RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 3 वर्ग एवं वर्गमूल Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. बिना संक्रिया किये योग ज्ञात कीजिए - 1+3+5
(a) 9
(b) 8
(c) 7
(d) 6
Answer: (a) 9
In simple words: जब आप 1, 3 और 5 को जोड़ते हैं, तो आपको 9 मिलता है। यह पहले कुछ विषम संख्याओं के योग को उनके गिनती के वर्ग के रूप में खोजने जैसा है।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि 1 से शुरू होने वाली पहली 'n' विषम संख्याओं का योग हमेशा \( n^2 \) होता है। इस मामले में, तीन संख्याएँ हैं, इसलिए \( 3^2 = 9 \)।

Question 2. 144 का वर्गमूल क्या है ?
(a) 13
(b) 12
(c) 10
(d) 8
Answer: (b) 12
In simple words: किसी संख्या का वर्गमूल वह मान होता है जिसे उसी संख्या से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 144 का वर्गमूल 12 है क्योंकि \( 12 \times 12 = 144 \)।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हमेशा बड़ी संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखंड या भाग विधि का उपयोग करें।

Question 3. 11 का वर्ग क्या है ?
(a) 121
(b) 122
(c) 123
(d) 124
Answer: (a) 121
In simple words: किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, आपको उस संख्या को स्वयं से गुणा करना होगा। 11 का वर्ग \( 11 \times 11 = 121 \) है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं के वर्गों को याद रखने से गणना में समय बचता है, खासकर छोटे पूर्णांकों के लिए।

Question 4. निम्न में से पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है
(a) 625
(b) 100
(c) 441
(d) 449
Answer: (d) 449
In simple words: एक पूर्ण वर्ग संख्या वह होती है जिसे एक पूर्णांक को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। 625 \( (25^2) \), 100 \( (10^2) \) और 441 \( (21^2) \) सभी पूर्ण वर्ग हैं, लेकिन 449 किसी भी पूर्णांक का वर्ग नहीं है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं के इकाई अंक को देखकर पता करें कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग हो सकती है या नहीं। पूर्ण वर्ग के इकाई अंक कभी भी 2, 3, 7 या 8 नहीं होते।

Question 6. 7921 का वर्गमूल होगा
(a) 89
(b) 88
(c) 70
(d) 8
Answer: (a) 89
In simple words: 7921 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या को खोजते हैं जिसे स्वयं से गुणा करने पर 7921 प्राप्त होता है। विकल्पों की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि \( 89 \times 89 = 7921 \)।

🎯 Exam Tip: यदि संख्या 1 या 9 में समाप्त होती है, तो उसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 होगा। 7921 के लिए, 89 सही विकल्प है।

Question 7. \( \sqrt {1\frac {9}{16}} \) का मान होगा।
(a) \( \sqrt {1\frac {3}{4}} \)
(b) \( \sqrt {1\frac {1}{4}} \)
(c) 1125
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) \( 1\frac{1}{4} \)
In simple words: पहले मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें: \( 1\frac{9}{16} = \frac{16 \times 1 + 9}{16} = \frac{25}{16} \)। फिर इसका वर्गमूल ज्ञात करें: \( \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} \)। इसे मिश्रित भिन्न में बदलने पर \( 1\frac{1}{4} \) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों के वर्गमूल ज्ञात करते समय, पहले उन्हें अनुचित भिन्न में बदलना अक्सर आसान होता है, फिर अंश और हर का अलग-अलग वर्गमूल लें।

Question 8. 216 को किस छोटी से छोटी संख्या से भाग दें कि भागफल एक पूर्ण वर्ग हो ?
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 9
Answer: (c) 6
In simple words: 216 को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम इसके अभाज्य गुणनखंडों को देखते हैं। \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)। चूंकि सभी गुणनखंडों की घात सम होनी चाहिए, हमें एक 2 और एक 3 को हटाना होगा। इसलिए, हमें \( 2 \times 3 = 6 \) से भाग देना होगा। \( 216 \div 6 = 36 \), जो \( 6^2 \) है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों को सम बनाना होता है। जितनी घातें विषम हैं, उन गुणनखंडों को हटाना होगा।

