RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 5 घात और घातांक Exercise 5.2

Question 1. घातांक नियमों का प्रयोग करते हुए हल कीजिए।
(i) \( 3^7 \times 3^8 \)
(ii) \( (4)^7 \times (4)^2 \)
(iii) \( a^5 \times a^4 \)
(iv) \( 3^{15} \div 3^9 \)
(v) \( t^7 \div t^4 \)
(vi) \( (6^4 \times 6^2) \div 6^5 \)
(vii) \( (2^6)^3 \)
(viii) \( (a^5)^4 \)
(ix) \( 5^5 \times 8^5 \)
(x) \( a^3 \times b^3 \)
(xi) \( 7^5 \div 6^5 \)
(xii) \( (25^3 \times 25^7) \div 25^{10} \)
(xiii) \( 7^5 \div 7^8 \)
(xiv) \( (9^3)^0 \)
Answer:
(i) \( 3^7 \times 3^8 = 3^{7+8} = 3^{15} \) (घातांक नियम: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
घातों को जोड़ने से संख्या बड़ी हो जाती है, यह दिखाता है कि कैसे एक ही आधार की शक्तियाँ गुणा होती हैं।
(ii) \( (4)^7 \times (4)^2 = (4)^{7+2} = (4)^9 \) (घातांक नियम: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
जब आधार समान होता है, तो घातों को जोड़ना एक आसान तरीका है गणना को सरल बनाने का।
(iii) \( a^5 \times a^4 = a^{5+4} = a^9 \) (घातांक नियम: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
यहाँ, 'a' कोई भी संख्या या चर हो सकता है, और यह नियम सभी पर लागू होता है।
(iv) \( 3^{15} \div 3^9 = 3^{15-9} = 3^6 \) (घातांक नियम: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
जब आप एक ही आधार वाली संख्याओं को भाग करते हैं, तो उनकी घातें घट जाती हैं।
(v) \( t^7 \div t^4 = t^{7-4} = t^3 \) (घातांक नियम: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
यह नियम चर (variable) के साथ भी काम करता है, जैसा कि यह संख्या के साथ करता है।
(vi) \( (6^4 \times 6^2) \div 6^5 = 6^{4+2} \div 6^5 = 6^6 \div 6^5 = 6^{6-5} = 6^1 = 6 \)
पहले गुणनफल की घातों को जोड़ा जाता है, फिर भागफल की घातों को घटाया जाता है। इस तरह, हम एक जटिल व्यंजक को एक साधारण संख्या में बदल सकते हैं।
(vii) \( (2^6)^3 = 2^{6 \times 3} = 2^{18} \) (घातांक नियम: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
जब एक घात को दूसरी घात से उठाया जाता है, तो घातों को आपस में गुणा किया जाता है।
(viii) \( (a^5)^4 = a^{5 \times 4} = a^{20} \) (घातांक नियम: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
यह नियम बहुत उपयोगी है जब आपको किसी चर की घात को बढ़ाना होता है।
(ix) \( 5^5 \times 8^5 = (5 \times 8)^5 = 40^5 \) (घातांक नियम: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \))
जब घातें समान होती हैं, तो आधारों को गुणा करके एक ही घात लगाई जा सकती है।
(x) \( a^3 \times b^3 = (a \times b)^3 \) (घातांक नियम: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \))
यह हमें दो अलग-अलग आधारों को एक साथ गुणा करने और फिर घात लगाने की अनुमति देता है।
(xi) \( 7^5 \div 6^5 = \frac{7^5}{6^5} = \left(\frac{7}{6}\right)^5 \) (घातांक नियम: \( a^m \div b^m = \left(\frac{a}{b}\right)^m \))
जब घातें समान होती हैं, तो आधारों को भाग करके एक ही घात लगाई जा सकती है।
(xii) \( (25^3 \times 25^7) \div 25^{10} = 25^{3+7} \div 25^{10} = 25^{10} \div 25^{10} = 25^{10-10} = 25^0 = 1 \)
पहले गुणनफल की घातें जुड़ती हैं, फिर भागफल की घातें घटती हैं, जिससे अंत में उत्तर 1 आता है क्योंकि कोई भी संख्या जिसकी घात शून्य होती है, वह 1 के बराबर होती है।
(xiii) \( 7^5 \div 7^8 = 7^{5-8} = 7^{-3} = \frac{1}{7^3} \)
जब अंश की घात हर की घात से छोटी होती है, तो परिणाम एक ऋणात्मक घात होता है, जिसे फिर 1 के बटे में लिखा जाता है।
(xiv) \( (9^3)^0 = 9^{3 \times 0} = 9^0 = 1 \)
कोई भी संख्या (शून्य को छोड़कर) जिसकी घात शून्य होती है, उसका मान हमेशा 1 होता है। In simple words: घातांक के नियमों का उपयोग करके, हम समान आधार वाली संख्याओं की घातों को गुणा करते समय जोड़ते हैं, भाग करते समय घटाते हैं, और जब एक घात पर दूसरी घात होती है, तो घातों को गुणा करते हैं। यदि घातें समान हों, तो आधारों को गुणा या भाग करके एक ही घात लगाई जाती है।

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों को याद रखना महत्वपूर्ण है क्योंकि ये व्यंजकों को सरल बनाने में बहुत मदद करते हैं। हमेशा सुनिश्चित करें कि आप सही नियम लागू कर रहे हैं।

सरल कीजिए

Question 2. (i) \( \{(3^2)^3 \times 3^4\} \div 3^7 \)
Answer:
\( \{(3^2)^3 \times 3^4\} \div 3^7 \)
\( = \{3^{2 \times 3} \times 3^4\} \div 3^7 \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
\( = \{3^6 \times 3^4\} \div 3^7 \)
\( = 3^{6+4} \div 3^7 \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = 3^{10} \div 3^7 \)
\( = 3^{10-7} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = 3^3 \)
इस समस्या में, हमने घातों के तीन मुख्य नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया। पहले, हमने घातों को गुणा किया, फिर समान आधार वाली संख्याओं की घातों को जोड़ा, और अंत में भाग करते समय घातों को घटाया।
In simple words: इस सवाल में, पहले कोष्ठक के अंदर घातों को गुणा किया, फिर घातों को जोड़ा और आखिर में भाग करने के लिए घातों को घटाया।

🎯 Exam Tip: हमेशा कोष्ठकों को हल करने के लिए घातांक नियमों का सही क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करें।

Question 2. (ii) \( 16^4 \div 4^2 \)
Answer:
\( 16^4 \div 4^2 \)
\( = (4^2)^4 \div 4^2 \) (क्योंकि \( 16 = 4^2 \))
\( = 4^{2 \times 4} \div 4^2 \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
\( = 4^8 \div 4^2 \)
\( = 4^{8-2} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = 4^6 \)
यह समस्या दर्शाती है कि कैसे अलग-अलग आधारों को एक ही आधार में बदलकर घातांक नियमों का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है।
In simple words: 16 को 4 की घात में बदला, फिर घातों को गुणा किया और आखिर में भाग करने के लिए घातों को घटाया।

🎯 Exam Tip: यदि आधार अलग हों, तो उन्हें एक ही आधार में बदलने का प्रयास करें ताकि घातांक नियमों का उपयोग किया जा सके।

Question 2. (iii) \( \frac{5^7}{5^4 \times 5^3} \)
Answer:
\( \frac{5^7}{5^4 \times 5^3} \)
\( = \frac{5^7}{5^{4+3}} \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = \frac{5^7}{5^7} \)
\( = 5^{7-7} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = 5^0 \)
\( = 1 \) (क्योंकि \( a^0 = 1 \))
जब अंश और हर दोनों में समान आधार की घातें होती हैं और वे आपस में कट जाती हैं, तो परिणाम 1 आता है।
In simple words: नीचे की घातों को जोड़ा, फिर ऊपर और नीचे की घातों को घटाया, जिससे उत्तर 1 आया।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान हमेशा 1 होता है।

Question 2. (iv) \( 4^0 \times 5^0 \times 6^0 \)
Answer:
\( 4^0 \times 5^0 \times 6^0 \)
\( = 1 \times 1 \times 1 \) (क्योंकि \( a^0 = 1 \))
\( = 1 \)
यह दर्शाता है कि कैसे शून्य घात का नियम सरल गणनाओं में बहुत काम आता है।
In simple words: किसी भी संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 होता है, इसलिए सभी को गुणा करने पर 1 ही आता है।

