RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Exercise 8.3

 

Question 1. वक्र \( y = x^3 - x \) बिन्दु \( x = 2 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = x^3 - x \) है। हम इसे x के सापेक्ष अवकलित करेंगे ताकि स्पर्श रेखा की प्रवणता (ढलान) मिल सके।
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1 \)
अब, हम इस समीकरण में \( x = 2 \) रखेंगे, क्योंकि हमें इस बिंदु पर प्रवणता ज्ञात करनी है।
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 3(2)^2 - 1 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 3(4) - 1 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 12 - 1 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 11 \)
अतः, बिन्दु \( x = 2 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 11 है। स्पर्श रेखा की प्रवणता हमें बताती है कि वक्र उस विशिष्ट बिंदु पर कितना ढलान वाला है।
In simple words: पहले, हमने वक्र के समीकरण को x के सापेक्ष अवकलित किया। फिर, हमने x = 2 को अवकलित समीकरण में रखा, जिससे हमें उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढलान 11 मिली।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए, हमेशा वक्र के समीकरण को अवकलित करें और फिर दिए गए x-निर्देशांक को अवकलज में प्रतिस्थापित करें।

 

Question 2. वक्र \( y=\frac {x-1}{x-2} \), बिन्दु \( x = 10 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y=\frac {x-1}{x-2} \) है। स्पर्श रेखा की प्रवणता निकालने के लिए, हम इसे x के सापेक्ष अवकलित करेंगे।
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)\frac{d}{dx}(x-1) - (x-1)\frac{d}{dx}(x-2)}{(x-2)^2} \) (भागफल नियम का उपयोग करके)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)(1) - (x-1)(1)}{(x-2)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x-2-x+1}{(x-2)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(x-2)^2} \)
अब, हम इस समीकरण में \( x = 10 \) रखेंगे।
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=10} = \frac{-1}{(10-2)^2} \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=10} = \frac{-1}{8^2} \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=10} = \frac{-1}{64} \)
अतः, बिन्दु \( x = 10 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( -\frac{1}{64} \) है। ऋणात्मक प्रवणता बताती है कि वक्र उस बिंदु पर नीचे की ओर ढलान वाला है।
In simple words: हमने भागफल नियम का उपयोग करके वक्र को अवकलित किया ताकि किसी भी बिन्दु पर प्रवणता का सूत्र मिल सके। फिर, हमने x = 10 को उस सूत्र में रखकर उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की वास्तविक प्रवणता \( -\frac{1}{64} \) ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले फलनों को अवकलित करते समय भागफल नियम का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है। अंश और हर दोनों के अवकलज की गणना करते समय चिह्नों और कोष्ठकों का विशेष ध्यान रखें।

 

Question 3. वह बिन्दु ज्ञात कीजिए, जहाँ वक्र \( y=\sqrt {\left(4x-3 \right)} -1 \) की स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{2}{3} \) है।
Answer: दिया गया वक्र \( y=\sqrt {4x-3} -1 \) है। हमें वह बिन्दु ज्ञात करना है जहाँ स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{2}{3} \) है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \cdot \frac{d}{dx}(4x-3) - 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \cdot 4 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4x-3}} \)
प्रश्नानुसार, स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{2}{3} \) है। इसलिए, हम अवकलज को \( \frac{2}{3} \) के बराबर रखेंगे।
\( \frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3} \)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
\( \sqrt{4x-3} = 3 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 4x-3 = 3^2 \)
\( 4x-3 = 9 \)
\( 4x = 12 \)
\( \implies x = 3 \)
अब, \( x = 3 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर मूल वक्र पर y का मान ज्ञात करेंगे।
\( y = \sqrt{4(3)-3} - 1 \)
\( y = \sqrt{12-3} - 1 \)
\( y = \sqrt{9} - 1 \)
\( y = 3 - 1 \)
\( y = 2 \)
अतः, अभीष्ट बिन्दु \( (3, 2) \) है। यह बिन्दु वह स्थान है जहाँ वक्र की ढलान दी गई प्रवणता के बराबर है।
In simple words: हमने पहले वक्र का अवकलन करके स्पर्श रेखा की प्रवणता का सूत्र निकाला। फिर, उस सूत्र को दी गई प्रवणता \( \frac{2}{3} \) के बराबर रखकर x का मान ज्ञात किया। अंत में, x का मान वक्र के मूल समीकरण में रखकर y का मान पता किया, जिससे हमें वह बिन्दु \( (3, 2) \) मिल गया।

