RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 13 अनुपात व समानुपात Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. अनुपात 9 : 19 का भिन्न रूप है।
(a) \( \frac {1}{9} \)
(b) \( \frac {1}{12} \)
(c) \( \frac {9}{19} \)
(d) \( \frac {19}{2} \)
Answer: (c) \( \frac {9}{19} \)
In simple words: अनुपात को भिन्न में बदलने के लिए, पहले नंबर को ऊपर और दूसरे नंबर को नीचे लिखते हैं। यह भिन्न, अनुपात के दोनों हिस्सों के बीच के संबंध को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: अनुपात को भिन्न में बदलते समय, पहली संख्या अंश (ऊपर) और दूसरी संख्या हर (नीचे) होती है।

Question 2. Rs 400 को राम और मोहन में 3 : 5 के अनुपात में बाँटा गया, तो राम का धन होगा
(a) Rs 50
(b) Rs 80
(c) Rs 150
(d) Rs 250.
Answer: (c) Rs 150
In simple words: कुल रुपये 400 हैं, जिन्हें 3 और 5 के अनुपात में बांटना है। राम का हिस्सा 3 भाग है, कुल \( 3+5=8 \) भागों में से। इसलिए, राम को \( \frac{3}{8} \times 400 = 150 \) रुपये मिलेंगे। अनुपात में बांटते समय, कुल भागों को जोड़ना और फिर प्रत्येक हिस्से का मान निकालना महत्वपूर्ण है।

🎯 Exam Tip: जब किसी राशि को अनुपात में बाँटना हो, तो अनुपातिक भागों का योग करके कुल राशि से गुणा कर प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात करें।

Question 3. अनुपात 2 मीटर 20 सेमी. : 11 सेमी. का सरलतम रूप
(a) 20:1
(b) 1:20
(c) 220: 11
(d) 11: 220
Answer: (a) 20:1
In simple words: पहले 2 मीटर 20 सेमी को सेमी में बदलें। 2 मीटर \( = 2 \times 100 = 200 \) सेमी, तो कुल 220 सेमी होगा। अब 220 सेमी और 11 सेमी का अनुपात निकालें, यानी 220:11। दोनों को 11 से भाग देने पर सबसे सरल रूप 20:1 आता है। अनुपात को सरल बनाने से पहले हमेशा दोनों राशियों को एक ही इकाई में लाना याद रखें।

🎯 Exam Tip: अनुपात निकालने से पहले सभी राशियों को एक ही इकाई में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें, जैसे मीटर को सेंटीमीटर में।

Question 4. 2 : 3 \( :: \) 10 : x में x का मान है
(a) 20
(b) 60
(c) 15
(d) 30
Answer: (c) 15
In simple words: समानुपात में, बाहर की संख्याओं का गुणा अंदर की संख्याओं के गुणा के बराबर होता है। तो, 2 को x से गुणा करने पर वही आएगा जो 3 को 10 से गुणा करने पर आता है, यानी \( 2x = 30 \)। इस तरह x का मान 15 निकलता है। यह नियम समानुपात से जुड़ी समस्याओं को हल करने का एक सीधा तरीका प्रदान करता है।

🎯 Exam Tip: समानुपात \( a:b :: c:d \) में, \( ad = bc \) होता है; चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

Question 6. 2 : 3 का तुल्य अनुपात है
(a) 8:6
(b) 5:12
(c) 6:9
(d) 16:12
Answer: (c) 6:9
In simple words: तुल्य अनुपात वह होता है जिसे मूल अनुपात के दोनों हिस्सों को एक ही संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यहाँ, 2:3 को 3 से गुणा करने पर \( 2 \times 3 : 3 \times 3 = 6:9 \) आता है, जो इसका तुल्य अनुपात है। कई तुल्य अनुपात हो सकते हैं, बस सुनिश्चित करें कि दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया गया हो।

🎯 Exam Tip: तुल्य अनुपात ज्ञात करने के लिए, अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करें।

