RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 17 आँकड़ों का प्रबन्धन Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. 2, 4, 6 तथा 8 का समान्तर माध्य है
(a) 10
(b) 20
(c) 5
(d) 12
Answer: (c) 5
In simple words: समान्तर माध्य निकालने के लिए सभी संख्याओं को जोड़कर, उनकी कुल संख्या से भाग देते हैं। इस तरह हमें संख्याओं का औसत मिल जाता है।

🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य (average) निकालने के लिए सभी दिए गए मानों को जोड़कर उनकी कुल संख्या से भाग दें।

प्रश्न 2. आँकड़ों 2, 15, 16, 26, 28 का परिसर होगा
(a) 26
(b) 25
(c) 28
(d) 30
Answer: (a) 26
In simple words: परिसर वह अंतर होता है जो किसी डेटा सेट में सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या के बीच होता है। यह हमें डेटा के फैलाव के बारे में बताता है।

🎯 Exam Tip: परिसर ज्ञात करने के लिए हमेशा सबसे बड़े मान में से सबसे छोटे मान को घटाएँ।

प्रश्न 3. आँकड़ों 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 9 का बहुलक है
(a) 4
(b) 6
(c) 8
(d) 9
Answer: (c) 8
In simple words: बहुलक किसी भी डेटा समूह में वह संख्या होती है जो सबसे ज़्यादा बार आती है। इसे देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है।

🎯 Exam Tip: बहुलक की पहचान करने के लिए, सभी संख्याओं को गिनें और देखें कि कौन सी संख्या सबसे अधिक बार दोहराई गई है।

प्रश्न 4. 24, 36, 46, 17, 18, 25, 35 का माध्यक होगा
(a) 24
(b) 25
Answer: (b) 25
In simple words: माध्यक वह बीच वाली संख्या होती है जब सभी संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लगाया जाता है। यह डेटा के बीच का मान दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: माध्यक ज्ञात करने के लिए, पहले डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें, फिर मध्यमान ज्ञात करें। यदि डेटा की संख्या विषम है तो एक मध्यमान होगा, यदि सम है तो दो मध्यमानों का औसत होगा।

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

प्रश्न. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) समान्तर माध्य (M) = ......
(ii) चार विषय में अंक 20, 40, 50, 80 है तो माध्य = ......
(iii) अंकगणितीय माध्य आँकड़ों का एक ...... मान है।
Answer:
(i) \( \frac {\Sigma fx }{ n } \)
(ii) 47.5
(iii) प्रतिनिधि
In simple words: समान्तर माध्य सभी मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है। दिए गए अंकों का माध्य उनके औसत को बताता है। अंकगणितीय माध्य हमेशा डेटा के एक महत्वपूर्ण प्रतिनिधित्व को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: माध्य निकालने के सूत्र और प्रक्रिया को अच्छी तरह समझ लें, खासकर जब प्रेक्षणों की संख्या और आवृत्ति दी गई हो।

सत्य/असत्य

प्रश्न. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्यः
(i) बहुलक आँकड़ों में से सदैव एक संख्या होता है।
(ii) माध्य दिए हुए आँकड़ों में से एक संख्या हो सकता है।
(iii) माध्यक आँकड़ों में से सदैव एक संख्या होता है।
(iv) आँकड़ों 6, 4, 3, 8, 9, 12, 13, 9 का माध्य 9 है।
Answer:
(i) सत्य
(ii) असत्य
(iii) सत्य
(iv) असत्य
In simple words: बहुलक हमेशा दिए गए आँकड़ों में से ही एक मान होता है क्योंकि यह सबसे अधिक बार दोहराया गया मान होता है। माध्य दिए गए आँकड़ों में से कोई संख्या हो भी सकता है और नहीं भी। माध्यक, आँकड़ों को क्रम में लगाने पर बीच का मान होता है, इसलिए यह भी हमेशा आँकड़ों में से ही एक संख्या होता है। दिए गए आँकड़ों का सही माध्य 7.71 होता है, 9 नहीं।

🎯 Exam Tip: बहुलक और माध्यक हमेशा डेटा सेट के सदस्य होते हैं, जबकि माध्य (औसत) डेटा सेट का सदस्य हो भी सकता है और नहीं भी। माध्य की गणना करते समय हमेशा सावधान रहें।

