Step-by-Step Textbook Solutions for Class 7 Mathematics Chapter 13 बीजीय व्यंजक
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बहुविकल्पीय प्रश्न
Question 1. 5x² में x² का गुणांक होगा
(A) 1
(B) 4
(C) 0
(D) 5
Answer: (D) 5
In simple words: 5x² में x² के साथ गुणा होने वाली संख्या 5 है, इसलिए x² का गुणांक 5 होगा। जब किसी पद में एक अक्षर के साथ कोई संख्या गुणा होती है, तो वह संख्या उसका गुणांक कहलाती है।
🎯 Exam Tip: किसी पद में किसी विशेष चर का गुणांक वह संख्यात्मक या अक्षरीय भाग होता है जो उस चर के साथ गुणा होता है।
Question 2. 7y³ का गुणनखण्ड होगे
(A) 7, y, y, y
(B) 7,
(C) 7, y
(D) 0
Answer: (A) 7, y, y, y
In simple words: जब हम 7y³ को तोड़ते हैं, तो हमें 7 और तीन बार y मिलते हैं, क्योंकि y की घात 3 है। किसी भी व्यंजक के गुणनखण्ड वे पद होते हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल व्यंजक प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड करते समय हमेशा यह ध्यान रखें कि चर की घात जितनी हो, उसे उतनी ही बार अलग-अलग लिखा जाए।
Question 3. 10xy में से 8xy घटाने पर प्राप्त होगा
(A) 18xy
(B) 2xy
(C) xy
(D) 10xy
Answer: (B) 2xy
In simple words: जब हमारे पास एक ही तरह के पद होते हैं, जैसे 10xy और 8xy, तो हम उनकी संख्यात्मक गुणांकों को घटा सकते हैं। यह ठीक वैसे ही है जैसे 10 में से 8 घटाने पर 2 मिलता है, और 'xy' वैसा ही रहता है।
🎯 Exam Tip: समान पदों को जोड़ने या घटाते समय, केवल उनके गुणांकों पर क्रिया करें और चर भाग को अपरिवर्तित रखें।
Question 4. यदि x = 4 हो, तो 2x + 8 का मान होगा
(A) 16
(B) 8
(C) 10
(D) 18
Answer: (A) 16
In simple words: इस सवाल में, हमें x की जगह 4 रखना है। तो, 2 को 4 से गुणा करके उसमें 8 जोड़ देंगे, जिससे 16 मिलेगा। चर का मान रखने पर हमें व्यंजक का संख्यात्मक मान मिलता है।
🎯 Exam Tip: चर का मान रखते समय, गुणा और जोड़/घटाव के क्रम का ध्यान रखें (BODMAS/PEMDAS नियम)।
Question 6. 10xy + 5xy + y² + 4y² का मान होगा
(A) 15xy + 8y²
(B) 15xy + 5y²
(C) 10xy + y²
(D) y² + 8y
Answer: (B) 15xy + 5y²
In simple words: यहाँ पर हमें एक जैसे दिखने वाले पदों को एक साथ जोड़ना है। 10xy और 5xy मिलकर 15xy हो जाते हैं, और y² तथा 4y² मिलकर 5y² हो जाते हैं। समान पदों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: समान पदों को पहचानना और उन्हें संयोजित करना व्यंजकों को सरल बनाने का पहला कदम है।
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
Question (i) बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते है, ........... व्यंजक कहलाते हैं।
Answer: त्रिपदीय
In simple words: एक व्यंजक जिसमें तीन अलग-अलग पद होते हैं, उसे गणित में 'त्रिपदीय' कहते हैं। पदों की संख्या के आधार पर व्यंजकों का वर्गीकरण होता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें, एक पद वाले को 'एकपदी', दो पद वाले को 'द्विपदीय' और तीन पद वाले को 'त्रिपदीय' कहते हैं।
Question (ii) 9x³ + 8x + 5 में x का गुणांक ........... हैं।
Answer: 8
In simple words: इस व्यंजक में, x के साथ गुणा होने वाली संख्या 8 है। गुणांक वह संख्या होती है जो चर के ठीक पहले लिखी होती है।
🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि x³ का गुणांक 9 है, जबकि x का गुणांक 8 है; हमेशा सही चर के गुणांक की पहचान करें।
Question (iii) 8x³ + 9y² + 5y² + 4x³ = ...........
Answer: \( 12x^3 + 14y^2 \)
In simple words: यहाँ पर हमें x³ वाले पदों को एक साथ जोड़ना है (8x³ + 4x³ = 12x³) और y² वाले पदों को एक साथ जोड़ना है (9y² + 5y² = 14y²)। हम सिर्फ समान पदों को ही जोड़ सकते हैं।
🎯 Exam Tip: व्यंजकों को सरल करते समय हमेशा समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करें और फिर उन्हें जोड़ें या घटाएं।
Question (iv) किसी भी बीजीय व्यंजक का मान ........... के मान पर निर्भर करता है।
Answer: चरों
In simple words: एक बीजीय व्यंजक का मान उसमें इस्तेमाल होने वाले अक्षरों (चरों) के मान पर निर्भर करता है। अगर हम चरों का मान बदल दें, तो पूरे व्यंजक का मान भी बदल जाएगा।
🎯 Exam Tip: चर (variables) वे प्रतीक होते हैं जिनके मान बदल सकते हैं, और वे बीजीय व्यंजकों के लचीलेपन का आधार हैं।
सत्य/असत्य
Question (i) जिन व्यंजकों में दो पद होते हैं, उन्हें एक पदीय व्यंजक कहते हैं।
Answer: असत्य
In simple words: ऐसे व्यंजक जिनमें दो पद होते हैं, उन्हें 'द्विपदीय' व्यंजक कहते हैं, 'एकपदीय' नहीं। एकपदीय व्यंजक में सिर्फ एक पद होता है।
🎯 Exam Tip: 'द्विपदीय' में 'द्वि' का अर्थ 'दो' होता है, जो दो पदों को दर्शाता है।
Question (ii) 9x²y में y का गुणांक 9x² है।
Answer: सत्य
In simple words: इस पद में, y के साथ गुणा होने वाला पूरा भाग 9x² है। इसलिए, 9x² को y का गुणांक कहा जाता है।
🎯 Exam Tip: किसी चर का गुणांक वह सब कुछ होता है जो उस चर से गुणा हो रहा होता है, जिसमें संख्याएं और अन्य चर भी शामिल हो सकते हैं।
Question (iii) 5xy + 8xy + 2x = 15xy
Answer: असत्य
In simple words: 5xy और 8xy को जोड़ने पर 13xy मिलता है। 2x को इसमें नहीं जोड़ा जा सकता क्योंकि यह एक अलग तरह का पद है। इसलिए, पूरा जोड़ 13xy + 2x होगा, न कि 15xy।
🎯 Exam Tip: असमान पदों को जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता; उन्हें वैसे ही लिखना पड़ता है।
Question (iv) 3x² + 9 में चार पद हैं।
Answer: असत्य
In simple words: इस व्यंजक में केवल दो पद हैं: 3x² और 9। ये दो पद एक धन चिह्न से जुड़े हुए हैं।
🎯 Exam Tip: पदों की संख्या गिनने के लिए, धन (+) और ऋण (-) चिह्नों से अलग हुए हिस्सों को देखें।
अति लघूत्तीय प्रश्न
Question 1. 9xy में से -5xy घटाइए।
Answer: \( 9xy - (-5xy) \)
\( \implies 9xy + 5xy \)
\( \implies (9 + 5)xy \)
\( \implies 14xy \)
In simple words: जब हम 9xy में से ऋण 5xy को घटाते हैं, तो ऋण ऋण मिलकर धन हो जाते हैं। इसलिए, हमें 9xy और 5xy को जोड़ना होता है, जिससे 14xy मिलता है।
🎯 Exam Tip: ऋण चिह्न को घटाने का मतलब है कि आप उसके विपरीत मान को जोड़ रहे हैं।
Question 2. 14xy + 9y तथा 6xy + 3y का योगफल ज्ञात करो।
Answer: \( (14xy + 9y) + (6xy + 3y) \)
\( \implies 14xy + 9y + 6xy + 3y \)
\( \implies 14xy + 6xy + 9y + 3y \) (समान पदों को एक साथ रखने पर)
\( \implies (14 + 6)xy + (9 + 3)y \)
\( \implies 20xy + 12y \)
In simple words: इस सवाल में, हमें दो व्यंजकों को जोड़ना है। हम 14xy और 6xy को एक साथ जोड़ते हैं क्योंकि वे एक जैसे पद हैं। इसी तरह, हम 9y और 3y को एक साथ जोड़ते हैं। अंत में, हमें 20xy + 12y मिलता है।
🎯 Exam Tip: व्यंजकों को जोड़ते या घटाते समय, हमेशा समान पदों को पहचानें और उन्हें अलग से संयोजित करें।
Question 3. यदि x = 4 और y = 2 तो x² – y² का मान ज्ञात करो।
Answer: \( x^2 - y^2 \) में \( x = 4 \) तथा \( y = 2 \) का मान रखने पर:
\( \implies (4)^2 - (2)^2 \)
\( \implies 16 - 4 \)
\( \implies 12 \)
In simple words: हमें x की जगह 4 और y की जगह 2 रखना है। फिर हम 4 का वर्ग (4x4=16) और 2 का वर्ग (2x2=4) निकालते हैं। अंत में, 16 में से 4 घटाकर 12 प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: चर मानों को प्रतिस्थापित करते समय हमेशा सही क्रम का पालन करें, पहले घात (वर्ग) करें, फिर घटाएं।
Question 4. (2x² + 7x - 3) में कितने पद हैं? पदों को लिखिए।
Answer: व्यंजक \( (2x^2 + 7x - 3) \) में तीन पद हैं।
वे पद हैं: \( 2x^2 \), \( 7x \), तथा \( -3 \)।
In simple words: एक व्यंजक में पद वे हिस्से होते हैं जो जोड़ या घटाव के चिन्हों से अलग होते हैं। यहाँ, \( 2x^2 \), \( 7x \), और \( -3 \) तीन अलग-अलग पद हैं।
🎯 Exam Tip: पदों को पहचानने के लिए, धन (+) और ऋण (-) चिह्नों को देखें; प्रत्येक चिह्न एक नए पद की शुरुआत को दर्शाता है।
Question 5. 6x²y + 9x² में y का गुणांक बताइए।
Answer: व्यंजक \( 6x^2y + 9x^2 \) में, पद \( 6x^2y \) में \( y \) का गुणांक \( 6x^2 \) है। दूसरे पद \( 9x^2 \) में \( y \) नहीं है, इसलिए वहाँ \( y \) का गुणांक 0 है। इस प्रकार, पूरे व्यंजक में \( y \) का गुणांक \( 6x^2 \) है।
In simple words: हमें बस उस पद को देखना है जिसमें y है, और फिर देखना है कि y के साथ क्या गुणा हो रहा है। यहाँ, y सिर्फ \( 6x^2y \) में है और इसके साथ \( 6x^2 \) गुणा हो रहा है।
🎯 Exam Tip: एक व्यंजक में किसी विशिष्ट चर का गुणांक ज्ञात करने के लिए, केवल उन पदों पर ध्यान दें जिनमें वह चर मौजूद है।
लघूत्तरीय/दीर्घ उत्तीय प्रश्न
Question 1. निम्नलिखित का पेड़ आरेख खींचिए।
(i) 2x² – 3xy
(ii) 5xy + 10
Answer:
(i) 2x² – 3xy के लिए पेड़ आरेख:
(ii) 5xy + 10 के लिए पेड़ आरेख:
In simple words: पेड़ आरेख एक चित्र है जो दिखाता है कि एक बीजीय व्यंजक कैसे बनता है, जिसमें व्यंजक को सबसे ऊपर, फिर उसके पदों को और फिर हर पद के गुणनखण्डों को नीचे दिखाया जाता है। यह व्यंजक की संरचना को समझने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: पेड़ आरेख बनाते समय, सबसे ऊपर मूल व्यंजक, उसके नीचे पदों को और सबसे नीचे प्रत्येक पद के गुणनखण्डों को लिखें, और उन्हें लाइनों से जोड़ें।
Question 2. (i) 6x² + 2x - 4 और (ii) x³ + 6x – 2 का मान ज्ञात कीजिए यदि x = 2
Answer:
(i) \( 6x^2 + 2x - 4 \) में \( x = 2 \) रखने पर:
\( \implies 6(2)^2 + 2(2) - 4 \)
\( \implies 6 \times 4 + 4 - 4 \)
\( \implies 24 + 4 - 4 \)
\( \implies 28 - 4 \)
\( \implies 24 \)
(ii) \( x^3 + 6x - 2 \) में \( x = 2 \) रखने पर:
\( \implies (2)^3 + 6(2) - 2 \)
\( \implies 8 + 12 - 2 \)
\( \implies 20 - 2 \)
\( \implies 18 \)
