Step-by-Step Textbook Solutions for Class 6 Mathematics Chapter 14 परिमाप एवं क्षेत्रफल
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Question 1. निम्नांकित आयताकार क्षेत्रों में बताइए किन आकृतियों का परिमाप समान तथा क्षेत्रफल भिन्न है?
Answer: दिए गए आयताकार क्षेत्रों की गणना करने पर, हमें पता चलता है कि आकृति (iii) और (iv) के परिमाप समान हैं लेकिन उनके क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।
(i) लम्बाई (\( ल. \)) = 40 सेमी., चौड़ाई (\( चौ. \)) = 15 सेमी.
परिमाप = \( 2 (ल. + चौ.) \)
\( = 2 (40 + 15) \)
\( = 2 (55) \)
\( = 110 \) सेमी.
क्षेत्रफल = \( ल. \times चौ. \)
\( = 40 \times 15 \)
\( = 600 \) वर्ग सेमी.
(ii) लम्बाई (\( ल. \)) = 45 सेमी., चौड़ाई (\( चौ. \)) = 20 सेमी.
परिमाप = \( 2 (ल. + चौ.) \)
\( = 2 (45 + 20) \)
\( = 2 \times 65 \)
\( = 130 \) सेमी.
क्षेत्रफल = \( ल. \times चौ. \)
\( = 45 \times 20 \)
\( = 900 \) वर्ग सेमी.
(iii) लम्बाई (\( ल. \)) = 8 सेमी., चौड़ाई (\( चौ. \)) = 7 सेमी.
परिमाप = \( 2 (ल. + चौ.) \)
\( = 2 (8 + 7) \)
\( = 2 (15) \)
\( = 30 \) सेमी.
क्षेत्रफल = \( ल. \times चौ. \)
\( = 8 \times 7 \)
\( = 56 \) वर्ग सेमी.
(iv) लम्बाई (\( ल. \)) = 10 सेमी., चौड़ाई (\( चौ. \)) = 5 सेमी.
परिमाप = \( 2 (ल. + चौ.) \)
\( = 2 (10 + 5) \)
\( = 2 \times 15 \)
\( = 30 \) सेमी.
क्षेत्रफल = \( ल. \times चौ. \)
\( = 10 \times 5 \)
\( = 50 \) वर्ग सेमी.
यहाँ, आकृतियों (iii) और (iv) का परिमाप (30 सेमी.) समान है, लेकिन क्षेत्रफल (56 वर्ग सेमी. और 50 वर्ग सेमी.) भिन्न हैं। यह दिखाता है कि एक ही परिमाप होने पर भी क्षेत्रफल अलग हो सकता है।
In simple words: आकृति (iii) और (iv) का घेरा एक जैसा है, लेकिन उनके अंदर की जगह (क्षेत्रफल) अलग-अलग है.
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, सभी आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल की गणना करें और फिर तुलना करके निष्कर्ष पर पहुंचें।
Question 2. गोपी का खेत वर्गाकार है जिसकी भुजा 75 मीटर है। नारायण का खेत आयताकार है जिसकी लम्बाई 85 मीटर है। किसके खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा एवं कितना? ज्ञात कीजिए। जबकि दोनों के खेत का परिमाप समान है।
Answer: हमें गोपी के वर्गाकार खेत और नारायण के आयताकार खेत के क्षेत्रफल की तुलना करनी है, यह मानते हुए कि दोनों का परिमाप एक समान है।
**गोपी के वर्गाकार खेत के लिए:**
भुजा = \( 75 \) मीटर
क्षेत्रफल = \( 75 \times 75 = 5625 \) वर्ग मीटर
परिमाप = \( 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 75 = 300 \) मीटर
**नारायण के आयताकार खेत के लिए:**
लम्बाई (\( ल. \)) = 85 मीटर
चौड़ाई (\( चौ. \)) = \( a \) मीटर (माना)
परिमाप = \( 2 (\text{ल.} + \text{चौ.}) = 2 (85 + a) \) मीटर
प्रश्नानुसार, दोनों खेतों का परिमाप समान है, इसलिए:
\( 2 (85 + a) = 300 \)
\( \implies 85 + a = \frac{300}{2} \)
\( \implies 85 + a = 150 \)
\( \implies a = 150 - 85 \)
\( \implies a = 65 \) मीटर
अतः, नारायण के खेत की चौड़ाई 65 मीटर है।
नारायण के खेत का क्षेत्रफल = \( ल. \times चौ. = 85 \times 65 = 5525 \) वर्ग मीटर
**तुलना:**
गोपी के खेत का क्षेत्रफल = \( 5625 \) वर्ग मीटर
नारायण के खेत का क्षेत्रफल = \( 5525 \) वर्ग मीटर
चूंकि \( 5625 > 5525 \), गोपी के खेत का क्षेत्रफल अधिक है।
क्षेत्रफल का अंतर = \( 5625 - 5525 = 100 \) वर्ग मीटर
इसलिए, गोपी के खेत का क्षेत्रफल नारायण के खेत से 100 वर्ग मीटर अधिक है।
In simple words: गोपी का खेत बड़ा है, जो कि 5625 वर्ग मीटर है. नारायण का खेत 5525 वर्ग मीटर है. गोपी का खेत नारायण के खेत से 100 वर्ग मीटर ज्यादा बड़ा है.