🎯 Exam Tip: जब आपको प्रवणता दी गई हो और बिन्दु ज्ञात करना हो, तो अवकलन करने के बाद \( \frac{dy}{dx} \) को दी गई प्रवणता के बराबर सेट करें। x का मान ज्ञात करने के बाद, y-निर्देशांक प्राप्त करने के लिए इसे हमेशा मूल वक्र समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

 

Question 4. उन सभी रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र \( y+\frac {2}{x-3 }=0 \) की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा जिनकी प्रवणता 2 है।
Answer: दिया गया वक्र \( y+\frac {2}{x-3 }=0 \) है, जिसे हम \( y = -\frac{2}{x-3} \) के रूप में लिख सकते हैं। हमें उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात करने हैं जिनकी प्रवणता 2 है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = -2 \frac{d}{dx}(x-3)^{-1} \)
\( \frac{dy}{dx} = -2(-1)(x-3)^{-2}(1) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x-3)^2} \)
प्रश्नानुसार, स्पर्श रेखा की प्रवणता 2 है, इसलिए हम अवकलज को 2 के बराबर रखेंगे।
\( \frac{2}{(x-3)^2} = 2 \)
\( (x-3)^2 = 1 \)
\( x-3 = \pm 1 \)
दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति 1: \( x-3 = 1 \)
\( \implies x = 4 \)
मूल समीकरण में \( x = 4 \) रखने पर:
\( y = -\frac{2}{4-3} = -\frac{2}{1} = -2 \)
बिन्दु: \( (4, -2) \)
इस बिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण (प्रवणता \( m = 2 \) के साथ):
\( y - (-2) = 2(x - 4) \)
\( y + 2 = 2x - 8 \)
\( 2x - y - 10 = 0 \)
स्थिति 2: \( x-3 = -1 \)
\( \implies x = 2 \)
मूल समीकरण में \( x = 2 \) रखने पर:
\( y = -\frac{2}{2-3} = -\frac{2}{-1} = 2 \)
बिन्दु: \( (2, 2) \)
इस बिन्दु पर स्पर्श रेखा का समीकरण (प्रवणता \( m = 2 \) के साथ):
\( y - 2 = 2(x - 2) \)
\( y - 2 = 2x - 4 \)
\( 2x - y - 2 = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखाओं के दो समीकरण \( 2x - y - 10 = 0 \) और \( 2x - y - 2 = 0 \) हैं। ये दोनों रेखाएँ वक्र को छूती हैं और उनकी ढलान 2 है।
In simple words: पहले, हमने वक्र का अवकलन करके स्पर्श रेखा की प्रवणता का सूत्र निकाला। फिर, इस सूत्र को दी गई प्रवणता (2) के बराबर रखकर x के दो मान पाए। प्रत्येक x मान के लिए, हमने संबंधित y मान ज्ञात किया। अंत में, हमने प्रत्येक बिन्दु और प्रवणता का उपयोग करके दो स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखे।

