RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Exercise 8.4

Question 1. अवकलज का प्रयोग करके \( (0.009)^{1/3} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = x^{1/3} \) और \( x = 0.008 \) है। इसलिए, \( y = (0.008)^{1/3} = 0.2 \) होगा। अब, \( \Delta x = 0.009 - 0.008 = 0.001 \) है। हम \( y = x^{1/3} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{3(0.008)^{2/3}} \times 0.001 \) \( \Delta y = \frac{1}{3((0.2)^3)^{2/3}} \times 0.001 \) \( \Delta y = \frac{1}{3(0.2)^2} \times 0.001 \) \( \Delta y = \frac{1}{3 \times 0.04} \times 0.001 = \frac{0.001}{0.12} \approx 0.00833 \) इसलिए, \( (0.009)^{1/3} = y + \Delta y \) \( = 0.2 + 0.00833 = 0.20833 \) अतः, \( (0.009)^{1/3} \) का सन्निकटन मान \( 0.20833 \) है। यह मान हमें किसी संख्या की घात का अनुमान लगाने में मदद करता है।
In simple words: हमने दिए गए मान को \( x \) और \( \Delta x \) में बांटा। फिर हमने फलन का अवकलन करके \( \Delta y \) निकाला और उसे मूल \( y \) मान में जोड़कर सन्निकटन मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: अवकलज का उपयोग करके सन्निकटन मान ज्ञात करते समय, \( \Delta x \) का मान छोटा होना चाहिए ताकि गणना सटीक हो।

Question 2. अवकलज का प्रयोग करके \( (0.999)^{1/10} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = x^{1/10} \) और \( x = 1 \) है। इसलिए, \( y = (1)^{1/10} = 1 \) होगा। अब, \( \Delta x = 0.999 - 1 = -0.001 \) है। हम \( y = x^{1/10} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{10} x^{1/10 - 1} = \frac{1}{10} x^{-9/10} = \frac{1}{10x^{9/10}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{10(1)^{9/10}} \times (-0.001) \) \( \Delta y = \frac{1}{10 \times 1} \times (-0.001) = -0.0001 \) इसलिए, \( (0.999)^{1/10} = y + \Delta y \) \( = 1 + (-0.0001) = 0.9999 \) अतः, \( (0.999)^{1/10} \) का सन्निकटन मान \( 0.9999 \) है। छोटी घातांको के लिए यह विधि बहुत उपयोगी होती है।
In simple words: हमने \( x \) को 1 मानकर \( y \) की गणना की, फिर \( \Delta x \) निकाला। अवकलज का प्रयोग करके \( \Delta y \) ज्ञात किया और उसे \( y \) में जोड़कर अनुमानित मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब \( \Delta x \) ऋणात्मक हो, तो सन्निकटन मान मूल \( y \) मान से थोड़ा कम होगा। यह समझना महत्वपूर्ण है।

Question 3. अवकलज का प्रयोग करके \( \sqrt{0.0037} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \sqrt{x} \) और \( x = 0.0036 \) है। इसलिए, \( y = \sqrt{0.0036} = 0.06 \) होगा। अब, \( \Delta x = 0.0037 - 0.0036 = 0.0001 \) है। हम \( y = \sqrt{x} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{2\sqrt{0.0036}} \times 0.0001 \) \( \Delta y = \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 = \frac{0.0001}{0.12} \approx 0.000833 \) इसलिए, \( \sqrt{0.0037} = y + \Delta y \) \( = 0.06 + 0.000833 = 0.060833 \) अतः, \( \sqrt{0.0037} \) का सन्निकटन मान \( 0.060833 \) है। वर्गमूल की गणना में यह तरीका बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने \( \sqrt{0.0037} \) का अनुमान लगाने के लिए सबसे पहले एक आसान वर्गमूल वाली संख्या \( x \) चुनी। फिर हमने \( \Delta x \) और \( \Delta y \) का मान निकाल कर उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल जैसे फलनों में \( x \) का मान ऐसा चुनें जिसका वर्गमूल आसानी से निकाला जा सके और जो दिए गए मान के सबसे करीब हो।

