RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 3 वर्ग एवं वर्गमूल Exercise 3.2

वर्गमूल Ex 3.2

 

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में इकाई का अंक क्या हो सकता है ?
(i) 9604
(ii) 65536
(iii) 998001
(iv) 60481729
Answer:
(i) 9604 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 2, 8
(ii) 65536 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 4, 6
(iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 1, 9
(iv) 60481729 के वर्गमूल में इकाई के अंक = 3, 7
In simple words: किसी भी संख्या के वर्गमूल का इकाई अंक उस संख्या के इकाई अंक पर निर्भर करता है। अगर संख्या का इकाई अंक 4 है, तो उसके वर्गमूल का इकाई अंक 2 या 8 होगा। अगर संख्या का इकाई अंक 6 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक 4 या 6 होगा। यदि संख्या का इकाई अंक 1 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 होगा। और अगर संख्या का इकाई अंक 9 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक 3 या 7 होगा।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, आपको केवल दी गई संख्या के इकाई अंक पर ध्यान देना चाहिए। इससे आपको संभावित इकाई अंक तुरंत मिल जाएगा।

 

Question 2. अनुमान लगाकर बताइए निम्रलिखित में कौन-कौन सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती हैं ?
(i) 48
(ii) 81
(iii) 102
(iv) 24636
Answer:
(i) 48 (iii) 102 पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं। एक पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक कभी भी 2, 3, 7 या 8 नहीं हो सकता है। संख्या 48 का इकाई अंक 8 है, और 102 का इकाई अंक 2 है।
In simple words: कुछ संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं। यदि किसी संख्या का आखिरी अंक (इकाई अंक) 2, 3, 7 या 8 है, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती। यहाँ 48 का इकाई अंक 8 है और 102 का इकाई अंक 2 है, इसलिए ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या को पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसका इकाई अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 होना चाहिए। यदि इकाई अंक इन अंकों में से नहीं है, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

 

Question 3. अभाज्य गुणनखण्डविधिद्वारावर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 1296
(ii) 729
(iii) 1764
(iv) 3969
(v) 4356
(vi) 1600
Answer:
(i) \( 1296 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)

\( \implies \sqrt{1296} = \sqrt{(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3)} \)
\( \implies \sqrt{1296} = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \)
(ii) \( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)

\( \implies \sqrt{729} = \sqrt{(3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3)} \)
\( \implies \sqrt{729} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
(iii) \( 1764 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \)

\( \implies \sqrt{1764} = \sqrt{(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7)} \)
\( \implies \sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \)
(iv) \( 3969 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \)

\( \implies \sqrt{3969} = \sqrt{(3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7)} \)
\( \implies \sqrt{3969} = 3 \times 3 \times 7 = 63 \)
(v) \( 4356 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \times 11 \)

\( \implies \sqrt{4356} = \sqrt{(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (11 \times 11)} \)
\( \implies \sqrt{4356} = 2 \times 3 \times 11 = 66 \)
(vi) \( 1600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)

\( \implies \sqrt{1600} = \sqrt{(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (5 \times 5)} \)
\( \implies \sqrt{1600} = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 40 \)
In simple words: वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम पहले संख्या को उसके सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। फिर, समान गुणनखंडों के जोड़े बनाते हैं। प्रत्येक जोड़े में से एक गुणनखंड को बाहर निकालते हैं और गुणा करते हैं। यही उस संख्या का वर्गमूल होता है।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आपने सभी अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बना लिए हैं। यदि कोई गुणनखंड बिना जोड़े के रह जाता है, तो या तो वह पूर्ण वर्ग नहीं है, या आपने कहीं गलती की है।

 

Question 4. नीचे दी गई संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं। वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या बताइए जिससे गुणा करने पर ये पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएँगी।
(i) 252
(ii) 396
(iii) 1620
Answer:
(i) \( 252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 7 का जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 7 से गुणा करना होगा।
(ii) \( 396 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 11 का जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 11 से गुणा करना होगा।
(iii) \( 1620 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 5 का जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 5 से गुणा करना होगा।
In simple words: पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, पहले संख्या के अभाज्य गुणनखंड करते हैं। फिर देखते हैं कि कौन से गुणनखंड अकेले रह गए हैं (जोड़े में नहीं हैं)। जिस गुणनखंड का जोड़ा नहीं बनता, उसी संख्या से गुणा करने पर वह पूर्ण वर्ग बन जाती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अभाज्य गुणनखंड करने के बाद, उन सभी एकल गुणनखंडों की पहचान करें जिनका कोई जोड़ा नहीं है। उन सभी एकल गुणनखंडों के गुणनफल से संख्या को गुणा करने पर वह पूर्ण वर्ग बन जाएगी।

 