🎯 Exam Tip: जब दो आकृतियों का परिमाप समान हो, तो वर्गाकार आकृति का क्षेत्रफल हमेशा आयताकार आकृति से अधिक या बराबर होता है।
Question 3. एक वर्ग का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी. है। एक आयत का परिमाप इस वर्ग के परिमाप के समान है। अगर आयत की चौड़ाई 6.5 सेमी. हो तो लम्बाई कितनी होगी? किसका क्षेत्रफल अधिक है?
Answer: हमें पहले वर्ग की भुजा और परिमाप ज्ञात करना होगा, फिर उस परिमाप का उपयोग करके आयत की लम्बाई और क्षेत्रफल निकालना होगा, और अंत में दोनों के क्षेत्रफल की तुलना करनी होगी।
**वर्ग के लिए:**
वर्ग का क्षेत्रफल = \( 64 \) वर्ग सेमी.
क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} = (\text{भुजा})^2 \)
भुजा \( = \sqrt{64} \)
\( = \sqrt{8^2} \)
\( = 8 \) सेमी.
वर्ग का परिमाप = \( 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 8 = 32 \) सेमी.
**आयत के लिए:**
आयत का परिमाप = वर्ग का परिमाप = \( 32 \) सेमी.
आयत की चौड़ाई = \( 6.5 \) सेमी.
माना आयत की लम्बाई = \( L \) सेमी.
आयत का परिमाप \( = 2 (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( 32 = 2 (L + 6.5) \)
\( \implies \frac{32}{2} = L + 6.5 \)
\( \implies 16 = L + 6.5 \)
\( \implies L = 16 - 6.5 \)
\( \implies L = 9.5 \) सेमी.
आयत का क्षेत्रफल = \( \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 9.5 \times 6.5 = 61.75 \) वर्ग सेमी.
**तुलना:**
वर्ग का क्षेत्रफल = \( 64 \) वर्ग सेमी.
आयत का क्षेत्रफल = \( 61.75 \) वर्ग सेमी.
चूंकि \( 64 > 61.75 \), वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से अधिक है।
क्षेत्रफल का अंतर = \( 64 - 61.75 = 2.25 \) वर्ग सेमी.
अतः, वर्ग का क्षेत्रफल 2.25 वर्ग सेमी. अधिक है।
In simple words: वर्ग का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी. है और आयत का 61.75 वर्ग सेमी. है. वर्ग का क्षेत्रफल आयत से 2.25 वर्ग सेमी. ज्यादा है. आयत की लम्बाई 9.5 सेमी. है.
🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, सुनिश्चित करें कि आपके पास आकृति की सभी आवश्यक भुजाएँ या माप सही ढंग से ज्ञात हैं।
Question 4. एक 20 सेमी. x 15 सेमी. माप वाला आयताकार टुकड़ा आकृति के अनुसार अलग-अलग स्थानों से काट कर वर्ग के परिमाप में बदलाव को बताइए।
Answer: किसी वर्गाकार आकृति से एक आयताकार टुकड़ा काटने पर परिमाप में अलग-अलग बदलाव आ सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि टुकड़ा कहाँ से काटा गया है। यहाँ दो मुख्य स्थितियों का वर्णन किया गया है।
(i) **जब आयताकार टुकड़ा किनारे से निकाला जाए:**
मान लीजिए एक वर्ग है जिसकी भुजा 80 सेमी. है, और उसमें से 20 सेमी. x 15 सेमी. का एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि यह टुकड़ा किनारे से काटा जाता है, तो वर्ग की कुल बाहरी सीमा में परिवर्तन होता है।
वर्ग का नया परिमाप (जब आयताकार टुकड़ा निकाला जाए) = \( 80 + 80 + 30 + 15 + 20 + 15 + 30 + 80 = 350 \) सेमी.
मूल वर्ग का परिमाप (जब कोई टुकड़ा न निकाला जाए) = \( 4 \times 80 = 320 \) सेमी.
