RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 2 रिश्ते संख्याओं के Important Questions

Question 1. संख्या 24 के गुणनखण्ड है।
(a) 1, 2, 3
(b) 4, 6
(c) 12, 24
(d) ये सभी
Answer: (d) ये सभी
In simple words: संख्या 24 को 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, और 24 से पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है। दिए गए सभी विकल्प 24 के गुणनखंडों में शामिल हैं, इसलिए उत्तर 'ये सभी' है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के गुणनखंडों को सूचीबद्ध करने के लिए, उन सभी संख्याओं को पहचानें जिनसे उस संख्या को पूरी तरह विभाजित किया जा सके। सभी गुणनखंडों को ध्यान से देखना महत्वपूर्ण है, खासकर जब 'ये सभी' जैसा विकल्प मौजूद हो।

Question 2. 1 से 100 के बीच अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
(a) 24
(b) 25
(c) 26
(d) 27.
Answer: (b) 25
In simple words: 1 से 100 तक गिनती में कुल 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जो 1 और खुद के अलावा किसी और से भाग नहीं होतीं।

🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं की पहचान करने के लिए, याद रखें कि वे 1 से बड़ी होती हैं और केवल 1 तथा स्वयं से ही विभाजित होती हैं। 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

Question 3. 2 से विभाज्य न होने वाली संख्या होगी-
(a) 267
(b) 468
(c) 192
(d) 374.
Answer: (a) 267
In simple words: कोई भी संख्या 2 से तभी विभाजित होती है जब उसका आखिरी अंक (इकाई का अंक) 0, 2, 4, 6, या 8 हो। 267 का आखिरी अंक 7 है, जो एक विषम संख्या है, इसलिए यह 2 से विभाजित नहीं होगी।

🎯 Exam Tip: 2 से विभाज्यता की जाँच के लिए, हमेशा संख्या का अंतिम अंक देखें। यदि अंतिम अंक एक सम अंक है (0, 2, 4, 6, 8), तो संख्या 2 से विभाज्य होगी, अन्यथा नहीं।

Question 4. 15 के प्रथम तीन गुणज हैं –
(a) 15, 30, 60
(b) 15, 45, 60
(c) 15, 30, 45
(d) 30, 45, 60.
Answer: (c) 15, 30, 45
In simple words: किसी भी संख्या के गुणज निकालने के लिए उसे लगातार 1, 2, 3 आदि प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं। 15 के पहले तीन गुणज \( 15 \times 1 = 15 \), \( 15 \times 2 = 30 \), और \( 15 \times 3 = 45 \) हैं।

🎯 Exam Tip: गुणज का मतलब किसी संख्या को पूर्ण संख्याओं (जैसे 1, 2, 3...) से गुणा करने पर मिलने वाली संख्याएँ हैं। हमेशा गुणा 1 से शुरू करें ताकि 'प्रथम' गुणज सही से मिल सकें।

Question 5. निम्न में सबसे छोटी अभाज्य संख्या है?
(a) 1
(b) 3
(c) 2
(d) 6.
Answer: (c) 2
In simple words: अभाज्य संख्या वह होती है जो 1 से बड़ी हो और केवल 1 और खुद से ही पूरी तरह विभाजित होती हो। 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और यह अकेली सम संख्या है जो अभाज्य भी है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसके केवल एक ही गुणनखंड (1) होता है, जबकि अभाज्य संख्या के दो गुणनखंड होते हैं। 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।

Question 6. 40, 16, 20 को ल. स. है।
(a) 120
(b) 100
(c) 140
(d) 160.
Answer: (d) 160
In simple words: 40, 16 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे ये तीनों संख्याएँ पूरी तरह से भाग कर सकें। इस स्थिति में, 160 इन तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होता है।

🎯 Exam Tip: LCM ज्ञात करने के लिए, सभी दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखें और फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणा करें। यह सुनिश्चित करता है कि आपको सबसे छोटी साझा गुणज संख्या मिले।

Question 7. 18, 27 का सार्व गुणनखण्ड है।
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 9.
Answer: (d) 9
In simple words: 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9, 18 हैं। 27 के गुणनखंड 1, 3, 9, 27 हैं। इन दोनों सूचियों में जो संख्याएँ एक जैसी हैं, वे सार्व गुणनखण्ड कहलाती हैं। दिए गए विकल्पों में से 9 दोनों का सार्व गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: सार्व गुणनखण्ड खोजने के लिए, प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंडों को सूचीबद्ध करें। फिर उन संख्याओं की पहचान करें जो सभी सूचियों में मौजूद हों। सबसे बड़ा सार्व गुणनखण्ड HCF होता है।

Question 8. निम्न में अभाज्य संख्या है।
(a) 6
(b) 7
(c) 9
(d) 10.
Answer: (b) 7
In simple words: अभाज्य संख्या वह होती है जिसके केवल दो ही गुणनखंड होते हैं: 1 और वह संख्या खुद। विकल्पों में से, 7 ही ऐसी संख्या है जिसके गुणनखंड केवल 1 और 7 हैं।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के अभाज्य होने की जाँच करने के लिए, उसे 2, 3, 5, 7 जैसे छोटे अभाज्य संख्याओं से विभाजित करके देखें। यदि वह किसी भी अभाज्य संख्या से विभाजित नहीं होती और 1 से बड़ी है, तो वह स्वयं अभाज्य है।

Question. रिक्त स्थान भरिए।
Answer:
(i) गुणनखण्ड की विपरीत क्रिया विस्तार कहलाती है।
(ii) ऐसी संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखण्ड हों भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
(iii) 2 अभाज्य सम संख्या है।
(iv) 2 से पूर्णत: विभाज्य संख्याएँ सम संख्याएँ कहलाती हैं।
(v) समान गुणज वाली संख्याओं के गुणज सार्वगुणज कहलाते हैं।
(vi) सबसे छोटी अभाज्य विषम संख्या 3 है।
In simple words: ये प्रश्न संख्याओं के बारे में सामान्य नियमों और परिभाषाओं से संबंधित हैं। गुणनखंडों को उल्टा करके हम गुणज प्राप्त करते हैं। दो से अधिक गुणनखंडों वाली संख्याएँ भाज्य होती हैं। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। 2 से विभाजित होने वाली संख्याएँ सम होती हैं। समान गुणज, सार्वगुणज होते हैं। सबसे छोटी विषम अभाज्य संख्या 3 है।

🎯 Exam Tip: गणित में महत्वपूर्ण परिभाषाओं और नियमों को याद रखना बहुत जरूरी है। इन रिक्त स्थानों को भरने के लिए आपको अभाज्य, भाज्य, सम, विषम, गुणनखंड और गुणज जैसी बुनियादी अवधारणाओं की स्पष्ट समझ होनी चाहिए।

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 1. 38 के सभी गुणनखण्ड लिखिए।
Answer: संख्या 38 के सभी गुणनखंडों को खोजने के लिए, हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जिनसे 38 को पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है।
\( 38 = 1 \times 38 \)
\( 38 = 2 \times 19 \)
चूंकि 2 और 19 पहले ही आ चुके हैं, इसलिए हमें आगे बढ़ने की आवश्यकता नहीं है।
अतः, 38 के सभी गुणनखंड 1, 2, 19 और 38 हैं। एक संख्या के गुणनखंड वे सभी संख्याएँ होती हैं जो उसे पूर्णतः विभाजित करती हैं।
In simple words: 38 को जिन संख्याओं से पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है, वे उसके गुणनखंड हैं। 38 के गुणनखंड 1, 2, 19 और 38 हैं।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के गुणनखंड ज्ञात करते समय, हमेशा 1 और स्वयं संख्या से शुरू करें। फिर क्रमिक रूप से छोटी अभाज्य संख्याओं से भाग करके देखें। सभी जोड़े मिलने के बाद आप रुक सकते हैं।

