RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 5 घात और घातांक Exercise 5.1

Question 1. निम्नलिखित को घातांक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 7 x 7 x 7 x 7 x 7
(ii) 3 x 3 x 3 x 7 x 7
(iii) a x a x a x b x b
(iv) 5 x 5 x t x t x t
Answer: दिए गए गुणनफलों को घातांक रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
(i) \( 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^5 \)
(ii) \( 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 = (3 \times 3 \times 3) \times (7 \times 7) = 3^3 \times 7^2 \)
(iii) \( a \times a \times a \times b \times b = (a \times a \times a) \times (b \times b) = a^3 \times b^2 \)
(iv) \( 5 \times 5 \times t \times t \times t = (5 \times 5) \times (t \times t \times t) = 5^2 \times t^3 \)
In simple words: जब एक ही संख्या या अक्षर कई बार गुणा होता है, तो उसे छोटा करके घात (पावर) लगाकर दिखाते हैं। ऊपर वाली छोटी संख्या बताती है कि वह कितनी बार गुणा हुई है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि समान आधार (base) वाली संख्याओं को ही एक साथ समूहबद्ध करके घात के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Question 2. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 32
(ii) 81
(iii) 343
(iv) 125
Answer: दी गई संख्याओं को घातांक रूप में बदलने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करते हैं:
(i) 32
\[ \begin{array}{c|c} 2 & 32 \\ \hline 2 & 16 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
\( 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \)
(ii) 81
\[ \begin{array}{c|c} 3 & 81 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
\( 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 \)
(iii) 343
\[ \begin{array}{c|c} 7 & 343 \\ \hline 7 & 49 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
\( 343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 \)
(iv) 125
\[ \begin{array}{c|c} 5 & 125 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
\( 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \)
In simple words: किसी भी संख्या को घातांक रूप में बदलने के लिए, उसे उसके छोटे से छोटे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। फिर देखते हैं कि कौन-सा अभाज्य गुणनखंड कितनी बार आया है, उसे आधार बनाकर उसकी घात लिख देते हैं।

🎯 Exam Tip: हमेशा सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से शुरू करें और तब तक भाग दें जब तक शेषफल 1 न आ जाए। यह विधि हमेशा सही घातांक रूप देती है।

Question 3. निम्नलिखित में बड़ी संख्या को पहचानिए।
(i) \( 2^5 \) या \( 5^2 \)
(ii) \( 3^5 \) या \( 5^3 \)
(iii) \( 3^{10} \) या \( 10^3 \)
(iv) \( 7^3 \) या \( 3^7 \)
Answer: हम प्रत्येक जोड़े में संख्याओं का मान ज्ञात करेंगे और फिर उनकी तुलना करेंगे।
(i) \( 2^5 \) या \( 5^2 \)
\( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
\( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)
क्योंकि \( 32 > 25 \), इसलिए \( 2^5 > 5^2 \)। अतः \( 2^5 \) बड़ी संख्या है।
(ii) \( 3^5 \) या \( 5^3 \)
\( 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243 \)
\( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \)
क्योंकि \( 243 > 125 \), इसलिए \( 3^5 > 5^3 \)। अतः \( 3^5 \) बड़ी संख्या है।
(iii) \( 3^{10} \) या \( 10^3 \)
\( 3^{10} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 59049 \)
\( 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \)
क्योंकि \( 59049 > 1000 \), इसलिए \( 3^{10} > 10^3 \)। अतः \( 3^{10} \) बड़ी संख्या है।
(iv) \( 7^3 \) या \( 3^7 \)
\( 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343 \)
\( 3^7 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2187 \)
क्योंकि \( 2187 > 343 \), इसलिए \( 3^7 > 7^3 \)। अतः \( 3^7 \) बड़ी संख्या है।
In simple words: दो घातांक वाली संख्याओं में से बड़ी संख्या जानने के लिए, पहले उन संख्याओं का पूरा मान निकालते हैं। फिर, उन मानों की आपस में तुलना करके बताते हैं कि कौन-सी संख्या बड़ी है।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि आधार या घात में से कोई एक बड़ा होने पर भी हमेशा संख्या बड़ी नहीं होती है। इसलिए मान निकालकर तुलना करना ही सबसे सही तरीका है।

