RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 5 भिन्न Exercise 5.3

प्रश्न 1. प्रत्येक चित्र के लिए भिन्नों को लिखिए और फिर उन्हें अवरोही व आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।
(i)
(ii)
Answer: प्रत्येक चित्र के लिए भिन्न लिखकर उन्हें आरोही व अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
(i) यहाँ दिए गए चित्र में भिन्नें हैं: \( \frac {3}{8}, \frac {5}{8}, \frac {1}{8}, \frac {7}{8} \).
चूंकि इन सभी भिन्नों का हर (नीचे का अंक) 8 है, तो हम केवल अंश (ऊपर का अंक) देखकर तुलना कर सकते हैं.
आरोही क्रम (छोटे से बड़े): \( \frac {1}{8} < \frac {3}{8} < \frac {5}{8} < \frac {7}{8} \)
अवरोही क्रम (बड़े से छोटे): \( \frac {7}{8} > \frac {5}{8} > \frac {3}{8} > \frac {1}{8} \)
(ii) यहाँ दिए गए चित्र में भिन्नें हैं: \( \frac {1}{6}, \frac {3}{6}, \frac {4}{6}, \frac {5}{6} \).
यहां भी सभी भिन्नों का हर 6 है, इसलिए अंशों की तुलना करके क्रम निर्धारित करेंगे.
आरोही क्रम: \( \frac {1}{6} < \frac {3}{6} < \frac {4}{6} < \frac {5}{6} \)
अवरोही क्रम: \( \frac {5}{6} > \frac {4}{6} > \frac {3}{6} > \frac {1}{6} \)
In simple words: हमें दिए गए चित्रों को देखकर भिन्नें लिखनी हैं। फिर उन भिन्नों को छोटे से बड़े क्रम (आरोही) और बड़े से छोटे क्रम (अवरोही) में लगाना है। जब हर (नीचे का नंबर) समान होता है, तो अंश (ऊपर का नंबर) देखकर तुलना करना आसान होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को आरोही या अवरोही क्रम में लिखते समय, पहले यह सुनिश्चित करें कि सभी भिन्नों का हर समान हो। यदि हर समान न हों, तो उन्हें समान बनाने के लिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें।

प्रश्न 2. भिन्नों की तुलना कीजिए और उचित चिह्न (<,>,=) लगाइए।
(i) \( \frac {5}{6} \text{ और } \frac {9}{11} \)
(ii) \( \frac {3}{4} \text{ और } \frac {1}{4} \)
(iii) \( \frac {3}{5} \text{ और } \frac {3}{7} \)
Answer:
(i) \( \frac {5}{6} \text{ और } \frac {9}{11} \)
इनकी तुलना करने के लिए, हम 6 और 11 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालेंगे, जो कि 66 है.
\( \frac {5}{6} = \frac {5 \times 11}{6 \times 11} = \frac {55}{66} \)
\( \frac {9}{11} = \frac {9 \times 6}{11 \times 6} = \frac {54}{66} \)
चूंकि \( \frac {55}{66} > \frac {54}{66} \), अतः \( \frac {5}{6} > \frac {9}{11} \)
(ii) \( \frac {3}{4} \text{ और } \frac {1}{4} \)
यहां दोनों भिन्नों का हर 4 समान है. इसलिए, हम अंशों की सीधे तुलना कर सकते हैं.
चूंकि \( 3 > 1 \), अतः \( \frac {3}{4} > \frac {1}{4} \)
(iii) \( \frac {3}{5} \text{ और } \frac {3}{7} \)
इनकी तुलना करने के लिए, हम 5 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालेंगे, जो कि 35 है.
\( \frac {3}{5} = \frac {3 \times 7}{5 \times 7} = \frac {21}{35} \)
\( \frac {3}{7} = \frac {3 \times 5}{7 \times 5} = \frac {15}{35} \)
चूंकि \( \frac {21}{35} > \frac {15}{35} \), अतः \( \frac {3}{5} > \frac {3}{7} \)
In simple words: भिन्नों की तुलना करने के लिए, हमें उनके हर (नीचे के नंबर) को एक जैसा बनाना होता है। इसके लिए हम हर का सबसे छोटा समान गुणज (LCM) ढूंढते हैं। एक बार हर समान हो जाएं, तो हम केवल अंश (ऊपर के नंबर) की तुलना करते हैं और बड़ा अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों की तुलना करते समय, यदि हर अलग-अलग हों, तो हमेशा उनका LCM लेकर हर को समान बनाएं। यदि अंश अलग-अलग हों लेकिन हर समान हों, तो बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

