RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Exercise 8.5

Question 1. निम्नलिखित फलनों के अच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
(a) \( 2x^3 – 15x^2 + 36x + 10 \)
(b) \( (x - 1) (x – 2) (x – 3) \)
(c) \( \sin x + \cos 2x \)
(d) \( x^5 - 5x^4 + 5x^3 – 1 \)
Answer:
(a) माना \( y = 2x^3 – 15x^2 + 36x + 10 \)
\( \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 30x + 36 \)
उच्छिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( 6x^2 - 30x + 36 = 0 \)
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
\( \implies x = 2, 3 \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = 12x - 30 \)
\( x = 2 \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2} = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2} < 0 \), फलन का \( x = 2 \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + 10 = 16 - 60 + 72 + 10 = 38 \)
\( x = 3 \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=3} = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=3} > 0 \), फलन का \( x = 3 \) पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान \( = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + 10 = 54 - 135 + 108 + 10 = 37 \)

(b) माना \( y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 11 \)
उच्चतम अथवा निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( 3x^2 - 12x + 11 = 0 \)
\( \implies x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(11)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12 \)
\( x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2+\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) - 12 = 12 + \frac{6}{\sqrt{3}} - 12 = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2+\frac{1}{\sqrt{3}}} > 0 \), फलन का \( x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \) पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान \( = (2 + \frac{1}{\sqrt{3}} - 1)(2 + \frac{1}{\sqrt{3}} - 2)(2 + \frac{1}{\sqrt{3}} - 3) \)
\( = (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{3}} - 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3\sqrt{3}} \)
\( x = 2 - \frac{1}{\sqrt{3}} \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2-\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}) - 12 = 12 - \frac{6}{\sqrt{3}} - 12 = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=2-\frac{1}{\sqrt{3}}} < 0 \), फलन का \( x = 2 - \frac{1}{\sqrt{3}} \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = (2 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 1)(2 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 2)(2 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 3) \)
\( = (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})(-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(1 - \frac{1}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} \)

(c) माना \( y = \sin x + \cos 2x \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos x - 2\sin 2x = \cos x - 4\sin x \cos x \)
उच्चतम तथा निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies \cos x(1 - 4\sin x) = 0 \)
इसलिए, \( \cos x = 0 \) या \( 1 - 4\sin x = 0 \)
यदि \( \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \) (केवल एक मान, सामान्य हल नहीं)
यदि \( 1 - 4\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x - 4\cos 2x \)
\( x = \frac{\pi}{2} \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=\frac{\pi}{2}} = -\sin \frac{\pi}{2} - 4\cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) = -1 - 4\cos \pi = -1 - 4(-1) = 3 \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=\frac{\pi}{2}} > 0 \), फलन का \( x = \frac{\pi}{2} \) पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान \( = \sin \frac{\pi}{2} + \cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0 \)
\( \sin x = \frac{1}{4} \) पर: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
\( (\frac{d^2y}{dx^2})_{\sin x = \frac{1}{4}} = -\frac{1}{4} - 4(\frac{7}{8}) = -\frac{1}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{1+14}{4} = -\frac{15}{4} \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{\sin x = \frac{1}{4}} < 0 \), फलन का \( \sin x = \frac{1}{4} \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = \sin x + \cos 2x = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2+7}{8} = \frac{9}{8} \)