यहाँ, \( 350 > 320 \). इसका मतलब है कि परिमाप में वृद्धि होगी।
परिमाप में वृद्धि = \( 350 - 320 = 30 \) सेमी.
(ii) **जब आयताकार टुकड़ा अंदर से निकाला जाए (परिमित रूप से):**
अगर एक 60 सेमी. भुजा वाले वर्ग में से टुकड़ा इस तरह से निकाला जाता है कि केवल अंदर का हिस्सा ही हटता है, और कटी हुई जगह की नई भुजाएँ मूल भुजाओं को पूरी तरह बदल देती हैं, तो परिमाप समान रह सकता है।
वर्ग का प्रारम्भिक परिमाप = \( 4 \times 60 = 240 \) सेमी.
इसमें से टुकड़ा निकालने पर परिमाप = \( 60 + 60 + 45 + 20 + 15 + 40 \)
\( = 60 + 60 + (45 + 15) + (20 + 40) \)
\( = 60 + 60 + 60 + 60 = 240 \) सेमी.
यहाँ, \( 240 = 240 \). अतः, वर्ग के परिमाप में कोई परिवर्तन नहीं होगा। यह स्थिति तब होती है जब हटाई गई बाहरी रेखाओं की लम्बाई, जोड़ी गई नई आंतरिक रेखाओं की लम्बाई के बराबर होती है।
In simple words: अगर हम किसी वर्ग से कोई आयताकार टुकड़ा काटते हैं, तो उसका घेरा (परिमाप) बदल भी सकता है और नहीं भी. यह इस बात पर निर्भर करता है कि टुकड़ा कहाँ से काटा गया है. यदि किनारे से काटते हैं तो घेरा बढ़ जाता है, और यदि अंदर से इस तरह से काटते हैं कि नई भुजाएँ पुरानी भुजाओं को बराबर करती हैं, तो घेरा नहीं बदलता है.
🎯 Exam Tip: जब भी किसी आकृति से कोई हिस्सा काटा जाता है, तो परिमाप में होने वाले बदलाव को समझने के लिए हमेशा नई बनी हुई सभी बाहरी भुजाओं की कुल लम्बाई की गणना करें।
Question 5. 1 सेमी. x 1 सेमी. खानों वाले वर्गाकार पेपर पर कितने आयत अलग-अलग लम्बाई तथा चौड़ाई के बना सकते हैं जिससे कि प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी, हो जाए। (केवल पूर्ण संख्या की नापों पर विचार करते हुए बनाइए)।
(i) किस आयत का परिमाप सबसे अधिक है?
(ii) किस आयत का परिमाप सबसे कम है?
(iii) यहाँ जैसे-जैसे परिमाप घटता है, आयत की चौड़ाई बढ़ती है अथवा घटती है?
Answer: 1 सेमी. x 1 सेमी. के वर्गाकार पेपर पर 64 वर्ग सेमी. क्षेत्रफल वाले विभिन्न आयतों की लम्बाई और चौड़ाई की पूर्ण संख्या वाली मापों की पहचान करने के लिए, हम 64 के गुणनखंडों का उपयोग करते हैं। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है।
यहाँ 64 वर्ग सेमी. क्षेत्रफल वाले संभव आयत इस प्रकार हैं (लम्बाई x चौड़ाई = 64):
* लम्बाई = 64 सेमी., चौड़ाई = 1 सेमी. ⇒ परिमाप = \( 2(64+1) = 2(65) = 130 \) सेमी.
* लम्बाई = 32 सेमी., चौड़ाई = 2 सेमी. ⇒ परिमाप = \( 2(32+2) = 2(34) = 68 \) सेमी.
* लम्बाई = 16 सेमी., चौड़ाई = 4 सेमी. ⇒ परिमाप = \( 2(16+4) = 2(20) = 40 \) सेमी.
* लम्बाई = 8 सेमी., चौड़ाई = 8 सेमी. ⇒ परिमाप = \( 2(8+8) = 2(16) = 32 \) सेमी. (यह एक वर्ग भी है)
उपरोक्त गणनाओं के आधार पर:
(i) आयत का परिमाप सबसे अधिक (130 सेमी.) तब होता है जब लम्बाई 64 सेमी. और चौड़ाई 1 सेमी. होती है। एक बहुत लम्बे और पतले आयत का परिमाप सबसे अधिक होता है।
(ii) आयत का परिमाप सबसे कम (32 सेमी.) तब होता है जब लम्बाई 8 सेमी. और चौड़ाई 8 सेमी. होती है। यह आकृति एक वर्ग है, और समान क्षेत्रफल के लिए वर्ग का परिमाप सबसे कम होता है।
(iii) जैसे-जैसे आयत का परिमाप घटता है, आयत की चौड़ाई बढ़ती है (और लम्बाई चौड़ाई के करीब आती है)। उदाहरण के लिए, 130 सेमी. परिमाप पर चौड़ाई 1 सेमी. थी, और 32 सेमी. परिमाप पर चौड़ाई 8 सेमी. हो गई।
In simple words: 64 वर्ग सेमी. क्षेत्रफल वाले आयत बनाने पर, सबसे लम्बे और पतले आयत का घेरा सबसे ज्यादा होता है, और वर्ग के आकार वाले आयत (8x8) का घेरा सबसे कम होता है. जब घेरा कम होता जाता है, तो आयत की चौड़ाई बढ़ती जाती है.
