Official RBSE Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 16 परिमाप और क्षेत्रफल
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 16 परिमाप और क्षेत्रफल
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(पृष्ठ 182)
Question 1. एक ग्राफ पेपर पर एक ही आधार पर समान ऊँचाई के तीन अलग-अलग त्रिभुज लेते हैं।
Answer: एक ग्राफ पेपर पर समान आधार और समान ऊँचाई वाले तीन अलग-अलग त्रिभुज बनाए गए। इन त्रिभुजों को नाम दिया गया है: ∆ABC, ∆A'BC, और ∆A"BC। जब इन त्रिभुजों द्वारा घेरे गए खानों की संख्या गिनी गई, तो पता चला कि:
• त्रिभुज ∆ABC का क्षेत्रफल 155 वर्ग इकाई था।
• त्रिभुज ∆A'BC का क्षेत्रफल 156 वर्ग इकाई था।
• त्रिभुज ∆A"BC का क्षेत्रफल 155 वर्ग इकाई था।
इन आँकड़ों से यह स्पष्ट होता है कि समान आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल लगभग समान होता है, भले ही उनकी आकृति थोड़ी अलग हो।
In simple words: हमने एक ग्राफ पेपर पर एक ही आधार और ऊँचाई के तीन त्रिभुज बनाए। हमने देखा कि इन सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल लगभग बराबर था, जिससे पता चलता है कि एक ही आधार और ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है।
🎯 Exam Tip: यह गतिविधि दिखाती है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल केवल उसके आधार और ऊँचाई पर निर्भर करता है, न कि उसके आकार पर।
Question. क्या ये त्रिभुज एक दूसरे को पूरा-पूरा ढक सकते हैं? काट करके देखिए।
Answer: जब इन त्रिभुजों को काटकर एक-दूसरे के ऊपर रखा गया, तो यह पाया गया कि वे तीनों त्रिभुज एक-दूसरे को पूरी तरह से नहीं ढक पाते हैं। हालांकि, यदि BA' और CA" की लंबाई समान ली जाए, तो ∆ABC और ∆A'BC त्रिभुज एक-दूसरे को पूरी तरह से ढक लेते हैं। इससे पता चलता है कि सर्वांगसम (congruent) होने के लिए भुजाओं और कोणों का भी समान होना आवश्यक है।
In simple words: नहीं, ये त्रिभुज एक-दूसरे को पूरी तरह से नहीं ढक सकते। लेकिन, अगर कुछ भुजाओं की लंबाई बराबर हो, तो कुछ त्रिभुज एक-दूसरे को ढक सकते हैं।
🎯 Exam Tip: सर्वांगसम त्रिभुज वे होते हैं जो एक-दूसरे को पूरी तरह ढक लेते हैं, यानी उनके आकार और माप बिल्कुल समान होते हैं।
गतिविधि 1 (पृष्ठ 176)
Question. समान्तर चतुर्भुज की सहायता से समान्तर चतुर्भुज तथा इससे बने आयत के क्षेत्रफलों की तुलना करना। इस गतिविधि को करने के लिए निम्नलिखित क्रियाएँ पूर्ण करते हैं।
Answer: इस गतिविधि का उद्देश्य समान्तर चतुर्भुज और उसी से बने आयत के क्षेत्रफल की तुलना करना है। यह दिखाने के लिए कि दोनों का क्षेत्रफल समान होता है।
**गतिविधि के चरण:**
1. एक कागज पर एक समान्तर चतुर्भुज A और दूसरा समान्तर चतुर्भुज B बनाएं।
2. दोनों समान्तर चतुर्भुजों को वर्गाकार खानों वाली शीट पर रखें और उनके द्वारा घेरे गए पूरे या आधे से अधिक खानों की संख्या गिनें।
3. समान्तर चतुर्भुज के एक त्रिभुजाकार हिस्से को काट कर दूसरी तरफ जोड़ें ताकि एक आयत बन जाए।
4. इस प्रकार बने आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
5. समान्तर चतुर्भुज और आयत के क्षेत्रफलों की तुलना करें।
**अवलोकन और गणनाएँ:**
• समान्तर चतुर्भुज A का क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई।
• समान्तर चतुर्भुज B का क्षेत्रफल = 30 वर्ग इकाई।
• आयत A का क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज A से बना) = 12 वर्ग इकाई।
• आयत B का क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज B से बना) = 30 वर्ग इकाई।
**अनुपात:**
• समान्तर चतुर्भुज (A) एवं आयत (A) के क्षेत्रफलों का अनुपात:
