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Question 1. निम्न आकृतियों को देखकर समान्त चतुर्भुज व त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) यहाँ, समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = 9 \) सेमी और ऊँचाई \( = 6 \) सेमी है।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = 9 \times 6 = 54 \) वर्ग सेमी
(ii) यहाँ, समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = 3 \) सेमी और ऊँचाई \( = 5.5 \) सेमी है।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = 3 \times 5.5 = 16.5 \) वर्ग सेमी
(iii) यहाँ, त्रिभुज का आधार \( = 7 \) सेमी और ऊँचाई \( = 4 \) सेमी है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac { 1 }{ 2 } \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac { 1 }{ 2 } \times 7 \times 4 \)
\( = \frac { 28 }{ 2 } \)
\( = 14 \) वर्ग सेमी
In simple words: प्रत्येक आकृति में, दिए गए मापों का उपयोग करके क्षेत्रफल का सूत्र लगाएं। समान्तर चतुर्भुज के लिए आधार और ऊँचाई को गुणा करें, और त्रिभुज के लिए आधार और ऊँचाई के गुणनफल को आधा करें।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप आकृति को सही ढंग से पहचानते हैं और उसके अनुसार सही क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हैं, जैसे समान्तर चतुर्भुज या त्रिभुज के लिए।
Question 2. एक समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई उसके आधार की एक चौथाई है यदि उसका क्षेत्रफल 144 वर्ग सेमी हो तो उसको आधार और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = x \) सेमी है।
प्रश्नानुसार, समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई \( = \frac {x}{4} \) सेमी है।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 144 \) वर्ग सेमी दिया गया है।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( \implies x \times \frac {x}{4} = 144 \)
अब समीकरण को हल करें:
\( \implies x^2 = 144 \times 4 \)
\( \implies x^2 = 576 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( \implies x = \sqrt {576} \)
\( \implies x = 24 \) सेमी
अतः समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = 24 \) सेमी है।
और ऊँचाई \( = \frac {x}{4} = \frac {24}{4} = 6 \) सेमी है।
In simple words: हमने आधार को 'x' माना और ऊँचाई को उसका एक चौथाई बताया. क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखकर 'x' का मान ज्ञात किया. फिर 'x' का मान रखकर आधार और ऊँचाई दोनों निकाल लिए.
🎯 Exam Tip: जब अनुपात या एक मान दूसरे के हिस्से में दिया गया हो, तो अज्ञात को एक चर (जैसे x) के रूप में मानने से समस्या हल करने में आसानी होती है।
Question 3. काली के त्रिभुजाकार खेत व हमीदा के आयाताकार खेत के क्षेत्रफल समान हैं। हमीदा के खेत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 20 सेमी और 15 सेमी. है। काली के खेत के आधार की लम्बाई 25 सेमी है तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमीदा के आयाताकार खेत की लम्बाई \( = 20 \) सेमी है।
हमीदा के आयाताकार खेत की चौड़ाई \( = 15 \) सेमी है।
हमीदा के आयाताकार खेत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
\( = 20 \times 15 = 300 \) वर्ग सेमी है।
काली के त्रिभुजाकार खेत का आधार \( = 25 \) सेमी है।
प्रश्न के अनुसार, काली के त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल \( = \) हमीदा के आयाताकार खेत का क्षेत्रफल
\( \implies \frac {1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई \( = 300 \)
त्रिभुज का आधार का मान रखने पर:
\( \implies \frac {1}{2} \times 25 \times \) ऊँचाई \( = 300 \)
अब ऊँचाई के लिए हल करें:
\( \implies \) ऊँचाई \( = \frac { 300 \times 2 }{ 25 } \)
\( \implies \) ऊँचाई \( = \frac { 600 }{ 25 } \)
\( \implies \) ऊँचाई \( = 24 \) सेमी है।
In simple words: पहले हमने हमीदा के आयताकार खेत का क्षेत्रफल निकाला. फिर बताया कि काली के त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल भी उतना ही है. त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में आधार का मान रखकर हमने उसकी ऊँचाई ज्ञात की.
