NCERT Solutions for Class 6 Mathematics: Chapter 14 परिमाप एवं क्षेत्रफल
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Practice Class 6 Mathematics Solutions: Chapter 14 परिमाप एवं क्षेत्रफल
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प्रश्न 1. निम्नांकित आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एक वर्गाकार खाना = 1 सेमी. x 1 सेमी.
Answer: दिए गए चित्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें उनके द्वारा घेरे गए वर्गों की संख्या गिननी होती है। यदि कोई वर्ग आधे से कम घिरा है, तो उसे छोड़ दिया जाता है। यदि कोई वर्ग आधे से अधिक घिरा है, तो उसे पूरा वर्ग माना जाता है और उसकी गणना 1 इकाई के रूप में की जाती है। इस प्रकार, हम प्रत्येक आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
| क्रम संख्या | आकृति | पूरे ढके हुए वर्ग | आधे ढके हुए वर्ग | आधे से अधिक ढके हुए वर्ग | गणना/स्पष्टीकरण | कुल क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2. | (ii) | 0 | 0 | 4 | \(2 + 4 \times \frac{1}{2} = 2 + 2\) | 4 |
| 3. | (iii) | 3 | 0 | 0 | 17 | |
| 4. | (iv) | 0 | 0 | 0 | 8 | |
| 5. | (v) | 0 | 0 | 4 | \(8 + 4 \times \frac{1}{2} = 8 + 2\) | 10 |
| 6. | (vi) | 13 | 4 | 0 | \(9 + 4\) | 17 |
| 7. | (vii) | 0 | 0 | 0 | 20 | |
| 8. | (viii) | 11 | 5 | 0 | \(5 + 2\) | 9 |
| 9. | (ix) | 5 | 4 | 0 | \(5 + 4\) | 9 |
In simple words: किसी भी चित्र का क्षेत्रफल जानने के लिए, हम देखते हैं कि वह कितने छोटे वर्ग घेरे हुए है। यदि कोई वर्ग आधा या आधे से ज़्यादा ढका है, तो उसे गिनते हैं। फिर उन सभी वर्गों को जोड़कर कुल क्षेत्रफल निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: ग्रिड पर आकृतियों का क्षेत्रफल निकालते समय, आधे से कम ढके हुए वर्गों को छोड़ दें, आधे ढके हुए वर्गों को 0.5 इकाई और आधे से अधिक ढके हुए वर्गों को 1 इकाई गिनें।
प्रश्न 2. प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप उत्तर से क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
Answer:
**आकृति 1:** एक वर्ग जिसकी भुजा 4 सेमी है।
क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (4)^2 = 16 \) वर्ग सेमी.
**आकृति 2:** एक आयत जिसकी लम्बाई 8 सेमी और चौड़ाई 2 सेमी है।
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 8 \times 2 = 16 \) वर्ग सेमी.
**आकृति 3:** एक आयत जिसकी लम्बाई 16 सेमी और चौड़ाई 1 सेमी है।
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 16 \times 1 = 16 \) वर्ग सेमी.
**निष्कर्ष:** सभी तीनों आकृतियों का क्षेत्रफल समान (16 वर्ग सेमी.) है। इससे पता चलता है कि विभिन्न आकार की आकृतियों का क्षेत्रफल एक ही हो सकता है।
In simple words: हमने तीन अलग-अलग आकृतियों का क्षेत्रफल निकाला। पहले का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी., दूसरे का भी 16 वर्ग सेमी. और तीसरे का भी 16 वर्ग सेमी. आया। इसका मतलब है कि अलग-अलग दिखने वाली चीजों का क्षेत्रफल बराबर हो सकता है।
🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल निकालते समय सही सूत्र का उपयोग करें (\(\text{वर्ग के लिए भुजा} \times \text{भुजा}\) और \(\text{आयत के लिए लम्बाई} \times \text{चौड़ाई}\))। हमेशा अपना निष्कर्ष साफ़ और स्पष्ट शब्दों में बताएं।
प्रश्न 3. निम्नांकित आकृतियों को आयतों में बदलते हुए प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: सभी दी गई आकृतियों को छोटे आयतों में तोड़कर उनका क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात किया जा सकता है। प्रत्येक छोटे आयत का क्षेत्रफल निकालकर उन्हें जोड़ने पर कुल क्षेत्रफल मिलता है।
| आकृति | आयत | लम्बाई \( \times \) चौड़ाई | क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) | कुल क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | A | \(7 \times 1\) | 7 | \(7 + 5 = 12\) |
