NCERT Solutions for Class 5 Mathematics: Chapter 04 वैदिक गणित
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Practice Class 5 Mathematics Solutions: Chapter 04 वैदिक गणित
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आधार 10 पर सूत्र निखिलम् द्वारा गुणा कीजिए -
Question 1. 12 x 9
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 12 \) और \( 9 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 12 - 10 = +2 \)
\( 9 - 10 = -1 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = \) पहली संख्या \( + \) दूसरी संख्या का विचलन (या दूसरी संख्या \( + \) पहली संख्या का विचलन)
\( = 12 + (-1) = 11 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = \) विचलनों का गुणनफल (Product of deviations)
\( = (+2) \times (-1) = -2 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 11 / -2 \)
चूँकि दायाँ पक्ष ऋणात्मक है, हम बाएँ पक्ष से \( 1 \) उधार लेते हैं। आधार \( 10 \) में \( 1 \) उधार लेने पर दाएँ पक्ष में \( 10 \) जोड़ा जाएगा।
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 11 - 1 = 10 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = 10 + (-2) = 8 \)
अतः, गुणनफल (Product) \( = 108 \). यह विधि संख्याओं को आधार के करीब लाकर गुणा करना आसान बनाती है.
In simple words: 12 और 9 को गुणा करने के लिए, आधार 10 लेते हैं. 12 का विचलन +2 है और 9 का विचलन -1 है. पहले बाएं हिस्से में 12 में से 1 घटाकर 11 लिखते हैं. फिर दाएं हिस्से में विचलनों को गुणा करके -2 लिखते हैं. चूंकि -2 नकारात्मक है, इसलिए 11 से 1 निकालकर 10 बनाते हैं और दाएं हिस्से में 10 जोड़कर 8 लिखते हैं. इस तरह हमें 108 मिलता है.
🎯 Exam Tip: निखिलम् विधि में जब विचलन का गुणनफल ऋणात्मक हो, तो बाईं ओर से एक इकाई कम करके दाईं ओर आधार का मान जोड़ें.
Question 2. 15 x 12
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 15 \) और \( 12 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 15 - 10 = +5 \)
\( 12 - 10 = +2 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 15 + 2 = 17 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (+5) \times (+2) = 10 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 17 / 10 \)
चूँकि आधार \( 10 \) में केवल एक शून्य होता है, दाएँ पक्ष में केवल एक अंक रह सकता है। इसलिए, दाएँ पक्ष के \( 10 \) में से \( 1 \) को बाएँ पक्ष में स्थानांतरित करेंगे।
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 17 + 1 = 18 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = 0 \)
अतः, गुणनफल (Product) \( = 180 \). यह वैदिक गणित की एक कुशल विधि है जो गुणा को सरल बनाती है.
In simple words: 15 और 12 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन +5 और +2 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 15 में 2 जोड़कर 17 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में 5 को 2 से गुणा करके 10 लिखते हैं. चूंकि दाएँ पक्ष में दो अंक हैं और आधार में केवल एक अंक की अनुमति है, इसलिए 10 में से 1 को बाएं पक्ष में जोड़ देते हैं, जिससे बायाँ पक्ष 18 और दायाँ पक्ष 0 हो जाता है. इस प्रकार, उत्तर 180 आता है.
🎯 Exam Tip: जब विचलनों का गुणनफल आधार से बड़ी संख्या हो, तो अतिरिक्त अंक को बाईं ओर स्थानांतरित करें और उसे बाएँ पक्ष के मान में जोड़ दें.
Question 3. 13 x 17
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 13 \) और \( 17 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 13 - 10 = +3 \)
\( 17 - 10 = +7 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 13 + 7 = 20 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (+3) \times (+7) = 21 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 20 / 21 \)
चूँकि आधार \( 10 \) में केवल एक शून्य होता है, दाएँ पक्ष में केवल एक अंक रह सकता है। इसलिए, दाएँ पक्ष के \( 21 \) में से \( 2 \) को बाएँ पक्ष में स्थानांतरित करेंगे।
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 20 + 2 = 22 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = 1 \)
अतः, गुणनफल (Product) \( = 221 \). यह विधि जटिल गुणा को मानसिक रूप से आसान बनाने में मदद करती है.
In simple words: 13 और 17 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन +3 और +7 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 13 में 7 जोड़कर 20 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में 3 को 7 से गुणा करके 21 लिखते हैं. चूंकि दाएँ पक्ष में दो अंक हैं, इसलिए 21 में से 2 को बाएँ पक्ष में जोड़ देते हैं, जिससे बायाँ पक्ष 22 और दायाँ पक्ष 1 हो जाता है. इस तरह, उत्तर 221 आता है.
🎯 Exam Tip: बड़े आधार के लिए, दाएँ पक्ष में उतने ही अंक होने चाहिए जितने आधार में शून्य होते हैं.
Question 4. 8 x 9
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 8 \) और \( 9 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 8 - 10 = -2 \)
\( 9 - 10 = -1 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 8 + (-1) = 7 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (-2) \times (-1) = 2 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 7 / 2 \)
चूँकि दायाँ पक्ष पहले से ही एक अंक की धनात्मक संख्या है, कोई परिवर्तन आवश्यक नहीं है। संख्याओं को आधार के करीब लाकर गुणा करना आसान हो जाता है.
