NCERT Solutions for Class 6 Mathematics: Chapter 07 वैदिक गणित
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Practice Class 6 Mathematics Solutions: Chapter 07 वैदिक गणित
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Question 1. निखिलम् सूत्र से भाग कीजिए।
(i) 124 ÷ 89
(ii) 406 ÷ 9
(iii) 298 ÷ 96
(iv) 135 ÷ 113
(v) 1234 ÷ 112
(vi) 306 ÷ 8
Answer:
निखिलम् सूत्र से भाग करने पर-
(i) 124 ÷ 89
सबसे पहले, भाजक \( = 89 \)।
पूरक अंक \( = 100 - 89 = 11 \)।
हम संख्या को तीन भागों में बाँटते हैं। चूंकि आधार संख्या 100 में दो शून्य हैं, शेषफल में ज़्यादा से ज़्यादा दो अंक होंगे। इसलिए, दाईं ओर से दो अंक छोड़कर एक सीधी रेखा खींचते हैं। बाईं ओर भी एक सीधी रेखा खींचते हैं। इस रेखा के बाईं ओर भाजक 89 और उसके नीचे पूरक संख्या 11 लिखते हैं। यह वैदिक गणित का एक सीधा तरीका है।
| प्रथम खण्ड | मध्य खण्ड | तृतीय खण्ड |
|---|---|---|
| संख्या | 1 | 24 |
| पूरक अंक | 11 |
अब आगे के चरण इस प्रकार हैं:
| प्रथम खण्ड | मध्य खण्ड | तृतीय खण्ड | |
|---|---|---|---|
| संख्या | 1 | 2 | 4 |
| पूरक अंक | 1 | 1 | |
| योग→ | 1 | 3 | 5 |
सबसे पहले भाज्य के मध्य खण्ड का पहला अंक (1) नीचे लिखते हैं। इसके बाद, इस अंक (1) को पूरक संख्या (11) से गुणा करके भाजक के अगले अंकों के नीचे लिखते हैं। अब दाईं ओर के अंकों को जोड़ देते हैं। रेखा का मध्य भाग भागफल है और तृतीय भाग शेषफल है।
अतः भागफल 1 और शेषफल 35 प्राप्त हुआ।
In simple words: हम संख्या को तीन हिस्सों में बाँटते हैं। भाजक 89 है, इसलिए पूरक अंक 11 है। हम पहले अंक को नीचे लाते हैं, फिर उसे पूरक अंक से गुणा करते हैं और अंकों को जोड़ते जाते हैं। इससे हमें भागफल 1 और शेषफल 35 मिलता है।
🎯 Exam Tip: निखिलम् विधि में भाजक को 100 या 1000 जैसे आधार के करीब लाने के लिए पूरक अंक का सही उपयोग करना बहुत महत्वपूर्ण है।
(ii) 406 ÷ 9
भागफल: 45, शेषफल: 1
In simple words: 406 को 9 से भाग देने पर, भागफल 45 आता है और शेषफल 1 बचता है।
🎯 Exam Tip: छोटे भाजकों के लिए निखिलम् विधि का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि आधार संख्या सही हो, जैसे 9 के लिए 10।
(iii) 298 ÷ 96
यहां भाजक \( = 96 \)।
पूरक अंक \( = 100 - 96 = 04 \)।
आधार 100 होने के कारण, शेषफल में दो अंक होंगे।
| प्रथम खण्ड | मध्य खण्ड | तृतीय खण्ड |
|---|---|---|
| संख्या | 2 | 98 |
| पूरक अंक | 04 |
आगे के चरण इस प्रकार हैं:
| प्रथम खण्ड | मध्य खण्ड | तृतीय खण्ड | ||
|---|---|---|---|---|
| संख्या | 2 | 0 | 8 | |
| पूरक अंक | 0 | |||
| 8 | ||||
| योग→ | 10 | 6 | ||
| 1 | 0 | 4 | ||
| योग→ | 3 | 10 |
यहां आधार 100 है, इसलिए दाईं ओर दो अंक रखे गए हैं। योग के नीचे 2 लिखते हैं और फिर 2 को पूरक संख्या (04) से गुणा करके तृतीय खण्ड में 08 लिखते हैं। शेषफल 106 आया, लेकिन तृतीय खण्ड में केवल दो अंक ही रखने हैं क्योंकि आधार 100 है। इसलिए, 106 में से 06 को तृतीय खण्ड में रखते हुए, 1 को मध्य खण्ड में जोड़ते हैं। फिर इस 1 को पूरक संख्या से गुणा करके तृतीय खण्ड में लिखते हैं।
आखिर में, मध्य खण्ड और तृतीय खण्ड के योग को लिखते हैं।
अतः भागफल 3 और शेषफल 10 प्राप्त हुआ। यह विधि संख्याओं को आसान तरीके से विभाजित करने में मदद करती है।
In simple words: 298 को 96 से भाग देने के लिए, हम पूरक अंक 04 का उपयोग करते हैं। हम संख्याओं को तीन हिस्सों में बाँटते हैं, गुणा करते हैं और जोड़ते हैं। हमें भागफल 3 और शेषफल 10 मिलता है।
🎯 Exam Tip: जब शेषफल भाजक से बड़ा हो जाए, तो आपको उसे फिर से समायोजित करना होगा, भागफल में जोड़ना होगा और शेषफल को छोटा करना होगा।
(iv) 135 ÷ 113
भाजक \( = 113 \), आधार \( = 100 \), विचलन \( = 13 \)।
परावर्तित अंक \( = -1, -3 \)।
