Official RBSE Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 08 त्रिभुज और उसके गुण
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 08 त्रिभुज और उसके गुण
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Question 1. भुजाओं की मापों के आधार पर बताइए कौन-कौन से माप त्रिभुज का निर्माण कर सकते हैं ?
(i) 6, 5, 5
(ii) 2, 3, 5
(iii) 3, 4, 8
(iv) 3, 5, 6
(v) 4, 4, 8
(vi) 9, 2, 8
Answer: त्रिभुज तभी बन सकता है जब उसकी किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक हो। अगर यह शर्त पूरी नहीं होती, तो भुजाएँ एक त्रिभुज नहीं बना सकतीं।
(i) भुजाएँ: 6, 5, 5
\( 6 + 5 = 11 \), जो \( 5 \) से बड़ा है।
\( 5 + 5 = 10 \), जो \( 6 \) से बड़ा है।
अतः, ये माप एक त्रिभुज बनाती हैं।
(ii) भुजाएँ: 2, 3, 5
\( 2 + 3 = 5 \), जो \( 5 \) से बड़ा नहीं है (यह \( 5 \) के बराबर है)।
अतः, ये माप एक त्रिभुज नहीं बनाती हैं।
(iii) भुजाएँ: 3, 4, 8
\( 3 + 4 = 7 \), जो \( 8 \) से बड़ा नहीं है (यह \( 8 \) से छोटा है)।
अतः, ये माप एक त्रिभुज नहीं बनाती हैं।
(iv) भुजाएँ: 3, 5, 6
\( 3 + 5 = 8 \), जो \( 6 \) से बड़ा है।
\( 3 + 6 = 9 \), जो \( 5 \) से बड़ा है।
\( 5 + 6 = 11 \), जो \( 3 \) से बड़ा है।
अतः, ये माप एक त्रिभुज बनाती हैं।
(v) भुजाएँ: 4, 4, 8
\( 4 + 4 = 8 \), जो \( 8 \) से बड़ा नहीं है (यह \( 8 \) के बराबर है)।
अतः, ये माप एक त्रिभुज नहीं बनाती हैं।
(vi) भुजाएँ: 9, 2, 8
\( 9 + 2 = 11 \), जो \( 8 \) से बड़ा है।
\( 9 + 8 = 17 \), जो \( 2 \) से बड़ा है।
\( 2 + 8 = 10 \), जो \( 9 \) से बड़ा है।
अतः, ये माप एक त्रिभुज बनाती हैं।
In simple words: त्रिभुज बनाने के लिए, किसी भी दो भुजाओं को जोड़ने पर उनका मान हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। अगर जोड़ तीसरी भुजा से कम या उसके बराबर होता है, तो त्रिभुज नहीं बन सकता।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज की असमानता नियम को याद रखें: "किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से हमेशा बड़ा होता है।" यह नियम आपको यह तय करने में मदद करेगा कि दिए गए माप से एक त्रिभुज बन सकता है या नहीं।
Question 2. एक समबाहुत्रिभुज के तीनों कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: एक समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी सभी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। जब किसी त्रिभुज की भुजाएँ बराबर होती हैं, तो उनके सामने के कोण भी बराबर होते हैं। इसलिए, एक समबाहु त्रिभुज में सभी तीनों कोण आपस में बराबर होते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक कोण \( x^\circ \) है। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \[ x^\circ + x^\circ + x^\circ = 180^\circ \] \[ 3x^\circ = 180^\circ \]
\( \implies \) \( x^\circ = \frac{180^\circ}{3} \)
\( \implies \) \( x^\circ = 60^\circ \) इसलिए, एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान \( 60^\circ \) होता है। यह एक महत्वपूर्ण गुण है जो सभी समबाहु त्रिभुजों पर लागू होता है।
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए उसके सभी कोण भी बराबर होते हैं। चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है, तो हर कोण 60 डिग्री का होगा।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर होते हैं, और प्रत्येक कोण हमेशा \( 60^\circ \) होता है। यह एक मानक तथ्य है।
Question 3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) प्रत्येक त्रिभुज में कम से कम दो कोण....... होते हैं।
(ii) ....... त्रिभुज का एक शीर्ष लम्ब त्रिभुज के बाहर होता है।
(iii) प्रत्येक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुज से................. होता है।
(iv) ....... त्रिभुज के दो कोण समान होते हैं।
(v) त्रिभुज के किसी शीर्ष से उसके सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा ....... कहलाती है।
(vi) किसी त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिन्दु पर मिलती है, उसे ....... कहते हैं।
(vii) लम्बकेन्द्र से त्रिभुज के तीनों.........गुजरते हैं।
Answer:
(i) प्रत्येक त्रिभुज में कम से कम दो कोण न्यून कोण होते हैं। (न्यून कोण वह कोण होता है जो 90 डिग्री से कम होता है।)
(ii) अधिक कोण त्रिभुज का एक शीर्ष लम्ब त्रिभुज के बाहर होता है। (अधिक कोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री से अधिक होता है, जिससे शीर्ष लम्ब बाहर की ओर बनता है।)
