RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 12 बीजगणित Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. समीकरण \( 2n = 4 \) के प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला \( n \) का मान होगा
(a) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
Answer: (d) 2
In simple words: समीकरण \( 2n = 4 \) को हल करने पर, \( n \) का मान 2 आता है. इसका मतलब है कि \( n \) की जगह 2 रखने पर समीकरण सही हो जाता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, चर (variable) के साथ गुणा में जो संख्या होती है, उससे समीकरण के दोनों पक्षों को भाग दें.

प्रश्न 2. समीकरण \( 5x = 20 \) को सन्तुष्ट करने वाला \( x \) का मान होगा
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
Answer: (c) 4
In simple words: जब \( 5 \) को \( x \) से गुणा करने पर \( 20 \) आता है, तो \( x \) का मान \( 4 \) होता है. इसे प्राप्त करने के लिए \( 20 \) को \( 5 \) से भाग दें.

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, जो भी संक्रिया एक पक्ष में करें, वही दूसरे पक्ष में भी करनी चाहिए ताकि समीकरण का संतुलन बना रहे.

प्रश्न 3. समीकरण \( 5p - 3 = 2 \) को सन्तुष्ट करने वाला \( p \) का मान होगा
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
Answer: (b) 1
In simple words: समीकरण \( 5p - 3 = 2 \) में, पहले \( 3 \) को दूसरे पक्ष में ले जाएँ (जोड़ने पर), फिर \( p \) का मान निकालने के लिए \( 5 \) से भाग दें. इससे \( p = 1 \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: दो चरणों वाले समीकरणों में, पहले जोड़ या घटाव वाली संख्या को दूसरे पक्ष में ले जाएँ, फिर गुणा या भाग वाली संख्या को हल करें.

प्रश्न 4. वर्ग की भुजा हो, तो उसका परिमाप होगा।
(a) \( \frac { 1 }{ 4 } \)
(b) \( 4l \)
Answer: (b) \( 4l \)
In simple words: वर्ग की चार बराबर भुजाएँ होती हैं. अगर एक भुजा की लंबाई \( l \) है, तो उसका परिमाप चारों भुजाओं की कुल लंबाई यानी \( 4 \) गुणा \( l \) होगा.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि परिमाप हमेशा किसी आकृति की सभी बाहरी भुजाओं की कुल लंबाई होता है.

प्रश्न 6. \( x + 70 = 20 \) में सम्बद्ध चर है।
(a) 20
(b) n
(c) 70
(d) x
Answer: (d) x
In simple words: समीकरण \( x + 70 = 20 \) में, \( x \) एक चर (variable) है क्योंकि इसका मान ज्ञात करना है और यह बदल सकता है. 20 और 70 स्थिर मान (constants) हैं.

🎯 Exam Tip: चर (variable) वे अक्षर होते हैं जिनका मान ज्ञात करना होता है या जो बदल सकते हैं, जबकि संख्याएँ स्थिर मान (constants) होती हैं.

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प्रश्न 1.
(i) एक समीकरण के............. पक्ष होते हैं।
(ii) समीकरण में चर वह निश्चित मान जो समीकरण को सन्तुष्ट करता है, वह समीकरण का........... कहलाता है।
(iii) एक चर का मान............. नहीं होता है।
Answer:
(i) एक समीकरण के दो पक्ष होते हैं।
(ii) समीकरण में चर वह निश्चित मान जो समीकरण को सन्तुष्ट करता है, वह समीकरण का एक हल कहलाता है।
(iii) एक चर का मान स्थिर नहीं होता है। चर का मान बदल सकता है, तभी हम उसे चर कहते हैं.
In simple words: समीकरण में दो तरफ होते हैं, चर का सही मान ही उसका हल होता है, और चर का मान हमेशा बदल सकता है, वह फिक्स नहीं होता.

🎯 Exam Tip: समीकरण के दो पक्ष हमेशा बराबर होते हैं, और चर का 'हल' वह संख्या होती है जो समीकरण को सही बनाती है.

प्रश्न 1. समीकरण \( x + 5 = 10 \) को हल कीजिए।
Answer:
समीकरण है: \( x + 5 = 10 \)
दोनों पक्षों में से \( 5 \) घटाने पर, हम चर \( x \) का मान ज्ञात कर सकते हैं.
\( x + 5 - 5 = 10 - 5 \)

\( \implies x = 5 \)
In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, \( x \) के साथ जो \( 5 \) जोड़ा गया है, उसे दोनों तरफ से घटा दें. ऐसा करने पर \( x \) का मान \( 5 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप समीकरण के दोनों तरफ समान संक्रिया करें ताकि समानता बनी रहे.

प्रश्न 2. समीकरण \( 5x = 45 \) को हल कीजिए।
Answer:
समीकरण है: \( 5x = 45 \)
दोनों पक्षों को \( 5 \) से भाग देने पर, \( x \) का मान निकल जाता है. \( 5x \) का मतलब है \( 5 \) गुणा \( x \).
\( \frac { 5x }{ 5 } = \frac { 45 }{ 5 } \)

\( \implies x = 9 \)
In simple words: \( x \) का मान निकालने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ \( 5 \) से भाग दें. इससे \( x \) का मान \( 9 \) आता है.