🎯 Exam Tip: जब आप \( (x-3)^2 = 1 \) जैसे समीकरणों को हल करते हैं, तो याद रखें कि वर्गमूल लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान आते हैं \( (\pm 1) \)। प्रत्येक मान के लिए अलग-अलग बिन्दु और स्पर्श रेखा समीकरण ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 5. वक्र \( \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1 \) पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा (i) x-अक्ष के समान्तर है तथा (ii) y-अक्ष के समान्तर है।
Answer: दिया गया वक्र \( \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1 \) है। हम उन बिन्दुओं को ज्ञात करेंगे जहाँ स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष या y-अक्ष के समान्तर हैं।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर (अंतर्निहित अवकलन):
\( \frac{2x}{4} + \frac{2y}{25}\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{x}{2} + \frac{2y}{25}\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{2y}{25}\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2} \cdot \frac{25}{2y} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{4y} \)
(i) स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है: इसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} = 0 \) है।
\( -\frac{25x}{4y} = 0 \)
\( \implies -25x = 0 \)
\( \implies x = 0 \)
\( x = 0 \) को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
\( \frac{0^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1 \)
\( \frac{y^2}{25}=1 \)
\( y^2 = 25 \)
\( y = \pm 5 \)
अतः, बिन्दु \( (0, 5) \) और \( (0, -5) \) पर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है।
(ii) स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर है: इसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की प्रवणता अपरिभाषित है, जिसका मतलब है कि \( \frac{dy}{dx} \) के हर (denominator) का मान 0 है।
\( 4y = 0 \)
\( \implies y = 0 \)
\( y = 0 \) को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
\( \frac{x^2}{4}+\frac{0^2}{25}=1 \)
\( \frac{x^2}{4}=1 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \)
अतः, बिन्दु \( (2, 0) \) और \( (-2, 0) \) पर स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर है। ये बिन्दु वक्र के शीर्ष या किनारे के छोर होते हैं जहाँ ढलान खड़ी होती है।
In simple words: हमने वक्र का अवकलन करके ढलान का सूत्र पाया। x-अक्ष के समान्तर रेखा की ढलान शून्य होती है, इसलिए हमने ढलान को 0 के बराबर रखा और x-अक्ष पर बिन्दु पाए। y-अक्ष के समान्तर रेखा की ढलान अपरिभाषित होती है (हर शून्य होता है), इसलिए हमने हर को 0 के बराबर रखकर y-अक्ष पर बिन्दु पाए।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि x-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा की प्रवणता 0 होती है, और y-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा की प्रवणता अपरिभाषित होती है (अवकलज का हर 0 के बराबर होता है)। अंतर्निहित अवकलन करते समय \( \frac{dy}{dx} \) पद को अलग करना सुनिश्चित करें।

 

Question 6. वक्र \( x = a \sin^3 t, y = b \cos^3 t \) का \( t = \frac {\pi }{ 2 } \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र प्राचलिक रूप में है: \( x = a \sin^3 t \) और \( y = b \cos^3 t \)। हमें \( t = \frac {\pi }{ 2 } \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
t के सापेक्ष x का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = a \cdot 3 \sin^2 t \cos t \)
t के सापेक्ष y का अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dt} = b \cdot 3 \cos^2 t (-\sin t) = -3b \cos^2 t \sin t \)
अब, स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) ज्ञात करें:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{-3b \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{b \cos t}{a \sin t} = -\frac{b}{a} \cot t \)
\( t = \frac{\pi}{2} \) पर वक्र के निर्देशांक ज्ञात करें:
\( x = a \sin^3 \left(\frac{\pi}{2}\right) = a(1)^3 = a \)
\( y = b \cos^3 \left(\frac{\pi}{2}\right) = b(0)^3 = 0 \)
बिन्दु: \( (a, 0) \)
\( t = \frac{\pi}{2} \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करें:
\( m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{\pi}{2}} = -\frac{b}{a} \cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{b}{a} \cdot 0 = 0 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 0 = 0(x - a) \)
\( y = 0 \)
अतः, \( t = \frac {\pi }{ 2 } \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = 0 \) है। इसका मतलब है कि स्पर्श रेखा x-अक्ष ही है।
In simple words: हमने x और y के समीकरणों को 't' के सापेक्ष अवकलित किया। फिर, \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग करके ढलान का सूत्र पाया। \( t = \frac{\pi}{2} \) का उपयोग करके बिन्दु \( (a, 0) \) और ढलान 0 ज्ञात की। अंत में, हमने ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = 0 \) लिखा।

