RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 3 वर्ग एवं वर्गमूल Exercise 3.3

वर्गमूल Ex 3.3

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) 441
(ii) 576
(iii) 1225
(iv) 2916
(v) 4624
(vi) 7921
Answer: हम इकाई स्थान से शुरू करते हुए 2-2 अंकों का जोड़ा बनाते हैं।

(i) 441
यहां, हम भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करेंगे।
पहले, 441 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 4 41
सबसे पहले, हम 4 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 2 \times 2 = 4 \)। तो, भागफल में 2 लिखेंगे और 4 में से 4 घटाकर 0 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 41 उतारते हैं। भागफल में लिखे 2 को दोगुना करेंगे तो 4 होगा।
अब 4 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 4x \times x \) या तो 41 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 41 \times 1 = 41 \)।
इसलिए, 41 में से 41 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 21 है।
अतः, \( \sqrt{441} = 21 \)
In simple words: 441 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम इसे जोड़ों में बांटते हैं. फिर हम सबसे बड़ी संख्या ढूंढते हैं जिसका वर्ग पहले जोड़े से कम या बराबर हो. हम इस प्रक्रिया को दोहराते हैं जब तक हमें शून्य शेष न मिल जाए.

🎯 Exam Tip: भाग विधि में, आपको हमेशा संख्याओं को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़ों में बांटना चाहिए। यदि बाईं ओर एक अंक अकेला बच जाए, तो वह भी एक जोड़ा माना जाता है।

(ii) 576
Answer: 576 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 5 76
सबसे पहले, हम 5 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 2 \times 2 = 4 \)। भागफल में 2 लिखेंगे। 5 में से 4 घटाने पर 1 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 76 उतारते हैं। भागफल में लिखे 2 को दोगुना करेंगे तो 4 होगा।
अब 4 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 4x \times x \) या तो 176 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 44 \times 4 = 176 \)।
इसलिए, 176 में से 176 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 24 है।
अतः, \( \sqrt{576} = 24 \)
In simple words: 576 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम संख्या को दाईं से बाईं ओर से जोड़ों में समूहित करते हैं. फिर हम उस सबसे बड़ी संख्या का पता लगाते हैं जिसका वर्ग पहले जोड़े से छोटा या उसके बराबर होता है और भाग विधि के चरणों का पालन करते हैं.

🎯 Exam Tip: वर्गमूल निकालते समय, हर चरण में भागफल के अंतिम अंक को नए भाजक के साथ जोड़कर दोगुना करना याद रखें।

(iii) 1225
Answer: 1225 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 12 25
सबसे पहले, हम 12 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 3 \times 3 = 9 \)। भागफल में 3 लिखेंगे। 12 में से 9 घटाने पर 3 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 25 उतारते हैं। भागफल में लिखे 3 को दोगुना करेंगे तो 6 होगा।
अब 6 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 6x \times x \) या तो 325 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 65 \times 5 = 325 \)।
इसलिए, 325 में से 325 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 35 है।
अतः, \( \sqrt{1225} = 35 \)
In simple words: 1225 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम पहले दो अंकों के जोड़े बनाते हैं. फिर हम उस संख्या को खोजते हैं जिसका वर्ग पहले जोड़े के करीब है. फिर उस संख्या को दोहराते हुए घटाते हैं और अगली संख्या को नीचे लाते हैं, फिर से नए भाजक के साथ वही प्रक्रिया दोहराते हैं.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप हर चरण में शेषफल को सही ढंग से घटा रहे हैं और अगले जोड़े को नीचे ला रहे हैं।

(iv) 2916
Answer: 2916 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 29 16
सबसे पहले, हम 29 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 5 \times 5 = 25 \)। भागफल में 5 लिखेंगे। 29 में से 25 घटाने पर 4 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 16 उतारते हैं। भागफल में लिखे 5 को दोगुना करेंगे तो 10 होगा।
अब 10 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 10x \times x \) या तो 416 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 104 \times 4 = 416 \)।
इसलिए, 416 में से 416 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 54 है।
अतः, \( \sqrt{2916} = 54 \)
In simple words: 2916 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 29 और 16 के जोड़े बनाते हैं. फिर 29 के लिए सबसे बड़ा वर्ग 25 (5 का वर्ग) लेते हैं. शेषफल के साथ अगला जोड़ा उतारते हैं. फिर, नए भाजक को दोगुना करके और एक अंक जोड़कर, हम 416 के लिए उपयुक्त गुणांक ढूंढते हैं.

