Official RBSE Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 17 आँकड़ों का प्रबन्धन
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 17 आँकड़ों का प्रबन्धन
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Question 1. निम्न आँकड़ों से बहुलक ज्ञात कीजिए।
7, 6, 4, 5, 6, 4, 6, 3, 2,7, 8, 6, 4, 6, 5
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8
अब, हम देखते हैं कि प्रत्येक संख्या कितनी बार आई है:
2: 1 बार
3: 1 बार
4: 3 बार
5: 2 बार
6: 5 बार
7: 2 बार
8: 1 बार
संख्या 6 सबसे अधिक बार (5 बार) आई है। इसलिए, इन आँकड़ों का बहुलक 6 है। बहुलक हमें बताता है कि दिए गए समूह में कौन सी संख्या सबसे ज़्यादा बार दोहराई जाती है।
In simple words: आँकड़ों को क्रम में लगाएं। जिस संख्या की गिनती सबसे ज़्यादा बार आती है, वही बहुलक होती है। यहाँ, संख्या 6 पाँच बार आई है, जो सबसे ज़्यादा है।
🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करते समय, सभी संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना सहायक होता है, जिससे किसी भी संख्या की आवृत्ति (कितनी बार वह दोहराई गई है) को आसानी से गिना जा सके।
Question 2. वंदना ने एक पासा लिया। उसने पासे को 20 बार उछाला और प्रत्येक बार प्राप्त संख्या को निम्न प्रकार लिखा: 3, 4, 6, 3, 5, 2, 2, 3, 5, 4, 5, 6, 6, 1, 5, 6, 3, 5, 2, 4 उपर्युक्त आँकड़ों की सहायता से माध्यिका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6
यहाँ कुल आँकड़ों की संख्या (n) = 20 है, जो एक सम संख्या है।
**माध्यिका ज्ञात करना:**
सम संख्याओं के लिए माध्यिका का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac { (\frac{n}{2})\text{वाँ पद} + (\frac{n}{2}+1)\text{वाँ पद} }{ 2 } \)
\( \text{माध्यिका} = \frac { (\frac{20}{2})\text{वाँ पद} + (\frac{20}{2}+1)\text{वाँ पद} }{ 2 } \)
\( = \frac { \text{10वाँ पद} + \text{11वें पद} }{ 2 } \)
आरोही क्रम में, 10वाँ पद 4 है और 11वाँ पद भी 4 है।
\( = \frac { 4+4 }{ 2 } = \frac { 8 }{ 2 } = 4 \)
अतः, माध्यिका = 4
**बहुलक ज्ञात करना:**
हम प्रत्येक संख्या की आवृत्ति (कितनी बार आई है) गिनते हैं:
1: 1 बार
2: 3 बार
3: 4 बार
4: 3 बार
5: 6 बार
6: 4 बार
संख्या 5 सबसे अधिक बार (6 बार) आई है। इसलिए, आँकड़ों का बहुलक 5 है। माध्यिका हमें आँकड़ों का केंद्रीय मान बताती है, जबकि बहुलक सबसे आम मान दर्शाता है।
In simple words: पहले संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लिखें। अगर कुल संख्याएँ सम हैं, तो बीच की दो संख्याओं को जोड़कर दो से भाग दें, वह माध्यिका होगी। सबसे ज़्यादा बार आने वाली संख्या बहुलक होती है। यहाँ माध्यिका 4 है और बहुलक 5 है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका और बहुलक दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं, लेकिन वे आँकड़ों के अलग-अलग पहलुओं को दर्शाते हैं। माध्यिका बीच का मान होता है, जबकि बहुलक सबसे अधिक दोहराया जाने वाला मान होता है।
Question 3. एक फैक्ट्री में काम करने वाले 30 मजदूरों का वजन (किग्रा में) निम्नांकित है
