NCERT Solutions for Class 6 Mathematics: Chapter 08 आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ एवं रचना
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Practice Class 6 Mathematics Solutions: Chapter 08 आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ एवं रचना
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प्रश्न 1. निम्न चित्रों में समान्तर व प्रतिच्छेदी रेखाओं के नाम लिखिए।
Answer: यहाँ दिए गए चित्रों में, हम रेखाओं को दो मुख्य प्रकारों में बाँट सकते हैं: समान्तर रेखाएँ और प्रतिच्छेदी रेखाएँ। समान्तर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, जबकि प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं। हमें इन रेखाओं को ध्यान से पहचानना है।
समान्तर रेखाएँ हैं:
(i) AB और CD
(iv) MN और RS
प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं:
(ii) XY और WZ
(iii) PQ और RS
In simple words: इन तस्वीरों में, AB और CD जैसी रेखाएँ जो कभी नहीं मिलतीं, समान्तर रेखाएँ कहलाती हैं। XY और WZ जैसी रेखाएँ जो एक जगह पर एक-दूसरे को काटती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।
🎯 Exam Tip: रेखाओं के प्रकारों को समझने के लिए हमेशा चित्रों को ध्यान से देखें। समान्तर रेखाएँ बराबर दूरी पर चलती हैं और कभी नहीं मिलतीं, जबकि प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं।
प्रश्न 2. यदि 5 असमान लम्बाई की रेखाएँ एक बिन्दु से होकर गुजरें तो बनने वाली आकृति में रेखाएँ कौन-सी रेखाएँ कहलाती हैं ?
Answer: यदि पाँच अलग-अलग लंबाई की रेखाएँ एक ही बिंदु से होकर गुजरती हैं, तो इन सभी रेखाओं को 'संगामी रेखाएँ' कहा जाता है। यह एक विशेष प्रकार की ज्यामितीय स्थिति है जहाँ सभी रेखाएँ एक साझा बिंदु पर मिलती हैं।
In simple words: जब बहुत सारी लाइनें एक ही जगह से होकर निकलती हैं, तो उन्हें संगामी रेखाएँ कहते हैं। चाहे उनकी लंबाई अलग-अलग हो।
🎯 Exam Tip: संगामी रेखाओं की परिभाषा याद रखें: वे सभी रेखाएँ जो एक ही बिंदु से गुजरती हैं, संगामी रेखाएँ कहलाती हैं, भले ही उनकी लंबाई अलग हो।
प्रश्न 3. निम्नलिखित माप के रेखाखंडों के लम्ब समद्विभाजन कीजिए और प्रत्येक भाग को नाप करे लिखिए।
(i) 8 सेमी
(ii) 7.6 सेमी
(iii) 5.8 सेमी
(iv) 6.4 सेमी
Answer: लंब समद्विभाजक बनाने और प्रत्येक भाग को मापने के लिए इन चरणों का पालन करें:
(i) 8 सेमी
रचना:
1. एक रेखाखंड AB = 8 सेमी खींचिए।
2. बिंदु A और B को केंद्र मानकर, AB की आधी लंबाई से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखाखंड AB के दोनों ओर चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को C और D बिंदुओं पर काटेंगे।
3. C और D बिंदुओं को मिलाइए। रेखा CD, रेखाखंड AB को बिंदु O पर काटेगी।
4. इस प्रकार, रेखा CD, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है। OA तथा OB समान लंबाई के दो अभीष्ट खंड हैं। यह निर्माण किसी भी रेखाखंड को ठीक आधे में बांटता है।
माप: \( OA = OB = 4 \) सेमी।
(ii) 7.6 सेमी
रचना:
1. एक रेखाखंड AB = 7.6 सेमी खींचिए।
2. बिंदु A और B को केंद्र मानकर, AB की आधी लंबाई से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखाखंड AB के दोनों ओर चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को C और D बिंदुओं पर काटेंगे।