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

Question 1. (i) \( 1+3+ \dots + 7 = 16 \)
Answer: दिए गए अनुक्रम में, 1 से शुरू होने वाली लगातार विषम संख्याएँ हैं। यह अनुक्रम \( 1+3+5+7 \) है। इन चार विषम संख्याओं का योग 16 होता है। इसलिए, रिक्त स्थान को 5 से भरा जाना चाहिए, जिससे श्रृंखला पूर्ण हो सके।
In simple words: यह विषम संख्याओं की एक श्रृंखला है। 16 प्राप्त करने के लिए, अनुक्रम में 1, 3, _, 7 में लुप्त संख्या 5 होनी चाहिए।

🎯 Exam Tip: विषम संख्याओं की श्रृंखला को पहचानें और सुनिश्चित करें कि आप सभी क्रमिक विषम संख्याओं को योग में शामिल करें।

सत्य/असत्य

Question 1. (i) 2 का वर्ग = 8
Answer: असत्य
In simple words: 2 का वर्ग \( 2 \times 2 \) होता है, जो 4 के बराबर है, 8 नहीं।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए हमेशा संख्या को स्वयं से गुणा करें, न कि 2 से।

Question 2. (ii) 64 का वर्गमूल = 8
Answer: सत्य
In simple words: यह कथन सत्य है क्योंकि \( 8 \times 8 = 64 \) होता है।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

Question 3. (iii) 10 व 11 के बीच 21 संख्याएँ हैं।
Answer: सत्य
In simple words: यह कथन सत्य है कि 10 और 11 के बीच 21 संख्याएँ होती हैं, यह एक विशिष्ट गणना विधि पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के बीच की संख्याएँ गिनते समय, हमेशा यह स्पष्ट करें कि आप किस प्रकार की संख्याओं (जैसे पूर्णांक, दशमलव) को शामिल कर रहे हैं और क्या सीमाएँ शामिल हैं।

Question 4. (iv) 56 का वर्ग 3236 है।
Answer: असत्य
In simple words: 56 का वर्ग \( 56 \times 56 = 3136 \) होता है, 3236 नहीं।

🎯 Exam Tip: गणना करते समय हमेशा सावधान रहें, खासकर बड़ी संख्याओं के वर्गों में।

Question 5. (v) 25 का वर्गमूल 5 है।
Answer: सत्य
In simple words: यह कथन सत्य है क्योंकि \( 5 \times 5 = 25 \) होता है।

🎯 Exam Tip: वर्ग और वर्गमूल एक दूसरे के विपरीत होते हैं, जिसका अर्थ है कि एक क्रिया दूसरे को उलट देती है।

अति लघूत्तरीय प्रश्न

Question 1. 144 का वर्गमूल भाग विधि से बताओ।
Answer: 144 का वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात करने के लिए: 1. अंकों को दाईं ओर से जोड़े में बनाएँ: 1 44। 2. सबसे बाईं ओर के जोड़े (या अंक), जो 1 है, से कम या उसके बराबर वर्ग वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें। वह संख्या 1 है। 1 को भाजक और भागफल के रूप में लिखें। \( 1 \times 1 = 1 \)। 1 में से 1 घटाएँ, 0 बचेगा। 3. अगला जोड़ा, 44, नीचे लाएँ। नया भाज्य 44 है। 4. भागफल (1) को दुगुना करें, जो 2 है। 2 के आगे एक खाली स्थान और नए भाजक (2_) के रूप में लिखें। 5. खाली स्थान (और भागफल में भी) भरने के लिए एक अंक ज्ञात करें ताकि (2_ \( \times \) _) 44 से कम या उसके बराबर हो। यदि हम 2 चुनते हैं, तो \( 22 \times 2 = 44 \)। 6. खाली स्थान में 2 लिखें और भागफल में अगले अंक के रूप में भी। 44 में से 44 घटाएँ, 0 बचेगा। इस प्रकार, 144 का वर्गमूल 12 है। यह विधि बड़ी संख्याओं के वर्गमूल को व्यवस्थित रूप से ज्ञात करने में मदद करती है।
In simple words: 144 का वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात करने के लिए, हम संख्याओं को जोड़े में बाँटते हैं और चरण-दर-चरण भाग करते हैं। यह दर्शाता है कि 12 को 12 से गुणा करने पर 144 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: भाग विधि में, आपको हमेशा अंकों को दाईं ओर से दो के जोड़े में बनाना चाहिए और प्रत्येक चरण में भागफल को दुगुना करना याद रखना चाहिए।