अति लघु/लघूत्तीय प्रश्न

प्रश्न 2. एक क्रिकेट मैच में खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रन इस प्रकार हैं- 6, 15, 120, 50, 100, 80, 10, 15, 8, 10, 15 इन आंकडों के माध्य, बहुलक और माध्यक ज्ञात कीजिए। क्या ये तीनों समान हैं?
Answer:
रनों का योग \( = 6 + 15 + 120 + 50 + 100 + 80 + 10 + 15 + 8 + 10 + 15 = 429 \)
कुल खिलाड़ियों की संख्या \( = 11 \)
माध्य \( = \frac{\text{रनों का योग}}{\text{खिलाड़ियों की संख्या}} = \frac{429}{11} = 39 \)
अब, रनों को आरोही क्रम में रखने पर,
6, 8, 10, 10, 15, 15, 15, 50, 80, 100, 120
यहाँ 15 सबसे अधिक बार आया है।
बहुलक \( = 15 \)
आँकड़ों की संख्या (N) विषम है, यहाँ \( N = 11 \)
माध्यक \( = \left(\frac{N+1}{2}\right)\) वाँ पद
\( \implies = \left(\frac{11+1}{2}\right) \) वाँ पद
\( \implies = \left(\frac{12}{2}\right) = 6 \) वाँ पद \( = 15 \)
अत: ये तीनों (माध्य, बहुलक और माध्यक) समान नहीं हैं।
In simple words: पहले सभी रनों को जोड़ा गया और कुल खिलाड़ियों से भाग देकर औसत (माध्य) निकाला गया। फिर रनों को छोटे से बड़े क्रम में लगाकर सबसे ज़्यादा बार आने वाले रन (बहुलक) और बीच के रन (माध्यक) को ढूंढा गया। अंत में, हमने देखा कि माध्य (39), बहुलक (15) और माध्यक (15) तीनों अलग-अलग हैं।

🎯 Exam Tip: माध्य, बहुलक और माध्यक की गणना करते समय, हमेशा डेटा को सही ढंग से व्यवस्थित करें और सभी चरणों को सावधानी से करें। अंत में, यह बताना न भूलें कि वे समान हैं या नहीं।

प्रश्न 3. वर्षा के आँकड़ों से संबंधित प्रश्न।
सप्ताह के लिए वर्षा का डेटा निम्नलिखित है:

(i) उपरोक्त आँकड़ों से वर्षा का परिसर ज्ञात कीजिए।
(ii) इस सप्ताह की माध्य वर्षा ज्ञात कीजिए।
(iii) कितने दिन वर्षा, माध्य वर्षा से कम रही?
Answer:
(i) 7 दिनों में हुई वर्षा को आरोही क्रम में रखने पर,
0.0, 0.0, 1.0, 2.1, 5.5, 12.2, 20.5
परिसर \( = 20.5 - 0.0 = 20.5 \)
(ii) 7 दिनों की वर्षा का योग
\( = 0.0 + 0.0 + 1.0 + 2.1 + 5.5 + 12.2 + 20.5 = 41.3 \)
माध्य \( = \frac{41.3}{7} = 5.9 \)
(iii) माध्य वर्षा 5.9 mm है। 5.9 mm से कम वर्षा वाले दिन हैं: 0.0, 0.0, 1.0, 2.1, 5.5।
अतः, पाँच दिन वर्षा, माध्य वर्षा से कम रही।
In simple words: पहले वर्षा के आंकड़ों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में रखा गया, फिर सबसे बड़े मान से सबसे छोटा मान घटाकर वर्षा का फैलाव (परिसर) निकाला गया। इसके बाद, सभी दिनों की वर्षा को जोड़कर दिनों की कुल संख्या से भाग देकर औसत वर्षा (माध्य) ज्ञात की गई। अंत में, यह देखा गया कि कितने दिन ऐसे थे जब वर्षा औसत वर्षा से कम हुई।
🎯 Exam Tip: परिसर, माध्य और माध्यक जैसे आँकड़ों को निकालते समय, हमेशा डेटा को सही क्रम में व्यवस्थित करें और सभी मानों का उपयोग करें। वर्षा के दिनों की गिनती करते समय माध्य से कम या ज्यादा वाले सभी दिनों को ध्यान से देखें।

