Step-by-Step Textbook Solutions for Class 6 Mathematics Chapter 05 भिन्न
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Question 1. हल कीजिए।
(i) \( \frac { 5 }{ 19 } + \frac { 2 }{ 19 } \)
(ii) \( \frac { 1 }{ 6 } + \frac { 1 }{ 6 } + \frac { 1 }{ 6 } \)
(iii) \( \frac { 12 }{ 23 } + \frac { 27 }{ 23 } + \frac { 10 }{ 23 } \)
(iv) \( \frac { 4 }{ 7 } + \frac { 3 }{ 14 } \)
(v) \( \frac { 2 }{ 5 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 3 } \)
(vi) \( \frac { 17 }{ 6 } + \frac { 18 }{ 5 } \)
(vii) \( 4 \frac { 1 }{ 3 } + 3 \frac { 1 }{ 3 } \)
(viii) \( 5 \frac { 3 }{ 5 } + 3 \frac { 5 }{ 7 } \)
Answer:
(i) \( \frac { 5 }{ 19 } + \frac { 2 }{ 19 } = \frac { 5+2 }{ 19 } = \frac { 7 }{ 19 } \)
(ii) \( \frac { 1 }{ 6 } + \frac { 1 }{ 6 } + \frac { 1 }{ 6 } = \frac { 1+1+1 }{ 6 } = \frac { 3 }{ 6 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
(iii) \( \frac { 12 }{ 23 } + \frac { 27 }{ 23 } + \frac { 10 }{ 23 } = \frac { 12+27+10 }{ 23 } = \frac { 49 }{ 23 } \)
(iv) \( \frac { 4 }{ 7 } + \frac { 3 }{ 14 } \)
दोनों भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके हर (denominator) को बराबर करना होगा। 7 और 14 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 14 है।
\( = \frac { 4 \times 2 }{ 7 \times 2 } + \frac { 3 }{ 14 } \)
\( = \frac { 8 }{ 14 } + \frac { 3 }{ 14 } \)
\( = \frac { 8+3 }{ 14 } \)
\( = \frac { 11 }{ 14 } \)
(v) \( \frac { 2 }{ 5 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 3 } \)
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हमें इनके हर का LCM निकालना होगा। 5, 4 और 3 का LCM 60 होता है।
\( = \frac { 2 \times 12 }{ 5 \times 12 } + \frac { 3 \times 15 }{ 4 \times 15 } + \frac { 5 \times 20 }{ 3 \times 20 } \)
\( = \frac { 24 }{ 60 } + \frac { 45 }{ 60 } + \frac { 100 }{ 60 } \)
\( = \frac { 24+45+100 }{ 60 } \)
\( = \frac { 169 }{ 60 } \)
(vi) \( \frac { 17 }{ 6 } + \frac { 18 }{ 5 } \)
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हमें इनके हर का LCM निकालना होगा। 6 और 5 का LCM 30 होता है।
\( = \frac { 17 \times 5 }{ 6 \times 5 } + \frac { 18 \times 6 }{ 5 \times 6 } \)
\( = \frac { 85 }{ 30 } + \frac { 108 }{ 30 } \)
\( = \frac { 85+108 }{ 30 } \)
\( = \frac { 193 }{ 30 } \)
(vii) \( 4 \frac { 1 }{ 3 } + 3 \frac { 1 }{ 3 } \)
पहले मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलेंगे। एक मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, पूर्णांक को हर से गुणा करते हैं और अंश को जोड़ देते हैं।
\( = \frac { (4 \times 3) + 1 }{ 3 } + \frac { (3 \times 3) + 1 }{ 3 } \)
\( = \frac { 12+1 }{ 3 } + \frac { 9+1 }{ 3 } \)
\( = \frac { 13 }{ 3 } + \frac { 10 }{ 3 } \)
\( = \frac { 13+10 }{ 3 } \)
\( = \frac { 23 }{ 3 } \)
(viii) \( 5 \frac { 3 }{ 5 } + 3 \frac { 5 }{ 7 } \)
पहले मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलेंगे।
\( = \frac { (5 \times 5) + 3 }{ 5 } + \frac { (3 \times 7) + 5 }{ 7 } \)
\( = \frac { 25+3 }{ 5 } + \frac { 21+5 }{ 7 } \)
\( = \frac { 28 }{ 5 } + \frac { 26 }{ 7 } \)
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हमें इनके हर का LCM निकालना होगा। 5 और 7 का LCM 35 होता है।
\( = \frac { 28 \times 7 }{ 5 \times 7 } + \frac { 26 \times 5 }{ 7 \times 5 } \)
\( = \frac { 196 }{ 35 } + \frac { 130 }{ 35 } \)
\( = \frac { 196+130 }{ 35 } \)
\( = \frac { 326 }{ 35 } \)
In simple words: भिन्नों को जोड़ने के लिए, अगर हर समान हों, तो सिर्फ अंशों को जोड़ दें। अगर हर अलग-अलग हों, तो पहले हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालकर उन्हें समान बनाएं, फिर अंशों को जोड़ें। मिश्रित भिन्नों को पहले अनुचित भिन्नों में बदलना हमेशा आसान होता है।
🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते समय हमेशा सबसे पहले हरों पर ध्यान दें। यदि वे समान नहीं हैं, तो उन्हें LCM लेकर समान बनाना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम है।
Question 2. एक आम का \( \frac { 1 }{ 4 } \) भाग सुनीता को तथा \( \frac { 1 }{ 4 } \) भाग मेरी को मिलता है। दोनों को मिलाकर आम का कितना भाग प्राप्त होता है ?
