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Question 1. गुणा कीजिए (सूत्र निखिलम् से)।
(i) 12 x 13
(ii) 11 x 19
(iii) 13 x 15
(iv) 8 x 7
(v) 6 x 9
(vi) 8 x 12
(vii) 102 x 104
(viii) 106 x 107
(ix) 112 x 109
(x) 91 x 98
(xi) 96 x 94
(xii) 98 x 104
(xiii) 85 x 93
Answer:
(i) 12 x 13
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 12 | \( +2 \) |
| \( \times \) 13 | \( +3 \) |
\( = (12 + 3) \) या \( (+2 \times +3) \)
\( = (13 + 2) \) या \( 6 \)
\( = 15/6 \)
\( = 156 \)
निखिलम् विधि से 12 को 13 से गुणा करने के लिए, हम आधार 10 लेते हैं। संख्या 12, 10 से 2 ज़्यादा है (विचलन \( +2 \)) और संख्या 13, 10 से 3 ज़्यादा है (विचलन \( +3 \))। हम संख्याओं और उनके विचलनों को एक साथ लिखते हैं। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (2 \times 3 = 6) \)। बाएं भाग के लिए, हम किसी एक संख्या को दूसरे के विचलन से जोड़ते हैं \( (12 + 3 = 15 \) या \( 13 + 2 = 15) \)। आधार 10 में एक ही शून्य होता है, इसलिए दाहिने भाग में एक अंक रहता है। चूंकि 6 एक अंक है, इसलिए कोई अंक स्थानांतरित नहीं होता। दोनों भागों को जोड़ने पर गुणनफल 156 मिलता है।
In simple words: 12 को 13 से गुणा करने के लिए, आधार 10 लेते हैं। विचलन \( +2 \) और \( +3 \) हैं। हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (2 \times 3 = 6) \) और क्रॉस-जोड़ते हैं \( (12 + 3 = 15) \)। इन दो हिस्सों को मिलाकर 156 उत्तर आता है।
🎯 Exam Tip: निखिलम् विधि में, विचलन सही ढंग से निकालना और आधार के अनुसार दाहिने भाग में अंकों की संख्या बनाए रखना महत्वपूर्ण है।
(ii) 11 x 19
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 11 | \( +1 \) |
| \( \times \) 19 | \( +9 \) |
\( = (11 + 9) \) या \( (+1 \times +9) \)
\( = (19 + 1) \) या \( +9 \)
\( = 20/9 \)
\( = 209 \)
11 को 19 से गुणा करने के लिए, आधार 10 है। संख्या 11, 10 से 1 अधिक है (विचलन \( +1 \)) और संख्या 19, 10 से 9 अधिक है (विचलन \( +9 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (1 \times 9 = 9) \)। बाएं भाग के लिए, हम \( 11 + 9 = 20 \) या \( 19 + 1 = 20 \) प्राप्त करते हैं। आधार 10 में एक शून्य है, इसलिए दाहिने भाग में एक अंक रहता है। चूंकि 9 एक अंक है, इसलिए कोई स्थानांतरण नहीं होता। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 209 मिलता है।
In simple words: 11 गुणा 19 के लिए, विचलन \( +1 \) और \( +9 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 9 मिलता है। क्रॉस-जोड़ने पर \( 11 + 9 = 20 \) मिलता है। तो उत्तर 209 है।
🎯 Exam Tip: जब विचलन सकारात्मक हों, तो गुणा और योग दोनों सरल होते हैं। इस विधि को तेज़ी से करने के लिए मानसिक गणना का अभ्यास करें।
(iii) 13 x 15
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 13 | \( +3 \) |
| \( \times \) 15 | \( +5 \) |
\( = (13 + 5) \) या \( (+3 \times +5) \)
\( = (15 + 3) \) या \( 15 \)
\( = 18/15 \)
\( = 19/5 \)
\( = 195 \)
13 को 15 से गुणा करने के लिए, आधार 10 है। संख्या 13, 10 से 3 अधिक है (विचलन \( +3 \)) और संख्या 15, 10 से 5 अधिक है (विचलन \( +5 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (3 \times 5 = 15) \)। बाएं भाग के लिए, हम \( 13 + 5 = 18 \) या \( 15 + 3 = 18 \) प्राप्त करते हैं। आधार 10 में एक शून्य है, इसलिए दाहिने भाग में केवल एक अंक होना चाहिए। दाहिने भाग का गुणनफल 15 है, इसलिए इकाई का अंक 5 दाहिने भाग में रहता है और दहाई का अंक 1 बाएं भाग में जोड़ दिया जाता है। बाएं भाग में \( 18 + 1 = 19 \) हो जाता है। अंत में, दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 195 प्राप्त होता है।
