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प्रश्न 1. तुलना कीजिए कौन बड़ा है?
(i) 0.7 और 0.07
(ii) 2.03 और 2.30
(iii) 7 और 0.7
(iv) 1.35 और 1.49
(v) 3.507 और 3.570
(vi) 85.2 और 85.02
Answer:
(i) 0.7 और 0.07 की तुलना करने पर:
दोनों संख्याओं में पूर्णांक भाग शून्य (0) हैं, जो बराबर हैं। अब हम दशमलव के बाद बाईं ओर के अंकों को देखते हैं। 0.7 में पहला अंक 7 है, जबकि 0.07 में पहला अंक 0 है। क्योंकि \( 7 > 0 \), इसका मतलब है कि 0.7 बड़ा है।
अतः, \( 0.7 > 0.07 \)
(ii) 2.03 और 2.30 की तुलना करने पर:
दोनों संख्याओं में पूर्णांक भाग 2 हैं, जो समान हैं। अब हम दशमलव के बाद बाईं ओर के अंकों को देखते हैं। 2.03 में पहला अंक 0 है, जबकि 2.30 में पहला अंक 3 है। क्योंकि \( 3 > 0 \), इसका मतलब है कि 2.30 बड़ा है।
अतः, \( 2.30 > 2.03 \)
(iii) 7 और 0.7 की तुलना करने पर:
7 में पूर्णांक भाग 7 है, जबकि 0.7 में पूर्णांक भाग 0 है। क्योंकि \( 7 > 0 \), इसका मतलब है कि 7 बड़ा है। पूर्णांक भाग की तुलना पहले की जाती है।
अतः, \( 7 > 0.7 \)
(iv) 1.35 और 1.49 की तुलना करने पर:
दोनों संख्याओं में पूर्णांक भाग 1 हैं, जो बराबर हैं। अब हम दशमलव के बाद बाईं ओर के अंकों को देखते हैं। 1.35 में पहला अंक 3 है, जबकि 1.49 में पहला अंक 4 है। क्योंकि \( 3 < 4 \), इसका मतलब है कि 1.49 बड़ा है।
अतः, \( 1.35 < 1.49 \)
(v) 3.507 और 3.570 की तुलना करने पर:
दोनों संख्याओं में पूर्णांक भाग 3 हैं, जो बराबर हैं। दशमलव के बाद पहले अंक भी दोनों में 5 हैं, जो बराबर हैं। अब हम दशमलव के बाद दूसरे अंक को देखते हैं। 3.507 में दूसरा अंक 0 है, जबकि 3.570 में दूसरा अंक 7 है। क्योंकि \( 7 > 0 \), इसका मतलब है कि 3.570 बड़ा है।
अतः, \( 3.570 > 3.507 \)
(vi) 85.2 और 85.02 की तुलना करने पर:
दोनों संख्याओं में पूर्णांक भाग 85 हैं, जो समान हैं। अब हम दशमलव के बाद बाईं ओर के अंकों को देखते हैं। 85.2 में पहला अंक 2 है, जबकि 85.02 में पहला अंक 0 है। क्योंकि \( 2 > 0 \), इसका मतलब है कि 85.2 बड़ा है।
अतः, \( 85.2 > 85.02 \)
In simple words: जब भी आपको दो दशमलव संख्याओं की तुलना करनी हो, पहले उनके पूरे संख्या वाले भाग (पूर्णांक) को देखें। अगर वे बराबर हैं, तो दशमलव बिंदु के बाद वाले अंकों को एक-एक करके बाएं से दाएं तुलना करें। जिस संख्या में पहले बड़ा अंक आता है, वही संख्या बड़ी होती है।
🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय, हमेशा पूर्णांक भाग से शुरू करें। यदि पूर्णांक भाग समान हैं, तो दशमलव के बाद के अंकों की तुलना बाएं से दाएं करें। यदि आवश्यक हो, तो बराबर संख्या में दशमलव स्थान बनाने के लिए शून्य जोड़ें (जैसे 0.7 को 0.70 लिख सकते हैं)।
प्रश्न 2. निम्नलिखित छोटी इकाईयों को बड़ी इकाईयों में बदलिए।
(i) 7 पैसे को रुपये में
(ii) 800 ग्राम को किग्रा में
(iii) 75 मीटर को किमी. में
(iv) 3470 मीटर को किमी में
(v) 7 किग्रा 7 ग्राम को किग्रा में
