RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 8 त्रिभुज और उसके गुण Exercise 8.1

Question 1. नीचे दिये गए त्रिभुजों में अज्ञात कोणका मान ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज के सभी तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस नियम का उपयोग करके हम अज्ञात कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

(i) हमें पता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( x + 60° + 85° = 180° \)
पहले ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( x + 145° = 180° \)
अब 180° में से 145° घटाकर x का मान निकालते हैं:
\( x = 180° - 145° \)
\( \implies x = 35° \)

(ii) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( x + 40° + 20° = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( x + 60° = 180° \)
अब 180° में से 60° घटाकर x का मान निकालते हैं:
\( x = 180° - 60° \)
\( \implies x = 120° \)

(iii) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यहाँ एक कोण 90° है क्योंकि यह एक समकोण त्रिभुज का निशान है।
\( x + 40° + 90° = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( x + 130° = 180° \)
अब 180° में से 130° घटाकर x का मान निकालते हैं:
\( x = 180° - 130° \)
\( \implies x = 50° \)

(iv) त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। इस त्रिभुज के सभी कोण x हैं।
\( x + x + x = 180° \)
तीनों x को जोड़ते हैं:
\( 3x = 180° \)
x का मान निकालने के लिए 180° को 3 से भाग देते हैं:
\( x = \frac{180°}{3} \)
\( \implies x = 60° \)
In simple words: एक त्रिभुज के अंदर के सभी कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180° आता है। इस नियम का उपयोग करके, हम दिए गए कोणों को जोड़ते हैं और फिर उन्हें 180° में से घटाकर अज्ञात कोण का मान निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, इस नियम को हमेशा याद रखें। यह त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है।

Question 2. नीचे दी गई आकृतियों में अज्ञात कोण \(x\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज का बाह्य कोण (बाहर वाला कोण) हमेशा उसके दो अंदरूनी विपरीत कोणों (जो कोण उसके बगल में नहीं होते) के योग के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं।

(i) बाह्य कोण x, दो अन्तः सम्मुख कोणों (80° और 50°) के योग के बराबर होगा।
\( x = 80° + 50° \)
\( \implies x = 130° \)

(ii) बाह्य कोण x, दो अन्तः सम्मुख कोणों (30° और 35°) के योग के बराबर होगा।
\( x = 30° + 35° \)
\( \implies x = 65° \)

(iii) बाह्य कोण 110° दो अन्तः सम्मुख कोणों (x और 35°) के योग के बराबर है।
\( x + 35° = 110° \)
x का मान निकालने के लिए 110° में से 35° घटाते हैं:
\( x = 110° - 35° \)
\( \implies x = 75° \)

(iv) बाह्य कोण 120° दो अन्तः सम्मुख कोणों (x और 70°) के योग के बराबर है।
\( x + 70° = 120° \)
x का मान निकालने के लिए 120° में से 70° घटाते हैं:
\( x = 120° - 70° \)
\( \implies x = 50° \)

(v) बाह्य कोण 65° दो अन्तः सम्मुख कोणों (x और 35°) के योग के बराबर है।
\( x + 35° = 65° \)
x का मान निकालने के लिए 65° में से 35° घटाते हैं:
\( x = 65° - 35° \)
\( \implies x = 30° \)

(vi) बाह्य कोण x, दो अन्तः सम्मुख कोणों (55° और 40°) के योग के बराबर होगा।
\( x = 55° + 40° \)
\( \implies x = 95° \)
In simple words: किसी त्रिभुज का बाहरी कोण उसके साथ न लगने वाले अंदर के दो कोणों को जोड़कर मिलता है। यह एक महत्वपूर्ण नियम है जो हमें त्रिभुजों में अज्ञात कोणों को खोजने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: जब आप बाह्य कोण प्रमेय का उपयोग कर रहे हों, तो हमेशा यह सुनिश्चित करें कि आप बाहरी कोण के सामने वाले दो आंतरिक कोणों को ही जोड़ें, न कि उसके बगल वाले आंतरिक कोण को।

Question 3. नीचे दी गई आकृतियों में अज्ञात कोण \(x\) और \(y\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम त्रिभुजों के कोणों के गुणों का उपयोग करेंगे, जैसे कि रैखिक युग्म (एक सीधी रेखा पर कोण) और त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, और बाह्य कोण प्रमेय।

(i) सबसे पहले, हम x का मान ज्ञात करेंगे। बाहरी कोण और उसके बगल वाला अंदर का कोण मिलकर एक सीधी रेखा (रैखिक युग्म) बनाते हैं, जिसका योग 180° होता है।
\( x + 110° = 180° \)
\( x = 180° - 110° \)
\( \implies x = 70° \)
अब, हम y का मान ज्ञात करेंगे। त्रिभुज के अंदर के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( x + y + 60° = 180° \)
x का मान (70°) रखते हैं:
\( 70° + y + 60° = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( y + 130° = 180° \)
y का मान निकालने के लिए 180° में से 130° घटाते हैं:
\( y = 180° - 130° \)
\( \implies y = 50° \)
इसलिए, \( x = 70° \) और \( y = 50° \)।

(ii) सबसे पहले, हम x का मान ज्ञात करेंगे। बाहरी कोण x दो अन्तः सम्मुख कोणों (40° और 70°) के योग के बराबर होता है।
\( x = 40° + 70° \)
\( \implies x = 110° \)
अब, हम y का मान ज्ञात करेंगे। त्रिभुज के अंदर के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( y + 40° + 70° = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( y + 110° = 180° \)
y का मान निकालने के लिए 180° में से 110° घटाते हैं:
\( y = 180° - 110° \)
\( \implies y = 70° \)
इसलिए, \( x = 110° \) और \( y = 70° \)।

(iii) सबसे पहले, हम y का मान ज्ञात करेंगे। त्रिभुज में बाह्य कोण (y) और संलग्न अंत:कोण (80°) एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
\( y + 80° = 180° \)
\( y = 180° - 80° \)
\( \implies y = 100° \)
यह बाह्य कोण प्रमेय का उपयोग है, जहाँ y बाहरी कोण है, और x और 80° आंतरिक सम्मुख कोण हैं।
\( y = x + x \)
\( y = 2x \)
y का मान (100°) रखते हैं:
\( 100° = 2x \)
\( x = \frac{100°}{2} \)
\( \implies x = 50° \)
इसलिए, \( x = 50° \) और \( y = 100° \)।

(iv) यहाँ x, 70° के शीर्षाभिमुख कोण (vertically opposite angle) के बराबर है, इसलिए \( x = 70° \)।
अब, हम y का मान ज्ञात करेंगे। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( x + y + 40° = 180° \)
x का मान (70°) रखते हैं:
\( 70° + y + 40° = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( 110° + y = 180° \)
y का मान निकालने के लिए 180° में से 110° घटाते हैं:
\( y = 180° - 110° \)
\( \implies y = 70° \)
इसलिए, \( x = 70° \) और \( y = 70° \)।
In simple words: x और y का मान निकालने के लिए हम सीधी रेखा पर बने कोणों (180°), शीर्षाभिमुख कोणों (बराबर होते हैं), और त्रिभुज के अंदर के कोणों के योग (180°) के नियमों का उपयोग करते हैं।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज में अज्ञात कोणों को हल करते समय, सबसे पहले उन कोणों को पहचानें जो रैखिक युग्म या शीर्षाभिमुख कोण बनाते हैं, क्योंकि ये सीधे मान देते हैं। फिर त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उपयोग करें।

Question 4. किसी समकोण त्रिभुज का एक न्यून कोण 45° का है तो इसका दूसरा न्यून कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें पता है कि एक समकोण त्रिभुज में एक कोण हमेशा 90° का होता है। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
हमें एक न्यून कोण 45° दिया गया है।
मान लीजिए दूसरा न्यून कोण \(N\) है।
अब तीनों कोणों का योग करते हैं:
\( 90° + 45° + N = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( 135° + N = 180° \)
N का मान निकालने के लिए 180° में से 135° घटाते हैं:
\( N = 180° - 135° \)
\( \implies N = 45° \)
इसलिए, दूसरा न्यून कोण 45° होगा। एक समकोण त्रिभुज में यदि एक न्यून कोण 45° है, तो दूसरा भी 45° होगा, जिससे यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बन जाता है।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° होता है। अगर एक और कोण 45° है, तो तीसरा कोण निकालने के लिए हम 180° में से 90° और 45° को घटा देते हैं, जिससे हमें 45° मिलता है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें कि उसमें एक कोण 90° होता है। बाकी दो कोणों का योग भी 90° होगा। यह आपको गणनाओं को तेजी से करने में मदद करता है।

Question 5. किसी त्रिभुज के दो कोण 50°, 50° हो तो तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें पता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
हमें दो कोण 50° और 50° दिए गए हैं।
मान लीजिए तीसरा कोण \(T\) है।
अब तीनों कोणों का योग करते हैं:
\( 50° + 50° + T = 180° \)
ज्ञात कोणों को जोड़ते हैं:
\( 100° + T = 180° \)
T का मान निकालने के लिए 180° में से 100° घटाते हैं:
\( T = 180° - 100° \)
\( \implies T = 80° \)
इसलिए, तीसरा कोण 80° होगा। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि इसमें दो कोण बराबर हैं।
In simple words: एक त्रिभुज के अंदर के तीन कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180° आता है। अगर हमें दो कोण पता हैं (50° और 50°), तो तीसरे कोण को जानने के लिए हम इन दोनों कोणों के योग को 180° में से घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: किसी भी त्रिभुज में अगर दो कोण दिए गए हों, तो तीसरे कोण को निकालने के लिए हमेशा तीनों कोणों के योग 180° के नियम का उपयोग करें।

Question 6. किसी त्रिभुज के कोण 1 : 2 : 3 अनुपात में हो तो त्रिभुज का प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि त्रिभुज के कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं।
मान लीजिए कोण \(x\), \(2x\) और \(3x\) हैं।
हमें पता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
तीनों कोणों का योग करते हैं:
\( x + 2x + 3x = 180° \)
समान पदों को जोड़ते हैं:
\( 6x = 180° \)
x का मान निकालने के लिए 180° को 6 से भाग देते हैं:
\( x = \frac{180°}{6} \)
\( \implies x = 30° \)
अब प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करते हैं:
पहला कोण \( = x = 30° \)
दूसरा कोण \( = 2x = 2 \times 30° = 60° \)
तीसरा कोण \( = 3x = 3 \times 30° = 90° \)
इसलिए, त्रिभुज के कोण 30°, 60° और 90° हैं। यह एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि इसमें एक कोण 90° है।
In simple words: अगर त्रिभुज के कोण अनुपात में दिए गए हों, तो हम उन्हें x के गुणा के रूप में मान लेते हैं। फिर, उन सभी को जोड़कर 180° के बराबर रखते हैं ताकि x का मान मिल सके। एक बार x मिल जाए, तो हम हर कोण का असली मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कोण अनुपात में दिए गए हों, तो हमेशा उन्हें \(x\), \(2x\), \(3x\) आदि मानकर हल करें। इससे आपको समीकरण बनाने और अज्ञात मान को खोजने में आसानी होगी।

Question 7. क्या ऐसा समकोण त्रिभुज सम्भव है जिसके दो कोण क्रमशः 70° और 21° है? नहीं तो क्यों? स्पष्ट कीजिए।
Answer: नहीं, ऐसा समकोण त्रिभुज संभव नहीं है।
एक समकोण त्रिभुज में एक कोण हमेशा 90° का होता है।
यदि दो कोण 70° और 21° हैं, तो त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
इन तीनों कोणों का योग ज्ञात करते हैं: \( 90° + 70° + 21° \)
\( = 160° + 21° \)
\( = 181° \)
क्योंकि कोणों का योग 181° है, जो 180° के बराबर नहीं है, इसलिए इन कोणों वाला त्रिभुज संभव नहीं है। त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा ठीक 180° होना चाहिए।
In simple words: नहीं, यह संभव नहीं है। एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° होता है। अगर हम 90°, 70° और 21° को जोड़ते हैं, तो कुल 181° आता है, जबकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग हमेशा 180° होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: किसी भी त्रिभुज की पहचान के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियम है कि उसके सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होना चाहिए। इस नियम का उल्लंघन करने वाला कोई भी त्रिभुज असंभव है।

Question 8. नीचे कुछ कोणों के त्रिक दिए गए हैं बताइए इनमें से कौन-कौन से, त्रिभुज के कोणों को प्रदर्शित करते हैं?
(i) 100°, 30°, 40°
(ii) 30°, 59°, 91°
(iii) 45°, 45°, 90°
(iv) 120°, 30°, 50°
Answer: हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है। हम प्रत्येक त्रिक के कोणों को जोड़कर यह जांच करेंगे कि उनका योग 180° है या नहीं।
(i) 100°, 30°, 40°
योग \( = 100° + 30° + 40° = 170° \)
चूंकि \( 170° \neq 180° \), यह त्रिभुज के कोण नहीं हो सकते।
(ii) 30°, 59°, 91°
योग \( = 30° + 59° + 91° = 180° \)
चूंकि योग 180° है, यह त्रिभुज के कोण हो सकते हैं।
(iii) 45°, 45°, 90°
योग \( = 45° + 45° + 90° = 180° \)
चूंकि योग 180° है, यह त्रिभुज के कोण हो सकते हैं।
(iv) 120°, 30°, 50°
योग \( = 120° + 30° + 50° = 200° \)
चूंकि \( 200° \neq 180° \), यह त्रिभुज के कोण नहीं हो सकते।
In simple words: यह पता लगाने के लिए कि कोणों का कोई समूह एक त्रिभुज बना सकता है या नहीं, हमें बस उन सभी कोणों को जोड़ना होता है। अगर उनका योग ठीक 180° आता है, तो वे एक त्रिभुज बना सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सबसे मूलभूत नियम है कि त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इस नियम का उपयोग करके आप आसानी से पहचान सकते हैं कि दिए गए कोणों का कोई समूह त्रिभुज बना सकता है या नहीं।