In simple words: 13 गुणा 15 के लिए, विचलन \( +3 \) और \( +5 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 15 मिलता है। क्रॉस-जोड़ने पर 18 मिलता है। क्योंकि आधार 10 में एक ही अंक रहता है, 1 को 18 में जोड़ देते हैं, जिससे 19 बनता है। तो उत्तर 195 है।
🎯 Exam Tip: जब दाहिने भाग में आधार से ज़्यादा अंक हों, तो अतिरिक्त अंकों को बाएं भाग में स्थानांतरित (कैरी-ओवर) करना न भूलें।
(iv) 8 x 7
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 8 | \( -2 \) |
| \( \times \) 7 | \( -3 \) |
\( = (8 - 3) \) या \( (-2 \times -3) \)
\( = (7 - 2) \) या \( +6 \)
\( = 5/6 \)
\( = 56 \)
8 को 7 से गुणा करने के लिए, हम आधार 10 लेते हैं। संख्या 8, 10 से 2 कम है (विचलन \( -2 \)) और संख्या 7, 10 से 3 कम है (विचलन \( -3 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-2 \times -3 = +6) \)। बाएं भाग के लिए, हम किसी एक संख्या से दूसरे के विचलन को घटाते हैं \( (8 - 3 = 5 \) या \( 7 - 2 = 5) \)। आधार 10 में एक अंक रहता है। चूंकि 6 एक अंक है, इसलिए कोई स्थानांतरण नहीं होता। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 56 मिलता है।
In simple words: 8 गुणा 7 के लिए, विचलन \( -2 \) और \( -3 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर \( +6 \) मिलता है। क्रॉस-घटाने पर \( 8 - 3 = 5 \) मिलता है। तो उत्तर 56 है।
🎯 Exam Tip: जब विचलन ऋणात्मक हों, तो क्रॉस-योग की बजाय क्रॉस-घटाना किया जाता है, और दो ऋणात्मक विचलनों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है।
(v) 6 x 9
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 6 | \( -4 \) |
| \( \times \) 9 | \( -1 \) |
\( = (6 - 1) \) या \( (-4 \times -1) \)
\( = (9 - 4) \) या \( +4 \)
\( = 5/4 \)
\( = 54 \)
6 को 9 से गुणा करने के लिए, आधार 10 है। संख्या 6, 10 से 4 कम है (विचलन \( -4 \)) और संख्या 9, 10 से 1 कम है (विचलन \( -1 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-4 \times -1 = 4) \)। बाएं भाग के लिए, हम \( 6 - 1 = 5 \) या \( 9 - 4 = 5 \) प्राप्त करते हैं। आधार 10 में एक अंक रहता है। चूंकि 4 एक अंक है, इसलिए कोई स्थानांतरण नहीं होता। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 54 मिलता है।
In simple words: 6 गुणा 9 के लिए, विचलन \( -4 \) और \( -1 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 4 मिलता है। क्रॉस-घटाने पर 5 मिलता है। तो उत्तर 54 है।
🎯 Exam Tip: ऋणात्मक विचलनों के साथ काम करते समय घटाने और गुणा के नियमों को याद रखें ताकि गलतियाँ न हों।
(vi) 8 x 12
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 8 | \( -2 \) |
| \( \times \) 12 | \( +2 \) |
\( = (8 + 2) \) या \( (-2 \times +2) \)
\( = (12 - 2) \) या \( -4 \)
\( = 10/-4 \)
\( = 9/10 - 4 \)
\( = 9/6 \)
\( = 96 \)