(vi) 47 किमी 75 मीटर को किमी में।
Answer:
(i) 7 पैसे को रुपये में बदलना:
हम जानते हैं कि 1 रुपया = 100 पैसे। इसलिए, पैसे को रुपये में बदलने के लिए 100 से भाग देते हैं।
\( 7 \text{ पैसे} = \frac{7}{100} \text{ रुपये} = 0.07 \text{ रुपये} \)
(ii) 800 ग्राम को किग्रा में बदलना:
हम जानते हैं कि 1 किलोग्राम (किग्रा) = 1000 ग्राम। इसलिए, ग्राम को किग्रा में बदलने के लिए 1000 से भाग देते हैं।
\( 800 \text{ ग्राम} = \frac{800}{1000} \text{ किग्रा} = 0.800 \text{ किग्रा} \)
(iii) 75 मीटर को किमी. में बदलना:
हम जानते हैं कि 1 किलोमीटर (किमी) = 1000 मीटर। इसलिए, मीटर को किमी में बदलने के लिए 1000 से भाग देते हैं।
\( 75 \text{ मीटर} = \frac{75}{1000} \text{ किमी} = 0.075 \text{ किमी} \)
(iv) 3470 मीटर को किमी में बदलना:
हम जानते हैं कि 1 किलोमीटर (किमी) = 1000 मीटर। इसलिए, मीटर को किमी में बदलने के लिए 1000 से भाग देते हैं।
\( 3470 \text{ मीटर} = \frac{3470}{1000} \text{ किमी} = 3.470 \text{ किमी} \)
(v) 7 किग्रा 7 ग्राम को किग्रा में बदलना:
यहाँ 7 किग्रा पहले से ही किलोग्राम में है। हमें बस 7 ग्राम को किलोग्राम में बदलना है।
\( 7 \text{ ग्राम} = \frac{7}{1000} \text{ किग्रा} = 0.007 \text{ किग्रा} \)
कुल वजन = \( 7 \text{ किग्रा} + 0.007 \text{ किग्रा} = 7.007 \text{ किग्रा} \)
(vi) 47 किमी 75 मीटर को किमी में बदलना:
यहाँ 47 किमी पहले से ही किलोमीटर में है। हमें बस 75 मीटर को किलोमीटर में बदलना है।
\( 75 \text{ मीटर} = \frac{75}{1000} \text{ किमी} = 0.075 \text{ किमी} \)
कुल दूरी = \( 47 \text{ किमी} + 0.075 \text{ किमी} = 47.075 \text{ किमी} \)
In simple words: छोटी इकाईयों को बड़ी इकाईयों में बदलने के लिए, हमें यह जानना होता है कि एक बड़ी इकाई में कितनी छोटी इकाईयाँ होती हैं। फिर, छोटी इकाई की संख्या को उस मान से भाग दे दिया जाता है।
🎯 Exam Tip: यूनिट कंवर्जन करते समय, हमेशा सही कंवर्जन फैक्टर (जैसे 1 रुपये = 100 पैसे, 1 किग्रा = 1000 ग्राम, 1 किमी = 1000 मीटर) याद रखें और दशमलव स्थानों का ध्यानपूर्वक प्रयोग करें।
प्रश्न 3. निम्नलिखित दशमलवको विस्तारित रूप में लिखिए।
(i) 25.03
(ii) 2.503
(iii) 205.3
(iv) 2.053
Answer:
(i) 25.03 को विस्तारित रूप में:
\( 25.03 = 2 \times 10 + 5 \times 1 + 0 \times \frac{1}{10} + 3 \times \frac{1}{100} \)
(ii) 2.503 को विस्तारित रूप में:
\( 2.503 = 2 \times 1 + 5 \times \frac{1}{10} + 0 \times \frac{1}{100} + 3 \times \frac{1}{1000} \)
(iii) 205.3 को विस्तारित रूप में:
\( 205.3 = 2 \times 100 + 0 \times 10 + 5 \times 1 + 3 \times \frac{1}{10} \)
(iv) 2.053 को विस्तारित रूप में:
\( 2.053 = 2 \times 1 + 0 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 3 \times \frac{1}{1000} \)