3. C और D बिंदुओं को मिलाइए। रेखा CD, रेखाखंड AB को बिंदु O पर काटेगी।
4. इस प्रकार, रेखा CD, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है। OA तथा OB समान लंबाई के दो अभीष्ट खंड हैं। यह निर्माण ज्यामिति में रेखाखंडों को बराबर हिस्सों में बांटने के लिए उपयोगी है।
माप: \( OA = OB = 3.8 \) सेमी।
(iii) 5.8 सेमी
रचना:
1. एक रेखाखंड AB = 5.8 सेमी खींचिए।
2. बिंदु A और B को केंद्र मानकर, AB की आधी लंबाई से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखाखंड AB के दोनों ओर चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को C और D बिंदुओं पर काटेंगे।
3. C और D बिंदुओं को मिलाइए। रेखा CD, रेखाखंड AB को बिंदु O पर काटेगी।
4. इस प्रकार, रेखा CD, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है। OA तथा OB समान लंबाई के दो अभीष्ट खंड हैं। लंब समद्विभाजक हमेशा रेखाखंड के मध्य बिंदु से गुजरता है और उस पर लंब होता है।
माप: \( OA = OB = 2.9 \) सेमी।
(iv) 6.4 सेमी
रचना:
1. एक रेखाखंड AB = 6.4 सेमी खींचिए।
2. बिंदु A और B को केंद्र मानकर, AB की आधी लंबाई से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखाखंड AB के दोनों ओर चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को C और D बिंदुओं पर काटेंगे।
3. C और D बिंदुओं को मिलाइए। रेखा CD, रेखाखंड AB को बिंदु O पर काटेगी।
4. इस प्रकार, रेखा CD, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक है। परकार और रूलर का उपयोग करके इस तरह के निर्माण बहुत सटीक होते हैं।
माप: \( OA = OB = 3.2 \) सेमी।
In simple words: किसी भी रेखा को दो बराबर हिस्सों में बांटने के लिए, पहले उस लाइन से थोड़ा ज्यादा लंबी त्रिज्या लेकर उसके दोनों सिरों से चाप (आर्क) बनाओ। जहाँ ये चाप काटते हैं, उन बिंदुओं को मिला दो। यह नई लाइन पुरानी लाइन को ठीक बीच में काटेगी और उस पर सीधी खड़ी भी होगी।
🎯 Exam Tip: लंब समद्विभाजक बनाते समय परकार की त्रिज्या रेखाखंड की आधी लंबाई से ज़्यादा होनी चाहिए। चाप सही ढंग से काटें और रेखाओं को ध्यान से मिलाएँ। हमेशा अंतिम माप को दोबारा जांचें।
प्रश्न 4. निम्न चित्रों में लम्बवत् रेखाओं को पहचान कर उनके नाम लिखिए।
Answer: दिए गए चित्रों को ध्यान से देखने पर हम पहचान सकते हैं कि कौन सी रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं। लंबवत रेखाएँ वे होती हैं जो एक-दूसरे को ठीक 90 डिग्री के कोण पर काटती हैं। हम कोणों को मापकर या देखकर यह पता लगा सकते हैं। यहां लंबवत रेखाओं के जोड़े दिए गए हैं:
(i) रेखा PQ, रेखा QR पर लंबवत है।
(ii) रेखा XY, रेखा PQ पर लंबवत है।
(v) रेखा AB, रेखा BC पर लंबवत है।
In simple words: लंबवत रेखाएँ वे होती हैं जो एक-दूसरे पर सीधी खड़ी होती हैं, जैसे दीवार ज़मीन पर खड़ी होती है। ये जहाँ मिलती हैं, वहाँ एक कोने जैसा 90 डिग्री का कोण बनाती हैं।
🎯 Exam Tip: लंबवत रेखाओं को पहचानने के लिए, हमेशा उनके बीच बने कोण को देखें। यदि कोण 90 डिग्री का है, तो रेखाएँ लंबवत हैं। समकोण का निशान (वर्ग) देखकर भी पहचान सकते हैं।
प्रश्न 5. एक रेखाखंड MN खींचिए उस पर कोई बिन्दु L अंकित कीजिए। L से होकर रेखा MN पर एक लम्ब रूलर व परकार की सहायता से खींचिए।
