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Detailed Chapter 7 कोण एवं रेखाएँ RBSE Solutions for Class 7 Mathematics
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Class 7 Mathematics Chapter 7 कोण एवं रेखाएँ RBSE Solutions PDF
बहुविकल्पीय प्रश्न
Question 1. एक कोण 87° का सम्पूरक होगा
(A) 103°
(B) 93°
(C) 180°
(D) 90°
Answer: (B) 93°
In simple words: दो सम्पूरक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि एक कोण 87° है, तो दूसरा कोण 180° में से 87° घटाकर निकाला जा सकता है, जो 93° होगा।
🎯 Exam Tip: सम्पूरक कोणों के प्रश्नों में हमेशा 180° से घटाना याद रखें, जबकि पूरक कोणों के लिए 90° से घटाया जाता है।
Question 2. दो सम्पूरक कोणों का योग होगा
(A) 90°
(B) 180°
(C) 270°
(D) कोई नहीं
Answer: (B) 180°
In simple words: सम्पूरक कोण वे होते हैं जिनका कुल जोड़ 180° बनता है। यह सम्पूरक कोण की परिभाषा है।
🎯 Exam Tip: कोणों के प्रकार (पूरक, सम्पूरक, रैखिक युग्म) और उनके योग को हमेशा याद रखें क्योंकि ये आधारभूत अवधारणाएँ हैं।
Question 3. दो पूरक कोणों का योग होगा
(A) 90°
(B) 180°
(C) 270°
(D) 360°
Answer: (A) 90°
In simple words: पूरक कोण वे कोण होते हैं जिनका कुल जोड़ 90° बनता है। यह पूरक कोण की सीधी परिभाषा है।
🎯 Exam Tip: पूरक और सम्पूरक कोणों के योग में अंतर को स्पष्ट रूप से समझें ताकि भ्रम से बचा जा सके। पूरक 90°, सम्पूरक 180°।
Question 6. निम्न चित्र में \(x\) का मान बताइये
Answer: दिए गए चित्र में, 30° और \(x\) एक सीधी रेखा पर हैं, जो एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए, \(30^\circ + x = 180^\circ\)
\( \implies x = 180^\circ - 30^\circ\)
\( \implies x = 150^\circ\)
विकल्पों में, (A) 150° और (C) 150° हैं।
Answer: (A) 150°
In simple words: जब दो कोण मिलकर एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो उनका जोड़ 180° होता है। यहाँ एक कोण 30° है, तो दूसरा कोण 180° में से 30° घटाकर 150° होगा।
🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म के कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यह अवधारणा कोण संबंधी समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है।
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
Question. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) दो सरल रेखाएँ परस्पर . बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) एक तिर्यक रेखा दो या दो से अधिक रेखाओं को बिन्दुओं पर काटती है।
(iii) एक ही बिन्दु पर काटने वाली समस्त रेखाएँ....... रेखाएँ कहलाती हैं।
(iv) यदि ∠2 व ∠4 संगत कोण हों, तो दोनों कोण आपस में...........होंगे।
Answer:
(i) दो सरल रेखाएँ परस्पर एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) एक तिर्यक रेखा दो या दो से अधिक रेखाओं को अलग – अलग बिन्दुओं पर काटती है।
(iii) एक ही बिन्दु पर काटने वाली समस्त रेखाएँ संगामी रेखाएँ कहलाती हैं।
(iv) यदि ∠2 व ∠4 संगत कोण हों, तो दोनों कोण आपस में बराबर होंगे।
In simple words: दो सीधी रेखाएँ एक ही जगह मिलती हैं। एक टेढ़ी रेखा दो या अधिक रेखाओं को कई अलग-अलग जगहों पर काटती है। अगर कई रेखाएँ एक ही बिंदु से गुजरें, तो वे संगामी रेखाएँ कहलाती हैं। जब संगत कोण एक जैसे दिखते हैं, तो वे बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: रेखाओं और कोणों से संबंधित मूलभूत परिभाषाओं और उनके गुणों को समझना महत्वपूर्ण है, जैसे प्रतिच्छेदी रेखाएँ, तिर्यक रेखाएँ, संगामी रेखाएँ और संगत कोण।
अति लघूत्तरीय प्रश्न
Question 1. निम्नलिखित कोणों में प्रत्येक के पूरक का माप क्या है?
