RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 4 परिमेय संख्याएँ Important Questions

Question 1. \( \frac {-7}{8}+\frac{5}{8} \) का मान होगा
(a) \( \frac {8}{3} \)
(b) \( \frac {-2}{3} \)
(c) \( \frac {3}{8} \)
(d) \( \frac {-2}{8} \)
Answer: (d) \( \frac {-2}{8} \)
In simple words: जब दो भिन्नों का हर समान होता है, तो हम केवल उनके अंशों को जोड़ या घटा सकते हैं। यहाँ, \( -7 + 5 = -2 \) है, इसलिए उत्तर \( \frac{-2}{8} \) होता है। इस भिन्न को आगे सरल करके \( \frac{-1}{4} \) भी लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय, केवल अंशों पर क्रिया करें और हर को वैसे ही रहने दें। सरलतम रूप में उत्तर देना हमेशा एक अच्छा अभ्यास है।

Question 2. \( \frac {5}{7} \) और \( \frac {3}{8} \) का अन्तर होगा
(a) \( \frac {15}{56} \)
(b) \( \frac {18}{56} \)
(c) \( \frac {19}{56} \)
(d) \( \frac {13}{56} \)
Answer: (c) \( \frac {19}{56} \)
In simple words: भिन्नों को घटाने के लिए, पहले उनके हरों को समान बनाएं। 7 और 8 का सबसे छोटा साझा गुणज (ल.स.प.) 56 है। भिन्नों को इस हर में बदलने के बाद, हम अंशों को घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय हमेशा उनके हरों का ल.स.प. (LCM) ज्ञात करें ताकि गणना सही हो।

Question 3. \( \frac {-3}{5} \times 7 \) का गुणनफल होगा
(a) \( \frac {-21}{5} \)
(b) \( \frac {20}{5} \)
(c) \( \frac {19}{5} \)
(d) \( \frac {-17}{5} \)
Answer: (a) \( \frac {-21}{5} \)
In simple words: एक भिन्न और एक पूर्ण संख्या को गुणा करने के लिए, पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करें और हर को वही रहने दें। यहाँ, \( -3 \times 7 = -21 \) है, तो उत्तर \( \frac{-21}{5} \) होता है।

🎯 Exam Tip: जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होता है।

Question 4. \( \frac {-8}{6} \) का सरलतम रूप क्या है?
(a) \( \frac {2}{3} \)
(b) \( \frac {7}{3} \)
(c) \( \frac {4}{5} \)
(d) \( \frac {-4}{3} \)
Answer: (d) \( \frac {-4}{3} \)
In simple words: किसी भिन्न को सरलतम रूप में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े साझा गुणनखंड (HCF) से विभाजित करें। यहाँ, 8 और 6 दोनों 2 से विभाजित होते हैं।

🎯 Exam Tip: हमेशा यह जांचें कि क्या अंश और हर में कोई साझा गुणनखंड है, ताकि आप भिन्न को उसके सबसे सरल रूप में व्यक्त कर सकें।

Question 5. ऋणात्मक परिमेय संख्या है
(a) \( \frac {4}{3} \)
(b) \( \frac {-4}{3} \)
(c) \( \frac {-4}{3} \)
(d) कोई नहीं ।
Answer: (b) \( \frac {-4}{3} \)
In simple words: एक ऋणात्मक परिमेय संख्या वह होती है जिसका अंश या हर ऋणात्मक होता है (लेकिन दोनों नहीं)। यहाँ, \( \frac{4}{3} \) धनात्मक है, जबकि \( \frac{-4}{3} \) ऋणात्मक है।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्या धनात्मक तब होती है जब उसके अंश और हर दोनों समान चिह्न (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक) के होते हैं। यदि उनके चिह्न विपरीत होते हैं, तो संख्या ऋणात्मक होती है।

Question 6. रिक्त स्थानों की पूर्ति करो
(i) \( \frac {-5}{7} \square \frac {2}{3} \)
(ii) \( \ldots \ldots \ldots \) न तो धनात्मक परिमेय संख्या है और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
(iii) \( \frac {1}{2 } \) व \( \frac {1}{4} \) के बीच........... परिमेय संख्या होगी।
(iv) \( \frac {-44}{72} \) का सरलतम रूप ...... है।
Answer:
(i) \( \frac {-5}{7} < \frac {2}{3} \) क्योंकि एक ऋणात्मक संख्या हमेशा धनात्मक संख्या से छोटी होती है।
(ii) शून्य (0) न तो धनात्मक परिमेय संख्या है और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है। यह एक तटस्थ परिमेय संख्या है।
(iii) \( \frac {1}{2 } \) व \( \frac {1}{4} \) के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं। किसी भी दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय संख्याएँ मौजूद होती हैं।
(iv) \( \frac {-44}{72} \) का सरलतम रूप \( \frac {-11}{18} \) है। इसे प्राप्त करने के लिए अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (4) से विभाजित किया जाता है।
In simple words: प्रत्येक कथन के रिक्त स्थानों को भरें। तुलना के लिए, याद रखें कि ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक संख्याओं से छोटी होती हैं। शून्य एक विशेष संख्या है क्योंकि यह न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक। किन्हीं भी दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय संख्याएँ होती हैं। किसी भिन्न को सरल बनाने के लिए, उसके अंश और हर को उनके सबसे बड़े साझा गुणनखंड से भाग दें।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान भरते समय, परिमेय संख्याओं के मूल गुणों और परिभाषाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है, जैसे कि शून्य की प्रकृति या भिन्नों का सरलीकरण।