8 को 12 से गुणा करने के लिए, आधार 10 है। संख्या 8, 10 से 2 कम है (विचलन \( -2 \)) और संख्या 12, 10 से 2 अधिक है (विचलन \( +2 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-2 \times +2 = -4) \)। चूंकि दाहिने भाग का गुणनफल ऋणात्मक है, इसे धनात्मक बनाने के लिए बाएं भाग से 1 उधार लेते हैं (जो आधार 10 के बराबर होता है)। बाएं भाग में \( 10 - 1 = 9 \) शेष बचता है। दाहिने भाग में \( 10 - 4 = 6 \) शेष बचता है। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 96 मिलता है।
In simple words: 8 गुणा 12 के लिए, विचलन \( -2 \) और \( +2 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर \( -4 \) मिलता है। क्रॉस-जोड़ने या घटाने पर 10 मिलता है। चूंकि दाहिने भाग में \( -4 \) है, इसलिए बाएं से 1 (यानी 10) उधार लेकर \( 10 - 4 = 6 \) करते हैं और बाएं भाग में 9 बचता है। तो उत्तर 96 है।
🎯 Exam Tip: जब एक विचलन धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो, और गुणनफल ऋणात्मक आए, तो उसे धनात्मक बनाने के लिए बाएं भाग से आधार (जैसे 10) उधार लेना याद रखें।
(vii) 102 x 104
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 102 | \( +02 \) |
| \( \times \) 104 | \( +04 \) |
\( = (102 + 04) \) या \( (+02 \times +04) \)
\( = (104 + 02) \) या \( 08 \)
\( = 106/08 \)
\( = 10608 \)
102 को 104 से गुणा करने के लिए, हम आधार 100 लेते हैं। संख्या 102, 100 से 2 अधिक है (विचलन \( +02 \)) और संख्या 104, 100 से 4 अधिक है (विचलन \( +04 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (2 \times 4 = 8) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। हम 8 को 08 लिखते हैं। बाएं भाग के लिए, हम \( 102 + 4 = 106 \) या \( 104 + 2 = 106 \) प्राप्त करते हैं। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 10608 मिलता है।
In simple words: 102 गुणा 104 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( +02 \) और \( +04 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 08 मिलता है (क्योंकि आधार 100 है)। क्रॉस-जोड़ने पर 106 मिलता है। तो उत्तर 10608 है।
🎯 Exam Tip: जब आधार 100 हो, तो दाहिने भाग में हमेशा दो अंक होने चाहिए; यदि गुणनफल एक अंक का हो, तो उसके आगे शून्य (जैसे 08) लगाएँ।
(viii) 106 x 107
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 106 | \( +06 \) |
| \( \times \) 107 | \( +07 \) |
\( = (106 + 07) \) या \( (+06 \times +07) \)
\( = (107 + 06) \) या \( 42 \)
\( = 113/42 \)
\( = 11342 \)
106 को 107 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 106, 100 से 6 अधिक है (विचलन \( +06 \)) और संख्या 107, 100 से 7 अधिक है (विचलन \( +07 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (6 \times 7 = 42) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। चूंकि 42 दो अंक का है, इसलिए यह वैसे ही रहता है। बाएं भाग के लिए, हम \( 106 + 7 = 113 \) या \( 107 + 6 = 113 \) प्राप्त करते हैं। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 11342 मिलता है।
In simple words: 106 गुणा 107 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( +06 \) और \( +07 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 42 मिलता है। क्रॉस-जोड़ने पर 113 मिलता है। तो उत्तर 11342 है।
🎯 Exam Tip: बड़े अंकों के साथ गुणा करते समय, विचलनों को सावधानी से गुणा करें और जांचें कि दाहिने भाग में आधार के अनुरूप सही संख्या में अंक हैं।
(ix) 112 x 109
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 112 | \( +12 \) |
