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Detailed Chapter 7 कोण एवं रेखाएँ RBSE Solutions for Class 7 Mathematics
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Class 7 Mathematics Chapter 7 कोण एवं रेखाएँ RBSE Solutions PDF
एवं रेखाएँ Ex 7.1
प्रश्न 1. कोणों के निम्नलिखित जोड़ों में से पूरक और संपूरक जोड़ों को अलग-अलग लिखिए
(i) \( 140^\circ, 40^\circ \)
(ii) \( 170^\circ, 10^\circ \)
(iii) \( 75^\circ, 15^\circ \)
(iv) \( 33^\circ, 57^\circ \)
(v) \( 115^\circ, 65^\circ \)
(vi) \( 25^\circ, 65^\circ \)
Answer:
(i) कोणों का योग: \( 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ \). अतः, ये संपूरक कोणों का युग्म हैं. संपूरक कोणों का जोड़ हमेशा \( 180^\circ \) होता है.
(ii) कोणों का योग: \( 170^\circ + 10^\circ = 180^\circ \). अतः, ये संपूरक कोणों का युग्म हैं.
(iii) कोणों का योग: \( 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ \). अतः, ये पूरक कोणों का युग्म हैं. पूरक कोणों का जोड़ हमेशा \( 90^\circ \) होता है.
(iv) कोणों का योग: \( 33^\circ + 57^\circ = 90^\circ \). अतः, ये पूरक कोणों का युग्म हैं.
(v) कोणों का योग: \( 115^\circ + 65^\circ = 180^\circ \). अतः, ये संपूरक कोणों का युग्म हैं.
(vi) कोणों का योग: \( 25^\circ + 65^\circ = 90^\circ \). अतः, ये पूरक कोणों का युग्म हैं.
In simple words: हमें बस कोणों के जोड़ों का योग देखना है. अगर योग \( 180^\circ \) है, तो वे संपूरक कोण हैं. अगर योग \( 90^\circ \) है, तो वे पूरक कोण हैं.
🎯 Exam Tip: संपूरक और पूरक कोणों की परिभाषा को हमेशा याद रखें. योग को सही ढंग से जोड़ना महत्वपूर्ण है.
प्रश्न 2. ऐसे कोण युग्म ज्ञात कीजिए जो एक-दूसरे के पूरक हों और दोनों समान भी हों।
Answer: माना कि वह कोण \( x^\circ \) है. यदि दो कोण पूरक हैं और समान भी हैं, तो दोनों कोण \( x^\circ \) होंगे.
तो, पूरक कोणों के योग की परिभाषा के अनुसार:
\( x^\circ + x^\circ = 90^\circ \)
\( 2x^\circ = 90^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{90^\circ}{2} \)
\( \implies x^\circ = 45^\circ \)
इस प्रकार, वांछित कोण युग्म \( 45^\circ, 45^\circ \) है. यह एक बहुत ही सामान्य ज्यामितीय प्रश्न है.
In simple words: एक ऐसा कोण ढूंढना है जो अपने ही जैसा हो और दूसरे कोण के साथ मिलकर \( 90^\circ \) का कोण बनाए. ऐसा कोण \( 45^\circ \) होगा.
🎯 Exam Tip: जब भी "समान" और "पूरक" शब्द एक साथ आएं, तो हमेशा कोण को \( x \) मानकर समीकरण \( x + x = 90^\circ \) बनाएं.
प्रश्न 3. एक समकोण के संपूरक कोण का मान क्या होगा?
Answer: हम जानते हैं कि समकोण का मान \( 90^\circ \) होता है. हमें इस समकोण का संपूरक कोण ज्ञात करना है. संपूरक कोण वे होते हैं जिनका योग \( 180^\circ \) होता है. माना समकोण का संपूरक कोण \( x^\circ \) है.
तो, एक समकोण और उसके संपूरक कोण का योग \( 180^\circ \) होगा.
\( 90^\circ + x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x^\circ = 180^\circ - 90^\circ \)
\( \implies x^\circ = 90^\circ \)
अतः, एक समकोण का संपूरक कोण भी \( 90^\circ \) ही होता है, यानी एक और समकोण.