| B | \(5 \times 1\) | 5 | ||
| 2. | A | \(18 \times 6\) | 108 | \(108 + 36 + 36 = 180\) |
| B | \(6 \times 6\) | 36 | ||
| C | \(6 \times 6\) | 36 | ||
| 3. | A | \(5 \times 1\) | 5 | \(5 + 3 + 3 = 11\) |
| B | \(3 \times 1\) | 3 | ||
| C | \(3 \times 1\) | 3 |
In simple words: जब कोई आकृति सीधी नहीं होती, तो उसे छोटे-छोटे आयतों में बाँट देते हैं। हर छोटे आयत का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर उन सभी छोटे क्षेत्रफलों को जोड़कर पूरी आकृति का कुल क्षेत्रफल बता देते हैं।
🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों का क्षेत्रफल निकालते समय, पहले उन्हें सरल आयतों में विभाजित करें। प्रत्येक छोटे आयत की लंबाई और चौड़ाई को सही ढंग से मापें, और अंत में सभी आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़ दें।
प्रश्न 4. एक कमरे की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 10 मीटर व 8 मीटर है। उसके फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर कालीन की आवश्यकता होगी? ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे के फर्श को ढकने के लिए आवश्यक कालीन का क्षेत्रफल कमरे के फर्श के क्षेत्रफल के बराबर होगा।
कमरे की लम्बाई \( = 10 \) मीटर
कमरे की चौड़ाई \( = 8 \) मीटर
आवश्यक कालीन का क्षेत्रफल \( = \text{कमरे के फर्श का क्षेत्रफल} = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 10 \times 8 = 80 \) वर्ग मीटर।
In simple words: एक कमरे की लम्बाई 10 मीटर और चौड़ाई 8 मीटर है। इस कमरे के फर्श पर कालीन बिछाने के लिए हमें 80 वर्ग मीटर कालीन की ज़रूरत होगी क्योंकि कालीन का क्षेत्रफल कमरे के फर्श के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: कालीन या टाइल्स की मात्रा ज्ञात करने के लिए हमेशा उस सतह का क्षेत्रफल निकालें जिसे ढकना है। सुनिश्चित करें कि आप सभी इकाइयों को समान रखें (जैसे मीटर में)।
प्रश्न 6. दिए गए आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एवं बताइए इनमें से किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक तथा किसका सबसे कम है?
Answer: हम प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करके उनकी तुलना करेंगे:
(i) आयत की लम्बाई \( = 2 \) मीटर \( = 200 \) सेमी.
आयत की चौड़ाई \( = 80 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 200 \times 80 = 16000 \) वर्ग सेमी.
(ii) आयत की लम्बाई \( = 180 \) सेमी.
आयत की चौड़ाई \( = 70 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 180 \times 70 = 12600 \) वर्ग सेमी.
(iii) आयत की लम्बाई \( = 200 \) सेमी.
आयत की चौड़ाई \( = 1 \) मीटर \( = 100 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 200 \times 100 = 20000 \) वर्ग सेमी.
(iv) आयत की लम्बाई \( = 190 \) सेमी.
आयत की चौड़ाई \( = 1 \) मीटर \( = 100 \) सेमी.
क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 190 \times 100 = 19000 \) वर्ग सेमी.
सभी क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
\( 20000 > 19000 > 16000 > 12600 \)
अतः, आयत (iii) का क्षेत्रफल सबसे अधिक (20000 वर्ग सेमी.) है और आयत (ii) का क्षेत्रफल सबसे कम (12600 वर्ग सेमी.) है।
In simple words: हमने चार आयतों के क्षेत्रफल निकाले। पहले का 16000 वर्ग सेमी., दूसरे का 12600 वर्ग सेमी., तीसरे का 20000 वर्ग सेमी. और चौथे का 19000 वर्ग सेमी. आया। इन सब में, तीसरा आयत सबसे बड़ा (20000 वर्ग सेमी.) और दूसरा आयत सबसे छोटा (12600 वर्ग सेमी.) है।
🎯 Exam Tip: अलग-अलग इकाइयों में दी गई मापों को हल करने से पहले एक समान इकाई (जैसे सभी सेमी. में) में बदलना न भूलें। फिर उनके क्षेत्रफलों की तुलना करें।
प्रश्न 8. एक खेत की लम्बाई 8 मी. तथा चौड़ाई 6 मी. है। इसमें 1 मीटर भुजा वाली 6 वर्गाकार क्यारियाँ बनीं है। खेत की शेष भूमि का क्षेत्रफल क्या होगा ?