रिक्त स्थान भरिए

Question 1. (i) अनुपात के द्वारा तुलना करने के लिए दोनों राशियों की ........ समान होनी चाहिए।
(ii) अनुपात को ........ चिन्हें द्वारा दर्शाते हैं।
(iii) समानुपात को ........ चिन्ह द्वारा दर्शाते हैं।
(iv) वह सम्बन्ध, जो एक ही प्रकार की राशियों में, यह बतलाता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितना गुना है........ कहलाता है।
Answer:
(i) इकाइयाँ
(ii) \( : \)
(iii) \( :: \)
(iv) अनुपात
In simple words: अनुपात में तुलना करते समय, दोनों चीजों की इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए। अनुपात को दर्शाने के लिए हम दो बिन्दुओं (:) का चिन्ह इस्तेमाल करते हैं, और समानुपात को दिखाने के लिए चार बिन्दुओं (::) का चिन्ह इस्तेमाल करते हैं। वह तरीका जो बताता है कि एक चीज दूसरी चीज से कितने गुना बड़ी या छोटी है, उसे अनुपात कहते हैं। इन मूल बातों को समझना अनुपात और समानुपात के प्रश्नों को सही ढंग से हल करने की कुंजी है।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान भरते समय, सही तकनीकी शब्दों और प्रतीकों का उपयोग करें जो गणितीय अवधारणाओं को सटीक रूप से दर्शाते हैं।

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 2. 2 : 3 और 3 : 5 में बड़े अनुपात को ज्ञात कीजिए।
Answer:
अनुपातों का भिन्न रूप \( = \frac {2}{3} \) और \( \frac {3}{5} \)
समान हर वाला भिन्न रूप \( = \frac {2 \times 5}{3 \times 5} = \frac {10}{15} \) और \( \frac {3 \times 3}{5 \times 3} = \frac {9}{15} \)
अतः बड़ा अनुपात \( \frac {10}{15} \) अर्थात् 2 : 3 होगा।
In simple words: दो अनुपातों की तुलना करने के लिए, उन्हें भिन्न में बदलें और फिर उनके हर (नीचे के अंक) को एक जैसा करें। \( \frac{2}{3} \) का मतलब \( \frac{10}{15} \) है और \( \frac{3}{5} \) का मतलब \( \frac{9}{15} \) है। क्योंकि 10, 9 से बड़ा है, इसलिए \( \frac{10}{15} \) यानी 2:3 अनुपात बड़ा है। यह विधि हमें भिन्न या अनुपातों को आसानी से एक-दूसरे से तुलना करने में मदद करती है, भले ही उनके मूल हर अलग-अलग हों।

🎯 Exam Tip: अनुपातों की तुलना करने के लिए उन्हें हमेशा एक समान हर वाले भिन्न में बदलें।

Question 3. 19, 16, 21, 24 राशियाँ समानुपात में हैं अथवा नहीं ?
Answer:
प्रश्नानुसार,
चरम पदों का गुणनफल \( = 19 \times 24 = 456 \)
मध्य पदों का गुणनफल \( = 16 \times 21 = 336 \)
क्योंकि चरम पदों का गुणनफल और मध्य पदों का गुणनफल दोनों बराबर नहीं हैं \( (456 \neq 336) \)।
अतः 19, 16, 21, 24 समानुपात में नहीं हैं।
In simple words: यह जानने के लिए कि संख्याएँ समानुपात में हैं या नहीं, पहली और आखिरी संख्या का गुणा करें और बीच की दोनों संख्याओं का गुणा करें। यहाँ, 19 और 24 का गुणा 456 है, जबकि 16 और 21 का गुणा 336 है। क्योंकि ये दोनों संख्याएँ अलग-अलग हैं, इसलिए ये राशियाँ समानुपात में नहीं हैं। समानुपात की जाँच करने के लिए यह 'चरम और मध्य पदों का गुणनफल' नियम बहुत उपयोगी होता है।

🎯 Exam Tip: समानुपात की शर्त है कि पहले और चौथे पद का गुणनफल दूसरे और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होना चाहिए।