🎯 Exam Tip: लंबी भाग विधि में, हर चरण में भाजक को दोगुना करना न भूलें और सही अंक जोड़ने का ध्यान रखें।

(v) 4624
Answer: 4624 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 46 24
सबसे पहले, हम 46 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 6 \times 6 = 36 \)। भागफल में 6 लिखेंगे। 46 में से 36 घटाने पर 10 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 24 उतारते हैं। भागफल में लिखे 6 को दोगुना करेंगे तो 12 होगा।
अब 12 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 12x \times x \) या तो 1024 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 128 \times 8 = 1024 \)।
इसलिए, 1024 में से 1024 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 68 है।
अतः, \( \sqrt{4624} = 68 \)
In simple words: 4624 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 46 और 24 के जोड़े बनाते हैं. फिर 46 के लिए सबसे बड़ा वर्ग 36 (6 का वर्ग) लेते हैं. शेषफल के साथ अगला जोड़ा उतारते हैं. फिर, नए भाजक को दोगुना करके और एक अंक जोड़कर, हम 1024 के लिए उपयुक्त गुणांक ढूंढते हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपका गणना सही है, आप अंतिम भागफल का वर्ग करके अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं।

(vi) 7921
Answer: 7921 में, इकाई स्थान से 2-2 अंकों के जोड़े बनाएँगे: 79 21
सबसे पहले, हम 79 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 8 \times 8 = 64 \)। भागफल में 8 लिखेंगे। 79 में से 64 घटाने पर 15 बचेगा।
अब, अगला जोड़ा 21 उतारते हैं। भागफल में लिखे 8 को दोगुना करेंगे तो 16 होगा।
अब 16 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 16x \times x \) या तो 1521 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 169 \times 9 = 1521 \)।
इसलिए, 1521 में से 1521 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 89 है।
अतः, \( \sqrt{7921} = 89 \)
In simple words: 7921 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 79 और 21 के जोड़े बनाते हैं. फिर 79 के लिए सबसे बड़ा वर्ग 64 (8 का वर्ग) लेते हैं. शेषफल के साथ अगला जोड़ा उतारते हैं. फिर, नए भाजक को दोगुना करके और एक अंक जोड़कर, हम 1521 के लिए उपयुक्त गुणांक ढूंढते हैं.

🎯 Exam Tip: जैसे-जैसे संख्याएं बड़ी होती जाती हैं, सही अंक चुनने के लिए थोड़ा अनुमान लगाने और जांचने की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन प्रक्रिया वही रहती है।

Question 2. निम्न संख्याओं के वर्गमूल बिना गणना के ज्ञात कीजिए।
Answer: बिना गणना के वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम संख्या के इकाई अंक को देखते हैं और फिर उस संख्या के वर्गमूल के इकाई अंक का अनुमान लगाते हैं। फिर, बचे हुए अंकों के जोड़े के आधार पर, हम वर्गमूल के दहाई अंक का अनुमान लगाते हैं। यह विधि उस स्थिति में लागू होती है जब संख्या एक पूर्ण वर्ग हो।
सबसे पहले, संख्या के इकाई के अंक की सहायता से, निम्न सारणी का प्रयोग करके वर्गमूल के इकाई का अंक ज्ञात करेंगे:

(i) 121
इकाई अंक = 1 है।
वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 होगा।
अंतिम दो अंकों (21) को छोड़ने पर, शेष अंक = 1.
\( 1^2 = 1 \). चूंकि 10 और 20 के बीच 11 ही ऐसी संख्या है जिसका वर्ग 121 है.
अतः, \( \sqrt{121} = 11 \)
In simple words: 121 का इकाई अंक 1 है, इसलिए वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 होगा. बचे हुए अंक 1 के लिए 1 का वर्गमूल 1 है. इसलिए, हम 11 चुनते हैं.