\( \frac{ \text{समान्तर चतुर्भुज (A) का क्षेत्रफल} }{ \text{आयत (A) का क्षेत्रफल} } = \frac{12}{12} = \frac{1}{1} = 1:1 \)
• समान्तर चतुर्भुज (B) एवं आयत (B) के क्षेत्रफलों का अनुपात:
\( \frac{ \text{समान्तर चतुर्भुज (B) का क्षेत्रफल} }{ \text{आयत (B) का क्षेत्रफल} } = \frac{30}{30} = \frac{1}{1} = 1:1 \)
**निष्कर्ष:**
इन गणनाओं से यह स्पष्ट होता है कि समान्तर चतुर्भुजों के और उनसे बनाए गए आयतों के क्षेत्रफल आपस में समान होते हैं। इसका अर्थ है कि एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी वही होता है जो उसकी समान ऊँचाई और आधार वाले आयत का होता है।
In simple words: इस गतिविधि से हमने देखा कि अगर एक समान्तर चतुर्भुज के एक छोटे से हिस्से को काटकर दूसरी तरफ जोड़ा जाए, तो वह एक आयत बन जाता है। इस आयत का क्षेत्रफल और मूल समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल हमेशा बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: यह महत्वपूर्ण है कि एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप उसे एक आयत में बदल सकते हैं, जहाँ आधार और ऊँचाई समान रहते हैं।
गतिविधि के चरण
Question. एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 6.4 सेमी लेते हैं। इसे पेपर पर खींचते हैं। इसके अर्द्ध भाग को पेंसिल से छायांकित करते हैं। इसको लगातार 6 बार उत्तरोत्तर मोड़ते हैं। इसको सलवटों के अनुदिश काटकर 64 खण्ड प्राप्त करते हैं। इन सभी खण्डों को निम्न चित्रानुसार व्यवस्थित करते हैं। गतिविधि की क्रियाएँ।
Answer: इस गतिविधि का उद्देश्य एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को समझना है।
**गतिविधि के चरण:**
1. एक कागज़ पर 6.4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचें।
2. वृत्त के आधे हिस्से को पेंसिल से छायांकित करें।
3. वृत्त को बार-बार (6 बार) मोड़ें, जिससे उसमें समान खंड बन जाएं।
4. मोड़ वाली रेखाओं के साथ वृत्त को 64 छोटे-छोटे खण्डों में काटें।
5. इन खण्डों को इस तरह व्यवस्थित करें कि वे लगभग एक आयत का रूप ले लें। इसमें आधे खण्डों को ऊपर की ओर और आधे को नीचे की ओर रखकर एक लहरदार पैटर्न बनाया जाता है, जिसमें वृत्त की परिधि की आधी लंबाई आयत की लंबाई बनती है, और वृत्त की त्रिज्या आयत की चौड़ाई बनती है।
**गतिविधि की गणनाएँ:**
• वृत्त की त्रिज्या (r) = 6.4 सेमी।
• वृत्त की परिधि \( = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 6.4 = 40.19 \text{ सेमी} \approx 40 \text{ सेमी} \)।
• वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = 3.14 \times (6.4)^2 = 3.14 \times 40.96 = 128.61 \text{ सेमी}^2 \)।
**प्राप्त आयत की विशेषताएँ:**
• आयत की लम्बाई \( \approx \) वृत्त की अर्ध-परिधि \( = \frac{1}{2} \times 40.19 \text{ सेमी} \approx 19.8 \text{ सेमी} \approx 20 \text{ सेमी} \)।
• आयत की चौड़ाई \( = \) वृत्त की त्रिज्या \( = 6.4 \text{ सेमी} \)।
In simple words: हमने एक वृत्त को काटकर छोटे-छोटे टुकड़ों में बाँट दिया और उन टुकड़ों को मिलाकर एक आयत जैसा आकार बनाया। इस आयत की लंबाई वृत्त की आधी परिधि के बराबर और चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर निकली।
🎯 Exam Tip: इस गतिविधि से आप देख सकते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल कैसे \( \pi r^2 \) के बराबर होता है, क्योंकि जब वृत्त के खण्डों को जोड़ा जाता है, तो वे एक आयत का रूप ले लेते हैं।
Question. क्या आप इससे वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र बतला सकते हैं?
