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(पृष्ठ 36)
Question. निम्न संख्याओं एवं उनके वर्गों की सारणी में विचार कीजिए एवं रिक्त स्थानों को भरिए।
Answer: दी गई सारणी में संख्याओं और उनके वर्गों का एक पैटर्न दिखाया गया है। हम इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए रिक्त स्थानों को भर सकते हैं। प्रत्येक संख्या को स्वयं से गुणा करने पर उसका वर्ग प्राप्त होता है।
| संख्याएँ | वर्ग | संख्याएँ | वर्ग |
|---|---|---|---|
| 1 | \( 1 \times 1 = 1 \) | 2 | \( 2 \times 2 = 4 \) |
| 3 | \( 3 \times 3 = 9 \) | 4 | \( 4 \times 4 = 16 \) |
| 5 | \( 5 \times 5 = 25 \) | 6 | \( 6 \times 6 = 36 \) |
| 7 | \( 7 \times 7 = 49 \) | 8 | \( 8 \times 8 = 64 \) |
| 9 | \( 9 \times 9 = 81 \) | 10 | \( 10 \times 10 = 100 \) |
In simple words: सारणी में हर संख्या को उसी संख्या से गुणा करके उसका वर्ग लिखा गया है, जिससे खाली जगहें भरी जा सकें।
🎯 Exam Tip: वर्ग ज्ञात करने के लिए, संख्या को स्वयं से गुणा करना महत्वपूर्ण है। यह सुनिश्चित करें कि आप गणनाएँ सही ढंग से करें।
(पृष्ठ 37)
Question (i). उक्त तालिका में वर्ग संख्याओं के इकाई स्थान को अंकों के समूह A के रूप में लिखिए। A = {0, 1, 4, ..}
Answer: तालिका का अवलोकन करने पर, वर्ग संख्याओं के इकाई स्थान पर आने वाले अंक 0, 1, 4, 5, 6 और 9 हैं। यह समूह A में सभी अंकों को दर्शाता है जो किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अंत में हो सकते हैं।
\( A = \{0, 1, 4, 5, 6, 9\} \)
In simple words: वर्ग संख्याओं के आखिर में जो अंक आते हैं, उन्हें इकट्ठा करके समूह A बनाया गया है।
🎯 Exam Tip: वर्ग संख्याओं के इकाई अंक हमेशा 0, 1, 4, 5, 6, या 9 होते हैं; यह पहचानने का एक आसान तरीका है कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
Question (ii). 0 से 9 के बीच के जो अंक समूह A में नहीं आए हैं। उन्हें समूह B में लिखिए B = {2, 3..........
Answer: 0 से 9 के बीच के कुल 10 अंक होते हैं। समूह A में जो अंक नहीं हैं, वे 2, 3, 7 और 8 हैं। ये अंक कभी भी किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई स्थान पर नहीं आ सकते, इसलिए इन्हें समूह B में रखा गया है।
\( B = \{2, 3, 7, 8\} \)
In simple words: 0 से 9 तक के अंकों में से, जो अंक वर्ग संख्याओं के आखिर में नहीं दिखते, उन्हें समूह B में लिखा गया है।
🎯 Exam Tip: यदि किसी संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7, या 8 है, तो वह संख्या निश्चित रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। यह एक त्वरित जाँच है।
(पृष्ठ 38)
Question. दिये चित्र में एक कोने से प्रारम्भ करते हुए विभिन्न आकार के, वर्ग बनाए गए हैं। इन वर्गों को ध्यान से देखिए तथा बिन्दुओं की संख्याएँ लिखिए।
Answer: दिए गए चित्र में बिन्दुओं के पैटर्न का विश्लेषण करके हम पाते हैं कि प्रत्येक वर्ग क्रमिक विषम संख्याओं के योग से बनता है। यह सारणी बिन्दुओं की संख्या और संबंधित वर्ग संख्या को दर्शाती है, जिससे वर्ग संख्याओं की संरचना स्पष्ट होती है।
| वर्ग | बिन्दुओं की संख्याएँ |
|---|---|
| पहला वर्ग | \( 1 = 1^2 \) |
| दूसरा वर्ग | \( 1+3 = 4 = 2^2 \) |
| तीसरा वर्ग | \( 1+3+5 = 9 = 3^2 \) |
| चौथा वर्ग | \( 1+3+5+7 = 16 = 4^2 \) |
| पाँचवा वर्ग | \( 1+3+5+7+9 = 25 = 5^2 \) |
| छठा वर्ग | \( 1+3+5+7+9+11 = 36 = 6^2 \) |
| सातवाँ वर्ग | \( 1+3+5+7+9+11+13 = 49 = 7^2 \) |
| आठवाँ वर्ग | \( 1+3+5+7+9+11+13+15 = 64 = 8^2 \) |
| नौवाँ वर्ग | \( 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81 = 9^2 \) |
| दसवाँ वर्ग | \( 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100 = 10^2 \) |
In simple words: बिन्दुओं के पैटर्न से पता चलता है कि लगातार विषम संख्याओं को जोड़ने से वर्ग संख्याएँ बनती हैं।
🎯 Exam Tip: यह समझें कि \( n \) लगातार विषम संख्याओं का योग हमेशा \( n^2 \) होता है, जो वर्ग संख्याओं को समझने का एक मौलिक नियम है।
(पृष्ठ 39)
Question. 1, 11, 111........... की वर्ग संख्या को देखें व खाली स्थान पूरा करें।
\( 1^2 = 1 \)
\( 11^2 = 121 \)
\( 111^2 = 12321 \)
\( 1111^2 = 1234321 \)
\( 11111^2 = \).....