Answer: सबसे पहले, खेत का कुल क्षेत्रफल निकालेंगे, फिर क्यारियों का क्षेत्रफल निकालेंगे और अंत में खेत के कुल क्षेत्रफल में से क्यारियों का क्षेत्रफल घटा देंगे।
खेत की लम्बाई \( = 8 \) मी.
खेत की चौड़ाई \( = 6 \) मी.
खेत का कुल क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 8 \times 6 = 48 \) वर्ग मीटर.
प्रत्येक वर्गाकार क्यारी की भुजा \( = 1 \) मीटर.
1 मीटर भुजा वाली 6 वर्गाकार क्यारियों का कुल क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा} \times \text{भुजा}) \times \text{कैरियों की संख्या} = (1 \times 1) \times 6 = 6 \) वर्ग मीटर.
खेत की शेष भूमि का क्षेत्रफल \( = \text{खेत का कुल क्षेत्रफल} - \text{कैरियों का कुल क्षेत्रफल} = 48 - 6 = 42 \) वर्ग मीटर.
इस प्रकार, खेत की शेष भूमि का क्षेत्रफल 42 वर्ग मीटर होगा।
In simple words: एक खेत 8 मीटर लम्बा और 6 मीटर चौड़ा है, जिसका कुल क्षेत्रफल 48 वर्ग मीटर है। इसमें 1 मीटर भुजा की 6 क्यारियां हैं, जिनका कुल क्षेत्रफल 6 वर्ग मीटर है। खेत की बची हुई जगह का क्षेत्रफल 48 में से 6 घटाकर 42 वर्ग मीटर होगा।
🎯 Exam Tip: जब किसी बड़े क्षेत्रफल के अंदर छोटे-छोटे हिस्सों को हटाना हो, तो हमेशा बड़े क्षेत्रफल में से छोटे हिस्सों के कुल क्षेत्रफल को घटाएं।
प्रश्न 9. आयत के क्षेत्रफल में क्या परिवर्तन होगा यदि
(i) उसकी लम्बाई और चौड़ाई को दो गुना कर दिया जाए?
(ii) उसकी लम्बाई को तिगुनी और चौड़ाई को चौगुना कर दिया जाए?
Answer: हम आयत की मूल लम्बाई और चौड़ाई को मानकर परिवर्तन देखेंगे:
(i) यदि आयत की लम्बाई और चौड़ाई को दो गुना कर दिया जाए:
माना आयत की मूल लम्बाई \( = a \)
माना आयत की मूल चौड़ाई \( = b \)
मूल क्षेत्रफल \( = a \times b = ab \)
नई लम्बाई \( = 2a \)
नई चौड़ाई \( = 2b \)
नया क्षेत्रफल \( = 2a \times 2b = 4ab \)
चूंकि \( 4ab = 4 \times (ab) \), नया क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का 4 गुना हो जाएगा।
(ii) यदि आयत की लम्बाई को तिगुनी और चौड़ाई को चौगुना कर दिया जाए:
माना आयत की मूल लम्बाई \( = a \)
माना आयत की मूल चौड़ाई \( = b \)
मूल क्षेत्रफल \( = a \times b = ab \)
नई लम्बाई \( = 3a \)
नई चौड़ाई \( = 4b \)
नया क्षेत्रफल \( = 3a \times 4b = 12ab \)
चूंकि \( 12ab = 12 \times (ab) \), नया क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का 12 गुना हो जाएगा।
In simple words: (i) अगर किसी आयत की लम्बाई और चौड़ाई दोनों को दोगुना कर दें, तो उसका क्षेत्रफल 4 गुना बढ़ जाएगा। (ii) अगर लम्बाई को तिगुना और चौड़ाई को चौगुना कर दें, तो क्षेत्रफल 12 गुना बढ़ जाएगा।
🎯 Exam Tip: जब लम्बाई और चौड़ाई को किसी गुणक से बढ़ाया जाता है, तो क्षेत्रफल उन गुणकों के गुणनफल से बढ़ता है। इसे हमेशा 'माना' विधि से हल करें ताकि स्पष्टता बनी रहे।
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