Question 5. नीचे दी गई संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं। अभाज्य गुणनखण्ड करके पता लगाएँ कि इनमें किस संख्या का भाग दिया जाए कि यह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी ?
(i) 1000
(ii) 867
(iii) 4375
Answer:
(i) \( 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 का एक-एक जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें \( 2 \times 5 = 10 \) से भाग देना होगा।
(ii) \( 867 = 3 \times 17 \times 17 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 3 से भाग देना होगा।
(iii) \( 4375 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \)

यहाँ अभाज्य गुणनखंड 7 का जोड़ा नहीं बन रहा है। अतः, इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 7 से भाग देना होगा।
In simple words: किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, सबसे पहले उसके अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाते हैं। फिर, उन गुणनखंडों को ढूंढते हैं जिनका कोई जोड़ा नहीं है। जिन गुणनखंडों का जोड़ा नहीं बनता, उन सभी के गुणनफल से संख्या को भाग देने पर वह पूर्ण वर्ग बन जाती है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप सभी अभाज्य गुणनखंडों की सही ढंग से गणना करें। जो गुणनखंड जोड़े में नहीं हैं, उन्हें ही विभाजित किया जाना चाहिए ताकि सभी शेष गुणनखंड जोड़े में हों और संख्या एक पूर्ण वर्ग बन जाए।

 

Question 6. एक वर्गाकार बाग में गलाब के पौधे लगाए जाने हैं। प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या उतनी है, जितनी कि पंक्तियों की संख्या। यदि बाग में 2401 पौधे लगे हों तो उसमें पंक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: बाग में कुल पौधों की संख्या \( = 2401 \)
माना कि बाग में पंक्तियों की संख्या \( = x \)
प्रश्नानुसार, प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या उतनी है जितनी कि पंक्तियों की संख्या।
इसलिए, कुल पौधे \( = \text{पंक्तियों की संख्या} \times \text{प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या} \)
\( 2401 = x \times x \)
\( 2401 = x^2 \)
\( x = \sqrt{2401} \)
अभाज्य गुणनखंड करने पर:

\( \implies x = \sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7} \)
\( \implies x = \sqrt{(7 \times 7) \times (7 \times 7)} \)
\( \implies x = 7 \times 7 = 49 \)
अतः, पंक्तियों की संख्या \( = 49 \)
In simple words: एक वर्गाकार बाग में पंक्तियों की संख्या और हर पंक्ति में पौधों की संख्या बराबर होती है। यदि कुल पौधे 2401 हैं, तो पंक्तियों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 2401 का वर्गमूल निकालना होगा। 2401 का वर्गमूल 49 होता है, तो बाग में 49 पंक्तियाँ हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी "वर्गाकार" या "बराबर संख्या" वाले शब्द समस्याएँ आती हैं, तो अक्सर आपको वर्गमूल निकालना होता है। यह सुनिश्चित करें कि आप संख्या का सही अभाज्य गुणनखंड करें ताकि आपको सही वर्गमूल मिल सके।

 

Question 7. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4,9 व 10 से पूर्णतः विभाजित हो।
Answer: हमें वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात करनी है जो 4, 9 और 10 तीनों से पूरी तरह विभाजित हो। इसके लिए, सबसे पहले हम 4, 9 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करेंगे।
4, 9, 10 का अभाज्य गुणनखंड:
\( 4 = 2 \times 2 = 2^2 \)
\( 9 = 3 \times 3 = 3^2 \)
\( 10 = 2 \times 5 \)
इन संख्याओं का LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होगा:
\( \text{LCM}(4, 9, 10) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \)

अब, हमें 180 को पूर्ण वर्ग बनाना है। 180 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \) हैं। इसमें 5 का कोई जोड़ा नहीं है। इसलिए, 180 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें इसे 5 से गुणा करना होगा।
\( \text{सबसे छोटी वर्ग संख्या} = 180 \times 5 = 900 \)
\( 900 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
अतः, 900 सबसे छोटी वर्ग संख्या है जो 4, 9 और 10 से पूरी तरह विभाजित होती है।
In simple words: पहले हम 4, 9 और 10 का सबसे छोटा सामान्य गुणज (एलसीएम) निकालते हैं, जो 180 आता है। फिर, हम देखते हैं कि 180 के गुणनखंडों में कौन सा अंक अकेला है (जोड़े में नहीं है)। यहाँ, 5 अकेला है। तो, 180 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें उसे 5 से गुणा करना होगा। 180 गुणा 5 बराबर 900 होता है, और यही वह सबसे छोटी वर्ग संख्या है जो तीनों अंकों से कटती है।

🎯 Exam Tip: जब भी "सबसे छोटी वर्ग संख्या" और "पूर्णतः विभाजित" वाले प्रश्न आएं, तो हमेशा पहले दी गई संख्याओं का LCM ज्ञात करें। उसके बाद, LCM के अभाज्य गुणनखंडों का विश्लेषण करें और उन कारकों से गुणा करें जिनका जोड़ा नहीं है, ताकि वह संख्या एक पूर्ण वर्ग बन जाए।