Question 4. अवकलज का प्रयोग करके \( \frac{1}{(2.002)^2} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \frac{1}{x^2} \) और \( x = 2 \) है। इसलिए, \( y = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \) होगा। अब, \( \Delta x = 2.002 - 2 = 0.002 \) है। हम \( y = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{-2}{2^3} \times 0.002 \) \( \Delta y = \frac{-2}{8} \times 0.002 = -0.25 \times 0.002 = -0.0005 \) इसलिए, \( \frac{1}{(2.002)^2} = y + \Delta y \) \( = 0.25 + (-0.0005) = 0.25 - 0.0005 = 0.2495 \) अतः, \( \frac{1}{(2.002)^2} \) का सन्निकटन मान \( 0.2495 \) है। यह विधि भिन्नात्मक घातांकों के लिए भी काम करती है।
In simple words: हमने \( x \) को 2 मानकर \( y \) का मान निकाला। फिर \( \Delta x \) और \( \frac{dy}{dx} \) का उपयोग करके \( \Delta y \) ज्ञात किया। अंत में, \( y \) और \( \Delta y \) को जोड़कर लगभग मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घातांक वाले फलनों में अवकलन करते समय चिह्नों का ध्यान रखना बहुत ज़रूरी है।

Question 5. अवकलज का प्रयोग करके \( (15)^{1/4} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = x^{1/4} \) और \( x = 16 \) है। इसलिए, \( y = (16)^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2 \) होगा। अब, \( \Delta x = 15 - 16 = -1 \) है। हम \( y = x^{1/4} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{4(16)^{3/4}} \times (-1) \) \( \Delta y = \frac{1}{4((2^4)^{3/4})} \times (-1) \) \( \Delta y = \frac{1}{4(2^3)} \times (-1) = \frac{1}{4 \times 8} \times (-1) = \frac{-1}{32} = -0.03125 \) इसलिए, \( (15)^{1/4} = y + \Delta y \) \( = 2 + (-0.03125) = 2 - 0.03125 = 1.96875 \) अतः, \( (15)^{1/4} \) का सन्निकटन मान \( 1.96875 \) है। इस विधि से हम बड़ी घातांक वाली संख्याओं का भी अनुमान लगा सकते हैं।
In simple words: हमने \( x \) को 16 मानकर \( y \) निकाला क्योंकि उसका 1/4 घात निकालना आसान है। फिर \( \Delta x \) और अवकलन का उपयोग करके \( \Delta y \) ज्ञात किया और अंत में उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: \( x \) के चयन में सावधानी बरतें। \( x \) ऐसा होना चाहिए जिसका फलन मान (जैसे यहाँ \( x^{1/4} \)) आसानी से ज्ञात किया जा सके।

Question 6. अवकलज का प्रयोग करके \( \sqrt{401} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \sqrt{x} \) और \( x = 400 \) है। इसलिए, \( y = \sqrt{400} = 20 \) होगा। अब, \( \Delta x = 401 - 400 = 1 \) है। हम \( y = \sqrt{x} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{2\sqrt{400}} \times 1 \) \( \Delta y = \frac{1}{2 \times 20} \times 1 = \frac{1}{40} = 0.025 \) इसलिए, \( \sqrt{401} = y + \Delta y \) \( = 20 + 0.025 = 20.025 \) अतः, \( \sqrt{401} \) का सन्निकटन मान \( 20.025 \) है। यह विधि बड़े वर्गमूलों का त्वरित अनुमान लगाने में सहायक है।
In simple words: हमने \( x \) को 400 चुना क्योंकि उसका वर्गमूल आसानी से निकलता है। फिर \( \Delta x \) और \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकालकर \( \Delta y \) ज्ञात किया और उसे \( y \) में जोड़ दिया।

🎯 Exam Tip: जब \( \Delta x \) छोटा हो, तो \( \Delta y \) का मान बहुत कम होता है, जिससे सन्निकटन अत्यधिक सटीक होता है।