(d) माना \( y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x-1)(x-3) \)
उच्चतम तथा निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 5x^2(x-1)(x-3) = 0 \)
\( \implies x = 0, 1, 3 \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 - 60x^2 + 30x \)
\( x = 1 \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=1} = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=1} < 0 \), फलन का \( x = 1 \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = (1)^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 - 1 = 1 - 5 + 5 - 1 = 0 \)
\( x = 3 \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=3} = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 \)
चूंकि \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=3} > 0 \), फलन का \( x = 3 \) पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान \( = (3)^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 - 1 = 243 - 405 + 135 - 1 = -28 \)
\( x = 0 \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=0} = 0 \)
\( x = 0 \) के आसपास \( \frac{dy}{dx} \) का चिन्ह नहीं बदलता है, इसलिए \( x = 0 \) पर कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।
In simple words: फलन के सबसे ऊंचे और सबसे नीचे के मानों को खोजने के लिए, हम पहले फलन का एक बार अवकलन करते हैं और उसे शून्य के बराबर रखते हैं। इससे हमें महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं। फिर, हम फलन का दूसरी बार अवकलन करते हैं और इन बिंदुओं पर उसकी जांच करते हैं। अगर दूसरा अवकलन ऋणात्मक है, तो वह अधिकतम मान है; अगर धनात्मक है, तो वह न्यूनतम मान है।

🎯 Exam Tip: चरम मानों की गणना करते समय, हमेशा पहले अवकलज को शून्य के बराबर सेट करके क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करें। फिर, दूसरे अवकलज का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु पर फलन की प्रकृति (अधिकतम या न्यूनतम) निर्धारित करें।

Question 2. निम्नलिखित फलनों के अधिकतम तथा निम्नतम मान, यदि कोई हो, तो ज्ञात कीजिए।
(a) \( -|x + 1| + 3 \)
(b) \( |x + 2| + 1 \)
(c) \( |\sin 4x + 3| \)
(d) \( \sin 2x + 5 \)
Answer:
(a) माना \( g(x) = -|x + 1| + 3 \)
हम जानते हैं कि \( |x + 1| \ge 0 \) हमेशा होता है।
इसलिए, \( -|x + 1| \le 0 \) होगा।
इसका मतलब है कि \( -|x + 1| \) का अधिकतम मान 0 हो सकता है, जो \( x = -1 \) पर होता है।
अतः, \( g(x) = -|x + 1| + 3 \) का अधिकतम मान \( 0 + 3 = 3 \) है, जो \( x = -1 \) पर प्राप्त होता है।
चूंकि \( -|x + 1| \) का कोई न्यूनतम मान नहीं है (यह अनंत तक नीचे जा सकता है), इसलिए फलन \( g(x) \) का भी कोई न्यूनतम मान नहीं है।

(b) माना \( f(x) = |x + 2| + 1 \)
हम जानते हैं कि \( |x + 2| \ge 0 \) हमेशा होता है।
इसलिए, \( |x + 2| \) का न्यूनतम मान 0 हो सकता है, जो \( x = -2 \) पर होता है।
अतः, \( f(x) = |x + 2| + 1 \) का न्यूनतम मान \( 0 + 1 = 1 \) है, जो \( x = -2 \) पर प्राप्त होता है।
चूंकि \( |x + 2| \) का कोई अधिकतम मान नहीं है (यह अनंत तक ऊपर जा सकता है), इसलिए फलन \( f(x) \) का भी कोई अधिकतम मान नहीं है। यह एक निरपेक्ष मान फलन की सामान्य प्रकृति है।

(c) माना \( f(x) = |\sin 4x + 3| \)
हम जानते हैं कि \( -1 \le \sin 4x \le 1 \) होता है।
इसलिए, \( -1 + 3 \le \sin 4x + 3 \le 1 + 3 \)
\( \implies 2 \le \sin 4x + 3 \le 4 \)
चूंकि \( \sin 4x + 3 \) हमेशा धनात्मक है, निरपेक्ष मान चिन्ह का प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः, \( f(x) \) का अधिकतम मान \( |1 + 3| = |4| = 4 \) है।
और \( f(x) \) का न्यूनतम मान \( |-1 + 3| = |2| = 2 \) है।