अतः, गुणनफल (Product) \( = 72 \).
In simple words: 8 और 9 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन -2 और -1 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 8 में से 1 घटाकर 7 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में -2 को -1 से गुणा करके 2 लिखते हैं. चूंकि दायाँ पक्ष एक धनात्मक और एक अंक की संख्या है, इसलिए सीधा उत्तर 72 मिलता है.
🎯 Exam Tip: जब दोनों विचलन ऋणात्मक हों, तो उनका गुणनफल धनात्मक होता है, और बायाँ पक्ष पहले विचलन को घटाकर या दूसरे को जोड़कर प्राप्त होता है.
Question 5. 14 x 11
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 14 \) और \( 11 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 14 - 10 = +4 \)
\( 11 - 10 = +1 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 14 + 1 = 15 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (+4) \times (+1) = 4 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 15 / 4 \)
चूँकि दायाँ पक्ष एक अंक की धनात्मक संख्या है, कोई परिवर्तन आवश्यक नहीं है। यह विधि गुणा को तेज़ी से हल करने में मदद करती है.
अतः, गुणनफल (Product) \( = 154 \).
In simple words: 14 और 11 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन +4 और +1 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 14 में 1 जोड़कर 15 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में 4 को 1 से गुणा करके 4 लिखते हैं. चूंकि दायाँ पक्ष एक ही अंक का है, इसलिए सीधा उत्तर 154 मिलता है.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप आधार के अनुसार विचलनों की गणना सही ढंग से करें.
Question 6. 9 x 16
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 9 \) और \( 16 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 9 - 10 = -1 \)
\( 16 - 10 = +6 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 9 + 6 = 15 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (-1) \times (+6) = -6 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 15 / -6 \)
चूँकि दायाँ पक्ष ऋणात्मक है, हम बाएँ पक्ष से \( 1 \) उधार लेते हैं। आधार \( 10 \) में \( 1 \) उधार लेने पर दाएँ पक्ष में \( 10 \) जोड़ा जाएगा।
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 15 - 1 = 14 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = 10 + (-6) = 4 \)
अतः, गुणनफल (Product) \( = 144 \). यह विधि मिश्रित विचलनों के साथ भी प्रभावी है.
In simple words: 9 और 16 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन -1 और +6 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 9 में 6 जोड़कर 15 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में -1 को 6 से गुणा करके -6 लिखते हैं. चूंकि -6 नकारात्मक है, इसलिए 15 से 1 निकालकर 14 बनाते हैं और दाएं हिस्से में 10 जोड़कर 4 लिखते हैं. इस तरह हमें 144 मिलता है.
🎯 Exam Tip: जब एक विचलन ऋणात्मक और दूसरा धनात्मक हो, तो विचलनों का गुणनफल ऋणात्मक होगा, और ऋणात्मक पक्ष को धनात्मक बनाने के लिए बाईं ओर से उधार लेना होगा.
Question 7. 12 x 13
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 12 \) और \( 13 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 12 - 10 = +2 \)
\( 13 - 10 = +3 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 12 + 3 = 15 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (+2) \times (+3) = 6 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 15 / 6 \)
चूँकि दायाँ पक्ष एक अंक की धनात्मक संख्या है, कोई परिवर्तन आवश्यक नहीं है। इस प्रक्रिया से गुणा करना तेज़ हो जाता है.
अतः, गुणनफल (Product) \( = 156 \).
In simple words: 12 और 13 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन +2 और +3 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 12 में 3 जोड़कर 15 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में 2 को 3 से गुणा करके 6 लिखते हैं. चूंकि दायाँ पक्ष एक ही अंक का है, इसलिए सीधा उत्तर 156 मिलता है.
🎯 Exam Tip: आधार के पास की संख्याओं को गुणा करने के लिए निखिलम् सूत्र बहुत उपयोगी है, खासकर जब विचलन छोटे हों.
Question 8. 13 x 10
Answer: संख्याएँ (Numbers): \( 13 \) और \( 10 \)
आधार (Base): \( 10 \)
विचलन (Deviations):
\( 13 - 10 = +3 \)
\( 10 - 10 = 0 \)
सूत्र निखिलम् विधि से:
बायाँ पक्ष (Left part) \( = 13 + 0 = 13 \)
दायाँ पक्ष (Right part) \( = (+3) \times 0 = 0 \)
प्रारंभिक परिणाम (Initial result): \( 13 / 0 \)
चूँकि दायाँ पक्ष एक अंक की धनात्मक संख्या है, कोई परिवर्तन आवश्यक नहीं है। यह दिखाता है कि शून्य विचलन के साथ भी यह विधि काम करती है.
अतः, गुणनफल (Product) \( = 130 \).
In simple words: 13 और 10 को गुणा करने के लिए, आधार 10 और विचलन +3 और 0 लेते हैं. बाएँ पक्ष में 13 में 0 जोड़कर 13 लिखते हैं. दाएँ पक्ष में 3 को 0 से गुणा करके 0 लिखते हैं. चूंकि दायाँ पक्ष एक ही अंक का है, इसलिए सीधा उत्तर 130 मिलता है.
🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल हमेशा शून्य होता है, इस नियम का पालन विचलनों के गुणनफल में भी होता है.
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Mathematics Class 5 Curriculum Solutions: Chapter 04 वैदिक गणित
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