🎯 Exam Tip: प्राचलिक समीकरणों के लिए, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए हमेशा \( \frac{dy/dt}{dx/dt} \) का उपयोग करें। दिए गए प्राचल मान (t) पर बिन्दु के निर्देशांक और प्रवणता दोनों की गणना करना सुनिश्चित करें।

 

Question 7. वक्र \( y = \sin^2 x \) के बिन्दु \( \left(\frac {\pi }{3},\frac {3 }{ 4 } \right) \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया वक्र \( y = \sin^2 x \) है। हमें बिन्दु \( \left(\frac {\pi }{3},\frac {3 }{ 4 } \right) \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x \)
\( \frac{dy}{dx} = \sin (2x) \)
बिन्दु \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{3}{4}\right) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करें:
\( m_{tangent} = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{3}} = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
अभिलम्ब की प्रवणता \( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} \) होती है।
\( m_{normal} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - \frac{3}{4} = -\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \)
दोनों पक्षों को \( 4\sqrt{3} \) से गुणा करने पर (या सामान्य रूप में लाने पर):
\( 4\sqrt{3}\left(y - \frac{3}{4}\right) = 4\sqrt{3}\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \)
\( 4\sqrt{3}y - 3\sqrt{3} = -8\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \)
\( 4\sqrt{3}y - 3\sqrt{3} = -8x + \frac{8\pi}{3} \)
\( 8x + 4\sqrt{3}y = 3\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \)
अतः, अभिलम्ब का समीकरण \( 8x + 4\sqrt{3}y = 3\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \) है। यह रेखा वक्र के दिए गए बिन्दु पर स्पर्श रेखा के लम्बवत होती है।
In simple words: हमने पहले वक्र का अवकलन करके स्पर्श रेखा की ढलान का पता लगाया। अभिलम्ब की ढलान स्पर्श रेखा की ढलान की ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है। फिर, हमने उस बिन्दु और अभिलम्ब की ढलान का उपयोग करके अभिलम्ब का समीकरण लिखा।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता के ऋणात्मक व्युत्क्रम के बराबर होती है (\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} \))। त्रिकोणमितीय मानों और भिन्न वाले समीकरणों को सरल करते समय सावधानी बरतें।

 

Question 8. निम्न वक़ों के लिए उनके सम्मुख अंकित बिन्दु पर स्पर्श रेखा एवं अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(a) \( y = x^2 + 4x + 1, x = 3 \) पर
Answer: दिया गया वक्र \( y = x^2 + 4x + 1 \) है। हमें \( x = 3 \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
सबसे पहले, \( x = 3 \) पर y का मान ज्ञात करें:
\( y = (3)^2 + 4(3) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22 \)
इसलिए, बिन्दु \( (3, 22) \) है।
अब, x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2x + 4 \)
बिन्दु \( (3, 22) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
\( m_{tangent} = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 22 = 10(x - 3) \)
\( y - 22 = 10x - 30 \)
\( 10x - y - 8 = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{10} \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 22 = -\frac{1}{10}(x - 3) \)
\( 10(y - 22) = -(x - 3) \)
\( 10y - 220 = -x + 3 \)
\( x + 10y - 223 = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( 10x - y - 8 = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( x + 10y - 223 = 0 \) है। ये रेखाएँ वक्र के दिए गए बिन्दु पर महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण दर्शाती हैं।
In simple words: हमने पहले x=3 पर y का मान ज्ञात करके बिन्दु \( (3,22) \) पता किया। फिर, वक्र का अवकलन करके उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढलान (10) निकाली। इसी ढलान और बिन्दु से स्पर्श रेखा का समीकरण बना। अभिलम्ब के लिए, हमने स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेकर अभिलम्ब का समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा और अभिलम्ब दोनों के समीकरण ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप बिन्दु के निर्देशांक और सही ढलान का उपयोग कर रहे हैं। अभिलम्ब की प्रवणता के लिए ऋणात्मक व्युत्क्रम लेना न भूलें।

 