Question 7. अवकलज का प्रयोग करके \( (3.968)^{3/2} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = x^{3/2} \) और \( x = 4 \) है। इसलिए, \( y = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8 \) होगा। अब, \( \Delta x = 3.968 - 4 = -0.032 \) है। हम \( y = x^{3/2} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{3}{2}\sqrt{4} \times (-0.032) \) \( \Delta y = \frac{3}{2} \times 2 \times (-0.032) = 3 \times (-0.032) = -0.096 \) इसलिए, \( (3.968)^{3/2} = y + \Delta y \) \( = 8 + (-0.096) = 8 - 0.096 = 7.904 \) अतः, \( (3.968)^{3/2} \) का सन्निकटन मान \( 7.904 \) है। यह तरीका भिन्नात्मक और ऋणात्मक घातांकों के लिए भी उतना ही प्रभावी है।
In simple words: हमने \( x \) को 4 मानकर \( y \) की गणना की। फिर \( \Delta x \) के साथ अवकलज का प्रयोग करके \( \Delta y \) ज्ञात किया। अंत में, \( y \) और \( \Delta y \) को जोड़कर लगभग मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: \( x \) के मान का चयन करते समय, यह सुनिश्चित करें कि फलन की घात आसानी से निकाली जा सके, जिससे गणना में आसानी हो।

Question 8. अवकलज का प्रयोग करके \( (32.15)^{1/5} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = x^{1/5} \) और \( x = 32 \) है। इसलिए, \( y = (32)^{1/5} = (2^5)^{1/5} = 2 \) होगा। अब, \( \Delta x = 32.15 - 32 = 0.15 \) है। हम \( y = x^{1/5} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x^{1/5 - 1} = \frac{1}{5} x^{-4/5} = \frac{1}{5x^{4/5}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{5(32)^{4/5}} \times 0.15 \) \( \Delta y = \frac{1}{5((2^5)^{4/5})} \times 0.15 \) \( \Delta y = \frac{1}{5(2^4)} \times 0.15 = \frac{1}{5 \times 16} \times 0.15 = \frac{0.15}{80} = 0.001875 \) इसलिए, \( (32.15)^{1/5} = y + \Delta y \) \( = 2 + 0.001875 = 2.001875 \) अतः, \( (32.15)^{1/5} \) का सन्निकटन मान \( 2.001875 \) है। यह विधि जटिल घातांकों के लिए बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने \( x \) को 32 माना क्योंकि उसकी 1/5 घात आसानी से निकाली जा सकती है। फिर \( \Delta x \) और अवकलन का उपयोग करके \( \Delta y \) ज्ञात किया और उन्हें जोड़कर अंतिम मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: हमेशा ध्यान रखें कि \( x \) का मान ऐसा चुना जाए जो दी गई संख्या के सबसे करीब हो और जिसका फलन मान आसानी से ज्ञात किया जा सके।

Question 9. अवकलज का प्रयोग करके \( \sqrt{0.6} \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \sqrt{x} \) और \( x = 0.64 \) है। इसलिए, \( y = \sqrt{0.64} = 0.8 \) होगा। अब, \( \Delta x = 0.6 - 0.64 = -0.04 \) है। हम \( y = \sqrt{x} \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{2\sqrt{0.64}} \times (-0.04) \) \( \Delta y = \frac{1}{2 \times 0.8} \times (-0.04) = \frac{-0.04}{1.6} = -0.025 \) इसलिए, \( \sqrt{0.6} = y + \Delta y \) \( = 0.8 + (-0.025) = 0.8 - 0.025 = 0.775 \) अतः, \( \sqrt{0.6} \) का सन्निकटन मान \( 0.775 \) है। यह दर्शाता है कि यह विधि दशमलव संख्याओं के वर्गमूल के लिए भी प्रभावी है।
In simple words: हमने \( x \) को 0.64 चुना क्योंकि उसका वर्गमूल निकालना आसान है। फिर \( \Delta x \) और अवकलज का उपयोग करके \( \Delta y \) निकाला और उसे \( y \) में जोड़कर अनुमानित मान पाया।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं के वर्गमूल में \( x \) का चुनाव करते समय, सुनिश्चित करें कि \( x \) का दशमलव स्थान सम हो ताकि उसका वर्गमूल निकालना आसान हो।

