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Question 1. \( 2x + 1 = 9 \)
Answer: समीकरण हल करने के लिए, हम पहले 1 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 9 से घट जाता है, जिससे \( 2x = 8 \) आता है। फिर, x का मान निकालने के लिए, हम दोनों पक्षों को 2 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 4 \) प्राप्त होता है। जब हम \( x=4 \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( 2(4) + 1 = 9 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इसलिए हमारा हल सही है। यह दिखाता है कि समीकरण को संतुलन में रखकर हल करना कितना महत्वपूर्ण है।
In simple words: सबसे पहले, 1 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 9 से घटाएं। फिर, x के साथ 2 को हटाने के लिए दोनों तरफ 2 से भाग दें। इससे x का मान 4 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: हमेशा समीकरण के दोनों पक्षों में वही क्रिया करें जो आप एक पक्ष पर करते हैं ताकि संतुलन बना रहे और समीकरण सही रहे।
Question 2. \( 5x - 4 = 26 \)
Answer: समीकरण को हल करने के लिए, पहले -4 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 26 से जुड़ जाता है, जिससे \( 5x = 30 \) आता है। फिर, x का मान निकालने के लिए, हम दोनों पक्षों को 5 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 6 \) प्राप्त होता है। हम अपने हल को जांचने के लिए \( x=6 \) को मूल समीकरण में रखते हैं। बाईं ओर (LHS) \( 5(6) - 4 = 30 - 4 = 26 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। अज्ञात 'x' का मान ज्ञात करने से हमें समीकरण के संतुलन को समझने में मदद मिलती है।
In simple words: पहले -4 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 26 से जोड़ें। फिर, x के साथ 5 को हटाने के लिए दोनों तरफ 5 से भाग दें। इससे x का मान 6 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: जब आप एक पद को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाते हैं, तो उसका चिह्न (प्लस या माइनस) हमेशा बदल जाता है।
Question 3. \( 5x - 2x + 7 = 31 \)
Answer: पहले, बाईं ओर के समान पदों (5x और -2x) को मिलाकर \( 3x \) लिखते हैं, जिससे समीकरण \( 3x + 7 = 31 \) हो जाता है। फिर 7 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 31 से घटता है, जिससे \( 3x = 24 \) आता है। x का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 3 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 8 \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( x=8 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 5(8) - 2(8) + 7 = 40 - 16 + 7 = 31 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इसलिए हल सही है। इस तरह के समीकरणों में, समान चरों को एक साथ हल करना हमेशा पहला कदम होता है।
In simple words: पहले, 5x में से 2x घटाकर 3x लिखें। फिर 7 को दूसरी तरफ ले जाकर 31 से घटा दें। अंत में, 3x को 3 से भाग देकर x का मान 8 निकालें।
🎯 Exam Tip: हमेशा समीकरण के दोनों पक्षों को पूरी तरह से सरल करें, समान पदों को जोड़ें या घटाएं, इससे पहले कि आप चर को अलग करना शुरू करें।
Question 4. \( 5x + 8 = 12 + 6 \)
Answer: समीकरण \( 5x + 8 = 12 + 6 \) को हल करने के लिए, पहले दाईं ओर (RHS) की संख्याओं को जोड़कर 18 प्राप्त करते हैं, जिससे समीकरण \( 5x + 8 = 18 \) हो जाता है। फिर 8 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 18 से घटता है, जिससे \( 5x = 10 \) आता है। x का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 5 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 2 \) प्राप्त होता है। हल की जांच करने के लिए \( x=2 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 5(2) + 8 = 10 + 8 = 18 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) \( 12 + 6 = 18 \) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। दोनों पक्षों को पहले सरल करने से अक्सर समीकरण हल करना आसान हो जाता है।
