Official RBSE Solutions for Class 6 Mathematics: Chapter 02 रिश्ते संख्याओं के
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 02 रिश्ते संख्याओं के
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प्रश्न 1. निम्न संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
(i) 36, 84
(ii) 28, 42
(iii) 13, 26, 52
(iv) 15, 35, 40
(v) 23, 31, 93
Answer:
हमें संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। यह वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करती है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड (prime factors) निकालते हैं।
(i) 36, 84
36 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
84 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 7 \)
36 व 84 का म. स. \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
(ii) 28, 42
28 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 7 \)
42 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times 7 \)
28 व 42 का म. स. \( = 2 \times 7 = 14 \)
(iii) 13, 26, 52
13 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 13 \)
26 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 13 \)
52 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 13 \)
13, 26 व 52 का म. स. \( = 13 \)
(iv) 15, 35, 40
15 के गुणनखण्ड \( = 3 \times 5 \)
35 के गुणनखण्ड \( = 5 \times 7 \)
40 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \)
15, 35 व 40 का म. स. \( = 5 \)
(v) 23, 31, 93
23 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 23 \)
31 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 31 \)
93 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 3 \times 31 \)
23, 31 व 93 का म. स. \( = 1 \)
In simple words: महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए, पहले हर संख्या के गुणनखण्ड (prime factors) निकालें। फिर देखें कि कौन से गुणनखण्ड सभी संख्याओं में एक जैसे हैं। उन सभी एक जैसे गुणनखण्डों को गुणा करने पर हमें महत्तम समापवर्तक मिलता है।
🎯 Exam Tip: महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए, सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड (prime factors) सही से लिखें और फिर सभी में जो समान गुणनखण्ड हैं, उन्हें गुणा करें।
प्रश्न 2. निम्न का म, स, क्या है ?
(i) दो क्रमागत संख्याएँ
(ii) दो क्रमागत सम संख्याएँ
(iii) दो क्रमागत विषम संख्याएँ
Answer: हमें निम्नलिखित का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। क्रमागत संख्याएँ वे होती हैं जो एक के बाद एक आती हैं।
(i) दो क्रमागत संख्याएँ
उदाहरण के लिए, 1 और 2 लेते हैं।
1 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 1 \)
2 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 2 \)
1 व 2 का म. स. \( = 1 \)
(ii) दो क्रमागत सम संख्याएँ
उदाहरण के लिए, 2 और 4 लेते हैं।
2 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 2 \)
4 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \)
2 व 4 का म. स. \( = 2 \)
(iii) दो क्रमागत विषम संख्याएँ
उदाहरण के लिए, 1 और 3 लेते हैं।
1 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 1 \)
3 के गुणनखण्ड \( = 1 \times 3 \)
1 व 3 का म. स. \( = 1 \)
In simple words: क्रमागत संख्याएँ वे होती हैं जो एक के बाद एक आती हैं। उनका महत्तम समापवर्तक निकालने का मतलब है कि सबसे बड़ी संख्या क्या है जो उन्हें एक साथ पूरा-पूरा भाग कर सकती है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी दो क्रमागत संख्याओं (जैसे 5, 6) का महत्तम समापवर्तक हमेशा 1 होता है। दो क्रमागत सम संख्याओं (जैसे 4, 6) का HCF हमेशा 2 होता है, और दो क्रमागत विषम संख्याओं (जैसे 7, 9) का HCF हमेशा 1 होता है।
प्रश्न 4. तीन टैंकरों में क्रमशः 96 ली., 100 ली, और 144 ली. तेल आता है। उस बर्तन का अधिकतम माप क्या होगा जो तीनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप देगा?
Answer: टैंकरों में तेल की मात्रा क्रमशः 96 लीटर, 100 लीटर और 144 लीटर है। हमें एक ऐसा बर्तन चाहिए जो इन सभी मात्राओं को पूरा-पूरा माप सके, और उस बर्तन की क्षमता सबसे ज्यादा हो। ऐसा बर्तन ढूंढने के लिए, हम तीनों संख्याओं (96, 100, 144) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं। HCF निकालने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड करते हैं:
96 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
100 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
144 के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
सभी में समान अभाज्य गुणनखण्ड हैं \( 2 \times 2 \).
इसलिए, 96, 100 और 144 का महत्तम समापवर्तक \( = 2 \times 2 = 4 \)।
इसका मतलब है कि सबसे बड़े बर्तन की क्षमता 4 लीटर होगी जो तीनों टैंकरों के तेल को पूरी तरह माप सकती है।
In simple words: हमें सबसे बड़े बर्तन की क्षमता पता करनी है जो 96, 100 और 144 लीटर तेल को ठीक से माप सके। इसके लिए, हम तीनों संख्याओं का सबसे बड़ा साझा गुणनखण्ड (HCF) निकालते हैं, जो 4 लीटर आता है।
🎯 Exam Tip: जब भी 'अधिकतम माप', 'सबसे बड़ी लम्बाई' या 'सबसे बड़ा बर्तन' जैसे शब्द आएं, तो समझ लें कि आपको महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालना है। हमेशा अभाज्य गुणनखण्ड विधि का उपयोग करें।
प्रश्न 5. 36 मीटर, 54 मीटर और 90 मीटर की दूरियों को नापने के लिए बड़ी से बड़ी किस लम्बाई की रस्सी की आवश्यकता होगी ?
Answer: हमें 36 मीटर, 54 मीटर और 90 मीटर की दूरियों को मापने के लिए सबसे लंबी रस्सी चाहिए। इसका मतलब है कि हमें इन तीनों संख्याओं (36, 54, 90) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम प्रत्येक दूरी के अभाज्य गुणनखण्ड निकालेंगे:
प्रथम दूरी \( = 36 \) मी.
द्वितीय दूरी \( = 54 \) मी.
तृतीय दूरी \( = 90 \) मी.
गुणनखण्ड:
36 \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
54 \( = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
90 \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
इन सभी गुणनखण्डों में जो संख्याएँ समान हैं, वे हैं \( 2 \), \( 3 \) और \( 3 \)।
इसलिए, 36, 54 और 90 का महत्तम समापवर्तक \( = 2 \times 3 \times 3 = 18 \)।
तो, इन सभी दूरियों को ठीक-ठीक मापने के लिए 18 मीटर लंबी रस्सी की आवश्यकता होगी।
In simple words: तीन अलग-अलग दूरियों को नापने के लिए हमें सबसे लंबी रस्सी चाहिए जो सभी को पूरा-पूरा नाप सके। इसके लिए, हम उन दूरियों की संख्याओं का सबसे बड़ा साझा गुणनखण्ड (HCF) निकालते हैं, जो 18 मीटर आता है।
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में जहाँ आपको 'बड़ी से बड़ी', 'अधिकतम' या 'सबसे लम्बी' जैसी क्षमता या माप ढूंढनी हो, हमेशा महत्तम समापवर्तक (HCF) का उपयोग करें।
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