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा नियम है: कोई भी संख्या (शून्य के अलावा) जिसकी घात 0 हो, उसका मान 1 होता है।

Question 2. (v) \( \frac{3^9 \times a^6}{9^2 \times a^3} \)
Answer:
\( \frac{3^9 \times a^6}{9^2 \times a^3} \)
\( = \frac{3^9 \times a^6}{(3^2)^2 \times a^3} \) (क्योंकि \( 9 = 3^2 \))
\( = \frac{3^9 \times a^6}{3^{2 \times 2} \times a^3} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
\( = \frac{3^9 \times a^6}{3^4 \times a^3} \)
\( = 3^{9-4} \times a^{6-3} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = 3^5 \times a^3 \)
इस प्रश्न में, हमने संख्याओं और चरों दोनों के लिए घातांक नियमों का उपयोग किया है, यह दर्शाता है कि नियम समान रूप से लागू होते हैं।
In simple words: 9 को 3 की घात में बदला, फिर समान आधारों की घातों को घटाया, जिससे सरल रूप मिला।

🎯 Exam Tip: चर (variable) वाले व्यंजकों को हल करते समय भी संख्यात्मक आधारों की तरह ही घातांक नियमों का प्रयोग करें।

Question 2. (vi) \( (7^3 \times 7)^3 \)
Answer:
\( (7^3 \times 7)^3 \)
\( = (7^3 \times 7^1)^3 \) (क्योंकि \( 7 = 7^1 \))
\( = (7^{3+1})^3 \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = (7^4)^3 \)
\( = 7^{4 \times 3} \) (क्योंकि \( (a^m)^n = a^{m \times n} \))
\( = 7^{12} \)
यह समस्या हमें दिखाती है कि कैसे घातांक के नियमों का उपयोग करके एक जटिल दिखने वाले व्यंजक को सरल किया जा सकता है।
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर घातों को जोड़ा, फिर उस पूरी घात को बाहर की घात से गुणा किया।

🎯 Exam Tip: जब कोई संख्या बिना घात के लिखी होती है, तो उसकी घात को 1 मानें (जैसे \( 7 = 7^1 \))।

Question 2. (vii) \( \frac{3^{10}}{3^5 \times 3^7} \)
Answer:
\( \frac{3^{10}}{3^5 \times 3^7} \)
\( = \frac{3^{10}}{3^{5+7}} \) (क्योंकि \( a^m \times a^n = a^{m+n} \))
\( = \frac{3^{10}}{3^{12}} \)
\( = 3^{10-12} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = 3^{-2} \)
\( = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
यह व्यंजक दर्शाता है कि कैसे एक ऋणात्मक घात को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो घातांक के नियमों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।
In simple words: नीचे की घातों को जोड़ा, फिर ऊपर और नीचे की घातों को घटाया, जिससे ऋणात्मक घात मिली, जिसे फिर भिन्न के रूप में लिखा गया।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात का मतलब है कि संख्या को 1 के बटे में धनात्मक घात के साथ लिखा जाएगा।

Question 2. (viii) \( \frac{a^9}{a^6} \)
Answer:
\( \frac{a^9}{a^6} \)
\( = a^{9-6} \) (क्योंकि \( a^m \div a^n = a^{m-n} \))
\( = a^3 \)
यह एक सरल घातांक व्यंजक है जहाँ भाग करते समय घातें घट जाती हैं।
In simple words: समान आधार वाले चर को भाग करते समय, उसकी घातें घट जाती हैं।

🎯 Exam Tip: यह नियम केवल तभी लागू होता है जब आधार समान हों।

Question 2. (ix) \( 2^0 + 3^0 + 4^0 \)
Answer:
\( 2^0 + 3^0 + 4^0 \)
\( = 1 + 1 + 1 \) (क्योंकि \( a^0 = 1 \))
\( = 3 \)
किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है, यह नियम इस तरह की समस्याओं को बहुत सरल बना देता है।
In simple words: शून्य की घात वाली हर संख्या 1 होती है, इसलिए तीनों को जोड़ने पर 3 मिलता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण नियम है जिसे सीधे लागू किया जा सकता है।

