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Question 1. दी गई संख्याओं के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए –
(i) 7
(ii) 9
(iii) 16
(iv) 25
(v) 48
(vi) 63
Answer:
(i) 7 के गुणनखण्ड = 1, 7
(ii) 9 के गुणनखण्ड = 1, 3, 9
(iii) 16 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8, 16
(iv) 25 के गुणनखण्ड = 1, 5, 25
(v) 48 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
(vi) 63 के गुणनखण्ड = 1, 3, 7, 9, 21, 63
In simple words: गुणनखण्ड वे संख्याएँ होती हैं जिनसे दी गई संख्या को पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है। प्रत्येक संख्या का पहला गुणनखण्ड 1 होता है और आखिरी गुणनखण्ड वह संख्या खुद होती है।
🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या के गुणनखण्ड हमेशा उस संख्या के बराबर या उससे छोटे होते हैं। 1 हर संख्या का गुणनखण्ड होता है।
Question 2. दी गई संख्याओं के समान गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए –
(i) 8 व 12
(ii) 10 व 20
(iii) 7 व 16
(iv) 18 व 32
Answer:
(i) 8 व 12
8 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
अतः 8 व 12 के समान गुणनखण्ड = 1, 2, 4
(ii) 10 व 20
10 के गुणनखण्ड = 1, 2, 5, 10
20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10, 20
अतः 10 व 20 के समान गुणनखण्ड = 1, 2, 5, 10
(iii) 7 व 16
7 के गुणनखण्ड = 1, 7
16 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8, 16
अतः 7 व 16 के समान गुणनखण्ड = 1
(iv) 18 व 32
18 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9, 18
32 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 8, 16, 32
अतः 18 व 32 के समान गुणनखण्ड = 1, 2
In simple words: समान गुणनखण्ड वे संख्याएँ होती हैं जो दो या दो से अधिक संख्याओं को एक साथ पूरा-पूरा भाग दे सकें। पहले हर संख्या के गुणनखण्ड निकालते हैं, फिर देखते हैं कौन से गुणनखण्ड सभी संख्याओं में एक जैसे हैं।
🎯 Exam Tip: जब दो संख्याओं में केवल 1 ही समान गुणनखण्ड हो, तो वे संख्याएँ 'सह-अभाज्य' कहलाती हैं।
Question 3. 21 व 28 का सबसे बड़ी समान गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
Answer:
21 के गुणनखण्ड = 1, 3, 7, 21
28 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 7, 14, 28
अतः 21 व 28 का सबसे बड़ा गुणनखण्ड = 7
In simple words: सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड (म.स.प.) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है। पहले सभी गुणनखण्ड निकालो, फिर उनमें से सबसे बड़ा एक जैसा गुणनखण्ड चुनो।
🎯 Exam Tip: सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड हमेशा दी गई संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे कम होगा।
Question 4. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करो जिसका 45 व 75 दोनों में पूरा-पूरा भाग जाता है।
Answer:
45 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 9, 15, 45
75 के गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 15, 25, 75
45 व 75 के समान गुणनखण्ड = 1, 3, 5, 15
इन गुणनखण्डों में सबसे बड़ी संख्या = 15
अतः 15 वह सबसे बड़ी संख्या होगी जिसका 45 व 75 दोनों का पूरा-पूरा भाग जायेगा।
In simple words: हमें ऐसी सबसे बड़ी संख्या ढूंढनी थी जो 45 और 75 दोनों को बिना किसी शेष के भाग कर सके। हमने दोनों के गुणनखण्ड निकाले और देखा कि 15 ही सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों में समान है।
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में सबसे बड़ी संख्या का मतलब होता है 'महत्तम समापवर्तक' (Highest Common Factor या HCF) निकालना।
Question 5. 12, 18 व 24 का सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
Answer:
12 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6, 9, 18
24 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
12, 18 व 24 के समान गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 6
अतः 12, 18 व 24 का सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड = 6
In simple words: तीन संख्याओं का सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड ढूंढने के लिए, पहले तीनों के सभी गुणनखण्ड लिखो। फिर उनमें से सबसे बड़ी संख्या चुनो जो तीनों में एक जैसी हो।
🎯 Exam Tip: तीन संख्याओं के HCF को ज्ञात करने के लिए, आप किन्हीं दो संख्याओं का HCF निकाल सकते हैं, और फिर उस परिणाम और तीसरी संख्या का HCF निकाल सकते हैं।
Question 7. दूध की दो केनों में क्रमशः 20 व 30 लीटर दूध भरा है। बड़े से बड़े बर्तन का नाप क्या होगा, जो दोनों केनों के दूध को पूरा-पूरा नाप सके?
Answer:
20 के गुणनखण्ड = 1, 2, 4, 5, 10, 20
30 के गुणनखण्ड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
इन दोनों गुणनखण्डों में सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड = 10
अतः बड़े से बड़े बर्तन का नाप 10 लीटर होगा जो दोनों केनों को पूरा-पूरा नाप सकेगा।
In simple words: हमें एक ऐसा बर्तन चाहिए था जो 20 लीटर और 30 लीटर दूध दोनों को बिल्कुल सही-सही माप सके, और वह बर्तन सबसे बड़ा होना चाहिए। हमने 20 और 30 के सबसे बड़े समान गुणनखण्ड को निकाला, जो कि 10 है। तो, 10 लीटर का बर्तन ही सही नाप होगा।
🎯 Exam Tip: जब भी "सबसे बड़े नाप", "सबसे बड़ी संख्या", या "अधिकतम क्षमता" जैसे शब्द आएं, तो समझ जाएं कि आपको महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है।
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