Question 8. (b) \( y^2 = 4ax, x = a \) पर
Answer: दिया गया वक्र \( y^2 = 4ax \) है। हमें \( x = a \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
सबसे पहले, \( x = a \) पर y का मान ज्ञात करें:
\( y^2 = 4a(a) = 4a^2 \)
\( y = \pm \sqrt{4a^2} = \pm 2a \)
इसलिए, दो बिन्दु हैं: \( (a, 2a) \) और \( (a, -2a) \)। हमें प्रत्येक बिन्दु के लिए समीकरण ज्ञात करने होंगे।
अब, x के सापेक्ष अंतर्निहित अवकलन करने पर:
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y} \)
**बिन्दु \( (a, 2a) \) के लिए:**
स्पर्श रेखा की प्रवणता: \( m_{tangent} = \frac{2a}{2a} = 1 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण: \( y - 2a = 1(x - a) \)
\( y - 2a = x - a \)
\( x - y + a = 0 \)
अभिलम्ब की प्रवणता: \( m_{normal} = -\frac{1}{1} = -1 \)
अभिलम्ब का समीकरण: \( y - 2a = -1(x - a) \)
\( y - 2a = -x + a \)
\( x + y - 3a = 0 \)
**बिन्दु \( (a, -2a) \) के लिए:**
स्पर्श रेखा की प्रवणता: \( m_{tangent} = \frac{2a}{-2a} = -1 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण: \( y - (-2a) = -1(x - a) \)
\( y + 2a = -x + a \)
\( x + y + a = 0 \)
अभिलम्ब की प्रवणता: \( m_{normal} = -\frac{1}{-1} = 1 \)
अभिलम्ब का समीकरण: \( y - (-2a) = 1(x - a) \)
\( y + 2a = x - a \)
\( x - y - 3a = 0 \)
अतः, वक्र के दिए गए बिन्दु पर दो स्पर्श रेखाएँ और दो अभिलम्ब हैं। हमें दोनों बिन्दुओं के लिए समीकरण ज्ञात करने होते हैं क्योंकि दोनों बिन्दु वक्र पर स्थित होते हैं।
In simple words: हमने x=a पर y के दो मान \( (\pm 2a) \) पाए, जिससे दो बिन्दु \( (a, 2a) \) और \( (a, -2a) \) मिले। वक्र का अवकलन करके ढलान का सूत्र पाया। प्रत्येक बिन्दु के लिए स्पर्श रेखा और अभिलम्ब की ढलान ज्ञात की, फिर उनके समीकरण लिखे।

🎯 Exam Tip: जब \( y^2 \) वाले समीकरणों को हल करते हैं, तो y के लिए दो मान \( (\pm) \) प्राप्त हो सकते हैं। प्रत्येक बिन्दु के लिए अलग-अलग स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरणों की गणना करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 8. (c) \( xy = a^2 \) \( \left(at, \frac{a}{t}\right) \) पर
Answer: दिया गया वक्र \( xy = a^2 \) है। हमें बिन्दु \( \left(at, \frac{a}{t}\right) \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
x के सापेक्ष अंतर्निहित अवकलन करने पर (गुणनफल नियम का उपयोग करके):
\( x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0 \)
\( x \frac{dy}{dx} = -y \)
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)
बिन्दु \( \left(at, \frac{a}{t}\right) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
\( m_{tangent} = -\frac{a/t}{at} = -\frac{a}{t} \cdot \frac{1}{at} = -\frac{1}{t^2} \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - \frac{a}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - at) \)
पूरे समीकरण को \( t^2 \) से गुणा करने पर:
\( t^2y - at = -(x - at) \)
\( t^2y - at = -x + at \)
\( x + t^2y - 2at = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{(-1/t^2)} = t^2 \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - \frac{a}{t} = t^2(x - at) \)
पूरे समीकरण को t से गुणा करने पर:
\( ty - a = t^3(x - at) \)
\( ty - a = t^3x - at^4 \)
\( t^3x - ty + a - at^4 = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( x + t^2y - 2at = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( t^3x - ty + a - at^4 = 0 \) है। यह प्राचलिक वक्र पर महत्वपूर्ण रेखाएँ हैं।
In simple words: हमने गुणनफल नियम का उपयोग करके वक्र का अवकलन किया और ढलान का सूत्र पाया। फिर, दिए गए बिन्दु के x और y मानों (जो 't' में हैं) को ढलान सूत्र में रखकर स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात की। इस ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण लिखा। अभिलम्ब के लिए, हमने स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेकर अभिलम्ब का समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: अंतर्निहित अवकलन करते समय गुणनफल नियम का उपयोग करना याद रखें। 'a' को एक स्थिरांक के रूप में मानें। भिन्नों को हटाने के लिए \( t^2 \) या t से गुणा करते समय बीजगणितीय सरलीकरणों पर ध्यान दें।