प्रश्न 3. निम्रलिखित भिन्न तीन अलग-अलग संख्याएँ निरूपित करती है। इन्हें सरलतम रूप में बदलकर उन तीन भिन्नों के समूह में लिखिए।
(i) \( \frac {2}{12} \)
(ii) \( \frac {3}{15} \)
(iii) \( \frac {8}{50} \)
(iv) \( \frac {16}{100} \)
(v) \( \frac {10}{60} \)
(vi) \( \frac {15}{75} \)
(vii) \( \frac {18}{90} \)
(viii) \( \frac {16}{96} \)
(ix) \( \frac {12}{75} \)
(x) \( \frac {12}{72} \)
(xi) \( \frac {10}{50} \)
(xii) \( \frac {4}{25} \)
Answer: भिन्नों को सरलतम रूप में बदलने पर:
(i) \( \frac {2}{12} = \frac {2 \div 2}{12 \div 2} = \frac {1}{6} \)
(ii) \( \frac {3}{15} = \frac {3 \div 3}{15 \div 3} = \frac {1}{5} \)
(iii) \( \frac {8}{50} = \frac {8 \div 2}{50 \div 2} = \frac {4}{25} \)
(iv) \( \frac {16}{100} = \frac {16 \div 4}{100 \div 4} = \frac {4}{25} \)
(v) \( \frac {10}{60} = \frac {10 \div 10}{60 \div 10} = \frac {1}{6} \)
(vi) \( \frac {15}{75} = \frac {15 \div 15}{75 \div 15} = \frac {1}{5} \)
(vii) \( \frac {18}{90} = \frac {18 \div 18}{90 \div 18} = \frac {1}{5} \)
(viii) \( \frac {16}{96} = \frac {16 \div 16}{96 \div 16} = \frac {1}{6} \)
(ix) \( \frac {12}{75} = \frac {12 \div 3}{75 \div 3} = \frac {4}{25} \)
(x) \( \frac {12}{72} = \frac {12 \div 12}{72 \div 12} = \frac {1}{6} \)
(xi) \( \frac {10}{50} = \frac {10 \div 10}{50 \div 10} = \frac {1}{5} \)
(xii) \( \frac {4}{25} \) (यह पहले से ही सरलतम रूप में है)

सरलतम रूप में भिन्नों को समूह में लिखने पर -
समूह-1 ( \( \frac {1}{6} \) के समान): (i) \( \frac {2}{12} \), (v) \( \frac {10}{60} \), (viii) \( \frac {16}{96} \), (x) \( \frac {12}{72} \)
समूह-II ( \( \frac {1}{5} \) के समान): (ii) \( \frac {3}{15} \), (vi) \( \frac {15}{75} \), (vii) \( \frac {18}{90} \), (xi) \( \frac {10}{50} \)
समूह-III ( \( \frac {4}{25} \) के समान): (iii) \( \frac {8}{50} \), (iv) \( \frac {16}{100} \), (ix) \( \frac {12}{75} \), (xii) \( \frac {4}{25} \)
In simple words: हमें सभी भिन्नों को उनके सबसे छोटे रूप में बदलना है। इसका मतलब है कि अंश और हर दोनों को एक ही सबसे बड़ी संख्या से भाग देना है। फिर उन भिन्नों को एक साथ रखना है जिनका सरलतम रूप एक जैसा है।

🎯 Exam Tip: किसी भिन्न को सरलतम रूप में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से विभाजित करें। यह सुनिश्चित करता है कि भिन्न को और अधिक सरल नहीं किया जा सकता।

प्रश्न 4. निम्नलिखित के उत्तर लिखिए और दर्शाइए कि आपने इन्हें कैसे हल किया ?
(i) क्या \( \frac {12}{15}, \frac {15}{30} \) के बराबर है ?
(ii) क्या \( \frac {4}{5}, \frac {5}{6} \) के बराबर है ?
(iii) क्या \( \frac {3}{5}, \frac {9}{15} \) के बराबर है ?
(iv) क्या \( \frac {9}{16}, \frac {5}{9} \) के बराबर है ?
Answer:
(i) भिन्न \( \frac {12}{15} \) व \( \frac {15}{30} \) को सरलतम रूप में करने पर:
\( \frac {12}{15} = \frac {12 \div 3}{15 \div 3} = \frac {4}{5} \)
\( \frac {15}{30} = \frac {15 \div 15}{30 \div 15} = \frac {1}{2} \)
चूंकि सरलतम रूप में भिन्नें \( \frac {4}{5} \) और \( \frac {1}{2} \) समान नहीं हैं, इसलिए \( \frac {12}{15} \) और \( \frac {15}{30} \) बराबर नहीं हैं।
(ii) भिन्न \( \frac {4}{5} \) व \( \frac {5}{6} \)
ये भिन्नें पहले से ही सरलतम रूप में हैं क्योंकि अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है। इनकी तुलना करने पर, ये स्पष्ट रूप से समान नहीं हैं।
अतः, \( \frac {4}{5} \) और \( \frac {5}{6} \) बराबर नहीं हैं।
(iii) भिन्न \( \frac {3}{5} \) व \( \frac {9}{15} \) को सरलतम रूप में करने पर:
\( \frac {3}{5} \) (यह पहले से ही सरलतम रूप में है)
\( \frac {9}{15} = \frac {9 \div 3}{15 \div 3} = \frac {3}{5} \)
चूंकि सरलतम रूप में भिन्नें \( \frac {3}{5} \) और \( \frac {3}{5} \) समान हैं, इसलिए \( \frac {3}{5} \) और \( \frac {9}{15} \) बराबर हैं। हाँ, ये बराबर हैं।
(iv) भिन्न \( \frac {9}{16} \) व \( \frac {5}{9} \)
ये भिन्नें पहले से ही सरलतम रूप में हैं क्योंकि अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 है। इनकी तुलना करने पर, ये स्पष्ट रूप से समान नहीं हैं।
अतः, \( \frac {9}{16} \) और \( \frac {5}{9} \) बराबर नहीं हैं।
In simple words: यह जानने के लिए कि दो भिन्नें बराबर हैं या नहीं, हमें पहले उन्हें उनके सबसे सरल रूप में बदलना होगा। यदि दोनों भिन्नें सरल रूप में एक जैसी दिखती हैं, तो वे बराबर हैं। यदि नहीं, तो वे बराबर नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों की समानता की जांच करते समय, हमेशा पहले दोनों भिन्नों को उनके सरलतम रूप में बदलें। यदि उनके सरलतम रूप समान हैं, तभी भिन्नें बराबर होंगी।

