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करो और सीखो
(पृष्ठ 159)
प्रश्न 1. कक्षा VII की गणित की पुस्तक की वास्तविक लम्बाई व चौड़ाई में अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: पुस्तक की लम्बाई = 27 सेमी.
पुस्तक की चौड़ाई = 15 सेमी.
इनका अनुपात निकालने के लिए, हम लम्बाई को चौड़ाई से भाग देंगे.
अनुपात \( \frac{\text{लम्बाई}}{\text{चौड़ाई}} = \frac{27}{15} = \frac{9}{5} = 9:5 \). यह दिखाता है कि लम्बाई चौड़ाई से लगभग दोगुना है.
In simple words: हम अपनी गणित की किताब की लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात निकालेंगे. लम्बाई 27 सेमी है और चौड़ाई 15 सेमी है. इनका अनुपात 9:5 होगा.
🎯 Exam Tip: अनुपात (ratio) लिखते समय, सुनिश्चित करें कि दोनों राशियाँ (quantities) एक ही इकाई में हों और उन्हें सरलतम रूप में व्यक्त करें.
प्रश्न 2. अपने शिक्षक से पूछकर राष्ट्रीय झण्डे की लम्बाई एवं चौड़ाई में अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: भारत के राष्ट्रीय झंडे की लम्बाई और चौड़ाई का एक तय अनुपात होता है. यह अनुपात हमेशा 3:2 होता है. इसका मतलब है कि अगर झंडे की लम्बाई 3 यूनिट है, तो उसकी चौड़ाई 2 यूनिट होगी, चाहे झंडा कितना भी बड़ा या छोटा हो.
अलग-अलग आकार के झंडों की लम्बाई व चौड़ाई के अनुपात यहाँ दिए गए हैं:
| S. No. | लम्बाई \( \times \) चौड़ाई | अनुपात |
|---|---|---|
| 1. | 300 \( \times \) 240 | \( \frac{300}{240} = \frac{5}{4} = 5:4 \) |
| 2. | 270 \( \times \) 180 | \( \frac{270}{180} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 3. | 180 \( \times \) 120 | \( \frac{180}{120} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 4. | 135 \( \times \) 90 | \( \frac{135}{90} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 5. | 90 \( \times \) 60 | \( \frac{90}{60} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 6. | 45 \( \times \) 30 | \( \frac{45}{30} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 7. | 22.5 \( \times \) 15 | \( \frac{22.5}{15} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
| 8. | 15 \( \times \) 10 | \( \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 3:2 \) |
In simple words: हमारे देश के झंडे की लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात 3:2 होता है. यानी अगर लम्बाई 3 हिस्से है तो चौड़ाई 2 हिस्से होगी.
🎯 Exam Tip: राष्ट्रीय झंडे के मानक अनुपात को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह कई प्रतियोगी परीक्षाओं में एक सामान्य ज्ञान का प्रश्न हो सकता है.
प्रश्न 3. अपने कक्षा कक्ष की लम्बाई एवं चौड़ाई को नाप कर अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि हमारे कक्षा कक्ष की लम्बाई 30 फीट है और चौड़ाई 20 फीट है. कमरे के वास्तविक माप को लेकर अनुपात निकाल सकते हैं. तब, लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात ऐसे निकलेगा:
अनुपात \( = 30 : 20 = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 3:2 \). यह अनुपात दर्शाता है कि कमरे की लम्बाई चौड़ाई से थोड़ी अधिक है.
In simple words: हम अपनी कक्षा की लम्बाई और चौड़ाई को नापते हैं. मान लीजिए लम्बाई 30 फीट और चौड़ाई 20 फीट है. तो इनका अनुपात 3:2 होगा.
🎯 Exam Tip: वास्तविक वस्तुओं का माप लेते समय, हमेशा एक ही इकाई (जैसे फीट, मीटर) का उपयोग करें और अनुपात को सरलतम रूप में लिखें.