In simple words: एक समकोण \( 90^\circ \) का होता है. \( 180^\circ \) बनाने के लिए \( 90^\circ \) में कितना जोड़ें? \( 90^\circ \) और जोड़ेंगे, इसलिए संपूरक कोण भी \( 90^\circ \) होगा.
🎯 Exam Tip: संपूरक कोणों के लिए हमेशा \( 180^\circ \) के योग का उपयोग करें, और पूरक कोणों के लिए \( 90^\circ \) के योग का उपयोग करें.
प्रश्न 4. नीचे दिए गए चित्र में आसन्न कोणों के युग्म लिखिए।
Answer: आसन्न कोण वे होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष (कॉमन वर्टेक्स) और एक उभयनिष्ठ भुजा (कॉमन आर्म) होती है, और जो एक-दूसरे को ओवरलैप नहीं करते हैं. इस चित्र में आसन्न कोणों के युग्म इस प्रकार हैं:
(i) \( \angle POQ \) व \( \angle QOR \)
(ii) \( \angle POQ \) व \( \angle QOS \)
(iii) \( \angle POR \) व \( \angle ROS \)
(iv) \( \angle QOR \) व \( \angle ROS \)
(v) \( \angle ROS \) व \( \angle SOP \)
(vi) \( \angle SOP \) व \( \angle POQ \)
In simple words: आसन्न कोण पड़ोसी कोण होते हैं जो एक ही कोने (बिंदु O) और एक ही लाइन (किरण) को साझा करते हैं. हमें बस ऐसे पड़ोसी कोणों के जोड़े ढूंढने हैं.
🎯 Exam Tip: आसन्न कोणों की पहचान करते समय, हमेशा उभयनिष्ठ शीर्ष और उभयनिष्ठ भुजा को ध्यान में रखें. यह भी सुनिश्चित करें कि कोण एक दूसरे को अतिव्यापी (overlap) न करें.
प्रश्न 6. निम्र में से कौन-सी आकृतियों में कोण a वे b आसन्न कोण हैं।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Answer:
(i) कोण a और b आसन्न कोण नहीं हैं. क्योंकि इन दोनों कोणों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं है. आसन्न कोणों के लिए एक ही शीर्ष होना ज़रूरी है.
(ii) कोण a और b आसन्न कोण हैं. क्योंकि इनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा है, और वे एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करते हैं.
(iii) कोण a और b आसन्न कोण नहीं हैं. क्योंकि इनका उभयनिष्ठ शीर्ष तो है, लेकिन कोई उभयनिष्ठ भुजा नहीं है जो उन्हें अलग करती हो. वे एक-दूसरे को ओवरलैप करते हैं.
(iv) कोण a और b आसन्न कोण नहीं हैं. क्योंकि इनका उभयनिष्ठ शीर्ष तो है, लेकिन कोई उभयनिष्ठ भुजा नहीं है जो उन्हें अलग करती हो. वे एक-दूसरे को ओवरलैप करते हैं.
In simple words: आसन्न कोणों के लिए एक ही कोने (शीर्ष) और एक ही लाइन (भुजा) को साझा करना ज़रूरी है, और वे एक-दूसरे के ऊपर नहीं आने चाहिए. बस आकृति (ii) ही इस नियम को मानती है.
🎯 Exam Tip: आसन्न कोणों के लिए तीन शर्तें याद रखें: एक उभयनिष्ठ शीर्ष, एक उभयनिष्ठ भुजा, और कोई अतिव्यापी (overlapping) आंतरिक बिंदु नहीं.
प्रश्न 7. निम्नलिखित में अज्ञात कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
Answer:
(i) इस आकृति में, \( \angle x \) और \( 125^\circ \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए उनका योग \( 180^\circ \) होगा.
\( \angle x + 125^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle x = 180^\circ - 125^\circ \)
\( \implies \angle x = 55^\circ \)
दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए शीर्षाभिमुख कोण समान होते हैं. \( \angle y \) और \( 125^\circ \) शीर्षाभिमुख कोण हैं.
अतः, \( \angle y = 125^\circ \). दो सीधी रेखाएँ जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं.
In simple words: \( x \) और \( 125^\circ \) मिलकर एक सीधी लाइन बनाते हैं, इसलिए उनका जोड़ \( 180^\circ \) होगा. \( x \) का मान \( 55^\circ \) है. \( y \) का मान \( 125^\circ \) है क्योंकि यह \( 125^\circ \) के ठीक सामने वाला कोण है.