🎯 Exam Tip: समान क्षेत्रफल वाले आयतों में, जिस आयत की भुजाएँ एक-दूसरे के सबसे करीब होती हैं (यानी, वर्ग), उसका परिमाप सबसे कम होता है। वहीं, सबसे लम्बे और पतले आयत का परिमाप सबसे अधिक होता है।
Question 6. 1 सेमी. x 1 सेमी. खानों वाले वर्गाकार पेपर पर कितने अलग-अलग लम्बाई तथा चौड़ाई के आवत बना सकते हैं जिससे कि प्रत्येक आयत का परिमाप 16 सेमी. हो जाए। (केवल पूर्ण संख्या की नापों पर ही विचार करते हुए बनाइए ।)
(i) किस आयत का क्षेत्रफल सबसे अधिक है?
(ii) किस आयत का क्षेत्रफल सबसे कम है?
(iii) यहाँ जैसे-जैसे क्षेत्रफल बढ़ता है, आयत की लम्बाई बढती है अथवा घटती है?
Answer: 1 सेमी. x 1 सेमी. के वर्गाकार पेपर पर 16 सेमी. परिमाप वाले विभिन्न आयतों की लम्बाई और चौड़ाई की पूर्ण संख्या वाली मापों की पहचान करने के लिए, हम परिमाप के सूत्र का उपयोग करते हैं: \( 2(\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) = 16 \implies \text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई} = 8 \)।
यहाँ 16 सेमी. परिमाप वाले संभव आयत इस प्रकार हैं (लम्बाई + चौड़ाई = 8):
* लम्बाई = 7 सेमी., चौड़ाई = 1 सेमी. ⇒ क्षेत्रफल = \( 7 \times 1 = 7 \) वर्ग सेमी.
* लम्बाई = 6 सेमी., चौड़ाई = 2 सेमी. ⇒ क्षेत्रफल = \( 6 \times 2 = 12 \) वर्ग सेमी.
* लम्बाई = 5 सेमी., चौड़ाई = 3 सेमी. ⇒ क्षेत्रफल = \( 5 \times 3 = 15 \) वर्ग सेमी.
* लम्बाई = 4 सेमी., चौड़ाई = 4 सेमी. ⇒ क्षेत्रफल = \( 4 \times 4 = 16 \) वर्ग सेमी. (यह एक वर्ग भी है)
उपरोक्त गणनाओं के आधार पर:
(i) आयत का क्षेत्रफल सबसे अधिक (16 वर्ग सेमी.) तब होता है जब लम्बाई 4 सेमी. और चौड़ाई 4 सेमी. होती है। यह आकृति एक वर्ग है, और समान परिमाप के लिए वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
(ii) आयत का क्षेत्रफल सबसे कम (7 वर्ग सेमी.) तब होता है जब लम्बाई 7 सेमी. और चौड़ाई 1 सेमी. होती है। यह सबसे लम्बा और पतला आयत है।
(iii) जैसे-जैसे आयत का क्षेत्रफल बढ़ता है, आयत की लम्बाई घटती जाती है (और चौड़ाई बढ़ती जाती है), जिससे भुजाएँ एक वर्ग के आकार के करीब आती जाती हैं।
In simple words: 16 सेमी. घेरे वाले आयत बनाने पर, वर्ग (4x4) का क्षेत्रफल सबसे ज्यादा 16 वर्ग सेमी. होता है, और सबसे लम्बे-पतले आयत (7x1) का क्षेत्रफल सबसे कम 7 वर्ग सेमी. होता है. जैसे-जैसे क्षेत्रफल बढ़ता है, आयत की लम्बाई छोटी होती जाती है.
🎯 Exam Tip: समान परिमाप वाले आयतों में, वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है, और जिस आयत की लम्बाई और चौड़ाई में सबसे अधिक अंतर होता है, उसका क्षेत्रफल सबसे कम होता है।
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