In simple words: विस्तारित रूप का मतलब है कि हर अंक की जगह का मान (प्लेस वैल्यू) दिखाकर संख्या को अलग-अलग करके लिखना। दशमलव बिंदु के बाईं ओर के अंक इकाई, दहाई, सैकड़ा आदि के मान दिखाते हैं, और दाईं ओर के अंक दसवां, सौवां, हज़ारवां आदि मान दिखाते हैं।
🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं को विस्तारित रूप में लिखते समय, दशमलव बिंदु के बाईं ओर के अंकों के लिए 10 की धनात्मक घातों (1, 10, 100...) का उपयोग करें और दशमलव बिंदु के दाईं ओर के अंकों के लिए 10 की ऋणात्मक घातों (\( \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000} \)...) का उपयोग करें।
प्रश्न 4. निम्नलिखित संख्याओं में 3 का स्थानीय मान ज्ञात कीजिए।
(i) 34.82
(ii) 643.45
(iii) 547.03
(iv) 24.203
Answer:
| संख्या | 3 का स्थानीय मान |
|---|---|
| (i) 34.82 | 30 |
| (ii) 643.45 | 3 |
| (iii) 547.03 | \( \frac{3}{100} \) |
| (iv) 24.203 | \( \frac{3}{1000} \) |
In simple words: स्थानीय मान वह मान होता है जो किसी अंक की स्थिति के आधार पर होता है। अगर 3 दशमलव बिंदु के बाईं ओर है, तो वह इकाई, दहाई आदि के स्थान पर होगा। अगर 3 दशमलव बिंदु के दाईं ओर है, तो वह दसवां, सौवां या हज़ारवां स्थान दिखाता है।
🎯 Exam Tip: स्थानीय मान ज्ञात करते समय, दशमलव बिंदु के प्रत्येक स्थान को ध्यान में रखें। दशमलव के दाईं ओर के पहले स्थान का मान \( \frac{1}{10} \), दूसरे का \( \frac{1}{100} \), और तीसरे का \( \frac{1}{1000} \) होता है।
प्रश्न 5. पारस के पिताजी सब्जी मण्डी से 7 किग्रा 250 ग्राम हरी मिर्च 15 किग्रा 750 ग्राम टमाटर और 950 ग्राम धनिया लाए तो बताइए, वे कुल कितने किलोग्राम सब्जी लाए ?
Answer:
पारस के पिताजी द्वारा लाई गई सब्जियां और उनका वजन:
हरी मिर्च का वजन = 7 किग्रा 250 ग्राम
इसे किलोग्राम में बदलने पर: \( 7 + \frac{250}{1000} = 7 + 0.250 = 7.250 \) किग्रा
टमाटर का वजन = 15 किग्रा 750 ग्राम
इसे किलोग्राम में बदलने पर: \( 15 + \frac{750}{1000} = 15 + 0.750 = 15.750 \) किग्रा
धनिया का वजन = 950 ग्राम
इसे किलोग्राम में बदलने पर: \( \frac{950}{1000} = 0.950 \) किग्रा
कुल सब्जी का वजन ज्ञात करने के लिए, सभी वजन को जोड़ दें:
कुल वजन = हरी मिर्च का वजन + टमाटर का वजन + धनिया का वजन
कुल वजन = \( 7.250 + 15.750 + 0.950 \)
कुल वजन = \( 23.950 \) किग्रा
अतः, पारस के पिताजी कुल 23.950 किलोग्राम सब्जी लाए। सभी वजनों को एक ही इकाई में बदलना जरूरी है।
In simple words: कुल सब्जियों का वजन निकालने के लिए, पहले हर सब्जी के वजन को किलोग्राम में बदलें। फिर उन सभी किलोग्राम वजनों को एक साथ जोड़ दें।
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहां विभिन्न इकाइयों में वजन दिए गए हों, हमेशा उन्हें गणना शुरू करने से पहले एक समान इकाई (जैसे केवल किलोग्राम) में बदल लें। यह गलतियों को रोकने में मदद करता है।
प्रश्न 6. भावना के बैंक खाते में ब्याज के 37.25 रुपये जमा हुए और अनिता के बैंक खाते में ब्याज के 25.50 रुपये जमा हुए। बताइए किसे अधिक ब्याज मिला और कितना अधिक?