🎯 Exam Tip: इस विधि का उपयोग करते समय, आपको 1 से 10 तक की संख्याओं के वर्ग के इकाई अंक याद होने चाहिए।

(ii) 256
Answer: इकाई अंक = 6 है।
वर्गमूल का इकाई अंक 4 या 6 होगा।
अंतिम दो अंकों (56) को छोड़ने पर, शेष अंक = 2.
चूंकि \( 1^2 = 1 \) और \( 2^2 = 4 \), इसलिए 1 का वर्ग 2 से छोटा है और 2 का वर्ग 2 से बड़ा है. हम छोटी संख्या 1 लेंगे.
इसलिए 256 का मान \( 14^2 \) या \( 16^2 \) होगा.
हमें पता है कि \( 15^2 = 225 \).
अतः, \( \sqrt{256} = 16 \)
In simple words: 256 का इकाई अंक 6 है, इसलिए वर्गमूल का इकाई अंक 4 या 6 होगा. बचे हुए अंक 2 के लिए, 1 का वर्ग 2 से छोटा है. इसलिए वर्गमूल के दहाई का अंक 1 होगा. यह 14 या 16 हो सकता है. 16 सही उत्तर है.

🎯 Exam Tip: शेष अंक के लिए, हमेशा उस सबसे बड़े पूर्णांक को चुनें जिसका वर्ग शेष अंक से कम या बराबर हो।

(iii) 4489
Answer: इकाई अंक = 9 है।
वर्गमूल का इकाई अंक 3 या 7 होगा।
अंतिम दो अंकों (89) को छोड़ने पर, शेष अंक = 44.
चूंकि \( 6^2 = 36 \) और \( 7^2 = 49 \), इसलिए 6 का वर्ग 44 से छोटा है और 7 का वर्ग 44 से बड़ा है. हम छोटी संख्या 6 लेंगे.
इसलिए 4489 का मान \( 63^2 \) या \( 67^2 \) होगा.
हमें पता है कि \( 65^2 = 4225 \).
अतः, \( \sqrt{4489} = 67 \)
In simple words: 4489 का इकाई अंक 9 है, इसलिए वर्गमूल का इकाई अंक 3 या 7 होगा. बचे हुए अंक 44 के लिए, 6 का वर्ग 44 से छोटा है. इसलिए वर्गमूल के दहाई का अंक 6 होगा. यह 63 या 67 हो सकता है. 67 सही उत्तर है.

🎯 Exam Tip: जब दो विकल्प (जैसे 63 और 67) हों, तो बीच की संख्या (जैसे 65) का वर्ग करके सही उत्तर का तेजी से अनुमान लगाया जा सकता है।

(iv) 60025
Answer: इकाई अंक = 5 है।
वर्गमूल का इकाई अंक 5 होगा।
अंतिम दो अंकों (25) को छोड़ने पर, शेष अंक = 600.
चूंकि \( 24^2 = 576 \) और \( 25^2 = 625 \), इसलिए 24 का वर्ग 600 से छोटा है और 25 का वर्ग 600 से बड़ा है. हम छोटी संख्या 24 लेंगे.
अतः, \( \sqrt{60025} = 245 \)
In simple words: 60025 का इकाई अंक 5 है, इसलिए वर्गमूल का इकाई अंक भी 5 होगा. बचे हुए अंक 600 के लिए, 24 का वर्ग 576 है, जो 600 से छोटा है. इसलिए वर्गमूल के पहले दो अंक 24 होंगे. इस प्रकार, वर्गमूल 245 है.

🎯 Exam Tip: यदि इकाई अंक 5 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक हमेशा 5 ही होगा, जिससे एक विकल्प कम हो जाता है।

Question 3. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 6.25
(ii) 2.89
(iii) 32.49
(iv) 31.36
(v) 57.76
Answer: दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम दशमलव बिंदु के दाईं और बाईं ओर से जोड़े बनाते हैं। दशमलव बिंदु के बाईं ओर, हम इकाई अंक से शुरू करके बाईं ओर जोड़े बनाते हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर, हम दशमलव बिंदु के ठीक बाद से दाईं ओर जोड़े बनाते हैं। फिर हम सामान्य भाग विधि का पालन करते हैं।

(i) 6.25
दशमलव के बाईं ओर का जोड़ा 6 है, और दाईं ओर का जोड़ा 25 है.
सबसे पहले, हम 6 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 2 \times 2 = 4 \)। भागफल में 2 लिखेंगे। 6 में से 4 घटाने पर 2 बचेगा। भागफल में दशमलव बिंदु लगाएंगे।
अब, अगला जोड़ा 25 उतारते हैं। भागफल में लिखे 2 को दोगुना करेंगे तो 4 होगा।
अब 4 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 4x \times x \) या तो 225 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 45 \times 5 = 225 \)।
इसलिए, 225 में से 225 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 2.5 है।
अतः, \( \sqrt{6.25} = 2.5 \)
In simple words: 6.25 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम दशमलव के दोनों ओर जोड़े बनाते हैं. फिर 6 का सबसे बड़ा वर्गमूल 2 है. शेषफल के साथ 25 को नीचे लाते हैं. भाजक को दोगुना करते हैं और 225 के लिए सही संख्या (5) ढूंढते हैं, जिससे उत्तर 2.5 मिलता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालते समय, दशमलव बिंदु को सही स्थान पर लगाना बहुत महत्वपूर्ण है - जैसे ही आप दशमलव के बाद वाले अंकों के जोड़े को नीचे लाते हैं, भागफल में दशमलव लगाएं।

(ii) 2.89
Answer: दशमलव के बाईं ओर का जोड़ा 2 है, और दाईं ओर का जोड़ा 89 है.
सबसे पहले, हम 2 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 1 \times 1 = 1 \)। भागफल में 1 लिखेंगे। 2 में से 1 घटाने पर 1 बचेगा। भागफल में दशमलव बिंदु लगाएंगे।
अब, अगला जोड़ा 89 उतारते हैं। भागफल में लिखे 1 को दोगुना करेंगे तो 2 होगा।
अब 2 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 2x \times x \) या तो 189 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 27 \times 7 = 189 \)।
इसलिए, 189 में से 189 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 1.7 है।
अतः, \( \sqrt{2.89} = 1.7 \)
In simple words: 2.89 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 2 का वर्गमूल 1 लेते हैं. फिर दशमलव लगाते हैं और शेषफल के साथ 89 को नीचे लाते हैं. भाजक को दोगुना करके और 7 जोड़कर, हमें 1.7 मिलता है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप दशमलव बिंदु के बाद के जोड़े को सही ढंग से समूहित करते हैं (जैसे 0.25 में, यह 25 है, न कि 2 और 5 अलग-अलग)।

(iii) 32.49
Answer: दशमलव के बाईं ओर का जोड़ा 32 है, और दाईं ओर का जोड़ा 49 है.
सबसे पहले, हम 32 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 5 \times 5 = 25 \)। भागफल में 5 लिखेंगे। 32 में से 25 घटाने पर 7 बचेगा। भागफल में दशमलव बिंदु लगाएंगे।
अब, अगला जोड़ा 49 उतारते हैं। भागफल में लिखे 5 को दोगुना करेंगे तो 10 होगा।
अब 10 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 10x \times x \) या तो 749 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 107 \times 7 = 749 \)।
इसलिए, 749 में से 749 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 5.7 है।
अतः, \( \sqrt{32.49} = 5.7 \)
In simple words: 32.49 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 32 का वर्गमूल 5 लेते हैं. फिर दशमलव लगाते हैं और शेषफल के साथ 49 को नीचे लाते हैं. भाजक को दोगुना करके और 7 जोड़कर, हमें 5.7 मिलता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं में जोड़े बनाते समय, दशमलव के बाईं ओर इकाई स्थान से बाईं ओर और दशमलव के दाईं ओर दशमलव बिंदु से दाईं ओर चलना याद रखें।

(iv) 31.36
Answer: दशमलव के बाईं ओर का जोड़ा 31 है, और दाईं ओर का जोड़ा 36 है.
सबसे पहले, हम 31 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 5 \times 5 = 25 \)। भागफल में 5 लिखेंगे। 31 में से 25 घटाने पर 6 बचेगा। भागफल में दशमलव बिंदु लगाएंगे।
अब, अगला जोड़ा 36 उतारते हैं। भागफल में लिखे 5 को दोगुना करेंगे तो 10 होगा।
अब 10 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 10x \times x \) या तो 636 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 106 \times 6 = 636 \)।
इसलिए, 636 में से 636 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 5.6 है।
अतः, \( \sqrt{31.36} = 5.6 \)
In simple words: 31.36 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 31 का वर्गमूल 5 लेते हैं. फिर दशमलव लगाते हैं और शेषफल के साथ 36 को नीचे लाते हैं. भाजक को दोगुना करके और 6 जोड़कर, हमें 5.6 मिलता है.