Question 2. क्या 9, 40, 41 पाइथागोरियन त्रिक है ?
Answer: एक पाइथागोरियन त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b, और c होते हैं, जैसे कि \( a^2 + b^2 = c^2 \)। यहाँ, हमारे पास 9, 40 और 41 संख्याएँ हैं। आइए जाँच करें कि क्या वे शर्त को पूरा करती हैं: \( 9^2 = 81 \) \( 40^2 = 1600 \) \( 41^2 = 1681 \) अब, दो छोटी संख्याओं के वर्गों को जोड़ें: \( 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 \)। चूंकि \( 9^2 + 40^2 = 41^2 \) (क्योंकि \( 1681 = 1681 \)), इसलिए संख्याएँ 9, 40, और 41 एक पाइथागोरियन त्रिक बनाती हैं। पाइथागोरियन त्रिक समकोण त्रिभुजों के लिए ज्यामिति में उपयोगी होते हैं।
In simple words: एक पाइथागोरियन त्रिक का मतलब है कि यदि आप दो छोटी संख्याओं का वर्ग करके जोड़ते हैं, तो आपको सबसे बड़ी संख्या का वर्ग मिलता है। 9, 40, और 41 के लिए, हम देखते हैं कि \( 9^2 + 40^2 \) बराबर \( 41^2 \) है। तो, हाँ, वे एक पाइथागोरियन त्रिक बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरियन त्रिक की पहचान करने के लिए हमेशा यह सुनिश्चित करें कि सबसे बड़ी संख्या का वर्ग अन्य दो संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो।

Question 2. \( \sqrt {248+\sqrt { 51+\sqrt {169}}} \) का मान बताओ।
Answer: नेस्टेड वर्गमूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे सबसे भीतरी वर्गमूल से बाहर की ओर हल करते हैं: 1. सबसे पहले, \( \sqrt{169} \) की गणना करें। हम जानते हैं कि \( 13 \times 13 = 169 \), इसलिए \( \sqrt{169} = 13 \)। 2. इस मान को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: \( \sqrt {248+\sqrt { 51+13 }} \)। 3. मध्य वर्गमूल के अंदर की संख्याओं को जोड़ें: \( 51 + 13 = 64 \)। तो व्यंजक \( \sqrt {248+\sqrt { 64 }} \) बन जाता है। 4. \( \sqrt{64} \) की गणना करें। हम जानते हैं कि \( 8 \times 8 = 64 \), इसलिए \( \sqrt{64} = 8 \)। 5. इस मान को वापस प्रतिस्थापित करें: \( \sqrt {248+8} \)। 6. सबसे बाहरी वर्गमूल के अंदर की संख्याओं को जोड़ें: \( 248 + 8 = 256 \)। तो व्यंजक \( \sqrt {256} \) बन जाता है। 7. अंत में, \( \sqrt{256} \) की गणना करें। हम जानते हैं कि \( 16 \times 16 = 256 \), इसलिए \( \sqrt{256} = 16 \)। यह चरण-दर-चरण विधि जटिल अभिव्यक्तियों को एक समय में एक परत को सरल बनाने में मदद करती है।
In simple words: इस समस्या को हल करने के लिए, हम अंदर से शुरू करते हैं। पहले 169 का वर्गमूल 13 ज्ञात करें। फिर 51 और 13 को जोड़कर 64 प्राप्त करें। 64 का वर्गमूल 8 है। अब 248 और 8 को जोड़कर 256 प्राप्त करें। अंत में, 256 का वर्गमूल 16 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, हमेशा सबसे भीतरी वर्गमूल से शुरू करें और सावधानीपूर्वक गणना करते हुए बाहर की ओर बढ़ें।

