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Question 1. नीचे कुछ गणितीय कथन लिखे गए हैं। बताइए इनमें से कौन-कौन समीकरण हैं। यह भी बताइए कि जो समीकरण हैं उनमें चर क्या हैं?
(i) \( 5x = 0 \)
(ii) \( t - 7 > 5 \)
(iii) \( 4 \div 2 = 2 \)
(iv) \( 2x - 1 < 5 \)
(v) \( 7 = 14 \times 2 + q \)
(vi) \( 15000 = 2t + 3500 \)
Answer: दिए गए कथनों में से समीकरण और उनमें मौजूद चर (variables) इस प्रकार हैं:
| क्र.स. | गणितीय कथन | समीकरण है या नहीं | तो चर |
|---|---|---|---|
| (i) | \( 5x = 0 \) | है | \( x \) |
| (ii) | \( t - 7 > 5 \) | नहीं | - |
| (iii) | \( 4 \div 2 = 2 \) | नहीं | - |
| (iv) | \( 2x - 1 < 5 \) | नहीं | - |
| (v) | \( 7 = 14 \times 2 + q \) | है | \( q \) |
| (vi) | \( 15000 = 2t + 3500 \) | है | \( t \) |
गणितीय कथनों को समीकरण तब कहा जाता है जब उनमें 'बराबर' (\( = \)) का चिन्ह होता है और एक अज्ञात चर (variable) होता है, जिसे हमें हल करना होता है.
In simple words: हमें कुछ गणितीय वाक्य दिए गए थे. हमने देखा कि किन वाक्यों में 'बराबर' का चिन्ह है और कोई अज्ञात अक्षर (जैसे \( x \), \( t \) या \( q \)) है. वही वाक्य समीकरण कहलाते हैं.
🎯 Exam Tip: समीकरण की पहचान करने के लिए हमेशा 'बराबर' (\( = \)) के चिन्ह और एक अज्ञात चर की उपस्थिति देखें। असमिकाओं (जैसे \( < \) या \( > \)) को समीकरण नहीं माना जाता है।
Question 2. समीकरण \( 10y = 50 \) में चर के मान \( y = 10, y = 8 \) तथा \( y = 5 \) रखकर देखिए, किस मान से समीकरण सन्तुष्ट होता है ?
Answer: हमें समीकरण \( 10y = 50 \) दिया गया है। हमें यह पता लगाना है कि \( y \) के किन मानों से यह समीकरण सही होता है।
(i) जब \( y = 10 \) रखते हैं:
\( 10 \times 10 = 50 \)
\( 100 = 50 \)
यह सत्य नहीं है।
(ii) जब \( y = 8 \) रखते हैं:
\( 10 \times 8 = 50 \)
\( 80 = 50 \)
यह सत्य नहीं है।
(iii) जब \( y = 5 \) रखते हैं:
\( 10 \times 5 = 50 \)
\( 50 = 50 \)
यह सत्य है।
अतः, \( y = 5 \) रखने पर समीकरण सन्तुष्ट होता है।
In simple words: हमने समीकरण में \( y \) की जगह 10, फिर 8, और फिर 5 रखकर देखा. जिस मान को रखने पर समीकरण के दोनों तरफ बराबर उत्तर आया (जैसे \( 50 = 50 \)), वही मान समीकरण को संतुष्ट करता है. यहाँ \( y=5 \) सही मान है.
🎯 Exam Tip: समीकरण को संतुष्ट करने वाले मान को खोजने के लिए, हमेशा दिए गए मानों को चर की जगह रखें और जांचें कि क्या समीकरण के दोनों पक्ष बराबर हैं।
Question 3. नीचे समीकरण के सम्भावित हल दिए गए हैं। समीकरण में मान रखकर देखिए क्या यह दिए गए चर के मान के लिए सन्तुष्ट है?