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि आपका उत्तर सही है, आप प्राप्त वर्गमूल (जैसे 5.6) को स्वयं से गुणा कर सकते हैं; परिणाम मूल संख्या (31.36) होना चाहिए।

(v) 57.76
Answer: दशमलव के बाईं ओर का जोड़ा 57 है, और दाईं ओर का जोड़ा 76 है.
सबसे पहले, हम 57 का वर्गमूल निकालते हैं। \( 7 \times 7 = 49 \)। भागफल में 7 लिखेंगे। 57 में से 49 घटाने पर 8 बचेगा। भागफल में दशमलव बिंदु लगाएंगे।
अब, अगला जोड़ा 76 उतारते हैं। भागफल में लिखे 7 को दोगुना करेंगे तो 14 होगा।
अब 14 के साथ ऐसी संख्या (x) रखेंगे और x से गुणा करेंगे ताकि \( 14x \times x \) या तो 876 के बराबर हो या उससे कम। यहाँ \( 146 \times 6 = 876 \)।
इसलिए, 876 में से 876 घटाकर 0 बचेगा। भागफल 7.6 है।
अतः, \( \sqrt{57.76} = 7.6 \)
In simple words: 57.76 का वर्गमूल निकालने के लिए, हम 57 का वर्गमूल 7 लेते हैं. फिर दशमलव लगाते हैं और शेषफल के साथ 76 को नीचे लाते हैं. भाजक को दोगुना करके और 6 जोड़कर, हमें 7.6 मिलता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं के वर्गमूल में, भागफल में दशमलव बिंदु उतने ही अंकों के बाद आता है जितने कि मूल संख्या में दशमलव के बाद जोड़े होते हैं।

Question 4. निम्न संख्या में क्या घटाया जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
Answer: पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए, हमें दी गई संख्या में से वह सबसे छोटा अंक घटाना होगा जो उसे एक पूर्ण वर्ग के ठीक ऊपर लाता है। इसके लिए हम भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करते हैं और जो शेषफल बचता है, उसे संख्या में से घटा देते हैं।

(i) 420
सबसे पहले हम भाग विधि से 420 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 20 \\ 2 \overline{|420} \\ +2 \downarrow \\ 40 \\ 40 \overline{)20} \\ -0 \\ \hline 20 \\ \end{array} \)
यहां, 420 को 20 से भाग देने पर, शेषफल 20 बचता है।
यानी, 420 पूर्ण वर्ग संख्या (400) से 20 अधिक है।
इसलिए, 420 में से 20 घटाने पर हमें पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जायेगी।
\( 420 - 20 = 400 \)
\( \sqrt{400} = 20 \)
यदि 420 में 20 जोड़ने से पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो, तो हम 20 के स्थान पर 21 के वर्ग पर विचार करेंगे जो कि \( (21)^2 = 441 \) है।
अतः हमें \( 441 - 420 = 21 \) जोड़ना होगा।
In simple words: 420 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम भाग विधि से इसका वर्गमूल निकालते हैं. हमें शेषफल 20 मिलता है, जिसका अर्थ है कि 420 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें से 20 घटाना होगा. यदि जोड़ना हो, तो अगले पूर्ण वर्ग (441) तक पहुंचने के लिए 21 जोड़ना होगा.