Question 3. एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 1089 मी\(^2\) है तो मैदान की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer: एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई का वर्ग करके ज्ञात किया जाता है (क्षेत्रफल = भुजा \( \times \) भुजा)। जब किसी वर्ग का क्षेत्रफल दिया गया हो, तो उसकी भुजा ज्ञात करने के लिए, हमें क्षेत्रफल का वर्गमूल ज्ञात करना होगा। दिया गया है: वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 1089 \) मी\(^2\)। इसलिए, मैदान की भुजा \( = \sqrt{1089} \)। \( \sqrt{1089} \) ज्ञात करने के लिए: हम जानते हैं कि \( 30^2 = 900 \) और \( 40^2 = 1600 \)। 1089 का इकाई अंक 9 है, इसलिए इसका वर्गमूल 3 या 7 में समाप्त होना चाहिए। आइए \( 33 \times 33 \) का प्रयास करें: \( 33 \times 33 = 1089 \)। तो, मैदान की भुजा \( = 33 \) मीटर है। वर्गमूल की गणना वर्ग करने की प्रक्रिया को उलट देती है।
In simple words: एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा को स्वयं से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। इसलिए, यदि क्षेत्रफल 1089 वर्ग मीटर है, तो हम 1089 का वर्गमूल निकालकर भुजा ज्ञात करते हैं, जो 33 मीटर है।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल से भुजा ज्ञात करने के लिए वर्गमूल निकालना याद रखें, और भुजा से क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए वर्ग करना याद रखें।

Question 4. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 1989 में से घटाने पर वह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए तथा उसे पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
Answer: 1989 में से घटाने पर उसे पूर्ण वर्ग बनाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 1989 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए लंबी भाग विधि का उपयोग करते हैं: 1. अंकों को दाईं ओर से जोड़े में बनाएँ: 19 89। 2. सबसे बाईं ओर के जोड़े, 19, से कम या उसके बराबर वर्ग वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें। वह संख्या 4 है \( (4^2 = 16) \)। 4 को भाजक और भागफल के रूप में लिखें। 19 में से 16 घटाएँ, 3 बचेगा। 3. अगला जोड़ा, 89, नीचे लाएँ। नया भाज्य 389 है। 4. भागफल (4) को दुगुना करें, जो 8 है। 8 के आगे एक खाली स्थान और नए भाजक (8_) के रूप में लिखें। 5. खाली स्थान (और भागफल में भी) भरने के लिए एक अंक ज्ञात करें ताकि (8_ \( \times \) _) 389 से कम या उसके बराबर हो। यदि हम 4 चुनते हैं, तो \( 84 \times 4 = 336 \)। 6. खाली स्थान में 4 लिखें और भागफल में अगले अंक के रूप में भी। 389 में से 336 घटाएँ, 53 शेष बचेगा। चूंकि शेष 53 है, इसका मतलब है कि 1989 एक पूर्ण वर्ग से 53 अधिक है। तो, घटाने वाली सबसे छोटी संख्या 53 है। नई पूर्ण वर्ग संख्या \( 1989 - 53 = 1936 \) होगी। 1936 का वर्गमूल 44 है। यह विधि दिए गए संख्या से ठीक नीचे के पूर्ण वर्ग को प्रभावी ढंग से ज्ञात करती है।
In simple words: हम 1989 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए एक विशेष भाग विधि का उपयोग करते हैं। हमें पता चलता है कि 1989 में 53 शेष बचता है। इसका मतलब है कि यदि हम 1989 में से 53 घटाते हैं, तो हमें 1936 मिलता है, जो एक पूर्ण वर्ग है। 1936 का वर्गमूल 44 है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या में से घटाई जाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हमेशा लंबी भाग विधि का उपयोग करें और शेषफल को घटाएँ।