Question 10. अवकलज का प्रयोग करके \( \log_{10} (10.1) \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए, जबकि \( \log_{10} e = 0.4343 \) है।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \log_{10} x \) है। हम इसे \( y = (\log_{10} e) \log_e x \) के रूप में भी लिख सकते हैं। हम \( x = 10 \) और \( \Delta x = 0.1 \) लेते हैं। इसलिए, \( x + \Delta x = 10.1 \) होगा। जब \( x = 10 \), तब \( y = \log_{10} 10 = 1 \) होगा। हम \( y = \log_{10} x \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \log_{10} e \) दिए गए मानों का उपयोग करने पर: \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{10} \times 0.4343 = 0.04343 \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = 0.04343 \times 0.1 = 0.004343 \) इसलिए, \( \log_{10} (10.1) = y + \Delta y \) \( = 1 + 0.004343 = 1.004343 \) अतः, \( \log_{10} (10.1) \) का सन्निकटन मान \( 1.004343 \) है। यह दर्शाता है कि अवकलज का उपयोग करके लघुगणकीय मानों का भी अनुमान लगाया जा सकता है।
In simple words: हमने \( y = \log_{10} x \) माना और \( x=10, \Delta x=0.1 \) लिया। अवकलन करके \( \Delta y \) निकाला और उसे \( y \) में जोड़कर लगभग मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: लघुगणकीय फलनों में, जब आधार 10 हो और प्राकृतिक लघुगणक \( \log_e x \) का उपयोग करना हो, तो \( \log_{10} e \) के मान का सही उपयोग महत्वपूर्ण है।

Question 11. अवकलज का प्रयोग करके \( \log_{e} (10.02) \) का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए, जबकि \( \log_{e} 10 = 2.3026 \) है।
Answer: हम मानते हैं कि \( y = \log_e x \) है। हम \( x = 10 \) और \( \Delta x = 0.02 \) लेते हैं। इसलिए, \( x + \Delta x = 10.02 \) होगा। जब \( x = 10 \), तब \( y = \log_e 10 = 2.3026 \) होगा। हम \( y = \log_e x \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = \frac{1}{10} \times 0.02 = 0.002 \) इसलिए, \( \log_e (10.02) = y + \Delta y \) \( = 2.3026 + 0.002 = 2.3046 \) अतः, \( \log_e (10.02) \) का सन्निकटन मान \( 2.3046 \) है। प्राकृतिक लघुगणक के मानों का अनुमान लगाने के लिए यह विधि बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने \( y = \log_e x \) माना और \( x=10, \Delta x=0.02 \) लिया। अवकलन करके \( \Delta y \) निकाला और उसे \( y \) में जोड़कर लगभग मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: प्राकृतिक लघुगणक \( \log_e x \) के अवकलन में \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) होता है, जो गणना को सरल बनाता है।