Answer:
भावना को मिला ब्याज = Rs. 37.25
अनिता को मिला ब्याज = Rs. 25.50
यह पता लगाने के लिए कि किसे अधिक ब्याज मिला, हम दोनों की राशियों की तुलना करते हैं।
चूंकि \( 37.25 > 25.50 \), इसलिए भावना को अधिक ब्याज मिला।
यह जानने के लिए कि कितना अधिक ब्याज मिला, हम भावना के ब्याज में से अनिता के ब्याज को घटाते हैं:
अधिक ब्याज = भावना का ब्याज - अनिता का ब्याज
अधिक ब्याज = Rs. \( 37.25 - 25.50 \)
अधिक ब्याज = Rs. 11.75
अतः, भावना को अनिता से Rs. 11.75 अधिक ब्याज मिला। ब्याज की गणना हमेशा दशमलव संख्याओं के साथ की जाती है।
In simple words: भावना को अनिता से ज़्यादा ब्याज मिला। यह जानने के लिए कि कितना ज़्यादा, हमने भावना के ब्याज में से अनिता का ब्याज घटा दिया, जिससे हमें Rs. 11.75 मिले।
🎯 Exam Tip: जब दो संख्याओं की तुलना करनी हो और अंतर ज्ञात करना हो, तो हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाएं। दशमलव संख्याओं को घटाते समय दशमलव बिंदु को संरेखित करना सुनिश्चित करें।
प्रश्न 7. 48 किमी. से 42.7 किमी. कितना कम है?
Answer:
यह ज्ञात करने के लिए कि 42.7 किमी, 48 किमी से कितना कम है, हम 48 किमी में से 42.7 किमी घटाते हैं।
\( 48.0 \text{ किमी} - 42.7 \text{ किमी} \)
\( = 5.3 \text{ किमी} \)
अतः, 42.7 किमी, 48 किमी से 5.3 किमी कम है। इस तरह के घटाव से हमें दो मात्राओं के बीच का अंतर मिलता है।
In simple words: 42.7 किमी, 48 किमी से 5.3 किमी कम है। हमने 48 में से 42.7 को घटाकर यह पता लगाया।
🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का घटाव करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप दशमलव बिंदु को ठीक से संरेखित करें और आवश्यकतानुसार अतिरिक्त शून्य जोड़ें (जैसे 48 को 48.0 लिखें)।
प्रश्न 8. 24.57 और 36.3 के योग में क्या जोड़ा जाए कि 70 प्राप्त हो।
Answer:
सबसे पहले, हम 24.57 और 36.3 का योग ज्ञात करते हैं:
\( 24.57 + 36.30 = 60.87 \)
मान लीजिए जोड़ी जाने वाली संख्या \( x \) है।
तो, प्रश्न के अनुसार समीकरण बनेगा:
\( (24.57 + 36.30) + x = 70 \)
\( 60.87 + x = 70 \)
अब \( x \) का मान ज्ञात करने के लिए, 70 में से 60.87 को घटाते हैं:
\( x = 70 - 60.87 \)
\( x = 9.13 \)
अतः, 24.57 और 36.3 के योग में 9.13 जोड़ा जाए तो 70 प्राप्त होगा। यह अज्ञात संख्या ज्ञात करने का एक सामान्य तरीका है।
In simple words: पहले 24.57 और 36.3 को जोड़ो, जिससे 60.87 आएगा। फिर यह पता लगाने के लिए कि 70 बनाने के लिए इसमें और कितना जोड़ना है, 70 में से 60.87 घटा दो, जो 9.13 है।
🎯 Exam Tip: ऐसे बीजगणितीय समस्याओं को हल करते समय, पहले दी गई संख्याओं का योग या अंतर ज्ञात करें। फिर अज्ञात चर को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें। दशमलव संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय सावधानी बरतें।
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