प्रश्न 4. प्रथम 5 पूर्ण संख्याओं का माध्यज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रथम 5 पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3 और 4 हैं।
माध्य \( = \frac {0+1+2+3+4 }{ 5 } = \frac { 10 }{ 5 } = 2 \)
In simple words: पूर्ण संख्याएँ शून्य से शुरू होती हैं और बढ़ती जाती हैं। पहली पाँच पूर्ण संख्याओं को जोड़कर उनकी कुल संख्या (पाँच) से भाग देने पर उनका औसत (माध्य) मिल जाता है।

🎯 Exam Tip: पूर्ण संख्याएँ हमेशा 0 से शुरू होती हैं। प्राकृतिक संख्याओं और पूर्ण संख्याओं के बीच का अंतर याद रखें, खासकर जब किसी संख्या की "पहली N" संख्याओं का माध्य निकालने के लिए कहा जाए।

प्रश्न 5. एक क्रिकेट खिलाड़ी ने 8 पारियों में निम्नलिखित रन बनाए : 58, 76, 40, 35, 46, 50, 0, 100 उनका माध्य स्कोर या रन ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल स्कोर \( = 58 + 76 + 40 + 35 + 46 + 50 + 0 + 100 = 405 \)
प्रेक्षणों की संख्या \( = 8 \)
माध्य \( = \frac {405}{8} = 50.625 \)
In simple words: खिलाड़ी द्वारा सभी पारियों में बनाए गए रनों को एक साथ जोड़ा गया। फिर इस कुल स्कोर को खेली गई पारियों की संख्या (8) से भाग दिया गया ताकि प्रति पारी का औसत स्कोर पता चल सके।

🎯 Exam Tip: माध्य स्कोर (औसत) निकालते समय, सभी मानों को सही ढंग से जोड़ना और फिर उन्हें कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देना महत्वपूर्ण है। शून्य रन को भी एक पारी के रूप में गिना जाता है।

दीर्घ उत्तीय प्रश्न

प्रश्न 1. दिया हुआ दंड आलेख, विभिन्न कंपनियों द्वारा बनाई गई जल प्रतिरोधी घड़ियों की जाँच के लिए किए गए एक सर्वेक्षण को दर्शाता है। इनमें से प्रत्येक कंपनी ने यह दावा किया कि उनकी घड़ियाँ प्रतिरोधी हैं। एक जाँच के बाद निम्न परिणाम प्राप्त हुए हैं।
कंपनियों द्वारा जाँची गई और रिसाव वाली घड़ियों का डेटा:

(a) क्या आप प्रत्येक कंपनी के लिए, रिसाव वाली घड़ियों की संख्या की, जाँच की गई कुल घड़ियों की संख्या से भिन्न बना सकते हैं?
(b) इसके आधार पर आप क्या बता सकते हैं कि किस कंपनी की घड़ियाँ बेहतर हैं?
Answer:
(a) प्रत्येक कंपनी द्वारा जाँच की गई रिसाव वाली घड़ियों की संख्या का अनुपात:
कंपनी A के लिए \( = \frac{200}{400} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \)
कंपनी B के लिए \( = \frac{100}{400} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \)
कंपनी C के लिए \( = \frac{150}{400} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} \)
कंपनी D के लिए \( = \frac{250}{400} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} \)
(b) अनुपातों की तुलना करने पर: \( \frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8} \)
यह दर्शाता है कि कंपनी B के लिए रिसाव वाली घड़ियों का अनुपात सबसे कम है (\( \frac{1}{4} \))। एक छोटा अनुपात बताता है कि उनकी घड़ियाँ सबसे कम खराब होती हैं।
अतः कम्पनी B के पास अच्छी घड़ियाँ हैं।
In simple words: हमने हर कंपनी के लिए खराब घड़ियों और कुल जाँची गई घड़ियों का अनुपात निकाला। जिस कंपनी का यह अनुपात सबसे कम था, उसकी घड़ियाँ सबसे अच्छी मानी गईं। कंपनी B का अनुपात सबसे कम आया, जिसका मतलब है कि उनकी घड़ियाँ सबसे बेहतर हैं।
🎯 Exam Tip: जब गुणवत्ता या दक्षता की तुलना करनी हो, तो हमेशा अनुपातों या प्रतिशत का उपयोग करें। सबसे छोटा अनुपात (खराब वस्तुओं के लिए) या सबसे बड़ा अनुपात (अच्छी वस्तुओं के लिए) बेहतर प्रदर्शन को दर्शाता है।