Question 2. 4 के प्रथम सात गुणज लिखिए।
Answer: 4 के प्रथम सात गुणज ज्ञात करने के लिए, हम 4 को क्रम से 1 से 7 तक की संख्याओं से गुणा करते हैं।
\( 4 \times 1 = 4 \)
\( 4 \times 2 = 8 \)
\( 4 \times 3 = 12 \)
\( 4 \times 4 = 16 \)
\( 4 \times 5 = 20 \)
\( 4 \times 6 = 24 \)
\( 4 \times 7 = 28 \)
इस प्रकार, 4 के प्रथम सात गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24 और 28 हैं। गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
In simple words: 4 के पहले सात गुणज निकालने के लिए, 4 को 1 से 7 तक की संख्याओं से गुणा करते हैं। इससे हमें 4, 8, 12, 16, 20, 24 और 28 मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: 'प्रथम' गुणज हमेशा 1 से गुणा करके शुरू होते हैं। यदि 'पहले' n गुणज पूछे जाते हैं, तो दी गई संख्या को 1, 2, 3, ..., n से गुणा करें।

Question 3. 1 से 50 के बीच की सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
Answer: अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह स्वयं संख्या।
1 से 50 के बीच की अभाज्य संख्याएँ इस प्रकार हैं:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47।
ये सभी संख्याएँ केवल 1 और खुद से ही पूरी तरह से विभाजित होती हैं, जिससे वे अभाज्य कहलाती हैं।
In simple words: 1 से 50 के बीच की अभाज्य संख्याएँ वे हैं जो सिर्फ 1 और खुद से भाग होती हैं। ये संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47 हैं।

🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं को सूचीबद्ध करते समय, 1 को शामिल न करें क्योंकि यह अभाज्य नहीं है। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, और अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।

Question 4. 15, 25, 35 वे 45 के सर्व गुणनखण्ड बताइए।
Answer: 15, 25, 35 और 45 के सार्व गुणनखंडों (Common Factors) को ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की सूची बनानी होगी और फिर उन संख्याओं को पहचानना होगा जो सभी सूचियों में समान रूप से मौजूद हों।
15 के गुणनखंड: 1, 3, 5, 15
25 के गुणनखंड: 1, 5, 25
35 के गुणनखंड: 1, 5, 7, 35
45 के गुणनखंड: 1, 3, 5, 9, 15, 45
सभी संख्याओं के गुणनखंडों में समान संख्याएँ 1 और 5 हैं।
अतः, 15, 25, 35 और 45 के सार्व गुणनखण्ड 1 और 5 हैं। सार्व गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो दो या दो से अधिक संख्याओं को पूर्णतः विभाजित कर सकती हैं।
In simple words: 15, 25, 35 और 45 के सार्व गुणनखण्ड वे संख्याएँ हैं जो इन सभी को पूरा-पूरा भाग दे सकती हैं। ये संख्याएँ 1 और 5 हैं।

🎯 Exam Tip: सार्व गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं के गुणनखंडों को क्रम से लिखें। फिर उन सभी गुणनखंडों को चुनें जो सभी संख्याओं में समान रूप से दिखाई देते हैं।

लघु उत्तरीय/दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Question 1. बिना भाग किए 585 में 3 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
Answer: 3 से विभाज्यता की जाँच के नियम के अनुसार, यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।
संख्या 585 में, अंकों का योग है: \( 5 + 8 + 5 = 18 \)।
चूंकि 18, 3 से विभाज्य है (क्योंकि \( 18 \div 3 = 6 \) ), इसलिए संख्या 585 भी 3 से विभाज्य होगी। यह नियम बड़ी संख्याओं के लिए विभाज्यता की जांच को सरल बनाता है।
In simple words: किसी संख्या को 3 से भाग देने का नियम यह है कि उसके अंकों को जोड़ो। अगर जोड़ 3 से भाग हो जाए, तो पूरी संख्या भी 3 से भाग हो जाएगी। 585 के अंकों का जोड़ 18 है, जो 3 से भाग होता है, इसलिए 585 भी 3 से भाग होगा।

🎯 Exam Tip: 3 से विभाज्यता की जांच करते समय, हमेशा अंकों का योग करें। यदि योग एक बड़ी संख्या आती है, तो आप उसके अंकों का योग फिर से कर सकते हैं (जैसे 18 के लिए \( 1+8=9 \)) ताकि जांच करना और भी आसान हो जाए।