In simple words: पहले 12 और 6 को जोड़कर 18 लिखें। फिर 8 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 18 से घटाएं। आखिर में, 5x को 5 से भाग देकर x का मान 2 निकालें।
🎯 Exam Tip: समीकरण में चरों को हल करने से पहले, हमेशा दोनों पक्षों में सभी संख्याओं और समान पदों को सरल करें।
Question 5. \( 12x + 3x = 60 \)
Answer: समीकरण \( 12x + 3x = 60 \) में, हम पहले बाईं ओर के समान पदों (12x और 3x) को जोड़ते हैं, जिससे \( 15x \) प्राप्त होता है। अब समीकरण \( 15x = 60 \) हो जाता है। x का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 15 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 4 \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( x=4 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 12(4) + 3(4) = 48 + 12 = 60 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। यह दिखाता है कि चर वाले पदों को एक साथ कैसे जोड़ा जाता है।
In simple words: पहले 12x और 3x को जोड़कर 15x लिखें। फिर 15x को 15 से भाग देकर x का मान 4 निकालें।
🎯 Exam Tip: जब आपके पास एक ही चर वाले कई पद हों, तो उन्हें हल करने के लिए पहले उन सभी को एक साथ जोड़ें या घटाएं।
Question 6. \( \frac {7x }{9} = 21 \)
Answer: इस समीकरण को हल करने के लिए, सबसे पहले हम 9 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 21 से गुणा हो जाता है, जिससे \( 7x = 189 \) आता है। फिर, x का मान निकालने के लिए, हम दोनों पक्षों को 7 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 27 \) प्राप्त होता है। हल की जांच करने के लिए \( x=27 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( \frac {7(27)}{9} = 7 \times 3 = 21 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। भिन्न वाले समीकरणों में, अज्ञात चर को अलग करने के लिए तिरछा गुणा करना एक आसान तरीका है।
In simple words: पहले, 9 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 21 से गुणा करें। फिर, 7x को 7 से भाग देकर x का मान 27 निकालें।
🎯 Exam Tip: जब एक चर एक भिन्न में हो, तो इसे हटाने के लिए हर (denominator) को दूसरी तरफ गुणा करें।
Question 7. \( \frac {2x}{3} - \frac {x}{2} = 3 \)
Answer: इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले हम भिन्नों को घटाने के लिए एक सामान्य हर (लघुत्तम समापवर्त्य) 6 लेते हैं। इससे समीकरण \( \frac {4x - 3x}{6} = 3 \) बन जाता है, जिसे सरल करने पर \( \frac {x}{6} = 3 \) आता है। अब x का मान निकालने के लिए, हम 6 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 3 से गुणा करते हैं, जिससे \( x = 18 \) प्राप्त होता है। जब हम \( x=18 \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( \frac {2(18)}{3} - \frac {18}{2} = 12 - 9 = 3 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। भिन्नों को हल करते समय हमेशा सबसे पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना याद रखें।
In simple words: पहले भिन्नों को हल करने के लिए एक सामान्य हर (LCM) 6 लें। इससे x/6 = 3 आएगा। फिर x का मान निकालने के लिए 6 को 3 से गुणा करें, तो x = 18 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: भिन्नों वाले समीकरणों में, पहले सभी भिन्नों को एक सामान्य हर पर लाएँ, फिर अंशों को जोड़ें या घटाएं।
Question 8. \( \frac {3x }{4} - \frac { 2x }{5} = 7 \)
Answer: इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले हम भिन्नों को घटाने के लिए एक सामान्य हर (लघुत्तम समापवर्त्य) 20 लेते हैं। इससे समीकरण \( \frac {15x - 8x}{20} = 7 \) बन जाता है, जिसे सरल करने पर \( \frac {7x}{20} = 7 \) आता है। अब 20 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 7 से गुणा करते हैं, जिससे \( 7x = 140 \) आता है। x का मान निकालने के लिए, हम दोनों पक्षों को 7 से भाग देते हैं, जिससे \( x = 20 \) प्राप्त होता है। जब हम \( x=20 \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( \frac {3(20)}{4} - \frac {2(20)}{5} = 15 - 8 = 7 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। भिन्नों को हल करते समय, हरों का LCM ढूंढना सबसे प्रभावी तरीका है।
In simple words: पहले भिन्नों का LCM 20 लें, जिससे 7x/20 = 7 आएगा। फिर 20 को 7 से गुणा करें और अंत में x का मान निकालने के लिए 7 से भाग दें, तो x = 20 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: भिन्न समीकरणों में, सभी भिन्नों को हटाने के लिए समीकरण के हरों के LCM से दोनों पक्षों को गुणा करने का प्रयास करें।
Question 9. \( \frac {7x+1}{2}+1=11 \)
Answer: समीकरण \( \frac {7x+1}{2}+1=11 \) को हल करने के लिए, पहले हम 1 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 11 से घटता है, जिससे \( \frac {7x+1}{2} = 10 \) आता है। फिर, 2 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर 10 से गुणा करते हैं, जिससे \( 7x+1 = 20 \) आता है। अब 1 को 20 से घटाने पर \( 7x = 19 \) प्राप्त होता है। आखिर में, x का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 7 से भाग देते हैं, जिससे \( x = \frac {19}{7} \) प्राप्त होता है। जब हम \( x = \frac {19}{7} \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( \frac {7(\frac{19}{7})+1}{2}+1 = \frac {19+1}{2}+1 = 10+1 = 11 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इसलिए हमारा हल सही है। इस तरह के समीकरणों को हल करते समय, कोष्ठक या भिन्न के अंदर के भागों को पहले सरल करना अक्सर मददगार होता है।
In simple words: पहले +1 को दूसरी तरफ ले जाकर 11 से घटाएं। फिर, 2 को 10 से गुणा करें। उसके बाद, +1 को दूसरी तरफ ले जाकर घटाएं। अंत में, x का मान निकालने के लिए 7 से भाग दें, तो \( x = \frac {19}{7} \) मिलेगा।
🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्न वाले समीकरणों में, हमेशा पहले पूरे नंबर को अलग करें, फिर भिन्न वाले भाग को हल करें।
Question 10. \( \frac {3t}{2} = \frac {2}{3} \)
Answer: समीकरण \( \frac {3t}{2} = \frac {2}{3} \) को हल करने के लिए, हम तिरछा गुणा (cross-multiply) करते हैं। इसका मतलब है कि \( 3t \) को 3 से और 2 को 2 से गुणा करते हैं, जिससे \( 9t = 4 \) आता है। अब t का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 9 से भाग देते हैं, जिससे \( t = \frac {4}{9} \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( t = \frac {4}{9} \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( \frac {3(\frac{4}{9})}{2} = \frac {\frac{4}{3}}{2} = \frac {4}{6} = \frac {2}{3} \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। तिरछा गुणा भिन्नों वाले समीकरणों को सरल करने का एक त्वरित तरीका है।
In simple words: इस समीकरण को हल करने के लिए, तिरछा गुणा करें। 3t को 3 से गुणा करें और 2 को 2 से गुणा करें। फिर, t का मान निकालने के लिए 9 से भाग दें, तो \( t = \frac {4}{9} \) मिलेगा।
🎯 Exam Tip: जब समीकरण के दोनों पक्षों में केवल एक भिन्न हो, तो तिरछा गुणा करना एक बहुत ही कुशल तरीका होता है।
Question 11. \( 7m + \frac {19}{2} = 13 \)
Answer: समीकरण \( 7m + \frac {19}{2} = 13 \) को हल करने के लिए, पहले हम \( \frac {19}{2} \) को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 13 से घटता है। 13 को \( \frac {26}{2} \) के रूप में लिखकर घटाने पर, \( 7m = \frac {26-19}{2} = \frac {7}{2} \) आता है। अब m का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 7 से भाग देते हैं, जिससे \( m = \frac {1}{2} \) प्राप्त होता है। जब हम \( m = \frac {1}{2} \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( 7(\frac{1}{2}) + \frac{19}{2} = \frac{7}{2} + \frac{19}{2} = \frac{26}{2} = 13 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इसलिए हमारा हल सही है। भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय, हमेशा एक समान हर (denominator) बनाने का प्रयास करें।
In simple words: पहले \( \frac {19}{2} \) को दूसरी तरफ ले जाकर 13 से घटाएं। फिर, 7m = \( \frac{7}{2} \) मिलेगा। अंत में, m का मान निकालने के लिए दोनों तरफ 7 से भाग दें, तो \( m = \frac {1}{2} \) मिलेगा।
🎯 Exam Tip: भिन्न और पूर्ण संख्याओं को एक साथ हल करते समय, पूर्ण संख्या को भी एक भिन्न में बदलकर सामान्य हर का उपयोग करना अक्सर सबसे अच्छा होता है।
Question 12. \( 6z + 10 = -2 \)
Answer: समीकरण \( 6z + 10 = -2 \) को हल करने के लिए, पहले हम 10 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह -2 से घटता है, जिससे \( 6z = -2 - 10 = -12 \) आता है। फिर, z का मान निकालने के लिए, दोनों पक्षों को 6 से भाग देते हैं, जिससे \( z = -2 \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( z = -2 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 6(-2) + 10 = -12 + 10 = -2 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय, चिह्न (sign) के नियमों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले 10 को दूसरी तरफ ले जाकर -2 से घटाएं। फिर, 6z = -12 मिलेगा। अंत में, z का मान निकालने के लिए 6 से भाग दें, तो z = -2 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: घटाते समय, ऋणात्मक संख्याओं पर विशेष ध्यान दें; दो ऋणात्मक संख्याएं अक्सर एक बड़ी ऋणात्मक संख्या में बदल जाती हैं।
Question 13. \( \frac {q}{4} + 7 = 5 \)
Answer: समीकरण \( \frac {q}{4} + 7 = 5 \) को हल करने के लिए, पहले हम 7 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 5 से घटता है, जिससे \( \frac {q}{4} = 5 - 7 = -2 \) आता है। फिर, q का मान निकालने के लिए, हम 4 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाकर -2 से गुणा करते हैं, जिससे \( q = -8 \) प्राप्त होता है। जब हम \( q = -8 \) को मूल समीकरण में रखकर जांचते हैं, तो बाईं ओर (LHS) \( \frac {-8}{4} + 7 = -2 + 7 = 5 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। अज्ञात चर को अलग करने के लिए विपरीत संक्रियाओं (operations) का उपयोग करना याद रखें।
In simple words: पहले 7 को दूसरी तरफ ले जाकर 5 से घटाएं। फिर, 4 को -2 से गुणा करें, तो q = -8 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, गुणा करने और भाग करने की क्रियाएं हमेशा जोड़ने और घटाने की क्रियाओं से पहले आती हैं (PEMDAS/BODMAS)।
Question 14. \( 4(2 - x) = 8 \)
Answer: समीकरण \( 4(2 - x) = 8 \) को हल करने के लिए, पहले हम दोनों पक्षों को 4 से भाग देते हैं, जिससे \( 2 - x = \frac {8}{4} = 2 \) आता है। अब समीकरण \( 2 - x = 2 \) हो जाता है। फिर 2 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह दूसरे 2 से घटता है, जिससे \( -x = 0 \) आता है। इसका मतलब है कि \( x = 0 \)। अपने हल को जांचने के लिए \( x=0 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 4(2 - 0) = 4(2) = 8 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। जब एक संख्या कोष्ठक से गुणा हो रही हो, तो आप कोष्ठक को खोले बिना पहले भाग कर सकते हैं।