Question 4. \( \frac {20}{5} = \frac {x}{6} = \frac {12}{3} \) में रिक्त स्थान में आने वाली संख्या ज्ञात करो।
Answer:
दिए गए समीकरण में, हम \( \frac {20}{5} \) और \( \frac {x}{6} \) को बराबर रख सकते हैं:
\( \frac {20}{5} = \frac {x}{6} \)
\( 4 = \frac {x}{6} \)
\( 5 \times x = 20 \times 6 \)
\( x = \frac {120}{5} = 24 \)
या, हम \( \frac {x}{6} \) और \( \frac {12}{3} \) को बराबर रख सकते हैं:
\( \frac {x}{6} = \frac {12}{3} \)
\( \frac {x}{6} = 4 \)
\( x \times 3 = 12 \times 6 \)
\( x = \frac {72}{3} = 24 \)
अत: \( \frac {20}{5} = \frac {24}{6} = \frac {12}{3} \)
In simple words: दिए गए समीकरण में, सभी भिन्न आपस में बराबर हैं। हम \( \frac{20}{5} \) को हल कर सकते हैं, जिसका मान 4 आता है। अब, \( \frac{x}{6} \) को 4 के बराबर रखने पर, हमें \( x \) का मान 24 मिलता है। इसी तरह, \( \frac{12}{3} \) को हल करने पर भी 4 आता है, इसलिए \( x \) का मान 24 ही होगा। यह दर्शाता है कि एक ही मान प्राप्त करने के लिए भिन्न के किसी भी बराबर जोड़े का उपयोग किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: जब कई भिन्न बराबर दिए गए हों, तो किसी भी दो बराबर भिन्नों का उपयोग करके अज्ञात चर (x) का मान ज्ञात करें।

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 1. यदि जूस की 6 केन का मूल्य Rs 210 हो, तो 4 केन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
जूस की 6 केन का मूल्य \( = \) Rs 210
जूस की 1 केन का मूल्य \( = \frac {210}{6} = \) Rs 35
अतः जूस की 4 केन का मूल्य \( = 35 \times 4 = \) Rs 140
इस प्रकार जूस की 4 केन का मूल्य Rs 140 होगा।
In simple words: यदि 6 केन जूस की कीमत 210 रुपये है, तो पहले 1 केन की कीमत निकालते हैं। 1 केन की कीमत 210 को 6 से भाग देने पर 35 रुपये आती है। फिर, 4 केन की कीमत जानने के लिए 35 को 4 से गुणा करते हैं, जो 140 रुपये होता है। यह 'एकिक नियम' का एक अच्छा उदाहरण है, जहाँ हम पहले एक इकाई का मूल्य ज्ञात करते हैं और फिर आवश्यक मात्रा का मूल्य निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: एकिक नियम का उपयोग करते समय, पहले प्रति इकाई मूल्य या मात्रा ज्ञात करें, फिर कुल आवश्यक मूल्य या मात्रा निकालें।

Question 2. अनीश ने 6 ओवर में 42 रन बनाए और अनूप ने 7 ओवर में 63 रन बनाए। एक ओवर में किसने अधिक रन बनाए ?
Answer:
अनीश ने 6 ओवर में रन बनाए \( = 42 \)
अनीश ने 1 ओवर में रन बनाए \( = \frac {42}{6} = 7 \)
अनूप ने 7 ओवर में रन बनाए \( = 63 \)
अनूप ने 1 ओवर में रन बनाए \( = \frac {63}{7} = 9 \)
अतः अनूप ने प्रति ओवर ज्यादा रन बनाए।
In simple words: अनीश ने 6 ओवर में 42 रन बनाए, इसका मतलब है कि उसने हर ओवर में \( 42 \div 6 = 7 \) रन बनाए। अनूप ने 7 ओवर में 63 रन बनाए, तो उसने हर ओवर में \( 63 \div 7 = 9 \) रन बनाए। चूंकि 9, 7 से ज्यादा है, इसलिए अनूप ने प्रति ओवर अधिक रन बनाए। प्रति ओवर रन निकालना खिलाड़ियों के प्रदर्शन की तुलना करने का एक प्रभावी तरीका है।