(i) \( 3x - 7 = 5, x = 5 \)
(ii) \( 3p + 2 = 8, p = 2 \)
Answer: हम दिए गए समीकरणों में चर के मान रखकर जांचेंगे कि क्या वे संतुष्ट होते हैं।
(i) समीकरण \( 3x - 7 = 5 \) में \( x = 5 \) रखने पर:
\( 3 \times 5 - 7 = 5 \)
\( 15 - 7 = 5 \)
\( 8 = 5 \)
यह सत्य नहीं है। इसलिए, \( x = 5 \) पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता है।
(ii) समीकरण \( 3p + 2 = 8 \) में \( p = 2 \) रखने पर:
\( 3 \times 2 + 2 = 8 \)
\( 6 + 2 = 8 \)
\( 8 = 8 \)
यह सत्य है। इसलिए, \( p = 2 \) पर समीकरण संतुष्ट होता है। यह दर्शाता है कि \( p=2 \) समीकरण का सही हल है।
In simple words: पहले समीकरण में \( x \) की जगह 5 रखा तो \( 8 = 5 \) आया, जो गलत है. दूसरे समीकरण में \( p \) की जगह 2 रखा तो \( 8 = 8 \) आया, जो सही है. मतलब दूसरा मान समीकरण को ठीक करता है.
🎯 Exam Tip: किसी समीकरण के हल की जांच करते समय, हमेशा चर के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि क्या बायां पक्ष (LHS) और दाहिना पक्ष (RHS) बराबर आते हैं।
Question 4. दिए गए समीकरण के लिए सारणी को पूरा कीजिए व समीकरण का हल ज्ञात कीजिए
(i) \( 3x = 15 \)
(ii) \( \frac {p}{3}=4 \)
(iii) \( x - 3 = 5 \)
Answer: हम प्रत्येक समीकरण के लिए सारणी को पूरा करेंगे और फिर उसका हल ज्ञात करेंगे।
(i) समीकरण: \( 3x = 15 \)
| \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 3x \) | \( 3 \times 0 = 0 \) | \( 3 \times 1 = 3 \) | \( 3 \times 2 = 6 \) | \( 3 \times 3 = 9 \) | \( 3 \times 4 = 12 \) | \( 3 \times 5 = 15 \) | \( 3 \times 6 = 18 \) | \( 3 \times 7 = 21 \) |
सारणी से, जब \( 3x = 15 \) है, तब \( x = 5 \) है।
अतः, \( x = 5 \)।
(ii) समीकरण: \( \frac {p}{3}=4 \)
| \( P \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \frac {P}{3} \) | \( \frac {1}{3} \) | \( \frac {2}{3} \) | \( \frac {3}{3} = 1 \) | \( \frac {4}{3} \) | \( \frac {5}{3} \) | \( \frac {6}{3} = 2 \) | \( \frac {7}{3} \) | \( \frac {8}{3} \) | \( \frac {9}{3} = 3 \) | \( \frac {10}{3} \) | \( \frac {11}{3} \) | \( \frac {12}{3} = 4 \) |
सारणी से, जब \( \frac {p}{3}=4 \) है, तब \( p = 12 \) है।
अतः, \( p = 12 \)।
(iii) समीकरण: \( x - 3 = 5 \)
| \( x \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( x - 3 \) | \( 1 - 3 = -2 \) | \( 2 - 3 = -1 \) | \( 3 - 3 = 0 \) | \( 4 - 3 = 1 \) | \( 5 - 3 = 2 \) | \( 6 - 3 = 3 \) | \( 7 - 3 = 4 \) | \( 8 - 3 = 5 \) | \( 9 - 3 = 6 \) | \( 10 - 3 = 7 \) | \( 11 - 3 = 8 \) |
सारणी से, जब \( x - 3 = 5 \) है, तब \( x = 8 \) है।
अतः, \( x = 8 \)।
In simple words: हमने हर समीकरण के लिए एक तालिका पूरी की. तालिका में, हमने चर (\( x \) या \( p \)) के अलग-अलग मानों को रखकर समीकरण के बाईं ओर का मान निकाला. जब बाईं ओर का मान समीकरण के दाईं ओर के मान के बराबर आया, तो उस चर का मान ही समीकरण का हल था.
🎯 Exam Tip: सारणी विधि से समीकरण हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आप चर के विभिन्न मानों के लिए समीकरण के व्यंजक के मानों की सही गणना करें, और वह मान चुनें जहां व्यंजक समीकरण के दाहिने पक्ष के बराबर हो जाता है।
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