Question 3. सरल कीजिए
(i) \( \frac{2^3 \times 7^2 \times 13^8}{56 \times 13^7} \)
(ii) \( \frac{(3^2)^3 \times 5^3}{9^2 \times 25} \)
(iii) \( \frac{2^5 \times 10^5 \times 5}{5^4 \times 4^3} \)
Answer:
(i) \( \frac{2^3 \times 7^2 \times 13^8}{56 \times 13^7} \)
\( = \frac{2^3 \times 7^2 \times 13^8}{(2^3 \times 7) \times 13^7} \) (क्योंकि \( 56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7 \))
\( = \frac{2^3 \times 7^2 \times 13^8}{2^3 \times 7^1 \times 13^7} \)
\( = 2^{3-3} \times 7^{2-1} \times 13^{8-7} \)
\( = 2^0 \times 7^1 \times 13^1 \)
\( = 1 \times 7 \times 13 \)
\( = 91 \)
इस समस्या में, हमने आधारों को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा ताकि घातांक नियमों का आसानी से उपयोग किया जा सके।
In simple words: पहले 56 को \( 2^3 \times 7 \) में बदला, फिर समान आधारों की घातों को घटाया और अंत में गुणा किया।

🎯 Exam Tip: यदि आधार अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना अक्सर समाधान को सरल बनाता है।

Question 3. (ii) \( \frac{(3^2)^3 \times 5^3}{9^2 \times 25} \)
Answer:
\( \frac{(3^2)^3 \times 5^3}{9^2 \times 25} \)
\( = \frac{3^{2 \times 3} \times 5^3}{(3^2)^2 \times 5^2} \) (क्योंकि \( 9 = 3^2 \) और \( 25 = 5^2 \))
\( = \frac{3^6 \times 5^3}{3^4 \times 5^2} \)
\( = 3^{6-4} \times 5^{3-2} \)
\( = 3^2 \times 5^1 \)
\( = 9 \times 5 \)
\( = 45 \)
यह समस्या दर्शाती है कि कैसे सभी संख्याओं को उनके अभाज्य आधारों की घातों में परिवर्तित करने से हल करना आसान हो जाता है।
In simple words: 9 और 25 को 3 और 5 की घातों में बदला, फिर समान आधारों की घातों को घटाया और अंत में गुणा किया।

🎯 Exam Tip: हमेशा यौगिक संख्याओं को उनके अभाज्य आधारों की घातों में बदलें (जैसे \( 9 = 3^2 \), \( 25 = 5^2 \))।

Question 3. (iii) \( \frac{2^5 \times 10^5 \times 5}{5^4 \times 4^3} \)
Answer:
\( \frac{2^5 \times 10^5 \times 5}{5^4 \times 4^3} \)
\( = \frac{2^5 \times (2 \times 5)^5 \times 5^1}{5^4 \times (2^2)^3} \) (क्योंकि \( 10 = 2 \times 5 \) और \( 4 = 2^2 \))
\( = \frac{2^5 \times 2^5 \times 5^5 \times 5^1}{5^4 \times 2^{2 \times 3}} \)
\( = \frac{2^{5+5} \times 5^{5+1}}{5^4 \times 2^6} \)
\( = \frac{2^{10} \times 5^6}{2^6 \times 5^4} \)
\( = 2^{10-6} \times 5^{6-4} \)
\( = 2^4 \times 5^2 \)
\( = 16 \times 25 \)
\( = 400 \)
यह एक जटिल समस्या है जिसे अभाज्य गुणनखंडन और घातांक नियमों के व्यवस्थित अनुप्रयोग से सरल किया गया है।
In simple words: 10 और 4 को 2 और 5 की घातों में तोड़ा, फिर सभी समान आधारों की घातों को जोड़ा और घटाया, अंत में गुणा करके 400 उत्तर मिला।

🎯 Exam Tip: चरणों को धीरे-धीरे हल करें, सुनिश्चित करें कि आप सभी संख्याओं को उनके अभाज्य आधारों की घातों में सही ढंग से परिवर्तित कर रहे हैं।