100^\circ, \angle B = 50^\circ, \angle C = 30^\circ \) |
In simple words: हाँ, जब हम त्रिभुज का एक कोण बदलते हैं, तो उसके बाकी दो कोणों का माप भी बदल जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एक त्रिभुज के अंदर के सभी कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180 डिग्री ही आती है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है, जो त्रिभुज के प्रकार के बावजूद एक स्थिर नियम है।
प्रश्न. क्या आप सभी माप के त्रिभुज बना पाए? नहीं तो क्यों? साथियों से चर्चा करें। आपने जो त्रिभुज बनाए उसकी भुजाओं की माप तालिका में दिखाए अनुसार भरिए।
Answer: हम सभी माप के त्रिभुज नहीं बना पाए, क्योंकि त्रिभुज बनाने के लिए एक खास नियम होता है। इस नियम के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। यदि यह नियम पूरा नहीं होता, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं है। हमने जो त्रिभुज बनाए उनकी भुजाओं की माप और विश्लेषण नीचे तालिका में दिखाया गया है:
| त्रिभुज का नाम | भुजा का माप | दो भुजाओं का योग | भुजाओं में संबंध | दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक है | त्रिभुज बना हाँ/नहीं |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \Delta XYZ \) | x = 5 | x + y = 5 + 4 | x + y > z | 9 > 6 | हाँ |
| y = 4 | y + z = 4 + 6 | y + z > x | 10 > 5 | ||
| z = 6 | z + x = 6 + 5 | z + x > y | 11 > 4 | ||
| \( \Delta MNO \) | m = 6.5 | m + n = 11 | m + n > o | 11 > 3 | हाँ |
| n = 4.5 | n + o = 7.5 | n + o > m | 7.5 > 6.5 | ||
| o = 3 | o + m = 9.5 | o + m > n | 9.5 > 4.5 | ||
| \( \Delta PQR \) | p = 5 | p + q = 11 | p + q < r | 11 > 12 | नहीं |
| q = 6 | q + r = 18 | q + r > p | 18 > 5 | ||
| r = 12 | r + p = 17 | r + p > q | 17 > 6 | ||
| \( \Delta UVW \) | u = 2 | u + v = 5 | u + v = w | 5 = 5 | नहीं |
| v = 3 | v + w = 8 | v + w > u | 8 > 2 | ||
| w = 5 | w + u = 7 | w + u > v | 7 > 3 |
In simple words: त्रिभुज बनाने का एक नियम है: उसकी कोई भी दो भुजाएँ मिलकर तीसरी भुजा से लंबी होनी चाहिए। अगर ऐसा नहीं होता, तो त्रिभुज नहीं बन सकता है। तालिका में यह साफ़ दिखता है कि कुछ मापों से त्रिभुज बन पाते हैं और कुछ से नहीं।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता नियम (Triangle Inequality Theorem) बहुत महत्वपूर्ण है। हमेशा सुनिश्चित करें कि किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो, तभी त्रिभुज बन सकता है।
करो और सीखो
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प्रश्न. नीचे दिए गए त्रिभुज में x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। इस नियम का उपयोग करके हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं:
(i) \( 70^\circ + 60^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies 130^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 130^\circ \)
\( \implies x = 50^\circ \)
(ii) \( 30^\circ + x + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 120^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies x = 60^\circ \)
(iii) \( 40^\circ + 40^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies 80^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 80^\circ \)
\( \implies x = 100^\circ \)
In simple words: किसी भी त्रिभुज के अंदर के तीनों कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180 डिग्री आती है। हमें दिए गए कोणों को जोड़ना है और उसे 180 में से घटाकर बचे हुए कोण 'x' का मान निकालना है।
🎯 Exam Tip: कोणों का योग \( 180^\circ \) नियम त्रिभुज के हर प्रकार के लिए लागू होता है, चाहे वह समकोण, न्यूनकोण या अधिककोण त्रिभुज हो।
प्रश्न. नीचे दिए गए त्रिभुजों में x का मान ज्ञात कीजिए (बाह्य कोण)।
Answer: प्रत्येक त्रिभुज में बाह्य कोण (exterior angle) दो अन्तःसम्मुख कोणों (opposite interior angles) के योग के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है:
(i) \( x = 60^\circ + 70^\circ \)
\( \implies x = 130^\circ \)
(ii) \( x = 60^\circ + 40^\circ \)
\( \implies x = 100^\circ \)
(iii) \( x = 60^\circ + 90^\circ \)
\( \implies x = 150^\circ \)
In simple words: त्रिभुज के बाहर वाला कोण (बाह्य कोण) हमेशा त्रिभुज के अंदर के उन दो कोणों के जोड़ के बराबर होता है जो उस बाह्य कोण के सामने होते हैं। हमें बस सामने वाले दो अंदरूनी कोणों को जोड़ना है।
🎯 Exam Tip: बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) को हमेशा याद रखें: एक त्रिभुज का बाह्य कोण अपने दोनों विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
प्रश्न 2. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है जिसके दो कोण समकोण हों ?