 

Question 8. (d) \( y^2 = 4ax \)
Answer: दिया गया वक्र \( y^2 = 4ax \) है। यहाँ हमें \( \left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right) \) बिन्दु पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
x के सापेक्ष अंतर्निहित अवकलन करने पर:
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y} \)
बिन्दु \( \left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
\( m_{tangent} = \frac{2a}{2a/m} = \frac{2a \cdot m}{2a} = m \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - \frac{2a}{m} = m\left(x - \frac{a}{m^2}\right) \)
पूरे समीकरण को m से गुणा करने पर:
\( my - 2a = m^2\left(x - \frac{a}{m^2}\right) \)
\( my - 2a = m^2x - a \)
\( m^2x - my + 2a - a = 0 \)
\( m^2x - my + a = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{m} \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - \frac{2a}{m} = -\frac{1}{m}\left(x - \frac{a}{m^2}\right) \)
पूरे समीकरण को \( m^2 \) से गुणा करने पर:
\( m^2y - 2am = -m\left(x - \frac{a}{m^2}\right) \)
\( m^2y - 2am = -mx + \frac{a}{m} \)
पूरे समीकरण को m से गुणा करने पर:
\( m^3y - 2am^2 = -m^2x + a \)
\( m^2x + m^3y - 2am^2 - a = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( m^2x - my + a = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( m^2x + m^3y - 2am^2 - a = 0 \) है। यह वक्र और बिंदु के बीच के संबंध को दर्शाता है।
In simple words: हमने वक्र का अवकलन करके ढलान का सूत्र \( \frac{2a}{y} \) पाया। फिर, दिए गए बिन्दु के y मान का उपयोग करके स्पर्श रेखा की ढलान 'm' प्राप्त की। इस ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण लिखा। अभिलम्ब के लिए, हमने स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेकर अभिलम्ब का समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: यह एक परवलय का प्राचलिक रूप है। बीजगणितीय सरलीकरण करते समय 'm' की घातों और भिन्नों पर विशेष ध्यान दें ताकि समीकरण सही रूप में हों।

 