प्रश्न 4. स्वयं की ऊँचाई को नापिए तथा अपने दोनों हाथों को पूरा फैलाकर लम्बाई नापिए। अब दोनों राशियों के मध्य अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए स्वयं की ऊँचाई 120 सेमी है. जब दोनों हाथों को पूरा फैलाकर लम्बाई नापी जाती है, तो मान लीजिए वह 60 सेमी आती है. आमतौर पर, एक व्यक्ति के दोनों हाथों को फैलाने पर जो लम्बाई आती है, वह उसकी ऊँचाई के लगभग बराबर होती है, लेकिन यहाँ उदाहरण के लिए अलग मान दिए गए हैं. अब इन दोनों राशियों के बीच का अनुपात ज्ञात करेंगे:
अनुपात \( = \frac{\text{स्वयं की ऊँचाई}}{\text{दोनों हाथों को फैलाकर लम्बाई}} = \frac{120}{60} = \frac{2}{1} = 2:1 \). यह अनुपात दिखाता है कि इस उदाहरण में ऊँचाई, फैलाई हुई हाथों की लम्बाई से दोगुनी है.
In simple words: अपनी ऊँचाई नापिए और फिर अपने हाथों को फैलाकर लम्बाई नापिए. मान लीजिए ऊँचाई 120 सेमी और फैले हाथ की लम्बाई 60 सेमी है, तो इनका अनुपात 2:1 होगा.
🎯 Exam Tip: यह एक मजेदार प्रयोग है! ध्यान दें कि आपकी ऊँचाई और आपके फैले हुए हाथों की लम्बाई अक्सर लगभग बराबर होती है, लेकिन सटीक अनुपात व्यक्ति के शारीरिक बनावट पर निर्भर करता है.
प्रश्न 2. जालौर पंचायत के चुनिंदा विद्यालयों में से कुल 250 विद्यार्थियों को दिए जा रहे मिड डे मील के मीनू की पसंद पर राय ली गई तो परिणाम निम्न प्रकार प्राप्त हुए:
कबड्डी में – 4 विद्यार्थी
क्रिकेट में – 11 विद्यार्थी
शतरंज में – 6 विद्यार्थी
टेनिस में – 3 विद्यार्थी
अन्य खेल में – 1 विद्यार्थी
प्रत्येक खेल में रुचि के अनुसार विद्यार्थी संख्या को प्रतिशत में व्यक्त कीजिए।
Answer: कुल विद्यार्थियों की संख्या = 25. हम हर खेल के विद्यार्थियों की संख्या को प्रतिशत में बदलेंगे.
कबड्डी में \( = \frac{4}{25} \times 100\% = 4 \times 4\% = 16\% \)
क्रिकेट में \( = \frac{11}{25} \times 100\% = 11 \times 4\% = 44\% \)
शतरंज में \( = \frac{6}{25} \times 100\% = 6 \times 4\% = 24\% \)
टेनिस में \( = \frac{3}{25} \times 100\% = 3 \times 4\% = 12\% \)
अन्य खेल में \( = \frac{1}{25} \times 100\% = 1 \times 4\% = 4\% \)
सभी प्रतिशत को जोड़ने पर \( 16\% + 44\% + 24\% + 12\% + 4\% = 100\% \) आता है, जो सही है.
In simple words: कुल 25 विद्यार्थी हैं. हर खेल में रुचि रखने वाले विद्यार्थियों की संख्या को प्रतिशत में बदलना है. कबड्डी में 16%, क्रिकेट में 44%, शतरंज में 24%, टेनिस में 12% और अन्य खेल में 4% विद्यार्थी रुचि रखते हैं.
🎯 Exam Tip: प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, भाग को 100 से गुणा करें. हमेशा जांच करें कि सभी प्रतिशत का योग 100% है या नहीं.
उपर्युक्त परिणामों से प्रत्येक प्रकार के पसन्द को प्रतिशत में व्यक्त कीजिए।
Answer: जालौर पंचायत के चुनिंदा विद्यालयों में से कुल 250 विद्यार्थियों को दिए जा रहे मिड डे मील के मीनू की पसंद पर राय ली गई. परिणाम नीचे दिए गए हैं और हम प्रत्येक पसंद को प्रतिशत में व्यक्त करेंगे.