🎯 Exam Tip: जब दो आकृतियों का क्षेत्रफल समान दिया गया हो, तो एक का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे दूसरे के सूत्र के बराबर रखें और अज्ञात मान के लिए हल करें।
Question 4. त्रिभुज में PQ = 4 सेमी, PR = 8 सेमी, RT = 6 सेमी है तो ज्ञात कीजिए :
Answer:
(1) \( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
त्रिभुज में आधार \( PQ = 4 \) सेमी है।
आधार \( PQ \) पर संगत ऊँचाई \( RT = 6 \) सेमी है।
\( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac {1}{2} \times PQ \times RT \)
\( = \frac {1}{2} \times 4 \times 6 \)
\( = 2 \times 6 \)
\( = 12 \) वर्ग सेमी।
(2) अब \( QS \) ज्ञात करें, जब \( PR = 8 \) सेमी है:
हमें पता है कि \( \triangle PQR \) का क्षेत्रफल \( = 12 \) वर्ग सेमी है।
यदि आधार \( PR = 8 \) सेमी है, और संगत ऊँचाई \( QS \) है।
\( \implies \frac {1}{2} \times PR \times QS = 12 \)
\( \implies \frac {1}{2} \times 8 \times QS = 12 \)
अब \( QS \) के लिए हल करें:
\( \implies 4 \times QS = 12 \)
\( \implies QS = \frac { 12 }{ 4 } \)
\( \implies QS = 3 \) सेमी है।
In simple words: पहले हमने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए दिए गए आधार और ऊँचाई का उपयोग किया. फिर उसी क्षेत्रफल का उपयोग करके दूसरे आधार के लिए संगत ऊँचाई ज्ञात की.
🎯 Exam Tip: एक ही त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग आधार-ऊँचाई युग्मों का उपयोग किया जा सकता है। यह अज्ञात ऊँचाई या आधार ज्ञात करने में मदद करता है।
Question 5. एक त्रिभुज का आधार 8 सेमी है। यदि त्रिभुज की ऊँचाई आधार से दुगुनी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
त्रिभुज का आधार \( = 8 \) सेमी है।
प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज की ऊँचाई आधार से दुगुनी है।
\( \implies \) ऊँचाई \( = 2 \times \) आधार
\( = 2 \times 8 = 16 \) सेमी है।
अब त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac {1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac {1}{2} \times 8 \times 16 \)
\( = 4 \times 16 \)
\( = 64 \) वर्ग सेमी है।
In simple words: हमें त्रिभुज का आधार दिया गया था. ऊँचाई आधार से दुगुनी थी, तो हमने पहले ऊँचाई निकाली. फिर, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लगाकर उसका क्षेत्रफल ज्ञात किया.
🎯 Exam Tip: जब ऊँचाई या आधार के बीच संबंध दिया गया हो, तो पहले दोनों मानों को स्पष्ट रूप से ज्ञात करें, फिर क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करें।
Question 7. एक समान्तर चतुर्भुज के आधार और ऊँचाई का अनुपात 5 : 2 है। उसका क्षेत्रफल 640 वर्ग सेमी हो, तो आधार और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = 5x \) है।
और ऊँचाई \( = 2x \) है।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 640 \) वर्ग सेमी दिया गया है।
समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र \( = \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( \implies 5x \times 2x = 640 \)
\( \implies 10x^2 = 640 \)
अब \( x \) के लिए हल करें:
\( \implies x^2 = \frac { 640 }{ 10 } \)
\( \implies x^2 = 64 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( \implies x = \sqrt {64} \)
\( \implies x = 8 \)
तो, आधार \( = 5x = 5 \times 8 = 40 \) सेमी है।
और ऊँचाई \( = 2x = 2 \times 8 = 16 \) सेमी है।
In simple words: हमने आधार और ऊँचाई को उनके अनुपात के अनुसार \( 5x \) और \( 2x \) माना. क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात किया. फिर \( x \) का मान वापस रखकर आधार और ऊँचाई निकाली.