प्रश्न 2. वर्षों 1995, 1996, 1997 और 1998 में अंग्रेजी और हिन्दी की पुस्तकों की बिक्री नीचे दी गई है।

Answer:
पहले, प्रत्येक वर्ष के लिए अंग्रेजी और हिंदी पुस्तकों की बिक्री का अंतर ज्ञात करते हैं:
1995 में अंतर \( = 350 - 200 = 150 \)
1996 में अंतर \( = 525 - 400 = 125 \)
1997 में अंतर \( = 600 - 450 = 150 \)
1998 में अंतर \( = 650 - 620 = 30 \)
(a) अतः, दोनों भाषाओं की पुस्तकों की बिक्री का अंतर वर्ष 1998 में न्यूनतम था, जो 30 है।
(b) हाँ, हम कह सकते हैं कि अंग्रेजी की पुस्तकों की माँग में तेजी से वृद्धि हुई है। 1995 से 1998 तक अंग्रेजी की पुस्तकों की बिक्री लगातार 350 से 620 तक बढ़ी है। इससे पता चलता है कि लोगों को अंग्रेजी की किताबें ज़्यादा पसंद आ रही हैं।
In simple words: हमने हर साल अंग्रेजी और हिंदी किताबों की बिक्री में अंतर देखा। 1998 में यह अंतर सबसे कम था। हमने यह भी देखा कि अंग्रेजी किताबों की बिक्री हर साल बढ़ती गई, जिससे पता चलता है कि उनकी मांग बढ़ रही थी।
🎯 Exam Tip: डेटा विश्लेषण वाले प्रश्नों में, पहले डेटा का अवलोकन करें, फिर आवश्यक गणनाएँ (जैसे अंतर या वृद्धि) करें। अपने निष्कर्षों को स्पष्ट और संक्षिप्त वाक्यों में प्रस्तुत करें।

प्रश्न 3. किसी कॉलोनी में किए गए सर्वेक्षण से प्राप्त निम्नलिखित आँकड़ों पर विचार कीजिए:

(i) एक उपयुक्त स्केल चुनकर, एक दोहरा दंड आलेख खींचिए। इस दंड आलेख से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं।
(ii) कौन-सा खेल अधिक लोकप्रिय है?
(iii) खेलों को देखना अधिक पसन्द किया जाता है। या उनमें भाग लेना?
Answer:
(i) (बार ग्राफ बनाने के लिए, हम Y-अक्ष पर 'लोगों की संख्या' और X-अक्ष पर 'पसंदीदा खेल' रखेंगे। 'देखने' और 'भाग लेने' के लिए दो अलग-अलग बार बनाएँगे। स्केल 1 बड़ा खाना = 100 लोग उपयुक्त होगा।)
दंड आलेख से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अधिक व्यक्ति क्रिकेट को चुनते हैं और खेलकूद को कम चुनते हैं। सामान्य तौर पर, लोग खेलों को देखना पसंद करते हैं बजाय उनमें भाग लेने के।
(ii) क्रिकेट सबसे अधिक लोकप्रिय है, क्योंकि इसे देखने वाले लोगों की संख्या 1240 है और भाग लेने वाले लोगों की संख्या 620 है, जो अन्य सभी खेलों से ज़्यादा है।
(iii) खेलों को देखना अधिक पसन्द किया जाता है। सभी खेलों के लिए, देखने वाले लोगों की संख्या भाग लेने वाले लोगों की संख्या से काफी ज़्यादा है। उदाहरण के लिए, क्रिकेट के लिए 1240 लोग देखते हैं जबकि केवल 620 लोग भाग लेते हैं।
In simple words: पहले डेटा का उपयोग करके एक दोहरा दंड आलेख बनाया जाता है, जिसमें हर खेल के लिए देखने और भाग लेने वालों की संख्या दिखाई जाती है। आलेख से पता चलता है कि क्रिकेट सबसे ज़्यादा पसंद किया जाने वाला खेल है। साथ ही, ज़्यादातर लोग खेलों को सिर्फ देखना पसंद करते हैं, उनमें खुद भाग नहीं लेते।
🎯 Exam Tip: दंड आलेख बनाते समय, सही स्केल का चयन करना और अक्षों को सही ढंग से लेबल करना महत्वपूर्ण है। निष्कर्ष निकालते समय, सबसे स्पष्ट रुझानों और डेटा में प्रमुख अंतरों पर ध्यान केंद्रित करें।