कुल विद्यार्थी = 250
| मीनू | विद्यार्थी | प्रतिशत |
|---|---|---|
| सब्जी रोटी | 80 | \( \frac{80}{250} \times 100\% = 32\% \) |
| दाल चावल | 75 | \( \frac{75}{250} \times 100\% = 30\% \) |
| खिचड़ी | 35 | \( \frac{35}{250} \times 100\% = 14\% \) |
| दाल रोटी | 60 | \( \frac{60}{250} \times 100\% = 24\% \) |
इन सभी प्रतिशत का योग \( 32\% + 30\% + 14\% + 24\% = 100\% \) है.
In simple words: कुल 250 विद्यार्थियों में से, सब्जी रोटी 32% को पसंद है, दाल चावल 30% को, खिचड़ी 14% को और दाल रोटी 24% को पसंद है.
🎯 Exam Tip: जब कुल संख्या दी गई हो, तो प्रत्येक हिस्से का प्रतिशत निकालने के लिए, उस हिस्से की संख्या को कुल संख्या से भाग देकर 100 से गुणा करें.
(पृष्ठ 163)
प्रश्न 1. निम्न भिन्नों को प्रतिशत में बदलिए:
(i) \( \frac{5}{8} \)
(ii) \( \frac{5}{3} \)
Answer: किसी भी भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए, हम उसे 100 से गुणा करते हैं.
(i) \( \frac{5}{8} \): इसे प्रतिशत में बदलने के लिए, हम इसे 100 से गुणा करेंगे.
\( \frac{5}{8} \times 100\% = 5 \times 12.5\% = 62.5\% \). यह भिन्न आधे से थोड़ी अधिक है.
(ii) \( \frac{5}{3} \): इसे प्रतिशत में बदलने के लिए, हम इसे भी 100 से गुणा करेंगे.
\( \frac{5}{3} \times 100\% = \frac{500}{3}\% = 166\frac{2}{3}\% \). यह भिन्न 1 से बड़ी है, इसलिए इसका प्रतिशत 100% से अधिक आया है.
In simple words: भिन्नों को प्रतिशत में बदलने के लिए, बस भिन्न को 100 से गुणा करें. \( \frac{5}{8} \) 62.5% होता है और \( \frac{5}{3} \) 166.67% होता है.
🎯 Exam Tip: भिन्नों को प्रतिशत में बदलते समय, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि भिन्न 1 से अधिक है, तो प्रतिशत 100% से अधिक होगा.
प्रश्न 2. दशमलव भिन्न को प्रतिशत में बदलिए:
(i) 0.5
(ii) 0.08
(iii) 0.225
(iv) 6.5
Answer: दशमलव भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए भी, हम उसे 100 से गुणा करते हैं.
(i) 0.5: इसे प्रतिशत में बदलने के लिए:
\( 0.5 \times 100\% = \frac{5}{10} \times 100\% = 50\% \). यह संख्या आधे के बराबर है.
(ii) 0.08: इसे प्रतिशत में बदलने के लिए:
\( 0.08 \times 100\% = \frac{8}{100} \times 100\% = 8\% \). यह एक छोटा प्रतिशत है.
(iii) 0.225: इसे प्रतिशत में बदलने के लिए:
\( 0.225 \times 100\% = \frac{225}{1000} \times 100\% = 22.5\% \). दशमलव के बाद तीन अंक हैं, इसलिए हर में 1000 आएगा.
(iv) 6.5: इसे प्रतिशत में बदलने के लिए:
\( 6.5 \times 100\% = \frac{65}{10} \times 100\% = 650\% \). यह संख्या 1 से काफी बड़ी है, इसलिए इसका प्रतिशत 100% से बहुत अधिक है.