Question 7. सत्य/असत्य
(i) \( \frac {2}{3} \times \frac {-7}{8} \) का मान \( \frac {-7}{12} \) है।
(ii) \( \frac {4}{5} \times \frac {-5}{7} \) का मान \( \frac {-2}{5} \) है।
(iii) \( \frac {-3}{5} < \frac {-2}{5} < \frac {-1}{5} \)
(iv) ऐसी संख्याएँ जिनको \( \frac {p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया – जा सके परिमेय संख्याएँ कहते हैं।
Answer:
(i) सत्य। \( \frac{2}{3} \times \frac{-7}{8} = \frac{2 \times (-7)}{3 \times 8} = \frac{-14}{24} = \frac{-7}{12} \)
(ii) असत्य। \( \frac{4}{5} \times \frac{-5}{7} = \frac{4 \times (-5)}{5 \times 7} = \frac{-20}{35} = \frac{-4}{7} \), जो \( \frac{-2}{5} \) के बराबर नहीं है।
(iii) सत्य। जब हर समान होते हैं, तो ऋणात्मक अंशों में बड़ी संख्या (मान में छोटी) पहले आती है, फिर धीरे-धीरे बड़ी संख्याएँ (मान में बड़ी) आती हैं।
(iv) सत्य। यह परिमेय संख्या की परिभाषा है कि उसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q \( \neq \) 0 है।
In simple words: प्रत्येक कथन सही है या गलत, यह बताएं। भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें। ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय, शून्य के करीब वाली संख्या बड़ी होती है। परिमेय संख्याओं को हमेशा \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: सत्य/असत्य प्रश्नों में, प्रत्येक कथन की सावधानीपूर्वक गणना या परिभाषा की जाँच करें। विशेष रूप से ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय सावधान रहें।

Question 8. क्या 5 एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
Answer: हाँ, 5 एक धनात्मक परिमेय संख्या है। हम 5 को \( \frac{5}{1} \) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ अंश (5) और हर (1) दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं। एक संख्या को परिमेय संख्या तब कहा जाता है जब उसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो।
In simple words: हाँ, 5 एक धनात्मक परिमेय संख्या है। इसे \( \frac{5}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ अंश और हर दोनों सकारात्मक हैं।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक पूर्ण संख्या को \( \frac{\text{पूर्ण संख्या}}{1} \) के रूप में लिखकर एक परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

Question 9. पाँच ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ लिखिए।
Answer: पाँच ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ निम्न हैं: \( \frac {-2}{ 3 }, \frac {-3}{ 4 }, \frac {-11}{15}, \frac {-13}{17}, \frac {-107}{113} \)। एक परिमेय संख्या ऋणात्मक तब होती है जब उसका अंश और हर विपरीत चिह्नों के होते हैं। उदाहरण के लिए, \( \frac{13}{-17} \) को \( \frac{-13}{17} \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
In simple words: यहाँ पाँच ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं: \( \frac {-2}{3}, \frac {-3}{4}, \frac {-11}{15}, \frac {-13}{17} \) और \( \frac {-107}{113} \)। ऋणात्मक परिमेय संख्या वह होती है जिसका अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक हो।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जो संख्या रेखा पर शून्य के बाईं ओर होती हैं। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि \( \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b} \) होता है।

लघूत्तरीय प्रश्न

Question 10. निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ लिखिए।
(i) \( \frac {3}{7} \)
(ii) \( \frac {-4}{7} \)
Answer:
(i) \( \frac {3}{7} \) के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ हैं:
\( \frac {3 \times 2}{7 \times 2} = \frac {6}{14} \)
\( \frac {3 \times 3}{7 \times 3} = \frac {9}{21} \)
\( \frac {3 \times 4}{7 \times 4} = \frac {12}{28} \)
\( \frac {3 \times 5}{7 \times 5} = \frac {15}{35} \)
(ii) \( \frac {-4}{7} \) के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ हैं:
\( \frac {-4 \times 2}{7 \times 2} = \frac {-8}{14} \)
\( \frac {-4 \times 3}{7 \times 3} = \frac {-12}{21} \)
\( \frac {-4 \times 4}{7 \times 4} = \frac {-16}{28} \)
\( \frac {-4 \times 5}{7 \times 5} = \frac {-20}{35} \)
In simple words: किसी भिन्न के समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए, उसके अंश और हर दोनों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करें। यह भिन्न का मान नहीं बदलता है, केवल उसका रूप बदलता है।