Answer: पिछली गतिविधि में हमने देखा कि वृत्त के खण्डों को व्यवस्थित करने पर एक आयत बनता है।
इस आयत की लम्बाई वृत्त की आधी परिधि के बराबर होती है:
लम्बाई \( = \frac{1}{2} \times \) वृत्त की परिधि
और आयत की चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है:
चौड़ाई \( = \) वृत्त की त्रिज्या
एक आयत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई।
यदि वृत्त की त्रिज्या \( r \) हो, तो वृत्त की परिधि \( = 2\pi r \) होगी।
तो, प्राप्त आयत की लम्बाई \( = \frac{1}{2} \times 2\pi r = \pi r \)।
और चौड़ाई \( = r \)।
अतः, इस आयत का क्षेत्रफल \( = (\pi r) \times r = \pi r^2 \)।
चूंकि यह आयत वृत्त के खण्डों से बना है, तो वृत्त का क्षेत्रफल भी इसी के बराबर होगा।
इसलिए, अभीष्ट वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र \( = \pi r^2 \) है। यह सूत्र वृत्त के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।
In simple words: हमने देखा कि वृत्त के कटे हुए टुकड़ों को एक आयत की तरह जोड़ने पर, आयत की लंबाई वृत्त की आधी परिधि (\( \pi r \)) और चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या (\( r \)) होती है। इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल \( \pi r \times r = \pi r^2 \) होता है।
🎯 Exam Tip: वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi r^2 \) है, जहाँ \( \pi \) (पाई) लगभग 3.14 या \( \frac{22}{7} \) है और \( r \) वृत्त की त्रिज्या है। इस सूत्र को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है।
करो और सीखो (पृष्ठ 175)
Question 1. नीचे दी गई पट्टियों के चित्र दिए गए हैं। अपने आस-पास बस, टैक्सी एवं निजी वाहनों के आगे लगी पट्टियों की लम्बाई तथा चौड़ाई नापकर परिमाप की गणना कीजिए।
Answer: इस गतिविधि में हमें विभिन्न वाहनों की पट्टियों की लम्बाई और चौड़ाई मापकर उनका परिमाप ज्ञात करना है। परिमाप एक आयताकार वस्तु की सभी भुजाओं का योग होता है।
**उदाहरण के तौर पर (दी गई मापों के अनुसार):**
**1. बस की पट्टी:**
लम्बाई \( = 3 \) सेमी
चौड़ाई \( = 1.6 \) सेमी
बस की आयताकार पट्टी का परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (3 + 1.6) \) सेमी
\( = 2 \times (4.6) \) सेमी
\( = 9.2 \) सेमी
**2. टैक्सी की पट्टी:**
यदि टैक्सी की पट्टी की मापें बस की पट्टी की मापों के बराबर हैं, तो उसका परिमाप भी उतना ही होगा।
टैक्सी की पट्टी का परिमाप \( = 9.2 \) सेमी
**3. निजी वाहन की पट्टी:**
लम्बाई \( = 6.2 \) सेमी
चौड़ाई \( = 1.6 \) सेमी
निजी वाहन की पट्टी का परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (6.2 + 1.6) \) सेमी
\( = 2 \times (7.8) \) सेमी
\( = 15.6 \) सेमी
इस तरह, हम किसी भी आयताकार पट्टी की लम्बाई और चौड़ाई मापकर उसका परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: हमने बस, टैक्सी और निजी गाड़ी की नंबर प्लेट जैसी पट्टियों की लंबाई और चौड़ाई मापी, फिर उनके चारों ओर की कुल लंबाई (परिमाप) निकाली।
🎯 Exam Tip: आयत का परिमाप हमेशा \( 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \) सूत्र से ज्ञात किया जाता है, जहाँ सभी माप एक ही इकाई में होनी चाहिए।
Question 2. निम्नलिखित परिस्थितियों में बताइए कि कब परिमाप तथा कब क्षेत्रफल ज्ञात करना पड़ेगा?