In simple words: दशमलव संख्याओं को प्रतिशत में बदलने के लिए, उन्हें 100 से गुणा करें. 0.5 का मतलब 50%, 0.08 का मतलब 8%, 0.225 का मतलब 22.5% और 6.5 का मतलब 650% है.
🎯 Exam Tip: दशमलव को प्रतिशत में बदलने का अर्थ है दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर ले जाना और प्रतिशत का चिह्न लगाना.
(पृष्ठ 166)
प्रश्न 1. किसी गाँव की जनसंख्या पिछले 10 वर्षों में 12000 से बढ़कर 15000 हो गई है। तो जनसंख्या बढ़ने का प्रतिशत कितना रहा?
Answer: गाँव की वास्तविक जनसंख्या = 12000
गाँव की 10 वर्षों में बढ़ी जनसंख्या = 15000
जनसंख्या में वृद्धि = (15000 – 12000) = 3000
अब वृद्धि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम वृद्धि को मूल जनसंख्या से भाग देंगे और 100 से गुणा करेंगे.
वृद्धि प्रतिशत \( = \frac{\text{जनसंख्या में वृद्धि}}{\text{वास्तविक जनसंख्या}} \times 100\% \)
\( = \frac{3000}{12000} \times 100\% \)
\( = \frac{300}{12}\% \)
\( = 25\% \). इसका मतलब है कि गाँव की जनसंख्या में एक चौथाई की वृद्धि हुई है.
In simple words: गाँव की जनसंख्या 12000 से बढ़कर 15000 हो गई है. इसका मतलब है कि 3000 लोग बढ़े हैं. प्रतिशत में यह वृद्धि 25% है.
🎯 Exam Tip: प्रतिशत वृद्धि या कमी की गणना करते समय, हमेशा वृद्धि या कमी को मूल मान (original value) से विभाजित करें, न कि नए मान से.
प्रश्न 2. निम्नलिखित में वृद्धि अथवा ह्यसदर को प्रतिशत में व्यक्त कीजिए।
(1) बिजली के प्रति यूनिट का मूल्य Rs. 3.50 रुपये से बढ़कर Rs. 6 रुपये हो गया।
(2) 100 लिफाफे का मूल्य 100 रुपये से घटकर 80 रुपये हो गया।
Answer: हम प्रत्येक स्थिति में प्रतिशत वृद्धि या कमी निकालेंगे.
(1) बिजली के प्रति यूनिट का मूल्य Rs. 3.50 रुपये से बढ़कर Rs. 6 रुपये हो गया।
वास्तविक मूल्य = Rs. 3.50
नया मूल्य = Rs. 6
मूल्य में वृद्धि = Rs. 6 - Rs. 3.50 = Rs. 2.50
वृद्धि प्रतिशत \( = \frac{\text{वृद्धि}}{\text{वास्तविक मूल्य}} \times 100\% \)
\( = \frac{2.50}{3.50} \times 100\% \)
\( = \frac{250}{350} \times 100\% \)
\( = \frac{5}{7} \times 100\% = \frac{500}{7}\% \approx 71.43\% \). यह दर्शाता है कि बिजली की कीमतों में महत्वपूर्ण वृद्धि हुई है.
(2) 100 लिफाफे का मूल्य 100 रुपये से घटकर 80 रुपये हो गया।
वास्तविक मूल्य = Rs. 100
नया मूल्य = Rs. 80
मूल्य में कमी = Rs. 100 - Rs. 80 = Rs. 20
कमी प्रतिशत \( = \frac{\text{कमी}}{\text{वास्तविक मूल्य}} \times 100\% \)
\( = \frac{20}{100} \times 100\% = 20\% \). इसका मतलब है कि लिफाफों की कीमतों में 20% की कमी आई है.
In simple words: (1) बिजली का दाम Rs. 3.50 से Rs. 6 हो गया, जो 71.43% की बढ़ोतरी है. (2) 100 लिफाफों का दाम Rs. 100 से Rs. 80 हो गया, यानी 20% की कमी आई है.