🎯 Exam Tip: जब 'क्या घटाया जाए' पूछा जाए, तो भाग विधि से प्राप्त शेषफल ही आपका उत्तर होता है। यदि 'क्या जोड़ा जाए' पूछा जाए, तो अगले पूर्ण वर्ग तक पहुंचने के लिए आवश्यक अंतर निकालें।

(ii) 2000
Answer: सबसे पहले हम भाग विधि से 2000 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 44 \\ 4 \overline{|2000} \\ +4 \downarrow \\ 84 \overline{)400} \\ -336 \\ \hline 64 \\ \end{array} \)
यहां, 2000 को 44 से भाग देने पर, शेषफल 64 बचता है।
यानी, 2000 पूर्ण वर्ग संख्या से 64 अधिक है।
इसलिए, \( 2000 - 64 = 1936 \)
और \( \sqrt{1936} = 44 \)
पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें 44 में 1 जोड़कर 45 के वर्ग पर विचार करना होगा।
\( (45)^2 = 2025 \)
अतः, हमें 2000 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \( 2025 - 2000 = 25 \) जोड़ना होगा।
In simple words: 2000 का वर्गमूल निकालने पर, हमें 64 शेष बचता है, जिसका मतलब है कि 2000 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें से 64 घटाना होगा. अगर जोड़ना हो तो, 44 के बाद की संख्या 45 का वर्ग 2025 है, तो हमें 25 जोड़ना होगा.

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि 'क्या घटाया जाए' और 'क्या जोड़ा जाए' वाले प्रश्नों के लिए वर्गमूल की भाग विधि का उपयोग एक ही तरह से शुरू होता है, लेकिन अंतिम चरण अलग होता है।

(iii) 837
Answer: सबसे पहले हम भाग विधि से 837 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 28 \\ 2 \overline{|837} \\ +2 \downarrow \\ 48 \overline{)437} \\ -384 \\ \hline 53 \\ \end{array} \)
यहां, 837 को 28 से भाग देने पर, शेषफल 53 बचता है।
यानी, 837 पूर्ण वर्ग संख्या से 53 अधिक है।
इसलिए, \( 837 - 53 = 784 \)
और \( \sqrt{784} = 28 \)
पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए, हम 28 में 1 जोड़कर 29 के वर्ग पर विचार करेंगे।
\( (29)^2 = 841 \)
अतः, हमें 837 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \( 841 - 837 = 4 \) जोड़ना होगा।
In simple words: 837 का वर्गमूल निकालते समय, शेषफल 53 बचता है. इसलिए 837 में से 53 घटाने पर यह पूर्ण वर्ग बन जाएगा. यदि जोड़ना हो, तो 28 के बाद 29 का वर्ग 841 होता है, जिसका मतलब है कि हमें 4 जोड़ना होगा.

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि यदि आपको घटाना है, तो शेषफल ही आपका उत्तर है, और यदि जोड़ना है, तो आपको अगले पूर्ण वर्ग को खोजने की आवश्यकता होगी।

(iv) 3500
Answer: सबसे पहले हम भाग विधि से 3500 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 59 \\ 5 \overline{|3500} \\ +5 \downarrow \\ 109 \overline{)1000} \\ -981 \\ \hline 19 \\ \end{array} \)
यहां, 3500 को 59 से भाग देने पर, शेषफल 19 बचता है।
इसलिए, \( 3500 - 19 = 3481 \)
और \( \sqrt{3500} = 59 \)
पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए, हम 59 में 1 जोड़कर 60 के वर्ग पर विचार करेंगे।
\( (60)^2 = 3600 \)
अतः, हमें 3500 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \( 3600 - 3500 = 100 \) जोड़ना होगा।
In simple words: 3500 का वर्गमूल निकालने पर, 19 शेष बचता है. इसका मतलब है कि 3500 में से 19 घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा. यदि हमें जोड़ना है, तो अगले पूर्ण वर्ग (3600) तक पहुंचने के लिए 100 जोड़ना होगा.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, एक बार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल निकाल कर देखें कि यह अपेक्षित संख्या (जैसे 20, 44, 28, 59) के बराबर है या नहीं।

Question 5. निम्न संख्याओं में से क्या घटाया जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए।
(i) 555
(ii) 252
(iii) 1650
(iv) 6410
Answer: इन संख्याओं को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हमें भाग विधि का उपयोग करके उनका वर्गमूल निकालना होगा। जो शेषफल बचेगा, उसे दी गई संख्या में से घटाने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगी।

(i) 555
सबसे पहले, हम भाग विधि से 555 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 23 \\ 2 \overline{|555} \\ +2 \downarrow \\ 43 \overline{)155} \\ -129 \\ \hline 26 \\ \end{array} \)
यहां, 555 को 23 से भाग देने पर, शेषफल 26 बचता है।
अतः, घटाई जाने वाली संख्या 26 है।
In simple words: 555 का वर्गमूल निकालते हैं. जो शेषफल 26 बचता है, उसे 555 में से घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा.