(i) दुपट्टे के किनारों पर लेस (कोर/गोटा) लगाना हो।
(ii) हॉकी के मैदान में काली मिट्टी डलवानी हो।
(iii) कमरे की छत भरवानी हो।
(iv) खेत के चारों ओर मेड़ लगवानी हो।
Answer:
(i) यदि दुपट्टे के किनारों पर लेस या गोटा लगाना हो, तो हमें दुपट्टे के चारों ओर की कुल लम्बाई (परिमाप) ज्ञात करनी पड़ेगी।
(ii) यदि हॉकी के मैदान में काली मिट्टी डलवानी हो, तो हमें मैदान की सतह के कुल स्थान (क्षेत्रफल) की गणना करनी पड़ेगी।
(iii) यदि कमरे की छत भरवानी हो, तो हमें छत की सतह के कुल स्थान (क्षेत्रफल) की गणना करनी पड़ेगी।
(iv) यदि खेत के चारों ओर मेड़ लगवानी हो, तो हमें खेत की सीमा (परिमाप) की कुल लम्बाई ज्ञात करनी पड़ेगी।
In simple words: किसी चीज़ के किनारे या बाउंड्री पर काम करने के लिए परिमाप निकालते हैं, और किसी चीज़ की सतह या जगह भरने के लिए क्षेत्रफल निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: याद रखें, 'परिमाप' बाहरी सीमा की लम्बाई बताता है, जबकि 'क्षेत्रफल' अंदर की पूरी जगह को दर्शाता है।
(पृष्ठ 182)
Question. अलग अलग नाप के समान्तर चतुर्भुज बनाओ किसी एक विकर्ण के अनुदिश काटकर दो त्रिभुज बनाइए।
Answer: जब हम एक समान्तर चतुर्भुज ABCD बनाते हैं और उसके किसी एक विकर्ण (जैसे AC या BD) के अनुदिश काटते हैं, तो हमें दो त्रिभुज मिलते हैं।
• **ये दोनों त्रिभुज आपस में सर्वांगसम होते हैं।** सर्वांगसम का मतलब है कि वे आकार और माप में बिल्कुल समान होते हैं, और एक-दूसरे को पूरी तरह ढक सकते हैं।
• **दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल सदैव समान होता है।**
• **हाँ, इसका विलोम भी सदैव सत्य होगा।** यानी, यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो उनका क्षेत्रफल भी निश्चित रूप से समान होगा।
यह गतिविधि दिखाती है कि समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज को जब उसके बीच के कोने से कोने तक (विकर्ण) काटा जाता है, तो हमें दो बिल्कुल एक जैसे त्रिभुज मिलते हैं। इन दोनों त्रिभुजों का आकार और क्षेत्रफल समान होता है।
🎯 Exam Tip: एक समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण उसे हमेशा दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बांटता है, और इसलिए दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल भी समान होता है।
(पृष्ठ 193)
Question. यातायात चिन्हों को दर्शाने हेतु लोहे की चद्दर काटकर निम्नलिखित 5 वृत्ताकार चकती तैयार की गई सभी की त्रिज्या 21 सेमी है। इन सभी चिन्हों का अर्थ अपने अध्यापक जी की सहायता से पता कीजिए तथा चकतियों की परिधि एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए यातायात चिन्ह वृत्ताकार चकतियों पर बने हैं, जिनकी त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी है।
**यातायात चिन्हों का अर्थ (उदाहरण के लिए दिए गए):**
• **P पर प्रतिबंध:** यह चिन्ह दर्शाता है कि यहाँ गाड़ी पार्क करना मना है।
• **धूम्रपान निषेध:** यह चिन्ह दर्शाता है कि यहाँ धूम्रपान करना मना है।
(अन्य चिन्हों का अर्थ: साइकिल चालकों के लिए प्रवेश निषेध, हॉर्न बजाना मना है, गति सीमा 50 किमी/घंटा)।
**गणित सम्बन्धी गणनाएँ:**
**1. प्रत्येक वृत्ताकार चकती की परिधि ज्ञात करना:**
वृत्त की परिधि का सूत्र है \( C = 2\pi r \)।
यहाँ, \( \pi = \frac{22}{7} \) और \( r = 21 \) सेमी।
\( C = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \)
\( C = 2 \times 22 \times 3 \) (क्योंकि 7 से 21 कटकर 3 आता है)
\( C = 44 \times 3 \)
\( C = 132 \text{ सेमी} \)
तो, प्रत्येक वृत्ताकार चकती की परिधि 132 सेमी है।
**2. प्रत्येक वृत्ताकार चकती का क्षेत्रफल ज्ञात करना:**
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र है \( A = \pi r^2 \)।
यहाँ, \( \pi = \frac{22}{7} \) और \( r = 21 \) सेमी।
\( A = \frac{22}{7} \times (21)^2 \)
\( A = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( A = 22 \times 3 \times 21 \) (क्योंकि 7 से एक 21 कटकर 3 आता है)
\( A = 66 \times 21 \)
\( A = 1386 \text{ वर्ग सेमी} \)
तो, प्रत्येक वृत्ताकार चकती का क्षेत्रफल 1386 वर्ग सेमी है।
In simple words: हमने 21 सेमी त्रिज्या वाली यातायात की गोल प्लेटों का अर्थ समझा। फिर हमने उनका घेरा (परिधि) 132 सेमी और अंदर की जगह (क्षेत्रफल) 1386 वर्ग सेमी निकाला।
🎯 Exam Tip: वृत्त की परिधि \( 2\pi r \) और क्षेत्रफल \( \pi r^2 \) का सूत्र याद रखें। \( \pi \) का मान आमतौर पर \( \frac{22}{7} \) या 3.14 इस्तेमाल किया जाता है।
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