Answer: दिए गए रेखाखंड पर एक बिंदु L से लंब खींचने के लिए इन चरणों का पालन करें:
चरण 1: सबसे पहले, एक रेखा MN खींचिए और उस पर एक बिंदु L अंकित कीजिए।
चरण 2: अब, बिंदु L को केंद्र मानकर एक सुविधाजनक त्रिज्या (न ज़्यादा छोटी, न ज़्यादा बड़ी) लेकर एक चाप (आर्क) बनाइए। यह चाप रेखा MN को दो बिंदुओं C और D पर काटेगा।
चरण 3: फिर, बिंदु C और बिंदु D को केंद्र मानकर, CD की आधी से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखा MN के ऊपर (या नीचे) दो और चाप लगाइए। ये दोनों चाप एक-दूसरे को बिंदु Q पर काटेंगे।
चरण 4: अंत में, बिंदु L और बिंदु Q को एक सीधी रेखा से मिला दीजिए। इस प्रकार, रेखा QL, रेखा MN पर लंबवत होगी। यह निर्माण एक बिंदु से गुजरने वाले लंब को दर्शाता है।
In simple words: किसी लाइन पर एक बिंदु से सीधी खड़ी लाइन खींचने के लिए, पहले उस बिंदु से लाइन पर दो निशान लगाओ। फिर उन दो निशानों से ऊपर की तरफ़ दो और चाप बनाओ जो एक-दूसरे को काटें। जहाँ ये चाप काटते हैं, उसे अपने पहले बिंदु से मिला दो, बन गई सीधी खड़ी लाइन।
🎯 Exam Tip: रेखाखंड पर स्थित बिंदु से लंब खींचते समय, पहले चाप के लिए त्रिज्या इतनी होनी चाहिए कि वह रेखाखंड को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटे। बाद वाले चापों की त्रिज्या CD की आधी से ज़्यादा रखें।
प्रश्न 6. एक रेखाखण्ड AB खींचिए कोई बिन्दु R लीजिए जो AB पर ना हो, बिन्दु R से AB पर एक लम्ब खींचिए।
Answer: एक रेखा AB पर, बाहर स्थित बिंदु R से लंब खींचने के लिए इन चरणों का पालन करें:
चरण 1: सबसे पहले, एक रेखाखंड AB खींचिए। फिर रेखा AB के बाहर एक बिंदु R लीजिए। बिंदु R AB रेखा पर नहीं होना चाहिए।
चरण 2: अब, बिंदु R को केंद्र मानकर एक उपयुक्त त्रिज्या (इतनी कि वह रेखा AB को काट सके) लेकर एक चाप (आर्क) बनाइए। यह चाप रेखा AB को दो बिंदुओं C और D पर काटेगा।
चरण 3: फिर, बिंदु C और बिंदु D को केंद्र मानकर, CD की आधी लंबाई से ज़्यादा त्रिज्या लेकर, रेखा AB के दूसरी ओर (जहाँ बिंदु R नहीं है) दो और चाप लगाइए। ये दोनों चाप एक-दूसरे को बिंदु Q पर काटेंगे। फिर बिंदु R और बिंदु Q को एक सीधी रेखा से मिला दीजिए। इस प्रकार, रेखा RQ (या PR), रेखा AB पर लंबवत होगी। यह विधि एक बाहरी बिंदु से रेखा पर लंब खींचना सिखाती है।
In simple words: अगर एक लाइन के बाहर एक बिंदु हो और उससे लाइन पर सीधी खड़ी लाइन खींचनी हो, तो उस बिंदु से लाइन पर दो चाप बनाओ। फिर उन दो चापों से लाइन के नीचे (या ऊपर) की तरफ़ दो और चाप बनाओ जो एक-दूसरे को काटें। जहाँ ये चाप काटते हैं, उसे अपने बाहर वाले बिंदु से मिला दो, यही सीधी खड़ी लाइन होगी।
🎯 Exam Tip: रेखा के बाहर स्थित बिंदु से लंब खींचते समय, पहले चाप की त्रिज्या इतनी होनी चाहिए कि वह रेखा को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटे। बाद वाले चापों की त्रिज्या हमेशा CD की आधी से ज़्यादा रखें और सुनिश्चित करें कि वे सही जगह पर काटें।
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Textbook Solutions for Class 6 Mathematics Chapter 08 आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ एवं रचना
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