In simple words: हमें \( x \) की जगह 2 रखना है और फिर गणित के नियमों का पालन करते हुए हर व्यंजक का मान निकालना है। पहले गुणा और वर्ग या घन करें, फिर जोड़ें या घटाएं।
🎯 Exam Tip: व्यंजकों में मान रखते समय, हमेशा यह सुनिश्चित करें कि आप घात (power) और गुणा (multiplication) संक्रियाओं को जोड़ (addition) और घटाव (subtraction) से पहले हल करें।
Question 3. 4x³ - [9x² - { -5x³ - (2-7x²) + 6x}] को सरल कीजिए।
Answer: \( 4x^3 - [9x^2 - \{ -5x^3 - (2 - 7x^2) + 6x \}] \)
\( \implies 4x^3 - [9x^2 - \{ -5x^3 - 2 + 7x^2 + 6x \}] \) (छोटे कोष्ठक को हल करने पर)
\( \implies 4x^3 - [9x^2 + 5x^3 + 2 - 7x^2 - 6x] \) (मझले कोष्ठक को हल करने पर)
\( \implies 4x^3 - 9x^2 - 5x^3 - 2 + 7x^2 + 6x \) (बड़े कोष्ठक को हल करने पर)
\( \implies (4x^3 - 5x^3) + (-9x^2 + 7x^2) + 6x - 2 \) (समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करने पर)
\( \implies -x^3 - 2x^2 + 6x - 2 \)
In simple words: इस लंबे व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हमें कोष्ठकों को एक-एक करके अंदर से बाहर की ओर खोलना होगा। हर बार जब हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाहर ऋण का चिह्न होता है, तो अंदर के सभी चिह्नों को बदलना होता है।
🎯 Exam Tip: जटिल व्यंजकों को सरल करते समय, हमेशा कोष्ठकों को अंदर से बाहर की ओर खोलें और ऋण चिह्न के वितरण का विशेष ध्यान रखें।
Question 4. इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजिए, जब x = 3, a = -1 और b = -2 हैं
(i) 3x − 5 − x +9
(ii) 2 – 8x + 4x +4
(iii) 3a + 5 - 8a +1
(iv) 10-3b-4 - 5b
(v) 2a - 2b - 4 - 5 + a
Answer:
(i) \( 3x - 5 - x + 9 \)
सरल करने पर: \( (3x - x) + (-5 + 9) = 2x + 4 \)
\( x = 3 \) रखने पर:
\( \implies 2(3) + 4 \)
\( \implies 6 + 4 \)
\( \implies 10 \)
(ii) \( 2 - 8x + 4x + 4 \)
सरल करने पर: \( (-8x + 4x) + (2 + 4) = -4x + 6 \)
\( x = 3 \) रखने पर:
\( \implies -4(3) + 6 \)
\( \implies -12 + 6 \)
\( \implies -6 \)
(iii) \( 3a + 5 - 8a + 1 \)
सरल करने पर: \( (3a - 8a) + (5 + 1) = -5a + 6 \)
\( a = -1 \) रखने पर:
\( \implies -5(-1) + 6 \)
\( \implies 5 + 6 \)
\( \implies 11 \)
(iv) \( 10 - 3b - 4 - 5b \)
सरल करने पर: \( (-3b - 5b) + (10 - 4) = -8b + 6 \)
\( b = -2 \) रखने पर:
\( \implies -8(-2) + 6 \)
\( \implies 16 + 6 \)
\( \implies 22 \)
(v) \( 2a - 2b - 4 - 5 + a \)
सरल करने पर: \( (2a + a) - 2b + (-4 - 5) = 3a - 2b - 9 \)
\( a = -1 \) और \( b = -2 \) रखने पर:
\( \implies 3(-1) - 2(-2) - 9 \)
\( \implies -3 + 4 - 9 \)
\( \implies 1 - 9 \)
\( \implies -8 \)
In simple words: हमें हर व्यंजक को पहले सरल करना है, यानी एक जैसे पदों को एक साथ जोड़ना या घटाना है। फिर, दिए गए चरों (x, a, b) के मानों को व्यंजक में रखकर उसका अंतिम मान निकालना है।
🎯 Exam Tip: चरों के ऋणात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते समय हमेशा कोष्ठकों का उपयोग करें ताकि चिह्न संबंधी त्रुटियों से बचा जा सके।
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