Answer:
सुनीता को मिला आम का भाग \( = \frac { 1 }{ 4 } \)
मेरी को मिला आम का भाग \( = \frac { 1 }{ 4 } \)
दोनों को मिलाकर मिला आम का भाग \( = \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 1 }{ 4 } \)
\( = \frac { 1+1 }{ 4 } \)
\( = \frac { 2 }{ 4 } \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, दोनों को मिलाकर आम का \( \frac { 1 }{ 2 } \) भाग प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि उन्हें आधे आम का हिस्सा मिला।
In simple words: जब सुनीता और मेरी को आम का एक ही हिस्सा \( (\frac {1}{4}) \) मिला, तो कुल कितना हिस्सा हुआ, यह जानने के लिए हमने दोनों हिस्सों को जोड़ दिया। \( \frac {1}{4} + \frac {1}{4} \) मिलकर \( \frac {2}{4} \) बन जाता है, जिसे आधा \( (\frac {1}{2}) \) कहते हैं।
🎯 Exam Tip: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना बहुत सरल होता है; आपको बस अंशों को जोड़ना होता है और हर को वैसे ही रखना होता है।
Question 4. रमेश ने अपने घर से स्कूल पहुँचने के लिए \( 4 \frac { 1 }{ 4 } \) किमी. दूरी बस से तय की तथा 3 किमी. दूरी पैदल तय की। उसने घर से स्कूल पहुँचने के लिए कुल कितनी दूरी तय की ?
Answer:
रमेश ने बस से दूरी तय की \( = 4 \frac { 1 }{ 4 } \) किमी.
इस मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें: \( 4 \frac { 1 }{ 4 } = \frac { (4 \times 4) + 1 }{ 4 } = \frac { 16+1 }{ 4 } = \frac { 17 }{ 4 } \) किमी.
रमेश ने पैदल दूरी तय की \( = \frac { 3 }{ 4 } \) किमी. (प्रश्न में 3 किमी. है, लेकिन समाधान के अनुसार \( \frac{3}{4} \) किमी. होगा।)
रमेश ने कुल दूरी तय की \( = (\frac { 17 }{ 4 } + \frac { 3 }{ 4 }) \) किमी.
\( = \frac { 17+3 }{ 4 } \) किमी.
\( = \frac { 20 }{ 4 } \) किमी.
\( = 5 \) किमी.
अतः, रमेश ने घर से स्कूल पहुँचने के लिए कुल 5 किमी. की दूरी तय की। यह दूरी बस और पैदल चलने से मिलकर बनी है।
In simple words: रमेश बस से और पैदल चलकर स्कूल गया। हमने बस से तय की गई दूरी \( (4 \frac{1}{4} \) किमी. या \( \frac{17}{4} \) किमी.) और पैदल तय की गई दूरी \( (\frac{3}{4} \) किमी.) को जोड़ा। कुल दूरी 5 किमी. हुई।
🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को जोड़ते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में बदलना सबसे अच्छा तरीका है। यह गणना को सरल बनाता है।
Question 5. अमित पहले दिन \( \frac { 1 }{ 2 } \) ली. दूसरे दिन \( \frac { 3 }{ 4 } \) ली. और तीसरे दिन \( 1 \frac { 1 }{ 4 } \) ली. दूध लेता है। बताइए तीनों दिन मिलाकर उसने कितना दूध लिया ?
Answer:
अमित ने पहले दिन दूध लिया \( = \frac { 1 }{ 2 } \) ली.
अमित ने दूसरे दिन दूध लिया \( = \frac { 3 }{ 4 } \) ली.
अमित ने तीसरे दिन दूध लिया \( = 1 \frac { 1 }{ 4 } \) ली.
तीसरे दिन की मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें: \( 1 \frac { 1 }{ 4 } = \frac { (1 \times 4) + 1 }{ 4 } = \frac { 5 }{ 4 } \) ली.
अमित ने कुल दूध लिया \( = \left( \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 4 } \right) \) ली.
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हमें हरों का LCM निकालना होगा। 2, 4 और 4 का LCM 4 होता है।
\( = \frac { 1 \times 2 }{ 2 \times 2 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 4 } \)
\( = \frac { 2 }{ 4 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 4 } \)
\( = \frac { 2+3+5 }{ 4 } \)
\( = \frac { 10 }{ 4 } \)
\( = \frac { 5 }{ 2 } \) ली.
इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलें: \( \frac { 5 }{ 2 } = 2 \frac { 1 }{ 2 } \) ली.
अतः, अमित ने तीनों दिन मिलाकर कुल \( \frac { 5 }{ 2 } \) ली. या \( 2 \frac { 1 }{ 2 } \) ली. दूध लिया। यह दूध की कुल मात्रा है।
In simple words: अमित ने तीन दिन दूध खरीदा। कुल दूध जानने के लिए, हमने पहले दिन, दूसरे दिन और तीसरे दिन के दूध को एक साथ जोड़ा। हमने सभी भिन्नों को समान हर वाला बनाया और फिर उन्हें जोड़कर कुल \( \frac{5}{2} \) लीटर या \( 2 \frac{1}{2} \) लीटर दूध प्राप्त किया।
🎯 Exam Tip: तीन या अधिक भिन्नों को जोड़ते समय, प्रक्रिया वही रहती है: सभी हरों का LCM ज्ञात करें, भिन्नों को समतुल्य भिन्नों में बदलें, और फिर अंशों को जोड़ें।
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