NCERT Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 03 वर्ग एवं वर्गमूल
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Practice Class 7 Mathematics Solutions: Chapter 03 वर्ग एवं वर्गमूल
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Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i) 24
(ii) 17
(iii) 100
(iv) 55
(v) 111
(vi) 1023
(vii) 5678
(viii) 12796
(ix) 2412
Answer:
| क्रम | संख्या | संख्या का वर्ग | वर्ग में इकाई का अंक |
|---|---|---|---|
| (i) | 24 | \(24 \times 24\) | \(4 \times 4 = 16 \implies 6\) |
| (ii) | 17 | \(17 \times 17\) | \(7 \times 7 = 49 \implies 9\) |
| (iii) | 100 | \(100 \times 100\) | \(0 \times 0 = 0 \implies 0\) |
| (iv) | 55 | \(55 \times 55\) | \(5 \times 5 = 25 \implies 5\) |
| (v) | 111 | \(111 \times 111\) | \(1 \times 1 = 1 \implies 1\) |
| (vi) | 1023 | \(1023 \times 1023\) | \(3 \times 3 = 9 \implies 9\) |
| (vii) | 5678 | \(5678 \times 5678\) | \(8 \times 8 = 64 \implies 4\) |
| (viii) | 12796 | \(12796 \times 12796\) | \(6 \times 6 = 36 \implies 6\) |
| (ix) | 2412 | \(2412 \times 2412\) | \(2 \times 2 = 4 \implies 4\) |
In simple words: किसी भी संख्या का वर्ग करने पर उसके इकाई का अंक वही होगा जो उस संख्या के इकाई के अंक का वर्ग करने पर आता है। जैसे, 24 का इकाई अंक 4 है, तो 4 का वर्ग 16 होता है और 16 का इकाई अंक 6 है।
🎯 Exam Tip: इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, पूरी संख्या का वर्ग करने की आवश्यकता नहीं है; केवल संख्या के इकाई अंक का वर्ग करें और उसका इकाई अंक ही आपका उत्तर होगा।
Question 2. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए।
(i) 18
(ii) 11
(iii) 107
(iv) 15
(v) 200
(vi) 27
Answer:
(i) \(18 = (18)^2 = 18 \times 18 = 324\)
(ii) \(11 = (11)^2 = 11 \times 11 = 121\)
(iii) \(107 = (107)^2 = 107 \times 107 = 11449\)
(iv) \(15 = (15)^2 = 15 \times 15 = 225\)
(v) \(200 = (200)^2 = 200 \times 200 = 40000\)
(vi) \(27 = (27)^2 = 27 \times 27 = 729\)
In simple words: किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करते हैं। यह उस संख्या का खुद से गुणा करने का एक तरीका है।
🎯 Exam Tip: वर्ग ज्ञात करते समय, गुणा को सावधानी से करें, खासकर बड़ी संख्याओं के लिए, ताकि कोई गलती न हो।
Question 3. निम्न में से कौन-कौन सी संख्याओं का वर्ग समसंख्या होगा?