🎯 Exam Tip: जब 'क्या घटाया जाए' पूछा जाए, तो भाग विधि से वर्गमूल निकालने पर जो अंतिम शेषफल आता है, वही आपका उत्तर होता है।

(ii) 252
Answer: सबसे पहले, हम भाग विधि से 252 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 15 \\ 1 \overline{|252} \\ +1 \downarrow \\ 25 \overline{)152} \\ -125 \\ \hline 27 \\ \end{array} \)
यहां, 252 को 15 से भाग देने पर, शेषफल 27 बचता है।
अतः, घटाई जाने वाली संख्या 27 है।
In simple words: 252 का वर्गमूल निकालते हैं. जो शेषफल 27 बचता है, उसे 252 में से घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा.

🎯 Exam Tip: शेषफल को हमेशा सावधानी से गणना करें, क्योंकि यह ही वह संख्या है जिसे घटाने पर दी गई संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी।

(iii) 1650
Answer: सबसे पहले, हम भाग विधि से 1650 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 40 \\ 4 \overline{|1650} \\ +4 \downarrow \\ 80 \overline{)50} \\ -0 \\ \hline 50 \\ \end{array} \)
यहां, 1650 को 40 से भाग देने पर, शेषफल 50 बचता है।
अतः, घटाई जाने वाली संख्या 50 है।
In simple words: 1650 का वर्गमूल निकालते हैं. जो शेषफल 50 बचता है, उसे 1650 में से घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा.

🎯 Exam Tip: यदि शेषफल शून्य आता है, तो संख्या पहले से ही एक पूर्ण वर्ग है और घटाने के लिए कोई संख्या नहीं है।

(iv) 6410
Answer: सबसे पहले, हम भाग विधि से 6410 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 80 \\ 8 \overline{|6410} \\ +8 \downarrow \\ 160 \overline{)10} \\ -0 \\ \hline 10 \\ \end{array} \)
यहां, 6410 को 80 से भाग देने पर, शेषफल 10 बचता है।
अतः, घटाई जाने वाली संख्या 10 है।
In simple words: 6410 का वर्गमूल निकालते हैं. जो शेषफल 10 बचता है, उसे 6410 में से घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के लिए भी प्रक्रिया वही रहती है - जोड़ों में बांटें, वर्गमूल निकालें, और शेषफल को घटा दें।

Question 6. एक स्कूल में 1000 कुर्सियां हैं। इन्हें वर्गाकार जमावट में व्यवस्थित करना है, जहां पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है। इस जमावट को पूरा करने के लिए कितनी अतिरिक्त कुर्सियों की आवश्यकता होगी?
Answer: कुल कुर्सियां = 1000
एक वर्गाकार जमावट बनाने के लिए, हमें एक ऐसी संख्या चाहिए जो 1000 के सबसे करीब हो और एक पूर्ण वर्ग भी हो।
हम भाग विधि से 1000 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं:
\( \begin{array}{r} 31 \\ 3 \overline{|1000} \\ +3 \downarrow \\ 61 \overline{)100} \\ -61 \\ \hline 39 \\ \end{array} \)
यहां, 1000 को 31 से भाग देने पर, शेषफल 39 बचता है।
इसका मतलब है कि 1000, \( 31^2 = 961 \) से 39 अधिक है।
तो, यदि हम 1000 में से 39 कुर्सियां हटा दें, तो हमारे पास 961 कुर्सियां बचेंगी जो कि \( 31 \times 31 \) की एक वर्गाकार जमावट में फिट हो जाएंगी।
लेकिन हमें अतिरिक्त कुर्सियों की आवश्यकता है, यानी हमें 1000 से बड़ी एक पूर्ण वर्ग संख्या चाहिए।
\( 31^2 = 961 \)
अगला पूर्ण वर्ग \( (31+1)^2 = 32^2 = 1024 \) है।
इसलिए, वर्गाकार जमावट में आवश्यक कुर्सियों की संख्या 1024 है।
आवश्यक अतिरिक्त कुर्सियों की संख्या = \( 1024 - 1000 = 24 \)
प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियों की संख्या \( 31+1 = 32 \) होगी।
In simple words: 1000 कुर्सियों को एक वर्ग के आकार में लगाने के लिए, हमें 1000 के सबसे करीब एक पूर्ण वर्ग संख्या ढूंढनी होगी. 31 का वर्ग 961 है, और 32 का वर्ग 1024 है. चूंकि हमें अतिरिक्त कुर्सियां चाहिए, तो हमें 1024 कुर्सियां चाहिए होंगी. इसलिए, हमें 1000 में 24 और कुर्सियां जोड़नी होंगी.