🎯 Exam Tip: समतुल्य भिन्न ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप अंश और हर दोनों को हमेशा एक ही संख्या से गुणा करें। आप किसी भी पूर्णांक (शून्य को छोड़कर) का उपयोग कर सकते हैं।

Question 11. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए
(i) -1 और 0
(ii) -2 और -1
Answer:
(i) -1 और 0 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ:
-1 को \( \frac{-6}{6} \) और 0 को \( \frac{0}{6} \) के रूप में लिखा जा सकता है। इनके बीच की संख्याएँ हैं:
\( \frac{-5}{6}, \frac{-4}{6}, \frac{-3}{6}, \frac{-2}{6}, \frac{-1}{6} \). इन संख्याओं के हर को बड़ा करके आप और भी संख्याएँ पा सकते हैं।
(ii) -2 और -1 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ:
-2 को \( \frac{-12}{6} \) और -1 को \( \frac{-6}{6} \) के रूप में लिखा जा सकता है। इनके बीच की संख्याएँ हैं:
\( \frac{-11}{6}, \frac{-10}{6}, \frac{-9}{6}, \frac{-8}{6}, \frac{-7}{6} \). यह विधि किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत संख्याएँ खोजने में मदद करती है।
In simple words: दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ खोजने के लिए, संख्याओं को समान हर वाले भिन्नों में बदलें। फिर, उन भिन्नों के अंशों के बीच की संख्याओं का उपयोग करें। यदि आपको अधिक संख्याएँ चाहिए, तो एक बड़ा हर उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: दो परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय संख्याएँ होती हैं। आप हमेशा एक बड़ा हर चुनकर और अधिक संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

Question 12. निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं।
(i) \( \frac {-16 }{20} \) और \( \frac { 20 }{-25} \)
(ii) \( \frac {-2}{ 3 } \) और \( \frac { 2 }{-3} \)
Answer:
(i) दी हुई परिमेय संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करने पर:
\( \frac{-16}{20} = \frac{-16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{-4}{5} \)
\( \frac{20}{-25} = \frac{20 \div 5}{-25 \div 5} = \frac{4}{-5} = \frac{-4}{5} \)
चूँकि दोनों के मानक रूप समान हैं, इसलिए \( \frac {-16 }{20} = \frac { 20 }{-25} \) है। ये दोनों युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं।
(ii) दी हुई परिमेय संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करने पर:
\( \frac{-2}{3} \) पहले से ही मानक रूप में है।
\( \frac{2}{-3} = \frac{2 \times (-1)}{-3 \times (-1)} = \frac{-2}{3} \)
चूँकि दोनों के मानक रूप समान हैं, इसलिए \( \frac {-2}{ 3 } = \frac { 2 }{-3} \) है। ये दोनों युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं।
In simple words: यह पता लगाने के लिए कि क्या दो परिमेय संख्याएँ समान हैं, उन्हें उनके सबसे सरल रूप में बदलें। यदि उनके सरल रूप समान हैं, तो संख्याएँ समान हैं। मानक रूप में, हर हमेशा धनात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं की तुलना करने या यह जांचने के लिए कि वे समान हैं या नहीं, उन्हें उनके मानक रूप में परिवर्तित करना सबसे अच्छा तरीका है। मानक रूप में, हर हमेशा धनात्मक होता है।

Question 13. निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं।
(i) \( \frac {5}{4} \) के अंश और हर में 4 से गुणा करने पर, `.........`
(ii) \( \frac {5}{4} \) के अंश और हर में 5 से गुणा करने पर, `.........`
(iii) \( \frac {5}{4} \) के अंश व हर में -2 से गुणा करने पर, `.........`
Answer:
(i) \( \frac {5}{4} \) के अंश और हर में 4 से गुणा करने पर, \( \frac{5 \times 4}{4 \times 4} = \frac{20}{16} \)।
(ii) \( \frac {5}{4} \) के अंश और हर में 5 से गुणा करने पर, \( \frac{5 \times 5}{4 \times 5} = \frac{25}{20} \)।
(iii) \( \frac {5}{4} \) के अंश व हर में -2 से गुणा करने पर, \( \frac{5 \times (-2)}{4 \times (-2)} = \frac{-10}{-8} \)। गुणा करने की यह प्रक्रिया एक समतुल्य भिन्न बनाती है जिसका मान मूल भिन्न के समान होता है।
In simple words: किसी भिन्न को समतुल्य भिन्न में बदलने के लिए, उसके ऊपर और नीचे दोनों को एक ही संख्या से गुणा करें। यह भिन्न के मान को नहीं बदलता, बस उसका रूप बदलता है।