Question 4. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 324
(ii) 625
(iii) 1080
(iv) 1800
Answer: हम भाग विधि का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करेंगे और फिर उन्हें घातांक रूप में व्यक्त करेंगे।
(i) 324 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
\[ \begin{array}{c|c} 2 & 324 \\ \hline 2 & 162 \\ \hline 3 & 81 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
इसलिए, \( 324 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^4 \)
(ii) 625 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
\[ \begin{array}{c|c} 5 & 625 \\ \hline 5 & 125 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
इसलिए, \( 625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 \)
(iii) 1080 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
\[ \begin{array}{c|c} 2 & 1080 \\ \hline 2 & 540 \\ \hline 2 & 270 \\ \hline 3 & 135 \\ \hline 3 & 45 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
इसलिए, \( 1080 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^3 \times 5 \)
(iv) 1800 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
\[ \begin{array}{c|c} 2 & 1800 \\ \hline 2 & 900 \\ \hline 2 & 450 \\ \hline 3 & 225 \\ \hline 3 & 75 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \end{array} \]
इसलिए, \( 1800 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \)
In simple words: किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों के रूप में लिखने का मतलब है कि उस संख्या को सिर्फ अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में दिखाना, जहाँ हर अभाज्य संख्या की घात यह बताती है कि वह कितनी बार गुणा हुई है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आपके सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएँ ही हों (जैसे 2, 3, 5, 7, 11 आदि)। गलत गुणनखंड से उत्तर गलत हो सकता है।

Question 5. सरल कीजिए।
(i) \( 2 \times 3^4 \)
(ii) \( 7^3 \times 5 \)
(iii) \( 5^3 \times 2^2 \)
(iv) \( 3^2 \times 10^2 \)
(v) \( 0 \times 10^4 \)
Answer: हम प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात करके उसे सरल करेंगे।
(i) \( 2 \times 3^4 = 2 \times (3 \times 3 \times 3 \times 3) = 2 \times 81 = 162 \)
(ii) \( 7^3 \times 5 = (7 \times 7 \times 7) \times 5 = 343 \times 5 = 1715 \)
(iii) \( 5^3 \times 2^2 = (5 \times 5 \times 5) \times (2 \times 2) = 125 \times 4 = 500 \)
(iv) \( 3^2 \times 10^2 = (3 \times 3) \times (10 \times 10) = 9 \times 100 = 900 \)
(v) \( 0 \times 10^4 = 0 \times (10 \times 10 \times 10 \times 10) = 0 \times 10000 = 0 \)
In simple words: किसी भी घातांक वाले व्यंजक को सरल करने का मतलब है कि पहले घात का मान निकालना और फिर बाकी संख्याओं के साथ गुणा या भाग करना। हमेशा घात वाले हिस्से को पहले हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: हमेशा घात को पहले हल करें (जैसे BODMAS/PEMDAS नियम में होता है), उसके बाद गुणा या भाग करें। ध्यान दें कि शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य ही आता है।

Question 6. मान ज्ञात कीजिए।
(i) \( (-1)^3 \)
(ii) \( (-5)^4 \)
(iii) \( (-4)^2 \times (-2)^3 \)
Answer: हम प्रत्येक घातांक वाले व्यंजक का मान ज्ञात करेंगे।
(i) \( (-1)^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times (-1) = -1 \)
(ii) \( (-5)^4 = (-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times 25 = 625 \)
(iii) \( (-4)^2 \times (-2)^3 = ((-4) \times (-4)) \times ((-2) \times (-2) \times (-2)) = (16) \times (-8) = -128 \)
In simple words: जब किसी ऋणात्मक संख्या की घात एक विषम संख्या (जैसे 3, 5) होती है, तो उत्तर ऋणात्मक आता है। लेकिन जब घात एक सम संख्या (जैसे 2, 4) होती है, तो उत्तर धनात्मक आता है।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार वाली संख्याओं को हल करते समय घात (सम या विषम) के नियम पर ध्यान दें। यदि घात सम है, तो उत्तर धनात्मक होगा; यदि घात विषम है, तो उत्तर ऋणात्मक होगा।