Question 2. बिना भाग किए 7640 में 8 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।
Answer: 8 से विभाज्यता की जाँच का नियम यह है कि यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंकों (सैकड़ा, दहाई और इकाई) से बनी संख्या 8 से विभाज्य है, तो वह पूरी संख्या भी 8 से विभाज्य होगी।
संख्या 7640 में, अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 640 है।
अब हम 640 को 8 से विभाजित करके देखते हैं: \( 640 \div 8 = 80 \)।
चूंकि 640, 8 से विभाज्य है, इसलिए पूरी संख्या 7640 भी 8 से विभाज्य होगी। यह नियम बड़ी संख्याओं के लिए विभाज्यता की जांच में सहायक होता है।
In simple words: 8 से भाग होने का नियम यह है कि किसी संख्या के आखिरी तीन अंकों से बनी संख्या अगर 8 से भाग हो जाए, तो पूरी संख्या भी 8 से भाग हो जाती है। 7640 में आखिरी तीन अंक 640 हैं, और 640 को 8 से भाग देने पर 80 आता है। इसलिए, 7640 भी 8 से भाग होगा।

🎯 Exam Tip: 8 से विभाज्यता के लिए, केवल अंतिम तीन अंकों पर ध्यान दें। यदि संख्या में तीन से कम अंक हैं, तो उस पूरी संख्या को ही 8 से विभाजित करके देखें।

Question 3. तीन बर्तनों में क्रमशः 26 ली., 65 ली. तथा 117 ली. दूध आता है। उस बर्तन की अधिकतम माप क्या होगी, जो तीनों बर्तन के दूध को पूरा-पूरा माप सके?
Answer: उस बर्तन की अधिकतम माप ज्ञात करने के लिए जो तीनों बर्तनों में दूध को पूरा-पूरा माप सके, हमें 26 ली., 65 ली. और 117 ली. का महत्तम समापवर्तक (HCF - Highest Common Factor) ज्ञात करना होगा।
प्रत्येक संख्या के गुणनखंड इस प्रकार हैं:
26 के गुणनखंड: 1, 2, 13, 26
65 के गुणनखंड: 1, 5, 13, 65
117 के गुणनखंड: 1, 3, 9, 13, 39, 117
इन तीनों संख्याओं में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड 13 है। एक ऐसा मापने का बर्तन जिसकी क्षमता 13 लीटर हो, तीनों बर्तनों के दूध को बिना कुछ छोड़े माप सकता है।
अतः, उस बर्तन की अधिकतम माप 13 ली. होगी। ऐसे प्रश्नों में HCF का उपयोग किया जाता है।
In simple words: हमें एक ऐसा सबसे बड़ा माप ढूँढना है जिससे 26, 65 और 117 लीटर दूध को बिना कुछ छोड़े मापा जा सके। इसके लिए, हमें इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालना होगा। 26, 65 और 117 का HCF 13 है। इसलिए, मापने वाले बर्तन की सबसे बड़ी क्षमता 13 लीटर होगी।

🎯 Exam Tip: जब भी प्रश्न में 'अधिकतम माप', 'सबसे बड़ा', 'सबसे लंबी' जैसी शर्तें हों, तो समझ लें कि आपको महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है।

Question 4. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 36, 50 से पूर्णतः विभाजित हो।
Answer: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जो 18, 36 और 50 तीनों से पूरी तरह विभाजित हो, हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM - Least Common Multiple) निकालना होगा।
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने की विधि:

सभी भाजक संख्याओं को गुणा करने पर LCM प्राप्त होगा:
LCM \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 4 \times 9 \times 25 = 36 \times 25 = 900 \)।
अतः, 900 वह सबसे छोटी संख्या है जो 18, 36 और 50 से पूरी तरह विभाजित हो सकती है। LCM वह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या होती है जो दो या दो से अधिक पूर्णांकों का एक साझा गुणज होती है।
In simple words: सबसे छोटी संख्या जो 18, 36 और 50 तीनों से पूरी तरह भाग हो जाए, उसे निकालने के लिए हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना होता है। 18, 36 और 50 का LCM 900 है।
🎯 Exam Tip: जब भी प्रश्न में 'छोटी से छोटी संख्या', 'न्यूनतम संख्या' या 'पहली बार कब मिलेंगी' जैसी शर्तें हों, तो समझ लें कि आपको लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना है।