(d) माना \( h(x) = \sin 2x + 5 \)
हम जानते हैं कि \( -1 \le \sin 2x \le 1 \) होता है।
इसलिए, \( -1 + 5 \le \sin 2x + 5 \le 1 + 5 \)
\( \implies 4 \le \sin 2x + 5 \le 6 \)
अतः, \( h(x) \) का अधिकतम मान \( 1 + 5 = 6 \) है।
और \( h(x) \) का न्यूनतम मान \( -1 + 5 = 4 \) है।
In simple words: इन फलनों के अधिकतम और न्यूनतम मानों को ज्ञात करने के लिए, हम उनके भीतर के हिस्सों की सीमाओं को देखते हैं। उदाहरण के लिए, \( \sin x \) का मान -1 से 1 के बीच होता है। इस सीमा का उपयोग करके, हम पूरे फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: निरपेक्ष मान या त्रिकोणमितीय फलनों वाले प्रश्नों में, पहले अंदरूनी फलन की रेंज (जैसे \( \sin x \) की रेंज [-1, 1]) का पता लगाएं, फिर बाहरी ऑपरेशन को लागू करें। यह विशेष रूप से मापांक (absolute value) वाले फलन में महत्वपूर्ण है।

Question 3. निम्नलिखित फलनों के दिए गए अन्तराल में, अधिकतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(a) \( 2x^3 – 24x + 107, x \in [1, 3] \)
(b) \( 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1, x \in [0, 2] \)
(c) \( x + \sin 2x, x \in [0, 2\pi] \)
(d) \( x^3 - 18x^2 + 96x, x \in [0, 9] \)
Answer:
(a) माना \( y = 2x^3 – 24x + 107, x \in [1, 3] \)
\( \frac{dy}{dx} = 6x^2 – 24 \)
अधिकतम या निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 6x^2 – 24 = 0 \)
\( \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \)
दिए गए अंतराल \( [1, 3] \) में, हम केवल \( x = 2 \) पर विचार करते हैं।
हमें \( x=1, x=2, \) और \( x=3 \) पर फलन के मान ज्ञात करने होंगे:
\( y(1) = 2(1)^3 - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85 \)
\( y(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75 \)
\( y(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89 \)
इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम मान 89 है और न्यूनतम मान 75 है।

(b) माना \( y = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1, x \in [0, 2] \)
\( \frac{dy}{dx} = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6 \)
\( = 6x^2(2x-1) - 6(2x-1) = 6(x^2-1)(2x-1) = 6(x-1)(x+1)(2x-1) \)
अधिकतम या निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 6(x-1)(x+1)(2x-1) = 0 \)
\( \implies x = 1, -1, \frac{1}{2} \)
दिए गए अंतराल \( [0, 2] \) में, हम \( x = 0, \frac{1}{2}, 1, 2 \) पर विचार करते हैं।
हमें इन बिंदुओं पर फलन के मान ज्ञात करने होंगे:
\( y(0) = 3(0)^4 - 2(0)^3 - 6(0)^2 + 6(0) + 1 = 1 \)
\( y(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2})^2 + 6(\frac{1}{2}) + 1 \)
\( = \frac{3}{16} - \frac{2}{8} - \frac{6}{4} + 3 + 1 = \frac{3}{16} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 4 = \frac{3 - 4 - 24 + 64}{16} = \frac{39}{16} \approx 2.44 \)
\( y(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 1 = 3 - 2 - 6 + 6 + 1 = 2 \)
\( y(2) = 3(2)^4 - 2(2)^3 - 6(2)^2 + 6(2) + 1 = 48 - 16 - 24 + 12 + 1 = 21 \)
इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम मान 21 है और न्यूनतम मान 1 है।