प्रश्न 5. 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा A में 20 विद्यार्थी प्रथम श्रेणी में पास हुए और 30 विद्यार्थियों की एक कक्षा B में 24 विद्यार्थी प्रथम श्रेणी में पास हुए। किस कक्षा में विद्यार्थियों को अधिक भाग प्रथम श्रेणी में पास हुआ ?
Answer:
कक्षा A में प्रथम श्रेणी में पास हुए विद्यार्थियों का भिन्न:
कुल विद्यार्थी = 25
प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण विद्यार्थी = 20
भिन्न = \( \frac {20}{25} = \frac {20 \div 5}{25 \div 5} = \frac {4}{5} \)

कक्षा B में प्रथम श्रेणी में पास हुए विद्यार्थियों का भिन्न:
कुल विद्यार्थी = 30
प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण विद्यार्थी = 24
भिन्न = \( \frac {24}{30} = \frac {24 \div 6}{30 \div 6} = \frac {4}{5} \)
चूंकि सरलतम रूप में दोनों ही भिन्न \( \frac {4}{5} \) के समान हैं, इसका मतलब है कि दोनों कक्षाओं में विद्यार्थियों का बराबर भाग प्रथम श्रेणी में पास हुआ। किसी भी कक्षा में अधिक विद्यार्थी पास नहीं हुए।
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि किस कक्षा में प्रथम श्रेणी में पास होने वाले बच्चों का अनुपात ज़्यादा था। हमने हर कक्षा के लिए पास होने वाले बच्चों की संख्या को कुल बच्चों की संख्या से भाग दिया और भिन्नों को सबसे छोटे रूप में बदल दिया। दोनों कक्षाओं में एक ही अनुपात में बच्चे पास हुए।

🎯 Exam Tip: जब दो अनुपातों या भिन्नों की तुलना करनी हो, तो हमेशा पहले उन्हें सरलतम रूप में बदल लें। इससे तुलना करना बहुत आसान हो जाता है।

प्रश्न 6. रोहित कुल 8 रोटियों में से 4 रोटियाँ खाता है। रोहिणी कुल 8 रोटियों का \( \frac {1}{4} \) भाग खाती है। बताइए किसने कम खाया ?
Answer:
कुल रोटियाँ = 8

रोहित द्वारा खाई गई रोटियों का भिन्न:
रोहित खाता है = 4 रोटियाँ
इसलिए, रोहित ने खाई = \( \frac {4}{8} = \frac {4 \div 4}{8 \div 4} = \frac {1}{2} \) भाग रोटियाँ

रोहिणी द्वारा खाई गई रोटियों का भिन्न:
रोहिणी खाती है = \( \frac {1}{4} \) भाग रोटियाँ

अब हम तुलना करेंगे कि किसने कम खाया, इसके लिए हम \( \frac {1}{2} \) और \( \frac {1}{4} \) की तुलना करेंगे.
चूंकि \( \frac {1}{4} \) (एक चौथाई) \( \frac {1}{2} \) (एक आधा) से छोटा होता है, इसका मतलब है कि रोहिणी ने रोहित से कम रोटियाँ खाईं। एक चौथाई आधा से कम होता है।
In simple words: रोहित ने आधी रोटियाँ खाईं और रोहिणी ने एक चौथाई रोटियाँ खाईं। क्योंकि एक चौथाई आधी से कम होता है, रोहिणी ने रोहित से कम रोटियाँ खाईं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों की तुलना करते समय, यदि अंश समान हों, तो बड़े हर (नीचे का नंबर) वाली भिन्न छोटी होती है।