Answer:
(ii) इस आकृति में, \( \angle x \) और \( 20^\circ \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए उनका योग \( 180^\circ \) होगा.
\( \angle x + 20^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle x = 180^\circ - 20^\circ \)
\( \implies \angle x = 160^\circ \). रैखिक युग्म के कोण हमेशा एक सीधी रेखा पर होते हैं.
In simple words: \( x \) और \( 20^\circ \) मिलकर एक सीधी लाइन बनाते हैं, इसलिए उनका जोड़ \( 180^\circ \) होगा. \( x \) का मान \( 160^\circ \) है.
🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म के कोण हमेशा \( 180^\circ \) का योग बनाते हैं. यह अवधारणा कई कोण-संबंधी समस्याओं में मदद करती है.
Answer:
(iii) इस आकृति में, दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं.
\( \angle x \) और \( 55^\circ \) शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए वे समान होंगे.
अतः, \( \angle x = 55^\circ \).
अब, \( \angle x \) और \( \angle z \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए उनका योग \( 180^\circ \) होगा.
\( \angle x + \angle z = 180^\circ \)
\( 55^\circ + \angle z = 180^\circ \)
\( \implies \angle z = 180^\circ - 55^\circ \)
\( \implies \angle z = 125^\circ \)
इसके बाद, \( \angle y \) और \( \angle x \) पूरक कोण हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग \( 90^\circ \) है. यह एक समकोण त्रिभुज का हिस्सा हो सकता है.
\( \angle y + \angle x = 90^\circ \)
\( \angle y + 55^\circ = 90^\circ \)
\( \implies \angle y = 90^\circ - 55^\circ \)
\( \implies \angle y = 35^\circ \)
In simple words: \( x \) का मान \( 55^\circ \) है क्योंकि यह सामने वाला कोण है. \( x \) और \( z \) सीधी लाइन बनाते हैं, तो \( z = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \). \( y \) और \( x \) मिलकर \( 90^\circ \) बनाते हैं, तो \( y = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \).
🎯 Exam Tip: जब प्रतिच्छेदित रेखाएँ हों, तो शीर्षाभिमुख कोणों की समानता और रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होने का उपयोग करें. यह चरण-दर-चरण प्रक्रिया आपको सभी अज्ञात कोणों को खोजने में मदद करेगी.
प्रश्न 8. नीचे दिए गए कथनों में सत्य/असत्य लिखिए:
(i) यदि दो कोण संपूरक हैं, तो उनके मापों का योग \( 180^\circ \) होता है.
(ii) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग \( 180^\circ \) होता है.
(iii) रैखिक युग्म बनाने वाले दो कोण संपूरक होते हैं.
(iv) यदि दो आसन्न कोण संपूरक हैं, तो वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं.
Answer:
(i) सत्य. संपूरक कोणों की परिभाषा ही यही है कि उनके मापों का योग \( 180^\circ \) होता है.
(ii) असत्य. पूरक कोणों के मापों का योग \( 90^\circ \) होता है, न कि \( 180^\circ \). यह एक आम गलती है जिसे छात्रों को ध्यान रखना चाहिए.
(iii) सत्य. रैखिक युग्म हमेशा एक सीधी रेखा पर बनते हैं, और सीधी रेखा का कोण \( 180^\circ \) होता है, इसलिए वे संपूरक होते हैं.
(iv) सत्य. यदि दो आसन्न कोण संपूरक हैं, तो उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं, जो रैखिक युग्म की विशेषता है.
In simple words: संपूरक कोणों का जोड़ \( 180^\circ \) होता है, पूरक कोणों का जोड़ \( 90^\circ \) होता है. सीधी लाइन पर बने पड़ोसी कोण हमेशा संपूरक होते हैं और एक रैखिक युग्म बनाते हैं.
🎯 Exam Tip: पूरक और संपूरक कोणों की परिभाषाओं को पूरी तरह से समझें और याद रखें. रैखिक युग्म हमेशा संपूरक होते हैं, लेकिन सभी संपूरक कोण रैखिक युग्म नहीं होते जब तक कि वे आसन्न न हों.
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