\( 111111^2 = \).....
Answer: इस पैटर्न में, जब संख्या में '1' की संख्या बढ़ती है, तो उसका वर्ग एक विशिष्ट सममित संख्या बनाता है। यह संख्या बीच तक बढ़ती है और फिर घटती है, जो संख्याओं के गुणों का एक दिलचस्प प्रदर्शन है।
\( 1^2 = 1 \)
\( 11^2 = 121 \)
\( 111^2 = 12321 \)
\( 1111^2 = 1234321 \)
\( 11111^2 = 123454321 \)
\( 111111^2 = 12345654321 \)
In simple words: जब किसी संख्या में एक ही अंक (जैसे 1) बार-बार आता है, तो उसके वर्ग में एक खास तरह का पैटर्न बनता है, जो बीच में सबसे बड़ा होता है।
🎯 Exam Tip: इस तरह के पैटर्न वाले प्रश्नों में, दिए गए उदाहरणों का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें और फिर उसी नियम को बड़ी संख्याओं पर लागू करें।
Question. ऐसी कुछ और क्रमागत संख्याएँ लिखिए। (दो क्रमागत संख्याओं और उनके वर्गों का अंतर तथा उनका योग दर्शाते हुए)।
Answer: यहाँ हम कुछ और क्रमागत संख्याओं के उदाहरण देते हैं और उनके वर्गों का अंतर तथा उनका योग दिखाते हैं। यह पैटर्न गणितीय संबंधों को समझने में मदद करता है, खासकर यह कि दो क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर हमेशा उन संख्याओं के योग के बराबर होता है।
| दो क्रमागत संख्याएँ व उनका वर्ग | वर्गों का अन्तर | संख्याओं का योग | |
|---|---|---|---|
| पहली संख्या | दूसरी संख्या | ||
| 1 | 2 | \( 2^2 - 1^2 = 4-1=3 \) | \( 1+2=3 \) |
| 3 | 4 | \( 4^2 - 3^2 = 16-9=7 \) | \( 3+4=7 \) |
| 6 | 7 | \( 7^2 - 6^2 = 49-36=13 \) | \( 6+7=13 \) |
| 8 | 9 | \( 9^2 - 8^2 = 81-64=17 \) | \( 8+9=17 \) |
In simple words: दो लगातार संख्याओं के वर्गों का अंतर हमेशा उन संख्याओं के योग के बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: यह गुणधर्म \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) पर आधारित है, जहाँ \( a-b = 1 \) होता है, इसलिए \( a^2 - b^2 = a+b \)। इसे याद रखना गणनाओं को आसान बनाता है।
(पृष्ठ 40)
Question. 25 में से विषम संख्याओं को घटाकर 25 का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। यहाँ 25 में से उत्तरोत्तर प्रारम्भिक पाँच विषम संख्याओं को घटाने पर शेषफल शून्य (0) प्राप्त हुआ है, इसका अर्थ हुआ कि 25 का वर्गमूल 5 है। अर्थात् \( \sqrt{25} = 5 \)। इसी प्रकार कुछ पूर्ण वर्ग संख्याओं का इस प्रक्रिया से वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।
Answer: विषम संख्याओं को लगातार घटाकर वर्गमूल ज्ञात करने की यह विधि छोटी संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी है। हम इस विधि का उपयोग करके 16, 9 और 36 के वर्गमूल ज्ञात करेंगे, यह विधि हमें वर्गमूल की अवधारणा को समझने में मदद करती है।
(i) पूर्ण वर्ग संख्या 16 के लिए, हमें चार बार विषम संख्याएँ घटानी पड़ती हैं जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए।
\( 16 - 1 = 15 \)
\( 15 - 3 = 12 \)
\( 12 - 5 = 7 \)
\( 7 - 7 = 0 \)
अतः 16 का वर्गमूल = 4
\( \implies \sqrt{16} = 4 \)
(ii) पूर्ण वर्ग संख्या 9 के लिए, हमें तीन बार विषम संख्याएँ घटानी पड़ती हैं।
\( 9 - 1 = 8 \)
\( 8 - 3 = 5 \)
\( 5 - 5 = 0 \)
अतः 9 का वर्गमूल = 3