🎯 Exam Tip: जब एक चर किसी संख्या से गुणा हो रहा हो, तो उसे अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को उसी संख्या से भाग दें.

प्रश्न 3. समीकरण \( \frac { p }{ 4 } = 2 \) को हल कीजिए।
Answer:
समीकरण है: \( \frac { p }{ 4 } = 2 \)
दोनों पक्षों को \( 4 \) से गुणा करने पर, \( p \) का मान ज्ञात होता है, क्योंकि \( p \) को \( 4 \) से भाग दिया जा रहा है.
\( \frac { p }{ 4 } \times 4 = 2 \times 4 \)

\( \implies p = 8 \)
In simple words: \( p \) का मान जानने के लिए, \( 4 \) को समीकरण के दोनों तरफ गुणा करें. इससे \( p \) का मान \( 8 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: जब कोई चर किसी संख्या से भाग हो रहा हो, तो उसे अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को उसी संख्या से गुणा करें.

प्रश्न 4. समीकरण \( x - 7 = 15 \) को हल कीजिए।
Answer:
समीकरण है: \( x - 7 = 15 \)
दोनों पक्षों में \( 7 \) जोड़ने पर, हम \( x \) का मान निकाल सकते हैं, क्योंकि \( x \) में से \( 7 \) घटाया जा रहा है.
\( x - 7 + 7 = 15 + 7 \)

\( \implies x = 22 \)
In simple words: \( x \) का मान जानने के लिए, \( 7 \) को समीकरण के दोनों तरफ जोड़ दें. इससे \( x \) का मान \( 22 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: समीकरणों में जोड़ और घटाव की संक्रियाओं को हल करने के लिए, विपरीत संक्रिया का उपयोग करें (जैसे घटाव के लिए जोड़ और जोड़ के लिए घटाव).

प्रश्न 6.
(a) \( t \) और \( 4 \) का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। एक से अधिक संख्या संक्रिया का प्रयोग न करें। प्रत्येक व्यंजक में अवश्य होना चाहिए।
(b) \( y, 2 \) और \( 7 \) का प्रयोग करके व्यंजक बनाइए। प्रत्येक व्यंजक में \( y \) अवश्य होना चाहिए। केवल दो संख्या संक्रियाओं का प्रयोग करें। ये भिन्न-भिन्न होनी चाहिए।
Answer:
(a) \( t \) और \( 4 \) का प्रयोग करके बनने वाले सम्भव व्यंजक:
(i) \( t + 4 \)
(ii) \( t - 4 \)
(iii) \( \frac { t }{ 4 } \)
(iv) \( 4t \)
(v) \( \frac { 4 }{ t } \)
(vi) \( 4 - t \)

(b) \( y, 2 \) और \( 7 \) (केवल दो विभिन्न संख्याओं की संक्रिया) के प्रयोग से बनने वाले सम्भव व्यंजक:
(i) \( 2y + 7 \)
(ii) \( 2y - 7 \)
(iii) \( 7y + 2 \)
(iv) \( 7y - 2 \)
(v) \( \frac { y }{ 2 } - 7 \)
(vi) \( \frac { y }{ 2 } + 7 \)
(vii) \( y + \frac { 7 }{ 2 } \)
(viii) \( y + \frac { 7 }{ 2 } \)
(ix) \( \frac { y }{ 7 } + 2 \) और \( \frac { y }{ 7 } - 2 \) आदि।
In simple words: (a) \( t \) और \( 4 \) का उपयोग करके जोड़, घटाव, गुणा या भाग वाले अलग-अलग व्यंजक बना सकते हैं, हर व्यंजक में \( t \) होना चाहिए. (b) \( y, 2 \) और \( 7 \) का उपयोग करके ऐसे व्यंजक बनाने हैं जिनमें \( y \) हो और दो अलग-अलग तरह के गणित के काम (जोड़ना, घटाना, गुणा, भाग) किए गए हों.

🎯 Exam Tip: व्यंजक बनाते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सभी शर्तों का पालन कर रहे हैं, जैसे कि चर की उपस्थिति और संक्रियाओं की संख्या.

प्रश्न 1. निम्नलिखित खुले वाक्यों को समीकरण में बदलिए
(i) 3 को \( x \) में जोड़ने पर 11 प्राप्त होता है।
(ii) \( x \) में से 7 घटाने पर 12 शेष रहता है।
(iii) किसी संख्या में 10 की वृद्धि करने पर 22 प्राप्त होता है।
(iv) किसी संख्या का 5 गुना 35 है।
(v) 15 में से कितना घटाया जाए कि शेष 2 रहे ?
Answer:
(i) 3 को \( x \) में जोड़ने पर योग \( = x + 3 \) (बायाँ पक्ष)
वास्तविक योगफल \( = 11 \) (दायाँ पक्ष)
अतः समीकरण \( x + 3 = 11 \).

(ii) \( x \) में से 7 घटाने पर \( = x - 7 \) (बायाँ पक्ष)
वास्तविक शेषफल \( = 12 \) (दायाँ पक्ष)
अतः समीकरण \( x - 7 = 12 \).