(i) 45°
(ii) 65°
(iii) 41°
(iv) 54°
Answer: हम जानते हैं कि किसी कोण और इसके पूरक कोण का योग 90° होता है। अतः
(i) 45° के कोण का पूरक कोण का माप \( = (90^\circ - 45^\circ) = 45^\circ\)
(ii) 65° के कोण का पूरक कोण का माप \( = (90^\circ - 65^\circ) = 25^\circ\)
(iii) 41° के कोण का पूरक कोण का माप \( = (90^\circ - 41^\circ) = 49^\circ\)
(iv) 54° के कोण का पूरक कोण का माप \( = (90^\circ - 54^\circ) = 36^\circ\)
In simple words: पूरक कोण का मतलब है कि दो कोण मिलकर 90° का जोड़ बनाते हैं। दिए गए कोण को 90° में से घटाकर उसका पूरक कोण आसानी से पता चल जाता है।
🎯 Exam Tip: पूरक कोणों की गणना करते समय हमेशा 90° में से दिए गए कोण को घटाएँ। यह एक सीधा नियम है।
Question 2. निम्नलिखित कोणों में प्रत्येक के सम्पूरक को माप क्या होगा?
(i) 100°
(ii) 90°
(iii) 55°
(iv) 125°
Answer: हम जानते हैं कि एक कोण और इसके सम्पूरक कोण का योग 180° होता है। इसलिए
(i) 100° के कोण का सम्पूरक कोण \( = (180^\circ - 100^\circ) = 80^\circ\)
(ii) 90° के कोण का सम्पूरक कोण \( = (180^\circ - 90^\circ) = 90^\circ\)
(iii) 55° के कोण का सम्पूरक कोण \( = (180^\circ - 55^\circ) = 125^\circ\)
(iv) 125° के कोण का सम्पूरक कोण \( = (180^\circ - 125^\circ) = 55^\circ\)
In simple words: सम्पूरक कोण का मतलब है कि दो कोण मिलकर 180° का जोड़ बनाते हैं। दिए गए कोण को 180° में से घटाकर उसका सम्पूरक कोण पता लगाया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: सम्पूरक कोणों की गणना करते समय हमेशा 180° में से दिए गए कोण को घटाएँ। यह पूरक कोणों से भिन्न है, जहाँ 90° का उपयोग होता है।
Question 3. प्रत्येक दशा में अन्तः सम्मुख कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं जबकि बाह्य कोण है
(i) एक समकोण
(ii) एक अधिक कोण
(iii) एक न्यून कोण।
Answer:
(i) यदि बाह्य कोण समकोण होगा तो अन्तः सम्मुख कोणों का योग भी 90° का होगा यानी इनमें से प्रत्येक कोण न्यून कोण होगा।
(ii) यदि बाह्य कोण अधिक कोण हो तो दोनों अंतः सम्मुख कोणों में से या तो दोनों न्यून कोण होंगे अथवा एक अधिक कोण और एक न्यून कोण होगा।
(iii) यदि बाह्य कोण एक न्यून कोण हो तो प्रत्येक अन्तः सम्मुख कोण न्यून कोण होगा।
In simple words: त्रिभुज के बाहर का कोण उसके अंदर के सामने वाले दो कोणों के जोड़ के बराबर होता है। अगर बाहर का कोण 90° है, तो अंदर के सामने वाले दोनों कोण 90° से छोटे होंगे। अगर बाहर का कोण 90° से बड़ा है, तो अंदर के सामने वाले कोणों का जोड़ भी बड़ा होगा। अगर बाहर का कोण 90° से छोटा है, तो अंदर के सामने वाले दोनों कोण भी 90° से छोटे होंगे।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के बाह्य कोण का नियम याद रखना महत्वपूर्ण है: एक त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो अन्तः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
Question 4. क्या किसी त्रिभुज का कोई बाह्य कोण एक सरल कोण भी हो सकता है?
Answer: त्रिभुज का कोई भी बाह्य कोण सरल कोण नहीं हो सकता क्योंकि संलग्न अन्तः कोण शून्य नहीं हो सकता है।
In simple words: त्रिभुज का कोई भी बाहरी कोण 180° का नहीं हो सकता। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिभुज का अंदर का कोण, जो इस बाहरी कोण के साथ एक सीधी रेखा बनाता है, शून्य नहीं हो सकता।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों की मूल विशेषताओं को याद रखें: किसी भी त्रिभुज में कोई भी कोण शून्य या 180° नहीं हो सकता, क्योंकि ऐसा होने पर त्रिभुज नहीं बनेगा।
लघूत्तरीय प्रश्न
Question 1. अपने आस-पास के परिवेश से ऐसे उदाहरण ज्ञात कीजिए जहाँ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
Answer: अपने आसपास के परिवेश में समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के निम्न उदाहरण हैं:
1. ब्लैक बोर्ड के किनारे
2. मेज की टाँगों व ऊपर के तख्ते के बीच कोण
3. कैरम बोर्ड के किनारे
4. पेपर शीट के किनारे।
In simple words: हमारे चारों ओर कई चीजें हैं जहाँ रेखाएँ सीधी 90° के कोण पर मिलती हैं। जैसे कि ब्लैकबोर्ड का कोना, टेबल के पैर और उसकी सतह के बीच का कोण, कैरम बोर्ड का किनारा या किसी कागज की शीट का किनारा।
🎯 Exam Tip: दैनिक जीवन में समकोण के उदाहरणों को पहचानने से ज्यामितीय अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है।
Question 2. एक समबाहुत्रिभुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
Answer: माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके हमें कोण ज्ञात करने हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण भी समान होते हैं।
एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।
इसलिए, प्रत्येक कोण \( = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\)
अतः, \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \).
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, और तीनों कोण भी बराबर होते हैं। क्योंकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का जोड़ 180° होता है, इसलिए हर कोण 60° का होता है।
🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की विशेषता है कि इसकी तीनों भुजाएँ और तीनों कोण (प्रत्येक 60°) बराबर होते हैं। यह गुण कई ज्यामितीय समस्याओं में उपयोगी है।
Question 3. निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का पूरक ज्ञात कीजिए
(i) 20°
(ii) 63°
(iii) 57°
Answer: एक – दूसरे के पूरक कोणों का योग 90° होता है।
(i) 20° के कोण का पूरक कोण \( = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\)
(ii) 63° के कोण का पूरक कोण \( = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ\)
(iii) 57° के कोण का पूरक कोण \( = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ\)
In simple words: पूरक कोण वे होते हैं जिनका जोड़ 90° बनता है। किसी भी कोण का पूरक निकालने के लिए, उसे 90° में से घटा दें।
🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के लिए हमेशा 90° का उपयोग करें, और सम्पूरक कोणों के लिए 180° का। यह अंतर याद रखना महत्वपूर्ण है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
Question 1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में कोण x,y एवं z के। मान ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
Answer:
(i) दी गई आकृति में दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
\( \angle x = 55^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण)
साथ ही, \( x + z = 180^\circ \) (रैखिक युग्म कोण)
\( \implies 55^\circ + z = 180^\circ \)
\( \implies z = 180^\circ - 55^\circ \)
\( \implies z = 125^\circ \)
In simple words: जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं (शीर्षाभिमुख कोण)। अगर दो कोण एक सीधी रेखा पर हों, तो उनका जोड़ 180° होता है। पहले आमने-सामने वाले कोण को पता करें, फिर सीधी रेखा वाले नियम से दूसरे कोण को निकालें।
🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदी रेखाओं में शीर्षाभिमुख कोणों का बराबर होना और रैखिक युग्म का योग 180° होना, ये दोनों नियम कोणों को ज्ञात करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
Question 1. (Continued)
Answer:
(ii) दूसरी आकृति में, एक सीधी रेखा पर कोण दिए गए हैं।
\( 40^\circ + x + 25^\circ = 180^\circ \) (सरल कोण)
