RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 10 त्रिभुजों की रचना Important Questions

Official RBSE Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 10 त्रिभुजों की रचना

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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 10 त्रिभुजों की रचना

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बहुविकल्पीय प्रश्न

 

Question 1. त्रिभुज के तीनों अन्तः कोणों का योग होता है
(A) 80°
(B) 180°
(C) 100°
(D) 90°
Answer: (B) 180°
In simple words: किसी भी त्रिभुज के अंदर के तीनों कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180 डिग्री आता है। यह त्रिभुज का एक महत्वपूर्ण नियम है।

🎯 Exam Tip: इस नियम को 'त्रिभुज के कोणों का योग गुण' कहते हैं और यह ज्यामिति में बहुत उपयोगी है।

 

Question 2. समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजायें होती हैं
(A) समान
(B) असमान
(C) अलग - अलग
(D) छोटी - बड़ी
Answer: (A) समान
In simple words: समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ एक जैसी लंबाई की होती हैं। सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान और तीनों कोण 60° के होते हैं।

 

Question 3. चित्र में, \( \angle X \) का मान होगा यदि \( XY = YZ \) एवं \( \angle Y = 58^\circ \)
(A) 71°
(B) 60°
(C) 61°
(D) 90°
Answer: (C) 61°
In simple words: चूँकि \( XY = YZ \) है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, इसलिए \( \angle X = \angle Z \)। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, तो \( \angle X + \angle Z + \angle Y = 180^\circ \)। मान रखने पर, \( 2\angle X + 58^\circ = 180^\circ \), जिससे \( 2\angle X = 122^\circ \) और \( \angle X = 61^\circ \)।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण भी समान होते हैं, इस गुण का उपयोग ऐसे प्रश्नों को हल करने में करें।

 

Question 5. एक समकोण त्रिभुज दो भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी है तो तीसरी भुजा की माप होगी
(A) 8
(B) 10
(C) 6
(D) 5
Answer: (D) 5
In simple words: समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा (कर्ण) ज्ञात की जा सकती है। यदि भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं, तो कर्ण \( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण² = लंब² + आधार²) को हमेशा याद रखें, यह समकोण त्रिभुज में भुजाओं को ज्ञात करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए

 

Question 1. समकोण त्रिभुज में दो न्यूनकोणों का योग..................है।
Answer: 90°
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री का होता है, तो बचे हुए दो छोटे (न्यून) कोणों का जोड़ भी 90 डिग्री होता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, इसलिए समकोण त्रिभुज में एक 90° कोण होने पर बाकी दो का योग भी 90° ही होगा।

 

Question 2. त्रिभुज की भुजाओं का योग ....... से अधिक होता है।
Answer: तीसरी भुजा
In simple words: किसी भी त्रिभुज में, दो भुजाओं का जोड़ हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से ज्यादा होता है। यह त्रिभुज बनने के लिए जरूरी है।

🎯 Exam Tip: यह नियम त्रिभुज असमानता प्रमेय कहलाता है, जो त्रिभुज की रचना के लिए एक आधारभूत शर्त है।

 

Question 3. एक त्रिभुज में ................... तथा ................... होते है।
Answer: तीन भुजाएँ, तीन कोण
In simple words: एक त्रिभुज में हमेशा तीन सीधी रेखाएँ (भुजाएँ) और इन भुजाओं के मिलने से बने तीन कोने (कोण) होते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों वाली एक बंद ज्यामितीय आकृति है, जिसके कोणों का योग 180° होता है।

 

Question 4. त्रिभुज के बाह्य कोण की माप, उसके दो सम्मुख अन्त: कोणों के ................... के बराबर होती है।
Answer: योग
In simple words: जब त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाया जाता है, तो बाहर बनने वाला कोण, त्रिभुज के अंदर के उन दो कोणों के जोड़ के बराबर होता है जो उस बाहरी कोण के ठीक सामने नहीं होते।

🎯 Exam Tip: बाह्य कोण प्रमेय ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण नियम है, जो बताता है कि त्रिभुज का बाहरी कोण आंतरिक सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

 

सत्य/असत्य

 

Question 1. त्रिभुज में चार भुजाएँ होती हैं।
Answer: असत्य
In simple words: त्रिभुज में केवल तीन भुजाएँ होती हैं, चार भुजाएँ नहीं। चार भुजाओं वाली आकृति को चतुर्भुज कहते हैं।

🎯 Exam Tip: 'त्रि' शब्द का अर्थ ही तीन होता है, जो त्रिभुज की तीन भुजाओं और तीन कोणों को दर्शाता है।

 

Question 2. एक त्रिभुज के तीन शीर्षलम्ब होते हैं।
Answer: सत्य
In simple words: त्रिभुज के हर कोने से सामने वाली भुजा पर एक लंब रेखा खींची जा सकती है, जिसे शीर्षलंब कहते हैं। इस प्रकार, एक त्रिभुज में कुल तीन शीर्षलंब होते हैं।