🎯 Exam Tip: जब 'जोड़ने' की बात आती है, तो हमेशा वर्तमान वर्गमूल से एक अंक आगे की संख्या के वर्ग (जैसे 31 से 32) की गणना करें ताकि अगले बड़े पूर्ण वर्ग तक पहुंचा जा सके।

Question 7. एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 361 मी\(^2\) है तो उस खेत के चारों ओर तारबंदी हेतु कितने मीटर तार की आवश्यकता होगी?
Answer: वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = 361 मी\(^2\)
एक वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए, हमें क्षेत्रफल का वर्गमूल निकालना होगा।
वर्ग की भुजा = \( \sqrt{361} \)
हम जानते हैं कि \( 19 \times 19 = 361 \)।
इसलिए, वर्ग की भुजा = 19 मीटर
खेत के चारों ओर तारबंदी के लिए, हमें खेत का परिमाप ज्ञात करना होगा।
वर्ग का परिमाप = \( 4 \times \) भुजा
वर्ग का परिमाप = \( 4 \times 19 \) मीटर
वर्ग का परिमाप = 76 मीटर
अतः, तारबंदी हेतु 76 मीटर तार की आवश्यकता होगी।
In simple words: खेत का क्षेत्रफल 361 वर्ग मीटर है. वर्ग का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हम 361 का वर्गमूल निकालते हैं, जो 19 मीटर आता है. खेत के चारों ओर तार लगाने के लिए, हमें खेत का परिमाप चाहिए. परिमाप 4 गुणा भुजा होता है, यानी 4 गुणा 19 मीटर, जो 76 मीटर है.

🎯 Exam Tip: वर्ग के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों को याद रखें। क्षेत्रफल वर्ग इकाई में होता है, जबकि परिमाप रेखीय इकाई में होता है।

Question 8. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाए?
Answer: हमें वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिससे 2352 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण वर्ग बन जाए। इसके लिए हम 2352 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करेंगे।
2352 के अभाज्य गुणनखंड करने पर:
\( 2352 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 3 \)
अब, हम समान अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बनाते हैं:
\( 2352 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (7 \times 7) \times 3 \)
यहां, गुणनखंड 3 अकेला बचता है और इसका कोई जोड़ा नहीं है।
किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, उसके सभी अभाज्य गुणनखंड जोड़ों में होने चाहिए। चूँकि 3 का कोई जोड़ा नहीं है, इसलिए यदि हम 2352 को 3 से भाग दें, तो भागफल में 3 का गुणनखंड नहीं बचेगा और शेष सभी गुणनखंड जोड़ों में होंगे।
\( \frac{2352}{3} = 784 \)
और \( 784 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (7 \times 7) = 28^2 \), जो एक पूर्ण वर्ग है।
अतः, वह छोटी से छोटी संख्या 3 है जिससे भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जायेगा।
In simple words: हमें 2352 को एक पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए भाग देना है. इसके लिए हम 2352 के सभी छोटे-छोटे गुणा करने वाले नंबर (अभाज्य गुणनखंड) ढूंढते हैं. हमें पता चलता है कि 3 अकेला है और इसका कोई जोड़ा नहीं है. इसलिए, अगर हम 2352 को 3 से भाग दें, तो बाकी सभी नंबर जोड़ों में बचेंगे, और हमें एक पूर्ण वर्ग संख्या (784) मिल जाएगी.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके, उस अभाज्य गुणनखंड को ढूंढें जिसका कोई जोड़ा नहीं है; वही संख्या आपका उत्तर होगी जिससे भाग या गुणा करने पर संख्या पूर्ण वर्ग बन जाती है।