🎯 Exam Tip: हमेशा ध्यान दें कि क्या पूछा जा रहा है – वृद्धि प्रतिशत या कमी प्रतिशत. गणना के लिए, मूल्य में अंतर को हमेशा प्रारंभिक मूल्य से विभाजित करें.
(पृष्ठ 168)
प्रश्न 1. महावीर ने 5 बोरी शक्कर 16000 रुपये में खरीदी। उसने 200 रुपये हमाली (मजदूरी), 200 रुपये टूक भाड़ा के चुकाए। वह शक्कर किस भाव से बेचे कि उसे प्रति किलोग्राम 3 रुपये का लाभ हो जाए ?
Answer: महावीर ने 5 बोरी शक्कर खरीदी.
5 बोरी शक्कर का मूल्य = Rs. 16000
अन्य व्यय (हमाली और भाड़ा) = Rs. 200 + Rs. 200 = Rs. 400
कुल क्रय मूल्य = खरीदी का मूल्य + अन्य व्यय
\( = \) Rs. 16000 + Rs. 400 = Rs. 16400. यह शक्कर खरीदने में लगा कुल खर्चा है.
1 किलोग्राम पर लाभ चाहिए = Rs. 3
5 बोरी शक्कर = 5 \( \times \) 100 किलोग्राम = 500 किलोग्राम (सामान्यतः एक बोरी में 100 किलोग्राम शक्कर होती है)
कुल अपेक्षित लाभ = 500 किलोग्राम \( \times \) Rs. 3/किलोग्राम = Rs. 1500
विक्रय मूल्य = कुल क्रय मूल्य + कुल अपेक्षित लाभ
\( = \) Rs. 16400 + Rs. 1500 = Rs. 17900
अतः, महावीर को 500 किलोग्राम शक्कर Rs. 17900 में बेचनी चाहिए ताकि उसे प्रति किलोग्राम Rs. 3 का लाभ हो. इसलिए, शक्कर का विक्रय भाव \( = \frac{\text{कुल विक्रय मूल्य}}{\text{कुल किलोग्राम}} = \frac{17900}{500} = \text{Rs. 35.80 प्रति किलोग्राम} \).
In simple words: महावीर ने 16000 रुपये में शक्कर खरीदी और 400 रुपये अतिरिक्त खर्च किए. कुल लागत Rs. 16400 हुई. उसे हर किलो पर 3 रुपये का लाभ चाहिए, तो 500 किलो पर 1500 रुपये का लाभ होगा. इसलिए, उसे शक्कर 17900 रुपये में बेचनी होगी, यानी Rs. 35.80 प्रति किलो.
🎯 Exam Tip: लाभ या हानि की गणना करते समय, हमेशा कुल क्रय मूल्य (खरीद मूल्य + सभी अतिरिक्त खर्च) को आधार मानें. विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ.
प्रश्न 2. मनोज ने एक पुरानी कार Rs. 1,50,000 में खरीदी। इस पर Rs. 60,000 ईंजन पर खर्च किए तथा Rs. 15,000 के नये टायर ट्यूब लगवाए। मनोज ने अब यह कार Rs. 2,10,000 में जीतेन्द्र को बेच दी। इस व्यापार में मनोज को हुए लाभ/हानि की गणना कीजिए।
Answer: मनोज ने एक पुरानी कार खरीदी.
कार का क्रय मूल्य = Rs. 1,50,000
ईंजन पर खर्च = Rs. 60,000
नए टायर ट्यूब पर खर्च = Rs. 15,000
मनोज का कुल क्रय मूल्य = कार का मूल्य + ईंजन पर खर्च + टायर ट्यूब पर खर्च
\( = \) Rs. 1,50,000 + Rs. 60,000 + Rs. 15,000 = Rs. 2,25,000. यह मनोज का कार पर कुल निवेश था.
कार का विक्रय मूल्य = Rs. 2,10,000 (जितने में उसने कार बेची)
लाभ या हानि की गणना: लाभ तब होता है जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक हो, और हानि तब होती है जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम हो.