| \( \times \) 109 | \( +09 \) |
\( = (112 + 09) \) या \( (+12 \times +09) \)
\( = (109 + 12) \) या \( 108 \)
\( = 121/108 \)
\( = 122/08 \)
\( = 12208 \)
112 को 109 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 112, 100 से 12 अधिक है (विचलन \( +12 \)) और संख्या 109, 100 से 9 अधिक है (विचलन \( +09 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (12 \times 9 = 108) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। चूंकि 108 तीन अंकों की संख्या है, इसलिए इकाई और दहाई के अंक (08) दाहिने भाग में रहते हैं, और सैकड़ा का अंक 1 बाएं भाग में स्थानांतरित (कैरी-ओवर) कर दिया जाता है। बाएं भाग के लिए, हम \( 112 + 9 = 121 \) या \( 109 + 12 = 121 \) प्राप्त करते हैं। कैरी-ओवर 1 को इस 121 में जोड़ने पर \( 121 + 1 = 122 \) हो जाता है। अंत में, दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 12208 मिलता है।
In simple words: 112 गुणा 109 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( +12 \) और \( +09 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 108 मिलता है। क्रॉस-जोड़ने पर 121 मिलता है। चूंकि 108 में तीन अंक हैं, हम 08 को दाहिने भाग में रखते हैं और 1 को 121 में जोड़ देते हैं, जिससे 122 बनता है। तो उत्तर 12208 है।
🎯 Exam Tip: जब दाहिने भाग का गुणनफल आधार के शून्य से ज़्यादा अंकों वाला हो, तो अतिरिक्त अंक को बाएं भाग में जोड़ना न भूलें।
(x) 91 x 98
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 91 | \( -09 \) |
| \( \times \) 98 | \( -02 \) |
\( = (91 - 02) \) या \( (-09 \times -02) \)
\( = (98 - 09) \) या \( 18 \)
\( = 89/18 \)
\( = 8918 \)
91 को 98 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 91, 100 से 9 कम है (विचलन \( -09 \)) और संख्या 98, 100 से 2 कम है (विचलन \( -02 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-09 \times -02 = 18) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। चूंकि 18 दो अंक का है, इसलिए यह वैसे ही रहता है। बाएं भाग के लिए, हम \( 91 - 2 = 89 \) या \( 98 - 9 = 89 \) प्राप्त करते हैं। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 8918 मिलता है।
In simple words: 91 गुणा 98 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( -09 \) और \( -02 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 18 मिलता है। क्रॉस-घटाने पर 89 मिलता है। तो उत्तर 8918 है।
🎯 Exam Tip: ऋणात्मक विचलनों के गुणनफल के कारण धनात्मक परिणाम मिलता है, जिसका दाहिने भाग में सही ढंग से प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए।
(xi) 96 x 94
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 96 | \( -4 \) |
| \( \times \) 94 | \( -6 \) |
\( = (96 - 6) \) या \( (-4 \times -6) \)
\( = (94 - 4) \) या \( 24 \)
\( = 90/24 \)
\( = 9024 \)
96 को 94 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 96, 100 से 4 कम है (विचलन \( -4 \)) और संख्या 94, 100 से 6 कम है (विचलन \( -6 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-4 \times -6 = 24) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। चूंकि 24 दो अंक का है, इसलिए यह वैसे ही रहता है। बाएं भाग के लिए, हम \( 96 - 6 = 90 \) या \( 94 - 4 = 90 \) प्राप्त करते हैं। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 9024 मिलता है।