60, 65, 70, 65, 60, 70, 65, 70, 75, 80, 75, 60, 65, 70, 65, 65, 70, 65, 60, 70, 65, 75, 80, 75, 80, 65, 60, 65, 70, 80
उपर्युक्त आँकड़ों की सहायता से माध्यिका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
60, 60, 60, 60, 60 (5 बार)
65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65 (10 बार)
70, 70, 70, 70, 70, 70, 70 (7 बार)
75, 75, 75, 75 (4 बार)
80, 80, 80, 80 (4 बार)
व्यवस्थित क्रम:
60, 60, 60, 60, 60, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 80, 80, 80, 80
यहाँ कुल आँकड़ों की संख्या (n) = 30 है, जो एक सम संख्या है।
**माध्यिका ज्ञात करना:**
सम संख्याओं के लिए माध्यिका का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac { (\frac{n}{2})\text{वाँ पद} + (\frac{n}{2}+1)\text{वाँ पद} }{ 2 } \)
\( = \frac { (\frac{30}{2})\text{वाँ पद} + (\frac{30}{2}+1)\text{वाँ पद} }{ 2 } \)
\( = \frac { \text{15वें पद का मान} + \text{16वें पद का मान} }{ 2 } \)
आरोही क्रम में, 15वाँ पद 65 है और 16वाँ पद 70 है।
\( = \frac { 65+70 }{ 2 } = \frac { 135 }{ 2 } = 67.5 \)
अतः, माध्यिका = 67.5 किग्रा है।
**बहुलक ज्ञात करना:**
प्रत्येक संख्या की आवृत्ति गिनने पर, संख्या 65 सबसे अधिक बार (10 बार) आई है।
अतः, बहुलक = 65 किग्रा है। माध्यिका डेटा का मध्य बिंदु बताती है, जबकि बहुलक सबसे प्रचलित मान दर्शाता है।
In simple words: पहले सभी मज़दूरों के वज़न को छोटे से बड़े क्रम में लिखें। कुल 30 वज़न हैं, इसलिए 15वें और 16वें वज़न का औसत माध्यिका होगा (जो 67.5 किग्रा है)। जो वज़न सबसे ज़्यादा बार आया है, वह बहुलक है (जो 65 किग्रा है)।
🎯 Exam Tip: जब डेटा सेट में मान दोहराए जाते हैं, तो माध्यिका और बहुलक की गणना करते समय उनकी सही स्थिति और आवृत्ति को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।
Question 4. निम्न चरों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
37, 31, 42, 43, 46, 25, 39, 45, 32
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
25, 31, 32, 37, 39, 42, 43, 45, 46
यहाँ कुल आँकड़ों की संख्या (n) = 9 है, जो एक विषम संख्या है।
**माध्यिका ज्ञात करना:**
विषम संख्याओं के लिए माध्यिका का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac{n+1}{2} \text{वाँ पद} \)
\( = \frac{9+1}{2} \text{वाँ पद} = \frac{10}{2} \text{वाँ पद} = \text{5वाँ पद} \)
आरोही क्रम में, 5वाँ पद 39 है।
अतः, माध्यिका = 39 है। माध्यिका आँकड़ों को दो बराबर हिस्सों में बांटती है।
In simple words: संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लिखें। कुल 9 संख्याएँ हैं, इसलिए बीच वाली संख्या (5वीं संख्या) माध्यिका होगी, जो 39 है।
🎯 Exam Tip: विषम संख्या वाले डेटा सेट में माध्यिका ज्ञात करना सीधा होता है; बस आँकड़ों को क्रमबद्ध करें और ठीक बीच वाली संख्या चुनें।
Question 5. निम्न आँकड़ों से माध्यिका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए। क्या इन आँकड़ों में एक से अधिक बहुलक हैं?