(c) माना \( y = x + \sin 2x, x \in [0, 2\pi] \)
\( \frac{dy}{dx} = 1 + 2\cos 2x \)
अधिकतम या निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 1 + 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \)
अंतराल \( [0, 2\pi] \) में, \( 2x \) का मान \( [0, 4\pi] \) में होगा।
\( 2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3} \)
\( \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \)
हमें \( x=0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi \) पर फलन के मान ज्ञात करने होंगे:
\( y(0) = 0 + \sin(0) = 0 \)
\( y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.047 + 0.866 = 1.913 \)
\( y(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.094 - 0.866 = 1.228 \)
\( y(\frac{4\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{8\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.189 + 0.866 = 5.055 \)
\( y(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} + \sin(\frac{10\pi}{3}) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.236 - 0.866 = 4.370 \)
\( y(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi \approx 6.283 \)
इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम मान \( 2\pi \) है और न्यूनतम मान 0 है।

(d) माना \( y = x^3 - 18x^2 + 96x, x \in [0, 9] \)
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 36x + 96 = 3(x^2 - 12x + 32) = 3(x-4)(x-8) \)
अधिकतम या निम्नतम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 3(x-4)(x-8) = 0 \)
\( \implies x = 4, 8 \)
दिए गए अंतराल \( [0, 9] \) में, हम \( x = 0, 4, 8, 9 \) पर विचार करते हैं।
हमें इन बिंदुओं पर फलन के मान ज्ञात करने होंगे:
\( y(0) = (0)^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0 \)
\( y(4) = (4)^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160 \)
\( y(8) = (8)^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128 \)
\( y(9) = (9)^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135 \)
इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम मान 160 है और न्यूनतम मान 0 है।
In simple words: किसी फलन का दिए गए अंतराल में सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ढूंढने के लिए, हमें पहले अवकलज को शून्य के बराबर करके क्रांतिक बिंदु खोजने होंगे। फिर, हमें इन क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के सिरों पर फलन के मानों की तुलना करनी होगी। इनमें से जो सबसे बड़ा होगा वह अधिकतम मान होगा, और जो सबसे छोटा होगा वह न्यूनतम मान होगा।

🎯 Exam Tip: बंद अंतराल में अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करते समय, हमेशा क्रांतिक बिंदुओं (जहाँ \( \frac{dy}{dx}=0 \)) और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन के मानों की गणना करें। सभी मानों में से सबसे बड़ा अधिकतम मान होगा, और सबसे छोटा न्यूनतम मान होगा।

Question 4. निम्न फलनों के चरम मान ज्ञात कीजिए
(a) \( \sin x \cdot \cos 2x \)
(b) \( a \sec x + b \operatorname{cosec} x, 0 < a < b \)
(c) \( (x)^{1/x}, x > 0 \)
(d) \( \frac {1}{x}\log x, x \in (0,\infty) \)
Answer:
(a) माना \( y = \sin x \cos 2x \)
\( \frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x = \cos x(2\cos^2 x - 1) - 4\sin^2 x \cos x \)
\( = 2\cos^3 x - \cos x - 4(1-\cos^2 x)\cos x = 6\cos^3 x - 5\cos x = \cos x(6\cos^2 x - 5) \)
चरम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies \cos x = 0 \) या \( 6\cos^2 x - 5 = 0 \implies \cos^2 x = \frac{5}{6} \)
यदि \( \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos x(6\cos^2 x - 5)) = \frac{d}{dx}(6\cos^3 x - 5\cos x) \)
\( = 18\cos^2 x(-\sin x) - 5(-\sin x) = \sin x(5 - 18\cos^2 x) \)
\( x = \frac{\pi}{2} \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2}(5 - 18\cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1(5 - 0) = 5 \)
चूंकि \( 5 > 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) पर न्यूनतम मान है। न्यूनतम मान \( = \sin \frac{\pi}{2} \cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 1 \cdot (-1) = -1 \)
\( x = \frac{3\pi}{2} \) पर: \( (\frac{d^2y}{dx^2})_{x=\frac{3\pi}{2}} = \sin \frac{3\pi}{2}(5 - 18\cos^2 \frac{3\pi}{2}) = -1(5 - 0) = -5 \)
चूंकि \( -5 < 0 \), \( x = \frac{3\pi}{2} \) पर अधिकतम मान है। अधिकतम मान \( = \sin \frac{3\pi}{2} \cos (2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = -1 \cdot (-1) = 1 \)
जब \( \cos^2 x = \frac{5}{6} \), तो \( \frac{d^2y}{dx^2} = \sin x(5 - 18(\frac{5}{6})) = \sin x(5 - 15) = -10\sin x \)
यदि \( \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \), तो \( \frac{d^2y}{dx^2} = -10(\frac{1}{\sqrt{6}}) < 0 \), अधिकतम मान।
अधिकतम मान \( = \frac{1}{\sqrt{6}}(2(\frac{5}{6}) - 1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(\frac{5}{3} - 1) = \frac{1}{\sqrt{6}} (\frac{2}{3}) = \frac{2}{3\sqrt{6}} \)
यदि \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{6}} \), तो \( \frac{d^2y}{dx^2} = -10(-\frac{1}{\sqrt{6}}) > 0 \), न्यूनतम मान।
न्यूनतम मान \( = -\frac{1}{\sqrt{6}}(2(\frac{5}{6}) - 1) = -\frac{2}{3\sqrt{6}} \)
सभी मानों में, अधिकतम मान 1 है और न्यूनतम मान -1 है।

(b) माना \( y = a \sec x + b \operatorname{cosec} x, 0 < a < b \)
\( \frac{dy}{dx} = a \sec x \tan x - b \operatorname{cosec} x \cot x \)
चरम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies a \sec x \tan x = b \operatorname{cosec} x \cot x \)
\( \implies a \frac{1}{\cos x} \frac{\sin x}{\cos x} = b \frac{1}{\sin x} \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \implies a \sin^3 x = b \cos^3 x \implies \tan^3 x = \frac{b}{a} \)
\( \implies \tan x = (\frac{b}{a})^{1/3} \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = a(\sec^3 x + \sec x \tan^2 x) + b(\operatorname{cosec}^3 x + \operatorname{cosec} x \cot^2 x) \)
चूंकि \( \tan x = (\frac{b}{a})^{1/3} > 0 \), \( x \) पहले चतुर्थांश में है। इस चतुर्थांश में \( \sec x \) और \( \operatorname{cosec} x \) दोनों धनात्मक होते हैं।
अतः, \( \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \) होगा, जो एक स्थानीय न्यूनतम मान दर्शाता है।
न्यूनतम मान \( = a \sec x + b \operatorname{cosec} x \)
\( \sec x = \sqrt{1+\tan^2 x} = \sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{a^{1/3}} \)
\( \operatorname{cosec} x = \sqrt{1+\cot^2 x} = \sqrt{1+(\frac{a}{b})^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{b^{1/3}} \)
न्यूनतम मान \( = a \frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{a^{1/3}} + b \frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{b^{1/3}} = a^{2/3}\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}} + b^{2/3}\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}} \)
\( = (a^{2/3}+b^{2/3})\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}} = (a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2} \)

(c) माना \( y = (x)^{1/x}, x > 0 \)
दोनों तरफ \( \log \) लेने पर: \( \log y = \frac{1}{x} \log x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (-\frac{1}{x^2}) \log x + (\frac{1}{x})(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x^2}(1 - \log x) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = x^{1/x} \frac{1}{x^2}(1 - \log x) \)
चरम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [x^{1/x} \frac{(1 - \log x)}{x^2}] \)
\( x = e \) पर, \( 1 - \log x = 0 \) होगा।
तो, \( \frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{x=e} = e^{1/e} \frac{d}{dx} (\frac{1 - \log x}{x^2}) \Big|_{x=e} \)
\( \frac{d}{dx} (\frac{1 - \log x}{x^2}) = \frac{(-\frac{1}{x})x^2 - (1 - \log x)2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2\log x - 3}{x^3} \)
\( \frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{x=e} = e^{1/e} \frac{2\log e - 3}{e^3} = e^{1/e} \frac{2(1) - 3}{e^3} = e^{1/e} \frac{-1}{e^3} = -\frac{e^{1/e}}{e^3} \)
चूंकि \( \frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{x=e} < 0 \), फलन का \( x = e \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = (e)^{1/e} \)

(d) माना \( y = \frac{\log x}{x}, x \in (0,\infty) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2} \)
चरम मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e \)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-\frac{1}{x})x^2 - (1 - \log x)2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2\log x - 3}{x^3} \)
\( x = e \) पर: \( \frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{x=e} = \frac{2\log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = \frac{-1}{e^3} \)
चूंकि \( \frac{d^2y}{dx^2} \Big|_{x=e} < 0 \), फलन का \( x = e \) पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान \( = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} \)
चूंकि \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x} = -\infty \) और \( \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0 \), फलन का कोई स्थानीय न्यूनतम मान नहीं है।
In simple words: फलन के चरम मानों को ज्ञात करने के लिए, हम पहले फलन का अवकलन करते हैं और उसे शून्य के बराबर सेट करते हैं। इससे हमें वो बिंदु मिलते हैं जहाँ फलन का मान अधिकतम या न्यूनतम हो सकता है। फिर, हम दूसरा अवकलज निकालते हैं और इन बिंदुओं पर उसकी जांच करते हैं। दूसरा अवकलज हमें बताता है कि बिंदु अधिकतम है या न्यूनतम।

🎯 Exam Tip: जब फलनों के चरम मानों की गणना करते हैं, तो हमेशा \( \frac{dy}{dx} = 0 \) सेट करके क्रांतिक बिंदुओं को ढूंढें। फिर, दूसरे अवकलज परीक्षण का उपयोग करें: यदि \( \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \), तो न्यूनतम है, और यदि \( \frac{d^2y}{dx^2} < 0 \), तो अधिकतम है। यदि अंतराल दिया गया है, तो अंतराल के अंत बिंदुओं पर भी मानों की जाँच करें।

Question 5. सिद्ध कीजिए कि x = cos x के लिए \( \frac {x}{1+x \tan x } \), मान इच्छिष्ठ है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि फलन \( \frac {x}{1+x \tan x } \) का मान \( x = \cos x \) पर अधिकतम होता है। यदि \( \frac {x}{1+x \tan x } \) का मान अधिकतम है, तो इसका व्युत्क्रम \( \frac {1+x \tan x }{x} \) का मान निश्चित रूप से न्यूनतम होगा। अधिकतम और न्यूनतम मानों को समझने के लिए, फलन के पहले और दूसरे अवकलज की गणना करना महत्वपूर्ण है।
माना \( y = \frac {1+x \tan x }{x} \)
\( y = \frac{1}{x} + \tan x \)
अब, \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac {dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} + \sec^2 x \)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए, \( \frac {dy}{dx} = 0 \) रखते हैं:
\( -\frac{1}{x^2} + \sec^2 x = 0 \)
\( \frac{1}{x^2} = \sec^2 x \)
\( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\cos^2 x} \)
\( x^2 = \cos^2 x \)
\( \implies x = \cos x \)
पुनः, \( \frac {dy}{dx} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac {d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{x^2} + \sec^2 x \right) \)
\( \frac {d^2 y}{dx^2} = \frac{2}{x^3} + 2 \sec x (\sec x \tan x) \)
\( \frac {d^2 y}{dx^2} = \frac{2}{x^3} + 2 \sec^2 x \tan x \)
जब \( x = \cos x \) है, तो \( \frac {d^2 y}{dx^2} \) का मान धनात्मक होगा, क्योंकि \( x \) और \( \tan x \) के संगत मानों पर \( \frac{2}{x^3} \) और \( 2 \sec^2 x \tan x \) दोनों ही धनात्मक होंगे (जब \( x \) को पहले चतुर्थांश में मान लें)।
\( \implies \frac {d^2 y}{dx^2} = + \text{धनात्मक} \)
चूंकि \( \frac {d^2 y}{dx^2} \) धनात्मक है, फलन \( y = \frac {1+x \tan x }{x} \) का मान \( x = \cos x \) पर न्यूनतम होगा।
अतः, इसका व्युत्क्रम फलन \( \frac {x}{1+x \tan x } \) का मान \( x = \cos x \) पर अधिकतम होगा।
In simple words: हमने एक फलन लिया और उसे सरल बनाने के लिए उसका व्युत्क्रम किया। फिर हमने उस फलन का न्यूनतम बिंदु ढूँढा। जब व्युत्क्रम फलन न्यूनतम होता है, तो मूल फलन अधिकतम होता है, यही हमने सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, यदि मूल फलन का सीधा अवकलन जटिल हो, तो उसके व्युत्क्रम या लघुगणक का अवकलन करके समस्या को सरल बनाना एक अच्छी रणनीति है।