🎯 Exam Tip: तीनों शीर्षलंब एक ही बिंदु पर मिलते हैं, जिसे लंबकेंद्र (orthocenter) कहते हैं।

 

Question 3. त्रिभुज की कोई दो भुजाओं की मापों का अन्तर तीसरी भुजा की माप से कम होता है।
Answer: सत्य
In simple words: किसी भी त्रिभुज में, दो भुजाओं की लंबाई का अंतर हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है। यह त्रिभुज बनने के लिए एक और शर्त है।

🎯 Exam Tip: यह नियम त्रिभुज असमानता प्रमेय का ही एक रूप है, जो बताता है कि किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है और अंतर तीसरी भुजा से छोटा होता है।

 

Question 4. समद्विबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ बराबर होती है।
Answer: असत्य
In simple words: समद्विबाहु त्रिभुज में केवल दो भुजाएँ बराबर होती हैं, जबकि तीनों भुजाएँ बराबर होने पर उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के दो बराबर भुजाओं के सामने के कोण भी बराबर होते हैं।

 

अति लघूत्तीय प्रश्न

 

Question 1. △ABC में \( \angle A= 50^\circ, \angle B = 70^\circ \) तो \( \angle C \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है: \( \angle A = 50^\circ \) तथा \( \angle B = 70^\circ \)।
त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है।
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \angle C = 60^\circ \)
In simple words: हमें त्रिभुज के दो कोण पता हैं। हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों को जोड़ने पर 180 डिग्री आता है। इसलिए, तीसरे कोण को निकालने के लिए 180 में से बाकी दो कोणों का जोड़ घटा देंगे।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों के योग का गुण ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक है और इसका उपयोग अक्सर अज्ञात कोणों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

 

Question 2. एक समकोण त्रिभुज में आधार = 8 सेमी, लम्ब = 6 सेमी है, तो कर्ण का मान निकालो।
Answer: दिया है, समकोण त्रिभुज में आधार = 8 सेमी और लम्ब = 6 सेमी।
पाइथागोरस प्रमेय से, हम कर्ण ज्ञात कर सकते हैं।
कर्ण\( ^2 \) = लंब\( ^2 \) + आधार\( ^2 \)
कर्ण\( ^2 \) = \( 6^2 + 8^2 \)
\( \implies \) कर्ण\( ^2 \) = \( 36 + 64 \)
\( \implies \) कर्ण\( ^2 \) = \( 100 \)
\( \implies \) कर्ण = \( \sqrt{100} \)
\( \implies \) कर्ण = 10 सेमी
In simple words: एक सीधे कोण (90°) वाले त्रिभुज में, सबसे लंबी भुजा को कर्ण कहते हैं। अगर हमें बाकी दो भुजाएँ पता हैं, तो हम पाइथागोरस के नियम का इस्तेमाल करके कर्ण की लंबाई निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है। ध्यान रखें कि कर्ण हमेशा समकोण के सामने वाली भुजा होती है।

 

Question 3. △ABC में \( AB=3 \) सेमी, \( BC=2 \) सेमी तथा \( CA = 10 \) सेमी है। क्या दी गई मापों के आधार पर त्रिभुज बनना सम्भव है ? अगर सम्भव नहीं है तो क्यों ?
Answer: त्रिभुज की दो भुजाओं की मापों का योग हमेशा तीसरी भुजा की माप से अधिक होना चाहिए।
दी गई भुजाएँ हैं: \( AB = 3 \) सेमी, \( BC = 2 \) सेमी, \( CA = 10 \) सेमी।
नियम के अनुसार जांच करते हैं:
1. \( AB + BC > CA \implies 3 + 2 > 10 \implies 5 > 10 \) (यह असत्य है)
चूंकि पहली शर्त ही पूरी नहीं होती, इसलिए इन मापों से त्रिभुज बनाना संभव नहीं है। किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
In simple words: त्रिभुज बनाने के लिए एक खास नियम होता है: उसकी किन्हीं भी दो भुजाओं को जोड़ने पर उनका कुल तीसरी भुजा से लंबा होना चाहिए। इस सवाल में, दो भुजाओं (3 सेमी और 2 सेमी) का जोड़ (5 सेमी) तीसरी भुजा (10 सेमी) से छोटा है, इसलिए ऐसा त्रिभुज बन ही नहीं सकता।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता प्रमेय ज्यामिति का एक मूलभूत नियम है। यदि यह नियम पूरा नहीं होता है, तो त्रिभुज की रचना संभव नहीं है।

 

Question 4. विषमबाहु त्रिभुज का चित्र बनाइए।
Answer: माना △ABC की भुजाएँ \( AB = 2 \) सेमी, \( BC = 6 \) सेमी, \( CA = 7.2 \) सेमी जो कि अलग - अलग है।
B C A 6 सेमी 2 सेमी 7.2 सेमी
In simple words: विषमबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है। इसमें कोई भी दो भुजाएँ या कोण बराबर नहीं होते हैं।

🎯 Exam Tip: विषमबाहु त्रिभुज को उसकी अलग-अलग भुजाओं की लंबाई या अलग-अलग कोणों से पहचाना जा सकता है।

 

लघूत्तीय एवं दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. समकोण △ABC की रचना कीजिए, जिसकी भुजा \( BC = 4 \) सेमी. कर्ण \( AC=5 \) सेमी और \( \angle B= 90^\circ \)।
Answer: रचना के चरण:
1. सर्वप्रथम, 4 सेमी लंबाई का रेखाखंड BC खींचिए।
2. बिंदु B पर 90° का कोण बनाती हुई किरण BX खींचिए।
3. बिंदु C को केंद्र मानकर, 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण BX को बिंदु A पर काटे।
4. बिंदु C को बिंदु A से मिलाइए।
इस प्रकार, △ABC अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।
A B C 4 सेमी 5 सेमी X In simple words: समकोण त्रिभुज बनाने के लिए, पहले आधार रेखा खींचते हैं। फिर एक सिरे पर 90 डिग्री का कोण बनाते हैं। अंत में, कर्ण की लंबाई लेकर दूसरे सिरे से एक चाप लगाते हैं जो 90 डिग्री की रेखा को काटेगा, जिससे तीसरा बिंदु मिल जाता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज की रचना के चरणों को ध्यान से लिखें और मापने वाले उपकरणों (पटरी, परकार) का सही उपयोग करें।

 

Question 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 3 सेमी तथा अन्य भुजाएँ 5 सेमी हों।
Answer: रचना के चरण:
1. सर्वप्रथम भुजा BC = 3 सेमी की लंबाई का रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु B को केंद्र मानकर, 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
3. बिंदु C को केंद्र मानकर, 5 सेमी त्रिज्या का एक और चाप लगाइए जो पहले चाप को बिंदु A पर काटेगा।
4. बिंदु A को बिंदु B और बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, प्राप्त त्रिभुज ABC अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
A B C 3 सेमी 5 सेमी 5 सेमी In simple words: समद्विबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, पहले आधार रेखा खींचते हैं। फिर बराबर लंबाई की दो भुजाओं की त्रिज्या लेकर दोनों सिरों से चाप लगाते हैं। जहाँ चाप एक-दूसरे को काटते हैं, वह तीसरा बिंदु होता है।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करते समय सुनिश्चित करें कि समान भुजाओं के लिए ली गई त्रिज्या बिल्कुल बराबर हो।

 

Question 3. त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें \( QR = 8 \) सेमी. \( \angle Q= 120^\circ \) और \( \angle R = 30^\circ \)।
Answer: रचना के पद:
1. सर्वप्रथम भुजा QR = 8.0 सेमी की लंबाई का रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु Q पर पटरी - परकार की सहायता से 120° का कोण AQR बनाइए।
3. बिंदु R पर पटरी - परकार की सहायता से 30° का कोण BRQ बनाइए।
4. किरण AQ और BR एक - दूसरे को बिंदु P पर काटते हैं।
इस प्रकार, प्राप्त त्रिभुज PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
P Q R 8 सेमी 120° 30° A B In simple words: त्रिभुज बनाने के लिए, पहले आधार रेखा खींचते हैं। फिर आधार के दोनों सिरों पर दिए गए कोण बनाते हैं। जहाँ दोनों कोणों की किरणें मिलती हैं, वह त्रिभुज का तीसरा बिंदु होता है।

🎯 Exam Tip: कोणों की रचना में परकार और पटरी का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। कोणों का माप सही होना चाहिए।

 

Question 4. एक त्रिभुज की रचना कीजिए जहाँ \( \angle A = 90^\circ \), भुजा \( AC = 5.4 \) सेमी और कर्ण \( BC = 10 \) सेमी।
Answer: रचना के पद:
1. सर्वप्रथम एक सरल रेखा AD खींचिए।
2. AD के बिंदु A पर पटरी - परकार की सहायता से \( \angle EAD = 90^\circ \) बनाइए।
3. A को केंद्र मानकर 5.4 सेमी की त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो भुजा AE को C पर काटता है।
4. अब C को केंद्र मानकर 10 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो रेखा AD को बिंदु B पर काटता है।
5. C को B से मिलाइए।
इस प्रकार प्राप्त त्रिभुज ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
C A B D 5.4 सेमी 10 सेमी 90° In simple words: इस त्रिभुज को बनाने के लिए, पहले एक आधार रेखा खींचते हैं। फिर एक सिरे पर 90 डिग्री का कोण बनाते हैं और उस भुजा पर दी गई लंबाई काटते हैं। अंत में, कर्ण की लंबाई लेकर दूसरे सिरे से एक चाप लगाते हैं जो आधार रेखा को काटेगा, जिससे त्रिभुज पूरा हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: यह रचना RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम पर आधारित है। सुनिश्चित करें कि समकोण और कर्ण की लंबाई सही ढंग से मापी जाए।

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