147, 148, 148, 148, 149, 149, 149, 150, 150, 150, 151, 151, 151, 151, 151, 152, 152, 152, 152, 152, 153
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं (जो पहले से ही व्यवस्थित है):
147, 148, 148, 148, 149, 149, 149, 150, 150, 150, 151, 151, 151, 151, 151, 152, 152, 152, 152, 152, 153
यहाँ कुल आँकड़ों की संख्या (n) = 21 है, जो एक विषम संख्या है।
**(i) माध्यिका ज्ञात करना:**
विषम संख्याओं के लिए माध्यिका का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac{n+1}{2} \text{वाँ पद} \)
\( = \frac{21+1}{2} \text{वाँ पद} = \frac{22}{2} \text{वाँ पद} = \text{11वाँ पद} \)
आरोही क्रम में, 11वाँ पद 151 है।
अतः, माध्यिका = 151 है। माध्यिका हमें डेटा सेट का मध्य मान बताती है।
**(ii) बहुलक ज्ञात करना:**
प्रत्येक संख्या की आवृत्ति गिनने पर:
147: 1 बार
148: 3 बार
149: 3 बार
150: 3 बार
151: 5 बार
152: 5 बार
153: 1 बार
यहाँ संख्या 151 और 152 दोनों सबसे अधिक बार (प्रत्येक 5 बार) आई हैं।
अतः, इस आँकड़ों के दो बहुलक हैं: 151 और 152। हाँ, इन आँकड़ों में एक से अधिक बहुलक हैं, जिसे बहु-बहुलक (multimodal) कहा जाता है।
In simple words: संख्याओं को क्रम में रखें। कुल 21 संख्याएँ हैं, इसलिए 11वीं संख्या (151) माध्यिका है। जो संख्याएँ सबसे ज़्यादा बार आती हैं, वे बहुलक होती हैं। यहाँ 151 और 152 दोनों पाँच-पाँच बार आए हैं, इसलिए ये दोनों बहुलक हैं।
🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक डेटा सेट में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं यदि दो या दो से अधिक मानों की आवृत्ति समान और अधिकतम हो।
Question 6. एक क्रिकेट मैच में खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रन इस प्रकार है
105, 47, 0, 36, 50, 16, 7, 70, 65, 36, 52
उपर्युक्त आँकड़ों से माध्य, माध्यिका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए। क्या ये तीनों समान हैं?
Answer: सबसे पहले, हम दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
0, 7, 16, 36, 36, 47, 50, 52, 65, 70, 105
यहाँ कुल आँकड़ों की संख्या (n) = 11 है, जो एक विषम संख्या है।
**माध्य ज्ञात करना:**
\( \text{माध्य} = \frac { \text{सभी आँकड़ों का योग} }{ \text{आँकड़ों की कुल संख्या} } \)
सभी आँकड़ों का योग \( = 0 + 7 + 16 + 36 + 36 + 47 + 50 + 52 + 65 + 70 + 105 = 484 \)
माध्य \( = \frac{484}{11} = 44 \)
अतः, माध्य = 44 है। माध्य हमें सभी मानों का औसत देता है।
**माध्यिका ज्ञात करना:**
विषम संख्याओं के लिए माध्यिका का सूत्र है:
\( \text{माध्यिका} = \frac{n+1}{2} \text{वाँ पद} \)
\( = \frac{11+1}{2} \text{वाँ पद} = \frac{12}{2} \text{वाँ पद} = \text{6वाँ पद} \)
आरोही क्रम में, 6वाँ पद 47 है।
अतः, माध्यिका = 47 है।
**बहुलक ज्ञात करना:**
प्रत्येक संख्या की आवृत्ति गिनने पर, संख्या 36 सबसे अधिक बार (2 बार) आई है।
अतः, बहुलक = 36 है।
**क्या ये तीनों समान हैं?**
नहीं, माध्य (44), माध्यिका (47) और बहुलक (36) तीनों मान अलग-अलग हैं। ये आँकड़ों के विभिन्न केंद्रीय प्रवृत्तियों को दिखाते हैं।
In simple words: पहले रनों को क्रम से लिखें। माध्य (औसत) 44 है (सभी रनों का जोड़ 484, जिसे 11 से भाग दिया)। माध्यिका (बीच का रन) 47 है। बहुलक (सबसे ज़्यादा बार आने वाला रन) 36 है। ये तीनों मान अलग-अलग हैं।
🎯 Exam Tip: केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप – माध्य, माध्यिका और बहुलक – डेटा सेट के अलग-अलग विशेषताओं पर प्रकाश डालते हैं, और यह जरूरी नहीं है कि वे हमेशा समान हों।
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