(i) 235
(ii) 396
(iii) 5508
(iv) 2001
(v) 82003
(vi) 10224
Answer: केवल सम संख्याओं का ही वर्ग सम होता है। इसलिए, प्रश्न में दी गई संख्याओं में से, निम्न संख्याओं का वर्ग एक सम संख्या होगा:
(ii) 396
(iii) 5508
(vi) 10224
In simple words: अगर किसी संख्या का वर्ग सम है, तो वह संख्या खुद भी सम होनी चाहिए। विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होगा और एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होगा। यह जानने के लिए कि वर्ग सम होगा या विषम, बस मूल संख्या को देखें।
Question 4. बिना संक्रिया किए निम्न का योग ज्ञात कीजिए।
(i) \(1 + 3 + 5 + 7\)
(ii) \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13\)
(iii) \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19\)
Answer: जितनी संख्याएँ योग के लिए दी गई हैं, वह उतनी ही संख्या (क्रमागत) का वर्ग होता है।
(i) \(1 + 3 + 5 + 7 = 4\) संख्याओं का योग \( = (4)^2 = 16\)
(ii) \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7\) संख्याओं का योग \( = (7)^2 = 49\)
(iii) \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10\) संख्याओं का योग \( = (10)^2 = 100\)
In simple words: लगातार विषम संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको बस यह गिनना है कि कितनी संख्याएँ हैं। फिर उस संख्या का वर्ग कर दें, वही आपका योग होगा।
🎯 Exam Tip: यह नियम केवल 1 से शुरू होने वाली लगातार विषम संख्याओं के योग के लिए लागू होता है।
Question 5. 64 को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \(64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15\)
In simple words: 64 एक पूर्ण वर्ग संख्या है, जो 8 का वर्ग है। इसे 1 से शुरू होने वाली 8 लगातार विषम संख्याओं के जोड़ के रूप में लिखा जा सकता है।
🎯 Exam Tip: किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या को 1 से शुरू होने वाली उतनी ही क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जितना वह संख्या का वर्गमूल है।
Question 6. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 10 व 11
(ii) 17 व 18
(iii) 30 व 31
Answer: दो क्रमागत संख्याओं \(n\) और \((n+1)\) के वर्गों के बीच गैर-पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या \(n + (n+1)\) होती है, यदि यह विधि उपयोग की जाती है।
(i) 10 व 11: \(10 + 11 = 21\) संख्याएँ
(ii) 17 व 18: \(17 + 18 = 35\) संख्याएँ
(iii) 30 व 31: \(30 + 31 = 61\) संख्याएँ
In simple words: दो लगातार संख्याओं के वर्गों के बीच कितनी संख्याएँ आती हैं, यह जानने के लिए उन दोनों संख्याओं को आपस में जोड़ दें।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, यदि \(n\) और \((n+1)\) दो क्रमागत संख्याएँ हैं, तो उनके वर्गों के बीच की संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आपको दिए गए नियम का पालन करना होगा।
Question 7. जाँच कीजिए कि दी गई तीन संख्याएँ पाइथागोरियन त्रिक है अथवा नहीं।
(i) 9,12, 15
(ii) 7, 11, 13
(iii) 10, 24, 26
Answer: पाइथागोरियन त्रिक के लिए, यह शर्त पूरी होनी चाहिए कि सबसे बड़ी संख्या का वर्ग बाकी दो संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर हो। यानि, \(a^2 + b^2 = c^2\) जहाँ \(c\) सबसे बड़ी संख्या है।
(i) 9, 12, 15 के लिए:
\((9)^2 + (12)^2 = 81 + 144 = 225\)
\((15)^2 = 225\)
यहाँ \( (9)^2 + (12)^2 = (15)^2 \) है।
\( \implies \) अतः 9, 12, 15 एक पाइथागोरियन त्रिक है।
(ii) 7, 11, 13 के लिए:
\((7)^2 + (11)^2 = 49 + 121 = 170\)
\((13)^2 = 169\)
यहाँ \( (7)^2 + (11)^2 \neq (13)^2 \) है।
\( \implies \) अतः 7, 11, 13 एक पाइथागोरियन त्रिक नहीं है।
(iii) 10, 24, 26 के लिए:
\((10)^2 + (24)^2 = 100 + 576 = 676\)
\((26)^2 = 676\)
यहाँ \( (10)^2 + (24)^2 = (26)^2 \) है।
\( \implies \) अतः 10, 24, 26 एक पाइथागोरियन त्रिक है।
In simple words: पाइथागोरियन त्रिक तीन संख्याओं का एक समूह होता है जिसमें दो छोटी संख्याओं के वर्गों का जोड़ सबसे बड़ी संख्या के वर्ग के बराबर होता है। अगर ऐसा होता है, तो वे पाइथागोरियन त्रिक हैं।
🎯 Exam Tip: पाइथागोरियन त्रिक की पहचान करने के लिए हमेशा सबसे बड़ी संख्या का वर्ग अलग से निकालें, और फिर बाकी दो संख्याओं के वर्गों का योग निकालें। यदि दोनों मान बराबर आते हैं, तो वे एक त्रिक बनाते हैं।
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Mathematics Class 7 Curriculum Solutions: Chapter 03 वर्ग एवं वर्गमूल
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