यहाँ, विक्रय मूल्य (Rs. 2,10,000) क्रय मूल्य (Rs. 2,25,000) से कम है, इसलिए मनोज को हानि हुई है.
हानि = कुल क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य
\( = \) Rs. 2,25,000 - Rs. 2,10,000 = Rs. 15,000
मनोज को इस व्यापार में Rs. 15,000 की हानि हुई है.
In simple words: मनोज ने कार 1,50,000 में खरीदी, 60,000 इंजन पर और 15,000 टायर पर खर्च किए. कुल खर्च 2,25,000 हुआ. उसने कार 2,10,000 में बेची, तो उसे 15,000 रुपये का नुकसान हुआ.
🎯 Exam Tip: किसी भी वस्तु को बेचने पर होने वाले लाभ या हानि की गणना में, खरीद मूल्य के साथ-साथ वस्तु पर किए गए सभी मरम्मत या सुधार के खर्चों को भी कुल क्रय मूल्य में जोड़ना न भूलें.
(पृष्ठ 170)
प्रश्न 1. अशोक एक वर्ष के बाद संस्था को धन नहीं लौटा पाता तो 2 वर्ष बाद उसे कितना ब्याज चुकाना पड़ेगा ?
Answer: अशोक ने Rs. 50,000 उधार लिए. एक वर्ष बाद उसे Rs. 5,000 अतिरिक्त चुकाने पड़े, जो ब्याज था. इसका मतलब है कि एक वर्ष का ब्याज Rs. 5,000 है. चूंकि वह एक वर्ष बाद भी पैसा नहीं लौटा पाया, तो 2 वर्ष बाद उसे दो गुना ब्याज चुकाना पड़ेगा. यह मानते हुए कि ब्याज दर वही रहती है.
1 वर्ष का ब्याज = Rs. 5,000
2 वर्ष का ब्याज = Rs. 5,000 \( \times \) 2 = Rs. 10,000
तो, अशोक को 2 वर्ष बाद संस्था को Rs. 10,000 ब्याज चुकाना पड़ेगा. यह साधारण ब्याज की अवधारणा पर आधारित है.
In simple words: अशोक एक साल में Rs. 5,000 ब्याज देता है. अगर वह 2 साल तक पैसे नहीं लौटाता, तो उसे कुल Rs. 10,000 ब्याज देना पड़ेगा.
🎯 Exam Tip: जब ब्याज की दर और मूलधन निश्चित हों, तो साधारण ब्याज की गणना सीधे समय से गुणा करके की जाती है.
प्रश्न 2. अशोक को ब्याज सहित दो साल बाद कुल कितना धन लौटाना पड़ेगा ?
Answer: अशोक ने Rs. 50,000 उधार लिए थे. 2 वर्ष बाद उसे Rs. 10,000 का ब्याज चुकाना पड़ेगा (जैसा कि पिछले प्रश्न में गणना की गई है). कुल धन जो अशोक को लौटाना पड़ेगा, वह मूलधन और कुल ब्याज का योग होगा.
मूलधन = Rs. 50,000
2 साल का ब्याज = Rs. 10,000
ब्याज सहित कुल धन (मिश्रधन) = मूलधन + ब्याज
\( = \) Rs. 50,000 + Rs. 10,000 = Rs. 60,000
अतः, अशोक को 2 साल बाद ब्याज सहित कुल Rs. 60,000 लौटाने पड़ेंगे. मिश्रधन वह कुल राशि होती है जो उधार ली गई रकम पर ब्याज जोड़कर वापस की जाती है.
In simple words: अशोक ने Rs. 50,000 उधार लिए थे. 2 साल का ब्याज Rs. 10,000 बना. तो उसे कुल Rs. 50,000 + Rs. 10,000 = Rs. 60,000 वापस करने होंगे.
🎯 Exam Tip: मिश्रधन हमेशा मूलधन और ब्याज के योग के बराबर होता है. यह उधारकर्ता द्वारा चुकाई जाने वाली अंतिम राशि होती है.
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