🎯 Exam Tip: तुलनात्मक प्रश्न में, प्रत्येक वस्तु के लिए प्रति इकाई मान ज्ञात करना सबसे अच्छा तरीका है।

Question 3. निम्न में से प्रत्येक को अनुपात ज्ञात कीजिए
(a) 30 मिनट का 13 घण्टे
(b) 40 सेमी. का 1.5 मी.
Answer:
(a) 30 मिनट का 13 घण्टे से अनुपात:
सबसे पहले, 1.5 घंटे को मिनट में बदलते हैं। ( \( 1 \) घण्टा \( = 60 \) मिनट)
\( 1.5 \) घण्टे \( = 1.5 \times 60 \) मिनट \( = 90 \) मिनट
तो, 30 मिनट : 90 मिनट \( = 30 : 90 \)
इसे सरल करने पर (दोनों को 30 से भाग देने पर) \( = 1 : 3 \)
(b) 40 सेमी. का 1.5 मीटर से अनुपात:
सबसे पहले, 1.5 मीटर को सेमी में बदलते हैं। ( \( 1 \) मीटर \( = 100 \) सेमी.)
\( 1.5 \) मीटर \( = 1.5 \times 100 \) सेमी. \( = 150 \) सेमी.
तो, 40 सेमी. : 150 सेमी. \( = 40 : 150 \)
In simple words: अनुपात निकालने के लिए, यह बहुत ज़रूरी है कि सभी राशियाँ एक ही इकाई में हों। (a) 1.5 घंटे को 90 मिनट में बदला, फिर 30 मिनट और 90 मिनट का अनुपात 1:3 मिला। (b) 1.5 मीटर को 150 सेमी में बदला, फिर 40 सेमी और 150 सेमी का अनुपात 40:150 है।

🎯 Exam Tip: अनुपात ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि तुलना की जा रही सभी मात्राएँ समान इकाइयों में हों, और फिर अनुपात को उसके सरलतम रूप में व्यक्त करें।

Question 5. क्या निम्न राशियाँ समानुपात में हैं
(a) 15, 45, 40, 120
(b) 33, 121, 9, 96
Answer:
(a) 15, 45, 40, 120 के लिए:
चरम पदों का गुणनफल \( = 15 \times 120 = 1800 \)
मध्य पदों का गुणनफल \( = 45 \times 40 = 1800 \)
चूंकि चरम पदों का गुणनफल \( = \) मध्य पदों का गुणनफल है।
इसलिए 15, 45, 40, 120 समानुपात में हैं।
(b) 33, 121, 9, 96 के लिए:
चरम पदों का गुणनफल \( = 33 \times 96 = 3168 \)
मध्य पदों का गुणनफल \( = 121 \times 9 = 1089 \)
स्पष्ट है, चरम पदों का गुणनफल \( \neq \) मध्य पदों का गुणनफल है।
इसलिए 33, 121, 9, 96 समानुपात में नहीं हैं।
In simple words: यह जानने के लिए कि संख्याएँ समानुपात में हैं या नहीं, पहली और आखिरी संख्या का गुणा करें और बीच की दोनों संख्याओं का गुणा करें। (a) 15 और 120 का गुणा 1800 है, और 45 और 40 का गुणा भी 1800 है। क्योंकि दोनों बराबर हैं, इसलिए ये संख्याएँ समानुपात में हैं। (b) 33 और 96 का गुणा 3168 है, जबकि 121 और 9 का गुणा 1089 है। क्योंकि ये दोनों गुणनफल अलग-अलग हैं, इसलिए ये संख्याएँ समानुपात में नहीं हैं। समानुपात यह सुनिश्चित करता है कि दो अनुपातों के बीच एक सुसंगत संबंध मौजूद हो।

🎯 Exam Tip: समानुपात की जाँच के लिए, हमेशा बाहरी संख्याओं (चरम पदों) का गुणनफल और आंतरिक संख्याओं (मध्य पदों) का गुणनफल निकालकर उनकी तुलना करें।