🎯 Exam Tip: अनुपातिक मानों को एक चर (x) के साथ व्यक्त करना और फिर उन्हें सूत्र में प्रयोग करना ऐसे प्रश्नों को हल करने का एक प्रभावी तरीका है।
Question 8. श्याम अपने आयताकार उपवन जिसकी लम्बाई 95 मीटर और चौड़ाई 80 मीटर है। वह बाहर की ओर चारों तरफ 5 मीटर चौड़े क्षेत्र की मिट्टी खुदवाकर पौधे लगाना चाहता है। ज्ञात कीजिए कि कितने क्षेत्रफल में पौधे लगाएगा?
Answer:
आयताकार उपवन (अंदरूनी भाग) की लम्बाई \( = 95 \) मीटर है।
आयताकार उपवन (अंदरूनी भाग) की चौड़ाई \( = 80 \) मीटर है।
अंदरूनी उपवन का क्षेत्रफल \( = 95 \times 80 = 7600 \) वर्ग मीटर है।
उपवन के बाहर चारों तरफ \( 5 \) मीटर चौड़ा क्षेत्र जोड़ा गया है।
तो, नए बड़े आयताकार क्षेत्र की लम्बाई \( = 95 + 5 + 5 = 105 \) मीटर है।
और नए बड़े आयताकार क्षेत्र की चौड़ाई \( = 80 + 5 + 5 = 90 \) मीटर है।
नए बड़े क्षेत्र का क्षेत्रफल \( = 105 \times 90 = 9450 \) वर्ग मीटर है।
पौधे लगाने वाला क्षेत्रफल, जो बाहरी घेरे और अंदरूनी उपवन के बीच का क्षेत्र है, ज्ञात करें:
पौधे लगाने का क्षेत्रफल \( = \) बड़े क्षेत्र का क्षेत्रफल \( - \) अंदरूनी उपवन का क्षेत्रफल
\( = 9450 - 7600 \)
\( = 1850 \) वर्ग मीटर है।
In simple words: श्याम अपने बगीचे के चारों ओर 5 मीटर चौड़ी जगह में पौधे लगाएगा. हमने पहले पुराने बगीचे का क्षेत्रफल निकाला, फिर 5 मीटर चौड़ी जगह को मिलाकर बड़े बगीचे का क्षेत्रफल निकाला. दोनों क्षेत्रफलों के बीच का अंतर ही वह जगह है जहाँ पौधे लगाए जाएंगे.
🎯 Exam Tip: जब किसी आकृति के अंदर या बाहर पथ या सीमा बनाई जाती है, तो हमेशा दो संबंधित क्षेत्रों (बड़े और छोटे) की गणना करें और अंतर ज्ञात करें। चौड़ाई को दोनों तरफ से जोड़ना या घटाना न भूलें।
Question 9. 60 मीटर भुजा वाले वर्गाकार मैदान के चारों तरफ भीतर की ओर 2 मीटर चौड़ा पथ बना हुआ है ज्ञात कीजिए। (1) पथ का क्षेत्रफल, (2) 270 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से पथ पर सीमेंट कराने का व्यय
Answer:
वर्गाकार मैदान (बाहरी वर्ग) की भुजा \( = 60 \) मीटर है।
वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (60)^2 = 3600 \) वर्ग मीटर है।
पथ की चौड़ाई \( = 2 \) मीटर है और यह भीतर की ओर बना है।
इसलिए, पथ के अंदर बने वर्ग (अंदरूनी वर्ग) की भुजा \( = 60 - 2 - 2 = 60 - 4 = 56 \) मीटर है।
अंदरूनी वर्ग का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (56)^2 = 3136 \) वर्ग मीटर है।
(1) पथ का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
पथ का क्षेत्रफल \( = \) बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल \( - \) अंदरूनी वर्ग का क्षेत्रफल
\( = 3600 - 3136 \)
\( = 464 \) वर्ग मीटर है।
(2) पथ पर सीमेंट कराने का व्यय ज्ञात करें:
1 वर्ग मीटर पथ पर सीमेंट कराने का व्यय \( = \) Rs 270 है।
464 वर्ग मीटर पथ पर सीमेंट कराने का कुल व्यय \( = 464 \times 270 \)
\( = \) Rs 1,25,280 है।
In simple words: हमने पहले पूरे मैदान का क्षेत्रफल निकाला. फिर अंदर बने रास्ते को छोड़कर बचे हुए छोटे मैदान का क्षेत्रफल निकाला. दोनों क्षेत्रफलों के अंतर से रास्ते का क्षेत्रफल पता चला. अंत में, रास्ते के क्षेत्रफल को प्रति वर्गमीटर लागत से गुणा करके कुल सीमेंट खर्च ज्ञात किया.
🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि रास्ता अंदर की ओर है, इसलिए अंदरूनी वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए चौड़ाई को दोनों तरफ से घटाया जाता है।
Question 10. 125 मीटर लम्बाई और 95 मीटर चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के मध्य में लम्बाई व चौड़ाई के समान्तर मध्य में दो मार्ग बनाए गए हैं। प्रत्येक मार्ग की चौड़ाई 10 मीटर हो, तो ज्ञात कीजिए। (1) वर्गमीटर की दर से लाल मिट्टी डलवाने पर व्यय।
Answer:
आयताकार पार्क की लम्बाई \( = 125 \) मीटर है।
आयताकार पार्क की चौड़ाई \( = 95 \) मीटर है।
प्रत्येक मार्ग की चौड़ाई \( = 10 \) मीटर है।
लम्बाई के समान्तर बने मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
यह मार्ग 125 मीटर लम्बा और 10 मीटर चौड़ा है।
लम्बाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल \( = 125 \times 10 = 1250 \) वर्ग मीटर है।
चौड़ाई के समान्तर बने मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
यह मार्ग 95 मीटर लम्बा और 10 मीटर चौड़ा है।
चौड़ाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल \( = 95 \times 10 = 950 \) वर्ग मीटर है।
दोनों मार्गों के बीच का उभयनिष्ठ क्षेत्र ज्ञात करें (जहाँ दोनों मार्ग एक दूसरे को काटते हैं):
यह एक वर्ग है जिसकी भुजा \( = 10 \) मीटर है।
उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल \( = 10 \times 10 = 100 \) वर्ग मीटर है।
कुल पथ का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
कुल पथ का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल}) \)
\( = (1250 + 950) - 100 \)
\( = 2200 - 100 \)
\( = 2100 \) वर्ग मीटर है।
(1) यदि लाल मिट्टी डलवाने का व्यय Rs 80 प्रति वर्ग मीटर हो, तो कुल व्यय ज्ञात करें:
1 वर्ग मीटर लाल मिट्टी डलवाने का व्यय \( = \) Rs 80 है।
2100 वर्ग मीटर पर लाल मिट्टी डलवाने का कुल व्यय \( = 2100 \times 80 \)
\( = \) Rs 1,68,000 है।
पार्क में मार्ग को छोड़कर शेष घास वाले भाग का क्षेत्रफल भी ज्ञात करें (अतिरिक्त जानकारी):
पूरे पार्क का क्षेत्रफल \( = 125 \times 95 = 11875 \) वर्ग मीटर है।
घास वाले भाग का क्षेत्रफल \( = \) पूरे पार्क का क्षेत्रफल \( - \) कुल पथ का क्षेत्रफल
\( = 11875 - 2100 \)
\( = 9775 \) वर्ग मीटर है।
In simple words: हमने पहले पार्क की लंबाई और चौड़ाई के समानांतर बने दोनों रास्तों का क्षेत्रफल अलग-अलग निकाला. फिर दोनों रास्तों के बीच के सामान्य क्षेत्र को घटाया ताकि कोई हिस्सा दो बार न गिना जाए. इस तरह कुल रास्ते का क्षेत्रफल मिला. अंत में, रास्ते के क्षेत्रफल को मिट्टी डलवाने की लागत से गुणा करके कुल खर्च ज्ञात किया.
🎯 Exam Tip: जब मार्ग एक दूसरे को काटते हैं, तो उभयनिष्ठ क्षेत्र के क्षेत्रफल को कुल मार्ग के क्षेत्रफल में से एक बार घटाना महत्वपूर्ण होता है ताकि उसे दो बार गिनने से बचा जा सके।
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Mathematics Class 7 Curriculum Solutions: Chapter 16 परिमाप और क्षेत्रफल
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