(iii) प्रत्येक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से अधिक होता है। (यह त्रिभुज की असमानता का नियम है।)
(iv) समद्विबाहु त्रिभुज के दो कोण समान होते हैं। (समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ और उनके सामने के दो कोण बराबर होते हैं।)
(v) त्रिभुज के किसी शीर्ष से उसके सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा माध्यिका कहलाती है। (माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है।)
(vi) किसी त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिन्दु पर मिलती है, उसे केन्द्रक कहते हैं। (केन्द्रक त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र भी होता है।)
(vii) लम्बकेन्द्र से त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्ब गुजरते हैं। (शीर्षलम्ब वह रेखा होती है जो शीर्ष से सामने वाली भुजा पर लम्ब होती है।)
In simple words: ये खाली स्थान त्रिभुज के गुणों और परिभाषाओं को पूरा करते हैं। जैसे, हर त्रिभुज में कम से कम दो छोटे कोण होते हैं, और एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो कोण बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज की मूल परिभाषाएँ और गुण जैसे न्यून कोण, अधिक कोण त्रिभुज, माध्यिका, शीर्ष लम्ब, केन्द्रक, और लम्बकेन्द्र को अच्छी तरह से समझ लें।
Question 4. त्रिभुज ABC में \( \angle A = 70^\circ \) तथा AB = AC हो तो \( \angle B \) वे \( \angle C \) का माप ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC में \( \angle A = 70^\circ \) और भुजा AB = भुजा AC है। एक त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सामने के कोण भी बराबर होते हैं। इसलिए, क्योंकि AB = AC, तो \( \angle B = \angle C \) होगा। हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] मान \( \angle B = \angle C \) रखने पर: \[ 70^\circ + \angle B + \angle B = 180^\circ \] \[ 70^\circ + 2\angle B = 180^\circ \] \[ 2\angle B = 180^\circ - 70^\circ \] \[ 2\angle B = 110^\circ \]
\( \implies \) \( \angle B = \frac{110^\circ}{2} \)
\( \implies \) \( \angle B = 55^\circ \) चूँकि \( \angle B = \angle C \), तो \( \angle C = 55^\circ \) होगा। अतः, \( \angle B = 55^\circ \) और \( \angle C = 55^\circ \) हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज का उदाहरण है जहाँ दो भुजाएँ बराबर होती हैं और उनके सामने के कोण भी बराबर होते हैं।
In simple words: एक त्रिभुज में, अगर दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उनके सामने के कोण भी बराबर होंगे। \( \angle A = 70^\circ \) दिया है। त्रिभुज के सभी कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है। इसलिए, बाकी दोनों कोण \( (180 - 70) / 2 = 55 \) डिग्री के होंगे।
🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज का नियम याद रखें: बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। इसके साथ ही, त्रिभुज के कोणों के योग का नियम \( (\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ) \) लगाकर आप आसानी से अज्ञात कोणों का मान निकाल सकते हैं।
Question 5. एक त्रिभुज का चित्र बनाकर उसमें एक माध्यिका तथा एक शीर्ष लम्ब को दर्शाइए।
Answer:
त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सामने वाली भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ने वाला रेखाखंड माध्यिका (जैसे चित्र में AD) कहलाता है। एक माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले भागों में बांटती है।
त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से उसकी सामने वाली भुजा पर डाला गया लम्ब रेखाखंड शीर्ष लम्ब (जैसे चित्र में BE) कहलाता है। शीर्ष लम्ब हमेशा आधार पर 90 डिग्री का कोण बनाता है।
In simple words: माध्यिका किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के बीच वाले बिंदु से जोड़ती है। शीर्ष लम्ब किसी शीर्ष से सामने वाली भुजा पर सीधा 90 डिग्री का कोण बनाते हुए गिरता है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका और शीर्ष लम्ब के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें। माध्यिका हमेशा मध्यबिंदु पर मिलती है, जबकि शीर्ष लम्ब हमेशा लंबवत होता है।
Question 6. एक त्रिभुज की दो भुजाओं के माप 3 सेमी तथा 6 सेमी. है। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा की न्यूनतम तथा अधिकतम माप क्या हो सकती है?
Answer: मान लीजिए त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 सेमी और 6 सेमी हैं। तीसरी भुजा की माप ज्ञात करने के लिए हम त्रिभुज की असमानता के नियम का उपयोग करते हैं। त्रिभुज की असमानता नियम कहता है कि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए, और दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होना चाहिए।
1. तीसरी भुजा दो अन्य भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए: \[ \text{तीसरी भुजा} < 3 + 6 \] \[ \text{तीसरी भुजा} < 9 \text{ सेमी} \]
2. तीसरी भुजा दो अन्य भुजाओं के अंतर से अधिक होनी चाहिए: \[ \text{तीसरी भुजा} > 6 - 3 \] \[ \text{तीसरी भुजा} > 3 \text{ सेमी} \] इन दोनों शर्तों को मिलाने पर हमें मिलता है: \[ 3 \text{ सेमी} < \text{तीसरी भुजा} < 9 \text{ सेमी} \] इसलिए, तीसरी भुजा की लंबाई 3 सेमी से अधिक और 9 सेमी से कम होनी चाहिए। सबसे छोटी पूर्णांक माप 4 सेमी होगी और सबसे बड़ी पूर्णांक माप 8 सेमी होगी।
In simple words: तीसरी भुजा की लंबाई, दी गई दो भुजाओं के जोड़ से कम और उनके अंतर से ज़्यादा होनी चाहिए। यहाँ, यह 3 सेमी और 9 सेमी के बीच होगी। तो, सबसे छोटी पूरी माप 4 सेमी और सबसे बड़ी पूरी माप 8 सेमी होगी।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज की असमानता नियम को ध्यान में रखें: \( a - b < c < a + b \). यह नियम त्रिभुज की तीसरी भुजा के संभावित माप की सीमा बताता है।
Question 7. दो चेतावनी सूचक चिह्न (त्रिभुजाकार यातायात संकेतक) बनाएँ जो कि सम्भुज हो और जो आपका ध्यान सड़क पर आने वाले खतरों की ओर आकर्षित करता हो।
Answer: यातायात चेतावनी संकेत अक्सर त्रिकोणीय होते हैं ताकि वे ड्राइवरों का ध्यान आकर्षित कर सकें और उन्हें आगे आने वाले खतरों के बारे में सूचित कर सकें। यहाँ दो चेतावनी संकेत दिए गए हैं:
(i) आगे विद्यालय है:
(ii) गति अवरोधक:
ये त्रिभुजाकार चेतावनी संकेत सड़क पर आने वाले संभावित खतरों के बारे में ड्राइवरों को पहले से सूचित करके सुरक्षा बनाए रखने में मदद करते हैं।
In simple words: चेतावनी वाले सड़क चिह्न अक्सर त्रिभुज के आकार के होते हैं। यहाँ दो उदाहरण हैं: एक बच्चों को स्कूल के पास चलने का दिखाता है, और दूसरा सड़क पर स्पीड ब्रेकर (गति अवरोधक) होने की चेतावनी देता है।
🎯 Exam Tip: विभिन्न प्रकार के यातायात संकेतों और उनके अर्थों को जानना महत्वपूर्ण है। चेतावनी संकेत (त्रिभुजाकार) हमेशा किसी संभावित खतरे की ओर इशारा करते हैं।
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Mathematics Class 7 Curriculum Solutions: Chapter 08 त्रिभुज और उसके गुण
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