(iii) माना कि संख्या \( x \) है।
संख्या में 10 की वृद्धि \( = x + 10 \) (बायाँ पक्ष)
वास्तविक योगफल \( = 22 \) (दायाँ पक्ष)
अतः समीकरण \( x + 10 = 22 \).

(iv) माना कि संख्या \( x \) है।
संख्या का पाँच गुना \( = 5x \) (बायाँ पक्ष)
गुणनफल \( = 35 \) (दायाँ पक्ष)
अतः समीकरण \( 5x = 35 \).

(v) माना कि 15 में से \( x \) घटाया जाता है।
तब शेष \( = 15 - x \) (बायाँ पक्ष)
वास्तविक शेष \( = 2 \) (दायाँ पक्ष)
अतः समीकरण \( 15 - x = 2 \).
In simple words: खुले वाक्यों को समीकरण में बदलने के लिए, हमें अज्ञात संख्या को एक चर (जैसे \( x \)) मानना होता है. फिर दिए गए शब्दों को गणित के चिह्नों (जोड़ना, घटाना, गुणा, भाग) में बदलकर समीकरण बना लेते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, 'प्राप्त होता है', 'शेष रहता है', 'गुना' जैसे शब्दों को सही गणितीय संक्रियाओं (बराबर, घटाना, गुणा) में बदलना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 2. निम्नलिखित व्यंजकों को बनाने में प्रयुक्त संक्रियाओं (योग, व्यवकलन, विभाजन) को पहचान कर बताइए
(f) \( 10y + 7 \)
(g) \( 2n - 1 \)
Answer:
(f) \( 10y + 7 \): \( y \) में 10 से गुणा किया गया है, और फिर गुणनफल में 7 जोड़ा गया है। यह गुणन और योग की संक्रिया है।
(g) \( 2n - 1 \): \( n \) में 2 से गुणा किया गया है, और फिर गुणनफल में से 1 घटाया गया है। यह गुणन और व्यवकलन (घटाव) की संक्रिया है।
In simple words: (f) \( 10y + 7 \) में \( y \) को 10 से गुणा किया गया है, फिर 7 जोड़ा गया है. (g) \( 2n - 1 \) में \( n \) को 2 से गुणा किया गया है, फिर 1 घटाया गया है.

🎯 Exam Tip: व्यंजकों में संक्रियाओं को पहचानते समय, हमेशा यह ध्यान दें कि पहले कौन सी संक्रिया हुई है (जैसे गुणा या भाग अक्सर जोड़ या घटाव से पहले होते हैं).

प्रश्न 3. नीचे बनी आकृतियाँ तीलियों से बने त्रिभुजों का एक प्रतिरूप दर्शा रही हैं। वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है।
Answer:
प्रतिरूप (पैटर्न) को देखकर, हम तीलियों की संख्या और त्रिभुजों की संख्या के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं। प्रत्येक नए त्रिभुज के लिए 2 तीलियाँ और जुड़ती हैं, और एक प्रारंभिक तीली हमेशा रहती है।
इसके लिए हम एक सारणी बना सकते हैं:

यदि त्रिभुजों की संख्या \( n \) है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए व्यापक नियम होगा:
तीलियों की संख्या \( = 2n + 1 \)
In simple words: जब त्रिभुजों को माचिस की तीलियों से बनाते हैं, तो हर नए त्रिभुज के लिए दो और तीलियाँ लगती हैं. एक तीली हमेशा शुरुआत में रहती है. इसलिए, अगर \( n \) त्रिभुज हैं, तो कुल तीलियाँ \( 2 \) गुणा \( n \) जमा \( 1 \) होंगी.
🎯 Exam Tip: ऐसे पैटर्न वाले प्रश्नों में, पहले कुछ चरणों के लिए एक तालिका बनाएँ और फिर संख्याओं के बीच संबंध ढूँढकर व्यापक नियम (general rule) निकालें.

प्रश्न 4. सारणी को पूरा कीजिए और समीकरण \( m - 7 = 3 \) का हल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई सारणी को पूरा करने पर, हम \( m - 7 \) के मान ज्ञात करते हैं:

उपर्युक्त सारणी को देखने पर यह स्पष्ट होता है कि जब \( m = 10 \) होता है, तो \( m - 7 = 3 \) आता है।
अतः समीकरण \( m - 7 = 3 \) का हल \( m = 10 \) है। यह हल समीकरण को सही बनाता है।
In simple words: सारणी में \( m \) के अलग-अलग मानों के लिए \( m - 7 \) का मान निकाला गया है. जिस मान के लिए \( m - 7 \) का उत्तर \( 3 \) आता है, वही समीकरण \( m - 7 = 3 \) का हल होता है. सारणी से पता चलता है कि \( m = 10 \) पर उत्तर \( 3 \) आता है.
🎯 Exam Tip: समीकरणों के हल को सारणी की मदद से ढूँढने के लिए, सारणी में दिए गए मानों को समीकरण में रखकर देखें कि कौन सा मान समीकरण को संतुष्ट करता है (बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष).