RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 15 राशियों की तुलना Exercise 15.1

प्रश्न 1. अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) 60 पैसे का 3 रुपये से
(ii) 340 सेमी का 4 मीटर से
Answer:
(i) 60 पैसे का 3 रुपये से
हमें इकाइयों को समान करना होगा। चूंकि 1 Rs = 100 पैसे, तो 3 Rs = \( 3 \times 100 = 300 \) पैसे।
अब अनुपात: 60 पैसे : 300 पैसे
\( = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} \)
\( = 1:5 \)
(ii) 340 सेमी का 4 मीटर से
हम इकाइयों को समान करते हैं। चूंकि 1 मीटर = 100 सेमी, तो 4 मीटर = \( 4 \times 100 = 400 \) सेमी।
अब अनुपात: 340 सेमी : 400 सेमी
\( = \frac{340}{400} = \frac{17}{20} \)
\( = 17:20 \)
In simple words: अनुपात निकालने के लिए, पहले दोनों संख्याओं की इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए। अगर रुपये और पैसे हैं, तो रुपये को पैसे में बदल दें। फिर एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग करके उसे सबसे छोटे रूप में लिखें।

🎯 Exam Tip: Always convert both quantities to the same unit before finding a ratio to avoid errors in calculation.

प्रश्न 2. सरलतम अनुपात में लिखिए।
(i) 65: 25
(ii) 72: 64
Answer:
(i) 65: 25
इन संख्याओं को एक ही संख्या से भाग देकर सरलतम रूप में लाते हैं। दोनों संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं।
\( = \frac{65}{25} = \frac{13}{5} \)
\( = 13:5 \)
(ii) 72: 64
इन संख्याओं को एक ही संख्या से भाग देकर सरलतम रूप में लाते हैं। दोनों संख्याएँ 8 से विभाज्य हैं।
\( = \frac{72}{64} = \frac{9}{8} \)
\( = 9:8 \)
In simple words: सरलतम अनुपात का मतलब है कि संख्याओं को तब तक भाग दें जब तक उन्हें किसी एक ही संख्या से और छोटा न किया जा सके। यह भिन्नों को सबसे छोटे रूप में लाने जैसा है।

🎯 Exam Tip: To find the simplest form of a ratio, divide both numbers by their greatest common divisor (GCD).

प्रश्न 3. निम्नलिखित अनुपातों के दो अनुपात ज्ञात कीजिए
(i) 3:5
(ii) 7:11
Answer:
(i) 3:5
एक अनुपात के बराबर दो अन्य अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा करते हैं।
पहला अनुपात: \( 3 \times 2 : 5 \times 2 = 6:10 \)
दूसरा अनुपात: \( 3 \times 3 : 5 \times 3 = 9:15 \)
(ii) 7:11
पहला अनुपात: \( 7 \times 2 : 11 \times 2 = 14:22 \)
दूसरा अनुपात: \( 7 \times 3 : 11 \times 3 = 21:33 \)
In simple words: किसी अनुपात के बराबर दूसरे अनुपात पाने के लिए, बस अनुपात की दोनों संख्याओं को एक ही गिनती से गुणा करें। यह करने पर अनुपात का मान नहीं बदलता है।

🎯 Exam Tip: To find equivalent ratios, always multiply both parts of the ratio by the same non-zero number.

प्रश्न 4. एक दरी पट्टी की लम्बाई 7 मीटर एवं इसकी चौड़ाई 35 सेमी है तो निम्न अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) चौड़ाई का लम्बाई से,
(ii) लम्बाई को चौड़ाई से
Answer:
सबसे पहले, लम्बाई और चौड़ाई की इकाइयों को समान करते हैं।
दरी पट्टी की लम्बाई = 7 मीटर = \( 7 \times 100 = 700 \) सेमी
दरी पट्टी की चौड़ाई = 35 सेमी

(i) चौड़ाई का लम्बाई से अनुपात
\( = 35:700 = \frac{35}{700} = \frac{1}{20} \)
\( = 1:20 \)
(ii) लम्बाई का चौड़ाई से अनुपात
\( = 700:35 = \frac{700}{35} = \frac{20}{1} \)
\( = 20:1 \)
In simple words: अनुपात निकालने के लिए सबसे पहले सभी नापों को एक ही इकाई (जैसे सेमी) में बदलें। फिर, सवाल में जैसा पूछा गया है, उसी क्रम में संख्याओं का अनुपात लिखें और उसे सरलतम रूप में लाएँ।

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the order in which the ratio is requested (e.g., width to length vs. length to width) as it affects the final answer.

प्रश्न 5. यदि \( 12 : x :: 14 : 21 \) हो तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
जब चार संख्याएँ अनुपात में होती हैं, तो बाह्य पदों का गुणनफल आंतरिक पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
\( 12 : x :: 14 : 21 \)
\( \frac{12}{x} = \frac{14}{21} \)
हम इसे ऐसे भी लिख सकते हैं:
\( 14 \times x = 12 \times 21 \)

\( \implies x = \frac{12 \times 21}{14} \)

\( \implies x = \frac{12 \times (3 \times 7)}{(2 \times 7)} \)

\( \implies x = \frac{12 \times 3}{2} \)

\( \implies x = 6 \times 3 \)

\( \implies x = 18 \)
इस प्रकार, \( x \) का मान 18 है।
In simple words: जब दो अनुपात बराबर होते हैं, तो पहले अनुपात का पहला नंबर और दूसरे अनुपात का दूसरा नंबर, इनका गुणा, पहले अनुपात का दूसरा नंबर और दूसरे अनुपात का पहला नंबर, इनके गुणा के बराबर होता है। इस तरीके से हम अज्ञात संख्या का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: Remember the property of proportion: "product of extremes equals product of means." This means the product of the first and fourth terms is equal to the product of the second and third terms.

प्रश्न 6. हलवा बनाने के लिए भीमा हलवाई 25 किग्रा दाल में 20 किग्रा शक्कर मिलाता है। जबकि भीखा हलवाई 12 किग्रा दाल में 15 किग्रा शक्कर मिलाता है। ज्ञात कीजिए
(i) दोनों हलवाई प्रति किग्रा दाल में कितनी शक्कर मिलाते हैं ?
(ii) किस हलवाई का बना हलवा ज्यादा मीठा होता है?
Answer:
(i) दोनों हलवाई प्रति किग्रा दाल में कितनी शक्कर मिलाते हैं ?
भीमा हलवाई के लिए:
25 किग्रा दाल में 20 किग्रा शक्कर मिलाई जाती है।
1 किग्रा दाल में मिलाई गई शक्कर \( = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8 \) किग्रा या 800 ग्राम।

भीखा हलवाई के लिए:
12 किग्रा दाल में 15 किग्रा शक्कर मिलाई जाती है।
1 किग्रा दाल में मिलाई गई शक्कर \( = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25 \) किग्रा या 1250 ग्राम।

(ii) किस हलवाई का बना हलवा ज्यादा मीठा होता है?
चूंकि 1 किग्रा दाल में भीखा हलवाई 1.25 किग्रा शक्कर मिलाता है, जबकि भीमा हलवाई 0.8 किग्रा शक्कर मिलाता है।
\( 1.25 \) किग्रा \( > 0.8 \) किग्रा
अतः भीखा हलवाई का बना हलवा ज्यादा मीठा होता है। मीठापन सीधे शक्कर की मात्रा पर निर्भर करता है।
In simple words: यह जानने के लिए कि कौन ज्यादा शक्कर मिलाता है, हम पहले निकालते हैं कि 1 किग्रा दाल में कितनी शक्कर डाली गई है। जिसकी मात्रा ज्यादा होगी, उसका हलवा ज्यादा मीठा होगा।

🎯 Exam Tip: To compare quantities, always calculate the 'per unit' value for each, then compare those unit values directly.

प्रश्न 7. 10.2 किमी लम्बी सड़क की सफाई करने में 34 मजदूर लगते हैं तो 7.5 किमी लम्बी सड़क की सफाई में कितने मजदूर लगेंगे ?
Answer:
हमें मजदूरों की संख्या ज्ञात करनी है जो 7.5 किमी सड़क की सफाई करेंगे।
10.2 किमी लम्बी सड़क की सफाई करने में लगे मजदूरों की संख्या = 34
1 किमी लम्बी सड़क की सफाई करने में लगे मजदूरों की संख्या \( = \frac{34}{10.2} \)
7.5 किमी लम्बी सड़क की सफाई करने में लगे मजदूरों की संख्या \( = \frac{34}{10.2} \times 7.5 \)
\( = \frac{34 \times 7.5}{10.2} \)
दशमलव हटाने के लिए, ऊपर और नीचे 10 से गुणा करें:
\( = \frac{34 \times 75}{102} \)
सरल करने पर:
\( = \frac{2550}{102} = 25 \)
अतः, 7.5 किमी लम्बी सड़क की सफाई करने में 25 मजदूर लगेंगे। यह एक सीधा आनुपातिक संबंध है।
In simple words: पहले यह पता लगाओ कि 1 किलोमीटर सड़क साफ करने में कितने मजदूर लगेंगे। फिर उस संख्या को 7.5 किलोमीटर से गुणा करके कुल मजदूरों की संख्या निकाल लो।

🎯 Exam Tip: For problems involving direct proportion (more work, more workers), first find the rate for a single unit (e.g., 1 km), then scale it up for the required units.

प्रश्न 8. 7.5 मीटर ऊँचे खम्भे की परछाई 5 मीटर है, तो उसके पास खड़े पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि उसी समय पेड़ की परछाई 10 मी लम्बी हो।
Answer:
जब सूर्य का कोण समान होता है, तो वस्तुओं की ऊँचाई और उनकी परछाई की लम्बाई का अनुपात स्थिर रहता है।
खम्भे की ऊँचाई = 7.5 मीटर
खम्भे की परछाई = 5 मीटर
पेड़ की परछाई = 10 मीटर

माना पेड़ की ऊँचाई \( = h \) मीटर
ऊँचाई और परछाई का अनुपात समान होगा:
\( \frac{\text{खम्भे की ऊँचाई}}{\text{खम्भे की परछाई}} = \frac{\text{पेड़ की ऊँचाई}}{\text{पेड़ की परछाई}} \)
\( \frac{7.5}{5} = \frac{h}{10} \)

\( \implies h = \frac{7.5 \times 10}{5} \)

\( \implies h = \frac{75}{5} \)

\( \implies h = 15 \)
अतः, पेड़ की ऊँचाई 15 मीटर होगी। यह अवधारणा समरूप त्रिभुजों पर आधारित है।
In simple words: एक ही समय में, किसी चीज़ की ऊँचाई और उसकी परछाई का अनुपात हमेशा एक जैसा रहता है। इस नियम का इस्तेमाल करके, अगर हम खम्भे की ऊँचाई और परछाई जानते हैं, तो पेड़ की परछाई से उसकी ऊँचाई निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: This type of problem relies on similar triangles formed by the object, its shadow, and the sun's rays. The ratio of height to shadow length remains constant for all objects at a given time.

प्रश्न 9. रमेश अपनी मोटर साईकिल से 10 किमी की दूरी 15 मिनट में तय करता है। अगर चाल समान हो तो रमेश को 26 किमी की दूरी तय करने में कितना समय लगेगा ?
Answer:
रमेश द्वारा तय की गई दूरी और लिया गया समय सीधा आनुपातिक होगा, यदि चाल समान है।
10 किमी दूरी तय करने में लगा समय = 15 मिनट
1 किमी दूरी तय करने में लगा समय \( = \frac{15}{10} \) मिनट
26 किमी दूरी तय करने में लगा समय \( = \frac{15}{10} \times 26 \)
\( = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} \times 26 \)
\( = \frac{3}{2} \times 26 \)
\( = 3 \times 13 \)
\( = 39 \) मिनट
अतः, रमेश को 26 किमी की दूरी तय करने में 39 मिनट लगेंगे। जितनी ज्यादा दूरी, उतना ज्यादा समय।
In simple words: अगर गाड़ी की स्पीड वही रहती है, तो जितनी ज्यादा दूर जाना होगा, उतना ही ज्यादा समय लगेगा। पहले यह पता लगाओ कि 1 किलोमीटर जाने में कितना समय लगता है, फिर उसे कुल दूरी से गुणा कर दो।

🎯 Exam Tip: When speed is constant, distance and time are directly proportional. Set up a ratio of (time/distance) for the known case and equate it to (unknown time/new distance) to solve.