\( \implies \sqrt{9} = 3 \)
(iii) पूर्ण वर्ग संख्या 36 के लिए, हमें छ: बार विषम संख्याएँ घटानी पड़ती हैं।
\( 36 - 1 = 35 \)
\( 35 - 3 = 32 \)
\( 32 - 5 = 27 \)
\( 27 - 7 = 20 \)
\( 20 - 9 = 11 \)
\( 11 - 11 = 0 \)
अतः 36 का वर्गमूल = 6
\( \implies \sqrt{36} = 6 \)
In simple words: वर्गमूल निकालने के लिए, संख्या में से लगातार विषम संख्याएँ घटाते जाओ जब तक शून्य न आ जाए। जितनी बार घटाया, वही वर्गमूल है।
🎯 Exam Tip: यह विधि छोटी संख्याओं के लिए सबसे उपयुक्त है; बड़ी संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखंडन या लंबी भाग विधि का उपयोग करें।
(पृष्ठ 47)
Question. निम्न सारणी पर विचार कीजिए और उत्तर दीजिए:
\( 1^2 = 1 \)
\( 9^2 = 81 \)
\( 10^2 = 100 \)
\( 99^2 = 9801 \)
\( 100^2 = 10000 \)
\( 999^2 = 998001 \)
(i) 1 अंक वाली संख्या के वर्ग में कितने अंक होते हैं? 1 अथवा 2.
(ii) 2 अंकों वाली संख्या के वर्ग में कितने अंक होते हैं? 3 अथवा 4
(iii) 3 अंकों वाली संख्या के वर्ग में कितने अंक होते हैं?
Answer: सारणी का अवलोकन करके, हम किसी संख्या के वर्ग में अंकों की संख्या और मूल संख्या में अंकों की संख्या के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। यह हमें बिना गणना किए ही अंकों की संख्या का अनुमान लगाने में मदद करता है।
(i) 1 अंक वाली संख्या (जैसे 1 से 9 तक) का वर्ग 1 अंक (उदाहरण: \( 1^2 = 1 \)) या 2 अंक (उदाहरण: \( 9^2 = 81 \)) का हो सकता है।
(ii) 2 अंकों वाली संख्या (जैसे 10 से 99 तक) का वर्ग 3 अंक (उदाहरण: \( 10^2 = 100 \)) या 4 अंक (उदाहरण: \( 99^2 = 9801 \)) का हो सकता है।
(iii) 3 अंकों वाली संख्या (जैसे 100 से 999 तक) का वर्ग 5 अंक (उदाहरण: \( 100^2 = 10000 \)) या 6 अंक (उदाहरण: \( 999^2 = 998001 \)) का हो सकता है।
In simple words: संख्या में जितने अंक होते हैं, उसके वर्ग में लगभग दोगुने अंक या उससे एक कम अंक हो सकते हैं।
🎯 Exam Tip: यदि किसी संख्या में \( n \) अंक हैं, तो उसके वर्ग में या तो \( 2n-1 \) या \( 2n \) अंक होंगे। यह नियम बड़ी संख्याओं के लिए उपयोगी है।
करो और सीखो
(पृष्ठ 37)
Question 1. इकाई के अंक के आधार पर यह बताइये निम्न में से कौन-कौन सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है?
(i) 2304
(ii) 402
(iii) 3003
(iv) 100
(v) 1008
Answer: किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए उसके इकाई स्थान पर 0, 1, 4, 5, 6, या 9 होना चाहिए। यदि इकाई अंक 2, 3, 7, या 8 है, तो वह संख्या कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती है।
इसलिए, निम्न संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं:
(ii) 402 (इकाई अंक 2)
(iii) 3003 (इकाई अंक 3)
(v) 1008 (इकाई अंक 8)
In simple words: जिन संख्याओं के अंत में 2, 3, 7 या 8 आता है, वे पूरी तरह से वर्ग नहीं हो सकतीं।
🎯 Exam Tip: यह एक त्वरित जाँच विधि है। यदि इकाई अंक 0, 1, 4, 5, 6, या 9 है, तो संख्या पूर्ण वर्ग हो सकती है, लेकिन यह निश्चित नहीं है; आगे जाँच की आवश्यकता होगी।
Question 2. ऐसी तीन संख्याएँ बताइए जिनमें आप निश्चयपूर्वक कह सकते हैं कि वह पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
(i) ...