In simple words: 96 गुणा 94 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( -4 \) और \( -6 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 24 मिलता है। क्रॉस-घटाने पर 90 मिलता है। तो उत्तर 9024 है।
🎯 Exam Tip: बड़े ऋणात्मक विचलनों के साथ भी, यह विधि सीधी रहती है, बस घटाने और गुणा में सटीकता सुनिश्चित करें।
(xii) 98 x 104
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 98 | \( -2 \) |
| \( \times \) 104 | \( +4 \) |
\( = (98 + 4) \) या \( (-2 \times +4) \)
\( = (104 - 2) \) या \( -8 \)
\( = 102/-8 \)
\( = 101/100 - 8 \)
\( = 101/92 \)
\( = 10192 \)
98 को 104 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 98, 100 से 2 कम है (विचलन \( -2 \)) और संख्या 104, 100 से 4 अधिक है (विचलन \( +4 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-2 \times +4 = -8) \)। चूंकि दाहिने भाग का गुणनफल ऋणात्मक है, इसे धनात्मक बनाने के लिए बाएं भाग से 1 उधार लेते हैं (जो आधार 100 के बराबर होता है)। बाएं भाग में \( 102 - 1 = 101 \) शेष बचता है। दाहिने भाग में \( 100 - 8 = 92 \) शेष बचता है। दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 10192 मिलता है।
In simple words: 98 गुणा 104 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( -2 \) और \( +4 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर \( -8 \) मिलता है। क्रॉस-जोड़ने या घटाने पर 102 मिलता है। चूंकि दाहिने भाग में \( -8 \) है, इसलिए बाएं से 1 (यानी 100) उधार लेकर \( 100 - 8 = 92 \) करते हैं और बाएं भाग में 101 बचता है। तो उत्तर 10192 है।
🎯 Exam Tip: जब विचलन अलग-अलग चिन्हों के हों और गुणनफल ऋणात्मक आए, तो दाहिने भाग को धनात्मक बनाने के लिए बाएं भाग से आधार उधार लेने की प्रक्रिया को ध्यान से करें।
(xiii) 85 x 93
| संख्या | विचलन |
|---|---|
| 85 | \( -15 \) |
| \( \times \) 93 | \( -07 \) |
\( = (85 - 07) \) या \( (-15 \times -07) \)
\( = (93 - 15) \) या \( 105 \)
\( = 78/105 \)
\( = 79/05 \)
\( = 7905 \)
85 को 93 से गुणा करने के लिए, आधार 100 है। संख्या 85, 100 से 15 कम है (विचलन \( -15 \)) और संख्या 93, 100 से 7 कम है (विचलन \( -07 \))। दाहिने भाग के लिए, हम विचलनों को गुणा करते हैं \( (-15 \times -07 = 105) \)। आधार 100 में दो शून्य हैं, इसलिए दाहिने भाग में दो अंक होने चाहिए। चूंकि 105 तीन अंकों की संख्या है, इसलिए इकाई और दहाई के अंक (05) दाहिने भाग में रहते हैं, और सैकड़ा का अंक 1 बाएं भाग में स्थानांतरित (कैरी-ओवर) कर दिया जाता है। बाएं भाग के लिए, हम \( 85 - 7 = 78 \) या \( 93 - 15 = 78 \) प्राप्त करते हैं। कैरी-ओवर 1 को इस 78 में जोड़ने पर \( 78 + 1 = 79 \) हो जाता है। अंत में, दोनों भागों को मिलाकर गुणनफल 7905 मिलता है।
In simple words: 85 गुणा 93 के लिए, आधार 100 है। विचलन \( -15 \) और \( -07 \) हैं। विचलनों को गुणा करने पर 105 मिलता है। क्रॉस-घटाने पर 78 मिलता है। क्योंकि 105 में तीन अंक हैं, हम 05 को दाहिने भाग में रखते हैं और 1 को 78 में जोड़ देते हैं, जिससे 79 बनता है। तो उत्तर 7905 है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि दाहिने भाग में सही संख्या में अंक हों, बड़े विचलनों को गुणा करते समय और कैरी-ओवर करते समय विशेष ध्यान दें।
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