Question 12. यदि \( y = x^2 + 4 \) तथा \( x \) का मान 3 से 3.1 में परिवर्तित होता है, तब अवकलज के प्रयोग से \( y \) में परिवर्तन का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें फलन \( y = x^2 + 4 \) दिया गया है। \( x \) का प्रारंभिक मान \( x = 3 \) है। \( x \) में परिवर्तन \( \Delta x = 3.1 - 3 = 0.1 \) है। हम \( y = x^2 + 4 \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dy}{dx} = 2x \) \( y \) में सन्निकटन परिवर्तन \( \Delta y \) निम्न प्रकार से ज्ञात किया जाता है: \( \Delta y = (\frac{dy}{dx}) \Delta x \) \( \Delta y = (2x) \Delta x \) \( \Delta y = 2 \times 3 \times 0.1 \) (यहाँ \( x=3 \) का उपयोग करते हैं) \( \Delta y = 6 \times 0.1 = 0.6 \) अतः, \( y \) में परिवर्तन का सन्निकटन मान \( 0.6 \) है। यह विधि फलन के मान में छोटे परिवर्तनों का अनुमान लगाने में सहायक है।
In simple words: हमने \( y \) फलन का अवकलन किया और फिर \( x \) और \( \Delta x \) के मानों का उपयोग करके \( y \) में होने वाले लगभग परिवर्तन \( \Delta y \) को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, \( x \) का वह मान प्रयोग करें जिस पर परिवर्तन शुरू होता है, न कि परिवर्तित मान।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि एक घनाकार सन्दूक के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि, घन की कोर की लम्बाई मापने में त्रुटि की लगभग तीन गुना होती है।
Answer: हम मानते हैं कि घन की कोर की लम्बाई \( x \) है। घन का आयतन \( V = x^3 \) होता है। हम \( V = x^3 \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dV}{dx} = 3x^2 \) आयतन में सन्निकटन परिवर्तन \( \Delta V \) निम्न प्रकार से ज्ञात किया जाता है: \( \Delta V = (\frac{dV}{dx}) \Delta x \) \( \Delta V = 3x^2 \Delta x \) आयतन में प्रतिशत त्रुटि निम्न सूत्र से ज्ञात की जाती है: प्रतिशत त्रुटि \( = \frac{\Delta V}{V} \times 100 \) \( = \frac{3x^2 \Delta x}{x^3} \times 100 \) \( = 3 \frac{\Delta x}{x} \times 100 \) हम जानते हैं कि \( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \) घन की कोर की लम्बाई मापने में प्रतिशत त्रुटि है। इसलिए, आयतन में प्रतिशत त्रुटि \( = 3 \times \) (कोर की लम्बाई मापने में प्रतिशत त्रुटि) अतः, यह सिद्ध होता है कि एक घनाकार सन्दूक के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि, घन की कोर की लम्बाई मापने में त्रुटि की लगभग तीन गुना होती है। यह सिद्धांत त्रुटियों के विश्लेषण में बहुत उपयोगी है।
In simple words: घन का आयतन \( x^3 \) होता है। हमने इसका अवकलन किया और फिर प्रतिशत त्रुटि का सूत्र लगाया। गणना करने पर हमें पता चला कि आयतन में प्रतिशत त्रुटि, भुजा की लंबाई में प्रतिशत त्रुटि से तीन गुना अधिक होती है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत त्रुटि वाले प्रश्नों में, पहले फलन का अवकलन करें और फिर \( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ \( F \) फलन है।

Question 14. यदि गोले की त्रिज्या 10 सेमी से 9.8 सेमी तक सिकुड़ती है, तब इसके आयतन में सन्निकटन त्रुटि ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि गोले का आयतन \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) होता है। त्रिज्या का प्रारंभिक मान \( r = 10 \) सेमी है। त्रिज्या में परिवर्तन \( \Delta r = 9.8 - 10 = -0.2 \) सेमी है। हम \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) का \( r \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं। \( \frac{dV}{dr} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2 \) आयतन में सन्निकटन त्रुटि \( \Delta V \) निम्न प्रकार से ज्ञात की जाती है: \( \Delta V = (\frac{dV}{dr}) \Delta r \) \( \Delta V = (4 \pi r^2) \Delta r \) दिए गए मानों का उपयोग करने पर: \( \Delta V = 4 \pi (10)^2 \times (-0.2) \) \( \Delta V = 4 \pi \times 100 \times (-0.2) \) \( \Delta V = -80 \pi \) सेमी\( ^3 \) अतः, गोले के आयतन में सन्निकटन त्रुटि \( -80 \pi \) सेमी\( ^3 \) है। ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि आयतन में कमी हुई है।
In simple words: हमने गोले के आयतन का सूत्र लिया और उसका त्रिज्या के सापेक्ष अवकलन किया। फिर त्रिज्या में हुए छोटे बदलाव और अवकलज का उपयोग करके आयतन में होने वाले लगभग बदलाव को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब मात्रा कम होती है (जैसे यहाँ त्रिज्या सिकुड़ती है), तो \( \Delta r \) का मान ऋणात्मक होगा, और इसी तरह \( \Delta V \) भी ऋणात्मक आएगा।