Question 6. सिद्ध कीजिए फलन \( \sin (1 + \cos x) \) का मान \( \cos x = \frac { 1 }{3} \) पर उच्चिष्ठ है।
Answer: हम फलन \( y = \sin x (1 + \cos x) \) के लिए अधिकतम मान ज्ञात करेंगे। इस फलन को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।
माना \( y = \sin x (1 + \cos x) \)
\( y = \sin x + \sin x \cos x \)
हम जानते हैं कि \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), तो \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \)।
\( y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x \)
अब, \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac {dy}{dx} = \cos x + \frac{1}{2} (2 \cos 2x) \)
\( \frac {dy}{dx} = \cos x + \cos 2x \)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए, \( \frac {dy}{dx} = 0 \) रखते हैं:
\( \cos x + \cos 2x = 0 \)
हम जानते हैं कि \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \)। इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( \cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 0 \)
\( 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है \( \cos x \) में। गुणनखंड करने पर:
\( (2 \cos x - 1)(\cos x + 1) = 0 \)
इससे हमें दो संभावित मान मिलते हैं:
\( 2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \)
या \( \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \)
अब, \( \frac {dy}{dx} \) का द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
\( \frac {d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\cos x + \cos 2x) \)
\( \frac {d^2 y}{dx^2} = -\sin x - 2 \sin 2x \)
अब हम \( \cos x = \frac{1}{2} \) (या \( x = \frac{\pi}{3} \)) पर \( \frac {d^2 y}{dx^2} \) का मान ज्ञात करते हैं:
जब \( x = \frac{\pi}{3} \), तो \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( \sin 2x = \sin (\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)।
\( \frac {d^2 y}{dx^2} \Big|_{x=\frac{\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \)
चूंकि \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \) एक ऋणात्मक मान है, इसलिए फलन \( y = \sin x (1 + \cos x) \) का मान \( \cos x = \frac{1}{2} \) पर उच्चिष्ठ है। दूसरे मान, \( \cos x = -1 \) पर, भी आप जाँच कर सकते हैं।
In simple words: हमने एक गणित का सवाल हल किया जहाँ हमें पता लगाना था कि एक खास गणितीय फ़ॉर्मूला सबसे बड़ा मान कब देता है। हमने उसे छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़ा, उसका ढलान पता किया, और ढलान को शून्य रखकर वह जगह ढूँढी जहाँ वह सबसे ऊपर या सबसे नीचे हो सकता था। फिर हमने दुबारा ढलान देखकर बताया कि वह सबसे ऊपर (उच्चिष्ठ) है या नहीं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात करते समय, \( \sin 2x \) और \( \cos 2x \) जैसी सर्वसमिकाओं का उपयोग करके फलन को सरल बनाना अक्सर गणना को बहुत आसान बना देता है।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि फलन \( y = \sin^p \theta \cos^q \theta \) का मान \( \tan \theta = \sqrt {\frac {p}{q}} \) पर उच्चिष्ठ है।
Answer: हमें फलन \( y = \sin^p \theta \cos^q \theta \) का मान \( \tan \theta = \sqrt {\frac {p}{q}} \) पर उच्चिष्ठ सिद्ध करना है। ऐसे घातांक वाले फलनों के लिए, लघुगणक अवकलन विधि का उपयोग करना बहुत उपयोगी होता है।
माना \( y = \sin^p x \cos^q x \) (यहाँ \( \theta \) के स्थान पर \( x \) का उपयोग किया गया है, जैसा कि हल में है)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log y = \log (\sin^p x \cos^q x) \)
\( \log y = p \log (\sin x) + q \log (\cos x) \)
अब, \( x \) के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = p \left( \frac{1}{\sin x} \right) (\cos x) + q \left( \frac{1}{\cos x} \right) (-\sin x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = p \cot x - q \tan x \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = y (p \cot x - q \tan x) \)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए, \( \frac{dy}{dx} = 0 \) रखते हैं:
\( y (p \cot x - q \tan x) = 0 \)
चूंकि \( y = \sin^p x \cos^q x \) आमतौर पर शून्य नहीं होता है, इसलिए:
\( p \cot x - q \tan x = 0 \)
\( p \left( \frac{1}{\tan x} \right) = q \tan x \)
\( p = q \tan^2 x \)
\( \tan^2 x = \frac{p}{q} \)
\( \implies \tan x = \sqrt{\frac{p}{q}} \)
अब, हमें यह जांचना है कि इस मान पर फलन उच्चिष्ठ है या नहीं। इसके लिए, हमें द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) का मान ज्ञात करना होगा।
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [y (p \cot x - q \tan x)] \)
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए:
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} (p \cot x - q \tan x) + y \frac{d}{dx} (p \cot x - q \tan x) \)
क्रिटिकल बिंदु पर, \( \frac{dy}{dx} = 0 \) होता है, इसलिए पहला पद शून्य हो जाता है।
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = y (-p \operatorname{cosec}^2 x - q \sec^2 x) \)
\( \frac{d^2 y}{dx^2} = -y (p \operatorname{cosec}^2 x + q \sec^2 x) \)
चूंकि \( y = \sin^p x \cos^q x \) हमेशा धनात्मक होता है (किसी भी उपयुक्त \( x \) मान और धनात्मक \( p, q \) के लिए), और \( p \operatorname{cosec}^2 x + q \sec^2 x \) भी हमेशा धनात्मक होता है (क्योंकि \( p, q \) धनात्मक हैं और वर्ग पद हमेशा धनात्मक होते हैं), इसलिए \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) का मान ऋणात्मक होगा।
\( \implies \frac{d^2 y}{dx^2} = \text{ऋणात्मक} \)
चूंकि द्वितीय अवकलज का मान ऋणात्मक है, फलन \( y = \sin^p x \cos^q x \) का मान \( \tan x = \sqrt{\frac{p}{q}} \) पर उच्चिष्ठ है।
In simple words: हमें एक खास गणितीय फ़ॉर्मूला दिया गया था जिसमें कुछ घातें थीं। हमने उसे सरल बनाने के लिए लघुगणक का इस्तेमाल किया और फिर उसका ढलान पता लगाया। ढलान को शून्य करने पर हमें वह बिंदु मिला जहाँ फलन सबसे ऊँचा या नीचा हो सकता था। फिर हमने दुबारा ढलान की जाँच की और पाया कि उस बिंदु पर फलन सच में सबसे ऊँचा (उच्चिष्ठ) है।

🎯 Exam Tip: घातांक वाले फलनों के उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ मानों के प्रश्नों में हमेशा लघुगणक अवकलन का उपयोग करें, यह गणना को बहुत सरल बना देता है और त्रुटियों की संभावना को कम करता है।