🎯 Exam Tip: समतुल्य भिन्न ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप अंश और हर दोनों को हमेशा एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करें, ताकि मूल भिन्न का मूल्य अपरिवर्तित रहे।

Question 14. एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर \( \frac { -7 }{4} \) परिमेय संख्या को निरूपित कीजिए।
Answer: \( \frac {-7}{4} \) को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए, हम पहले इसे मिश्रित भिन्न में बदलते हैं: \( \frac {-7}{4} = -1\frac {3}{4} \)। इसका मतलब है कि यह संख्या -1 और -2 के बीच स्थित है।
एक संख्या रेखा खींचें और उस पर 0, -1, -2 जैसे पूर्णांक अंकित करें। -1 और -2 के बीच के भाग को चार बराबर हिस्सों में बाँटें (क्योंकि हर 4 है)। शून्य से शुरू करके बाईं ओर गिनते हुए, सातवें भाग पर बिंदु 'P' अंकित करें। यह बिंदु \( \frac{-7}{4} \) को दर्शाता है।
In simple words: \( \frac {-7}{4} \) को संख्या रेखा पर दिखाने के लिए, इसे \( -1\frac{3}{4} \) के रूप में सोचें। संख्या रेखा पर -1 और -2 के बीच के हिस्से को 4 बराबर भागों में बांटें। -1 से बाईं ओर तीसरा निशान \( \frac{-7}{4} \) होगा।

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर ऋणात्मक भिन्नों को दर्शाते समय, मिश्रित भिन्न रूप को समझना महत्वपूर्ण है ताकि आप यह जान सकें कि भिन्न किन दो पूर्णांकों के बीच स्थित है।

Question 15. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में लिखिए
(i) \( \frac {-3}{5}, \frac {-2}{5}, \frac {-1}{5}, \frac {1}{5}, \frac {-2}{3}, \frac {-4}{3} \)
(ii) \( \frac {-4}{3}, \frac {-2}{9}, \frac {1}{3} \)
Answer:
(i) दी गई परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, पहले सभी भिन्नों का हर समान करें। 5 और 3 का ल.स.प. 15 है।
\( \frac {-3}{5} = \frac {-9}{15} \)
\( \frac {-2}{5} = \frac {-6}{15} \)
\( \frac {-1}{5} = \frac {-3}{15} \)
\( \frac {1}{5} = \frac {3}{15} \)
\( \frac {-2}{3} = \frac {-10}{15} \)
\( \frac {-4}{3} = \frac {-20}{15} \)
अब, अंशों की तुलना करके उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
\( \frac {-20}{15}, \frac {-10}{15}, \frac {-9}{15}, \frac {-6}{15}, \frac {-3}{15}, \frac {3}{15} \)
मूल भिन्नों में: \( \frac {-4}{3}, \frac {-2}{3}, \frac {-3}{5}, \frac {-2}{5}, \frac {-1}{5}, \frac {1}{5} \)। हरों को समान बनाना तुलना को आसान बनाता है।
(ii) दी गई परिमेय संख्याओं \( \frac {-4}{3}, \frac {-2}{9}, \frac {1}{3} \) को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, पहले हरों को समान करें। 3 और 9 का ल.स.प. 9 है।
\( \frac {-4}{3} = \frac {-4 \times 3}{3 \times 3} = \frac {-12}{9} \)
\( \frac {-2}{9} \)
\( \frac {1}{3} = \frac {1 \times 3}{3 \times 3} = \frac {3}{9} \)
अब, अंशों की तुलना करके उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
\( \frac {-12}{9} < \frac {-2}{9} < \frac {3}{9} \)
मूल भिन्नों में: \( \frac {-4}{3} < \frac {-2}{9} < \frac {1}{3} \)। इस तरह, सबसे छोटी से सबसे बड़ी संख्या तक का क्रम स्पष्ट हो जाता है।
In simple words: भिन्नों को छोटे से बड़े क्रम में लगाने के लिए, पहले उनके हरों को समान बनाएं (ल.स.प. का उपयोग करके)। फिर, अंशों की तुलना करें - सबसे छोटा अंश सबसे छोटी संख्या देगा।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते समय, सभी भिन्नों को एक सामान्य धनात्मक हर में बदलना हमेशा सबसे प्रभावी तरीका होता है।