अतः तृतीय खण्ड में 58 और मध्य खण्ड में 13 रखा गया।
13 को 1 के नीचे लिखा गया, और योग की जगह गुणनफल \( 1 \times (-1) \times (-3) = -1 -3 \) लिखा गया।
फिर 3 के नीचे -1 और 5 के नीचे -3 लिखते हैं।
योग \( 3 - 1 = 2 \) को योग की जगह पर लिखा गया।
पुनः गुणनफल \( 2 \times (-1) \times (-3) = -2 - 6 \) को अंतिम अंकों के नीचे लिखते हैं।
योग करने पर भागफल \( = 12 \) और शेषफल \( = 02 \) प्राप्त होता है। यह विधि निखिलम् से थोड़ी अलग है क्योंकि इसमें विचलन नकारात्मक होता है।
| योग | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 0 | 2 |
In simple words: 135 को 113 से भाग देने के लिए, हम भाजक 113 से विचलन 13 लेते हैं और परावर्तित अंक -1, -3 का उपयोग करते हैं। हम अंकों को गुणा और जोड़ते हैं, जिससे हमें भागफल 12 और शेषफल 02 मिलता है।
🎯 Exam Tip: 'परावर्त्य योजयेत्' विधि में विचलन के नकारात्मक अंकों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे गुणनफल के चिह्नों को बदल देते हैं।
(v) 1234 ÷ 112
यहां भाजक \( = 112 \), आधार \( = 100 \), विचलन \( = 12 \)।
परावर्तित अंक \( = -1, -2 \)।
अतः तृतीय खण्ड में 34 और मध्य खण्ड में 12 रखते हैं।
12 को 1 के नीचे लिखते हैं। योग की जगह, गुणनफल \( 1 \times (-1) \times (-2) = -1 -2 \) लिखते हैं।
फिर 2 के नीचे -1 और 3 के नीचे -2 लिखते हैं।
योग \( 2 - 1 = 1 \) को योग की जगह लिखते हैं।
पुनः गुणनफल \( 1 \times (-1) \times (-2) = -1 -2 \) को अंतिम अंकों के नीचे लिखते हैं। यह विधि भी परावर्त्य योजयेत् का उदाहरण है।
योग करने पर भागफल \( = 11 \) और शेषफल \( = 02 \) प्राप्त होता है।
| प्रथम खण्ड | मध्य खण्ड | तृतीय खण्ड | |||
|---|---|---|---|---|---|
| भाजक | 112 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| विचलन | -1 | -2 | |||
| परावर्तित अंक | 1 | -2 | |||
| -1 | -2 | ||||
| -1 | -2 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 2 |
In simple words: 1234 को 112 से भाग देने के लिए, हम विचलन 12 का उपयोग करते हैं और परावर्तित अंक -1, -2 लेते हैं। हम अंकों को गुणा करते हैं, जोड़ते हैं और सही जगह पर लिखते हैं। हमें भागफल 11 और शेषफल 02 मिलता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप विचलन के चिह्नों को सही ढंग से बदलें (परावर्तित अंक), क्योंकि यह पूरी गणना को प्रभावित करता है।
(vi) 306 ÷ 8
यहां मध्य खण्ड के 3 को योग के स्थान पर नीचे लिखते हैं।
अंक 3 को पूरक संरूपता से गुणा करते हैं \( (3 \times 2 = 6) \), 0 के नीचे लिखते हैं और तृतीय खण्ड को खाली छोड़ देते हैं।
योग \( 0 + 6 = 6 \) को योग के स्थान पर नीचे लिखते हैं।
पुनः 6 को पूरक संख्या \( (6 \times 2 = 12) \) से गुणा करते हैं, तृतीय खण्ड में 6 के नीचे लिखते हैं।
योग \( 6 + 6 = 12 \) को योग के स्थान पर नीचे लिखते हैं।
शेषफल 12 आया, लेकिन तृतीय खण्ड में 1 अंक रहेगा क्योंकि आधार 10 है। अतः 12 में से 2 को तृतीय खण्ड में छोड़कर 1 की पूरक संख्या से गुणा करके उसे मध्य खण्ड में जोड़ते हैं।
मध्य खण्ड और तृतीय खण्ड का योग करके लिखते हैं। यह प्रक्रिया वैदिक गणित के निखिलम् सूत्र का एक सरल अनुप्रयोग है।
अतः भागफल 38 और शेषफल 2 प्राप्त हुआ।
| संख्या | 3 | 0 | 6 | |
|---|---|---|---|---|
| पूरक अंक 2 | 6 | |||
| 6 | ||||
| योग→ | 3 | 6 | 12 | |
| 1 | 2 | |||
| 2 | ||||
| योग→ | 3 | 8 | 2 |
In simple words: 306 को 8 से भाग देने के लिए, हम पूरक अंक 2 का उपयोग करते हैं। हम अंकों को क्रम से नीचे लाते हैं, गुणा करते हैं और जोड़ते हैं। हमें भागफल 38 और शेषफल 2 मिलता है।
🎯 Exam Tip: आधार 10 होने पर शेषफल में केवल एक अंक होता है, इसलिए जब शेषफल दो अंकों का हो जाए, तो उसे समायोजित करना याद रखें।
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