In simple words: पहले दोनों तरफ 4 से भाग दें, जिससे 2 - x = 2 आएगा। फिर 2 को दूसरी तरफ ले जाकर घटाएं। इससे x का मान 0 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: वितरण नियम का उपयोग करने से पहले, यह देखने के लिए जांचें कि क्या आप कोष्ठक के बाहर गुणा करने वाली संख्या से दोनों पक्षों को भाग दे सकते हैं।
Question 15. \( 3(n - 5) = 21 \)
Answer: समीकरण \( 3(n - 5) = 21 \) को हल करने के लिए, पहले हम दोनों पक्षों को 3 से भाग देते हैं, जिससे \( n - 5 = \frac {21}{3} = 7 \) आता है। अब समीकरण \( n - 5 = 7 \) हो जाता है। फिर -5 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह 7 से जुड़ता है, जिससे \( n = 7 + 5 = 12 \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( n=12 \) को मूल समीकरण में रखने पर, बाईं ओर (LHS) \( 3(12 - 5) = 3(7) = 21 \) आता है, जो दाईं ओर (RHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। चर वाले पदों को सरल करने के लिए वितरण नियम (distributive property) का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन भाग देना कभी-कभी तेज़ होता है।
In simple words: पहले दोनों तरफ 3 से भाग दें, जिससे n - 5 = 7 आएगा। फिर -5 को दूसरी तरफ ले जाकर 7 से जोड़ें, तो n = 12 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: अज्ञात चर को अलग करने के लिए, हमेशा जोड़ने या घटाने से पहले गुणा या भाग करने का प्रयास करें।
Question 16. \( 4 = 5(t-2) \)
Answer: समीकरण \( 4 = 5(t - 2) \) को हल करने के लिए, पहले हम दोनों पक्षों को 5 से भाग देते हैं, जिससे \( \frac {4}{5} = t - 2 \) आता है। अब t का मान निकालने के लिए, हम -2 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह \( \frac {4}{5} \) से जुड़ता है। 2 को \( \frac {10}{5} \) के रूप में लिखकर जोड़ने पर, \( t = \frac {4}{5} + \frac {10}{5} = \frac {14}{5} \) प्राप्त होता है। अपने हल को जांचने के लिए \( t = \frac {14}{5} \) को मूल समीकरण में रखने पर, दाईं ओर (RHS) \( 5(\frac {14}{5} - 2) = 5(\frac {14-10}{5}) = 5(\frac {4}{5}) = 4 \) आता है, जो बाईं ओर (LHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। चर को अलग करने के लिए भिन्नों को सही ढंग से जोड़ना और घटाना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले दोनों तरफ 5 से भाग दें, जिससे \( \frac {4}{5} = t - 2 \) आएगा। फिर -2 को दूसरी तरफ ले जाकर \( \frac {4}{5} \) से जोड़ें, तो \( t = \frac {14}{5} \) मिलेगा।
🎯 Exam Tip: भिन्न और पूर्ण संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय, हमेशा पूर्ण संख्या को एक भिन्न में बदलें जिसमें समान हर हो।
Question 17. \( 0 = 16 + 4(m - 6) \)
Answer: समीकरण \( 0 = 16 + 4(m - 6) \) को हल करने के लिए, पहले हम \( 16 + 4(m - 6) \) को 0 के बराबर रखते हैं। फिर 16 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह घटता है, जिससे \( 4(m - 6) = -16 \) आता है। अब दोनों पक्षों को 4 से भाग देते हैं, जिससे \( m - 6 = -4 \) प्राप्त होता है। आखिर में, -6 को बराबर के दूसरी तरफ ले जाते हैं, जहां वह -4 से जुड़ता है, जिससे \( m = -4 + 6 = 2 \) आता है। अपने हल को जांचने के लिए \( m=2 \) को मूल समीकरण में रखने पर, दाईं ओर (RHS) \( 16 + 4(2 - 6) = 16 + 4(-4) = 16 - 16 = 0 \) आता है, जो बाईं ओर (LHS) के बराबर है, इस प्रकार हमारा हल सही है। यह दिखाता है कि समीकरण के दोनों पक्षों को सरल बनाना कितना महत्वपूर्ण है ताकि चर को अलग किया जा सके।
In simple words: पहले, 16 को दूसरी तरफ ले जाकर घटाएं। फिर, दोनों तरफ 4 से भाग दें। आखिर में, -6 को दूसरी तरफ ले जाकर जोड़ें, तो m = 2 मिलेगा।
🎯 Exam Tip: जब एक समीकरण में कोष्ठक हों, तो अज्ञात चर को हल करने के लिए वितरण नियम या पहले भाग करने का उपयोग करें।
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