\( \implies 65^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)
और \( \angle y + 40^\circ = 180^\circ \) (रैखिक युग्म कोण)
\( \implies \angle y = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
और \( \angle y + z = 180^\circ \) (रैखिक युग्म कोण)
\( \implies z = 180^\circ - \angle y \)
\( \implies z = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
अतः \( \angle x = 115^\circ, \angle y = 140^\circ \) और \( z = 40^\circ \)
In simple words: अगर कई कोण एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनका कुल जोड़ 180° होता है। रैखिक युग्म भी दो कोण होते हैं जिनका जोड़ 180° होता है। इन नियमों का उपयोग करके, हम सभी अज्ञात कोणों को एक-एक करके ज्ञात कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: एक सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस सिद्धांत का उपयोग करके एक साथ कई कोणों को हल किया जा सकता है।
Question 2. निम्न आकृति में p || q अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
यहाँ \( \angle e + 125^\circ = 180^\circ \) (रैखिक युग्म कोण)
\( \implies \angle e = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)
\( \angle e = \angle f = 55^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण)
आकृति में, \( p || q \) और \( t \) तिर्यक रेखा है।
\( \angle a = \angle f \) (एकान्तर कोण)
\( \implies \angle a = 55^\circ \) (चूंकि \( \angle f = 55^\circ \))
\( \angle d = 125^\circ \) (संगत कोण)
\( \angle c = \angle a = 55^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण)
और \( \angle b = \angle d = 125^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः \( \angle a = 55^\circ, \angle b = 125^\circ, \angle c = 55^\circ, \angle d = 125^\circ, \angle e = 55^\circ \) और \( \angle f = 55^\circ \)
In simple words: जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो कई प्रकार के कोण बनते हैं। रैखिक युग्म का जोड़ 180° होता है, शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं, और एकान्तर तथा संगत कोण भी बराबर होते हैं। इन नियमों से हम सभी अज्ञात कोणों को एक-एक करके निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा द्वारा निर्मित कोणों के सभी संबंधों को याद रखें: संगत कोण, एकान्तर अन्तः कोण, एकान्तर बाह्य कोण, और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग।
Question 4. (i) क्या l || m है? क्यों?
Answer: आकृति में, एकान्तर कोण बराबर हैं। इसलिए \( l || m \) है।
In simple words: यदि कोई तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस तरह काटती है कि बनने वाले एकान्तर कोण बराबर हों, तो वे दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं। यह समांतर रेखाओं को पहचानने का एक तरीका है।
🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं के लिए एकान्तर कोणों का बराबर होना एक महत्वपूर्ण शर्त है। यदि ये कोण बराबर नहीं हैं, तो रेखाएँ समांतर नहीं होंगी।
Question 4. (Continued)
(ii) यदि l || m तथा t तथा t तिर्यक रेखा है, तो x का मान बताओ।
Answer: आकृति में, \( l || m \) और \( a \) एक तिर्यक छेदी रेखा है।
\( \therefore \angle x = 100^\circ \) (संगत कोण)
In simple words: जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो संगत कोण हमेशा बराबर होते हैं। यहाँ \(x\) और 100° संगत कोण हैं, इसलिए \(x\) का मान 100° होगा।
🎯 Exam Tip: संगत कोणों को पहचानना सीखें। ये तिर्यक रेखा के एक ही ओर और समांतर रेखाओं के सापेक्ष समान स्थिति में होते हैं, और समांतर रेखाओं के लिए हमेशा बराबर होते हैं।
Question 4. (Continued)
(iii) क्या l || m है और क्यों?
Answer: आकृति में, \( x = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
हम देखते हैं कि संगत कोण समान हैं। इसलिए \( l || m \) है।
In simple words: पहले यह पता करें कि कोण \(x\) का मान क्या है, जो 180° में से 130° घटाकर 50° मिलता है। यदि संगत कोण बराबर हों (यानी 50°), तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं के लिए, यह जांचने के कई तरीके हैं: संगत कोण बराबर होने चाहिए, एकान्तर कोण बराबर होने चाहिए, या तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग 180° होना चाहिए।
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