Answer: नहीं, ऐसा कोई त्रिभुज संभव नहीं है जिसके दो कोण समकोण (यानी 90 डिग्री के) हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है। यदि दो कोण ही \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) हो जाएँगे, तो तीसरे कोण के लिए कोई जगह नहीं बचेगी (वह \( 0^\circ \) हो जाएगा), जिससे एक त्रिभुज नहीं बन पाएगा।
In simple words: नहीं, एक त्रिभुज में दो कोण 90 डिग्री के नहीं हो सकते। अगर दो कोण 90 डिग्री के हुए, तो उनका जोड़ ही 180 डिग्री हो जाएगा, और तीसरे कोण के लिए कोई जगह नहीं बचेगी।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) नियम किसी भी ज्यामितीय आकृति की संभावनाओं को समझने के लिए मौलिक है।
प्रश्न 3. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है जिसके तीनों कोण 60° से अधिक हो ?
Answer: नहीं, ऐसा कोई त्रिभुज संभव नहीं है जिसके तीनों कोण \( 60^\circ \) से अधिक हों। यदि तीनों कोण \( 60^\circ \) से अधिक होते, तो उनका कुल योग \( 180^\circ \) से भी अधिक हो जाता, जो त्रिभुज के कोणों के योग नियम ( \( 180^\circ \) ) के विपरीत है। उदाहरण के लिए, यदि तीनों कोण \( 61^\circ \) भी होते, तो योग \( 61^\circ + 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ \) हो जाता।
In simple words: नहीं, एक त्रिभुज के तीनों कोण 60 डिग्री से ज़्यादा नहीं हो सकते। अगर ऐसा होगा, तो उन तीनों कोणों को जोड़ने पर 180 डिग्री से ज़्यादा आएगा, जो कि त्रिभुज के नियम के खिलाफ है।
🎯 Exam Tip: एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) में तीनों कोण \( 60^\circ \) के होते हैं, और यह अधिकतम मान है जब सभी कोण बराबर हों।
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प्रश्न 1. एक त्रिभुज बनाइये जिसकी भुजाओं की माप 3.5 सेमी., 4.5 सेमी, तथा 6 सेमी. है।
Answer: दिए गए मापों का उपयोग करके एक त्रिभुज बनाने के लिए निम्नलिखित चरण हैं:
1. सबसे पहले, 6 सेमी. लंबाई की एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. अब, बिंदु A को केंद्र मानकर, 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप (arc) लगाइए।
3. इसके बाद, बिंदु B को केंद्र मानकर, 4.5 सेमी. त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए।
4. ये दोनों चाप एक दूसरे को जिस बिंदु पर काटते हैं, उसे C नाम दीजिए।
5. अंत में, बिंदुओं A को C से और B को C से मिलाइए।
इस प्रकार, \( \Delta ABC \) अभीष्ट त्रिभुज होगा। यह त्रिभुज असमानता नियम का पालन करता है (3.5+4.5 > 6, 4.5+6 > 3.5, 3.5+6 > 4.5)।
In simple words: सबसे पहले 6 सेमी की एक सीधी रेखा खींचें। फिर एक सिरे से 3.5 सेमी की दूरी पर और दूसरे सिरे से 4.5 सेमी की दूरी पर दो चाप लगाएं। जहाँ ये चाप मिलेंगे, उस बिंदु को दोनों सिरों से जोड़ दें, आपका त्रिभुज बन जाएगा।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज बनाने के लिए हमेशा पहले सबसे लंबी भुजा को आधार के रूप में खींचें। चाप लगाने से पहले भुजाओं के योग का नियम जाँच लें ताकि समय बर्बाद न हो।
प्रश्न 2. क्या एक ऐसा त्रिभुज बन सकता है जिसकी भुजाओं की माप 4 सेमी., 5 सेमी. और 9 सेमी. हो।
Answer: नहीं, इस माप का त्रिभुज नहीं बन सकता है। त्रिभुज के निर्माण के नियम के अनुसार, उसकी किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। इस स्थिति में, यदि हम 4 सेमी. और 5 सेमी. भुजाओं को जोड़ते हैं, तो उनका योग \( 4 + 5 = 9 \) सेमी. होता है। यह योग तीसरी भुजा (9 सेमी.) के बराबर है, उससे अधिक नहीं। इसलिए, ये भुजाएँ मिलकर एक त्रिभुज नहीं बना सकती हैं।
In simple words: नहीं, 4 सेमी, 5 सेमी और 9 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज नहीं बन सकता। क्योंकि 4 और 5 को जोड़ने पर 9 आता है, जो तीसरी भुजा (9 सेमी) के बराबर है, उससे ज़्यादा नहीं। त्रिभुज बनाने के लिए दो भुजाओं का जोड़ हमेशा तीसरी से ज़्यादा होना चाहिए।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता नियम को हमेशा ध्यान में रखें: \( a+b > c \), \( b+c > a \), और \( a+c > b \)। यदि इनमें से एक भी शर्त पूरी नहीं होती, तो त्रिभुज बनाना असंभव है।
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