(ii) ...
(iii) ...
Answer: हम ऐसी तीन संख्याएँ बता सकते हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। किसी संख्या के पूर्ण वर्ग न होने की पहचान उसके इकाई अंक या दो क्रमागत वर्गों के बीच उसकी स्थिति से की जा सकती है।
(i) 101 (इसका इकाई अंक 1 है, जो पूर्ण वर्ग का इकाई अंक हो सकता है, लेकिन यह \( 10^2 = 100 \) और \( 11^2 = 121 \) के बीच में आता है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं है।)
(ii) 68 (इसका इकाई अंक 8 है। जिन संख्याओं का इकाई अंक 2, 3, 7, या 8 होता है, वे कभी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं।)
(iii) 3007 (इसका इकाई अंक 7 है, जो यह दर्शाता है कि यह पूर्ण वर्ग नहीं है।)
In simple words: ऐसी संख्याएँ जो 2, 3, 7, या 8 पर खत्म होती हैं, वे पक्के तौर पर वर्ग नहीं होतीं। दूसरी संख्याओं के लिए, हम देखते हैं कि वे दो पूरे वर्गों के बीच में आती हैं या नहीं।
🎯 Exam Tip: सबसे आसान तरीका उन संख्याओं को चुनना है जिनके इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 हैं, क्योंकि वे निश्चित रूप से पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं। यदि इकाई अंक अन्य संख्याएँ हैं, तो आपको वर्गमूल की जाँच करनी होगी।
(पृष्ठ 40)
Question. नीचे तालिका को देखकर बताइये कि निम्न के वर्गमूल क्या होंगे?
(i) 49
(ii) 64
(iii) 100
Answer: तालिका में दिए गए वर्गों को देखकर, हम आसानी से उनके वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे खुद से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। यह वर्ग और वर्गमूल के बीच के संबंध को दर्शाता है।
(i) 49 का वर्गमूल 7 है, क्योंकि \( 7 \times 7 = 49 \)।
(ii) 64 का वर्गमूल 8 है, क्योंकि \( 8 \times 8 = 64 \)।
(iii) 100 का वर्गमूल 10 है, क्योंकि \( 10 \times 10 = 100 \)।
In simple words: वर्गमूल वह संख्या है जिसे दो बार गुणा करने पर दी गई संख्या मिल जाती है।
🎯 Exam Tip: 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्ग और वर्गमूल याद रखने से गणनाएँ तेज़ हो जाती हैं और ऐसे प्रश्नों का उत्तर देना आसान हो जाता है।
(पृष्ठ 47)
Question. बताइए निम्न संख्याओं के वर्गमूल में कितने अंक होंगे।
(i) 1369
(ii) 15376
(iii) 6031936
Answer: किसी संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उस संख्या में अंकों की कुल संख्या को देखते हैं। यदि संख्या में अंकों की संख्या \( n \) सम (even) है, तो वर्गमूल में अंकों की संख्या \( n/2 \) होती है। यदि अंकों की संख्या \( n \) विषम (odd) है, तो वर्गमूल में अंकों की संख्या \( (n+1)/2 \) होती है।
(i) 1369 में 4 अंक हैं (जो एक सम संख्या है)। इसलिए, वर्गमूल में \( 4/2 = 2 \) अंक होंगे।
(ii) 15376 में 5 अंक हैं (जो एक विषम संख्या है)। इसलिए, वर्गमूल में \( (5+1)/2 = 3 \) अंक होंगे।
(iii) 6031936 में 7 अंक हैं (जो एक विषम संख्या है)। इसलिए, वर्गमूल में \( (7+1)/2 = 4 \) अंक होंगे।
In simple words: संख्या के अंकों को गिनो। अगर अंक सम हैं, तो आधे कर दो। अगर विषम हैं, तो एक जोड़कर आधे कर दो, यही वर्गमूल में अंकों की संख्या होगी।
🎯 Exam Tip: यह नियम वर्गमूल में अंकों की संख्या का अनुमान लगाने में बहुत उपयोगी है और आपको बड़ी संख्याओं के लिए वास्तविक वर्गमूल निकालने से बचाता है।
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