Question 8. (e) \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, (a \sec \theta, b \tan \theta) \) पर
Answer: दिया गया वक्र \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है। हमें बिन्दु \( (a \sec \theta, b \tan \theta) \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
x के सापेक्ष अंतर्निहित अवकलन करने पर:
\( \frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \frac{2x}{a^2} = \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y} = \frac{b^2x}{a^2y} \)
बिन्दु \( (a \sec \theta, b \tan \theta) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
\( m_{tangent} = \frac{b^2(a \sec \theta)}{a^2(b \tan \theta)} = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta} \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - b \tan \theta = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta}(x - a \sec \theta) \)
\( a \tan \theta (y - b \tan \theta) = b \sec \theta (x - a \sec \theta) \)
\( ay \tan \theta - ab \tan^2 \theta = bx \sec \theta - ab \sec^2 \theta \)
\( bx \sec \theta - ay \tan \theta = ab \sec^2 \theta - ab \tan^2 \theta \)
\( bx \sec \theta - ay \tan \theta = ab (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) \)
हम जानते हैं कि \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \)।
\( bx \sec \theta - ay \tan \theta = ab(1) \)
\( \frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1 \) (ab से भाग करने पर)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta} = -\frac{a (\sin \theta / \cos \theta)}{b (1 / \cos \theta)} = -\frac{a \sin \theta}{b} \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - b \tan \theta = -\frac{a \sin \theta}{b}(x - a \sec \theta) \)
\( b(y - b \tan \theta) = -a \sin \theta (x - a \sec \theta) \)
\( by - b^2 \tan \theta = -ax \sin \theta + a^2 \sin \theta \sec \theta \)
\( by - b^2 \tan \theta = -ax \sin \theta + a^2 \tan \theta \)
\( ax \sin \theta + by = a^2 \tan \theta + b^2 \tan \theta \)
\( ax \sin \theta + by = (a^2 + b^2) \tan \theta \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( \frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( ax \sin \theta + by = (a^2 + b^2) \tan \theta \) है। यह अतिपरवलय के लिए महत्वपूर्ण परिणाम हैं।
In simple words: हमने वक्र का अंतर्निहित अवकलन करके ढलान का सूत्र पाया। फिर, दिए गए बिन्दु के त्रिकोणमितीय मानों को ढलान सूत्र में रखकर स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात की। इस ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण लिखा। अभिलम्ब के लिए, हमने स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेकर अभिलम्ब का समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \) को याद रखें, क्योंकि वे अक्सर समीकरणों को सरल बनाने में मदद करती हैं। बीजगणितीय चरणों में सावधानी बरतें।

 

Question 8. (f) \( y = 2x^2 - 3x - 1, (1, -2) \) पर
Answer: दिया गया वक्र \( y = 2x^2 - 3x - 1 \) है। हमें बिन्दु \( (1, -2) \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
सबसे पहले, यह सत्यापित करें कि बिन्दु वक्र पर स्थित है:
\( x = 1 \) रखने पर: \( y = 2(1)^2 - 3(1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2 \)
चूंकि y का मान -2 आता है, बिन्दु \( (1, -2) \) वक्र पर स्थित है।
अब, x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 4x - 3 \)
बिन्दु \( (1, -2) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
\( m_{tangent} = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - (-2) = 1(x - 1) \)
\( y + 2 = x - 1 \)
\( x - y - 3 = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{1} = -1 \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - (-2) = -1(x - 1) \)
\( y + 2 = -x + 1 \)
\( x + y + 1 = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( x - y - 3 = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( x + y + 1 = 0 \) है। ये रेखाएँ वक्र के दिए गए बिन्दु से होकर गुजरती हैं।
In simple words: हमने पहले जांच की कि दिया गया बिन्दु वक्र पर है या नहीं। फिर, वक्र का अवकलन करके उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढलान (1) निकाली। इस ढलान और बिन्दु से स्पर्श रेखा का समीकरण बना। अभिलम्ब के लिए, हमने स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लेकर अभिलम्ब का समीकरण बनाया।

🎯 Exam Tip: हमेशा यह जांचने के लिए एक त्वरित परीक्षण करें कि दिया गया बिन्दु वक्र पर स्थित है या नहीं। यह गलती से गलत बिन्दु का उपयोग करने से बचने में मदद करता है।

 

Question 8. (g) \( x = at^2, y = 2at, t = 1 \) पर
Answer: दिया गया वक्र प्राचलिक रूप में है: \( x = at^2 \) और \( y = 2at \)। हमें \( t = 1 \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
t के सापेक्ष x का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = 2at \)
t के सापेक्ष y का अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dt} = 2a \)
अब, स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) ज्ञात करें:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} \)
\( t = 1 \) पर वक्र के निर्देशांक ज्ञात करें:
\( x = a(1)^2 = a \)
\( y = 2a(1) = 2a \)
बिन्दु: \( (a, 2a) \)
\( t = 1 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करें:
\( m_{tangent} = \frac{1}{1} = 1 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 2a = 1(x - a) \)
\( y - 2a = x - a \)
\( x - y + a = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{1} = -1 \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 2a = -1(x - a) \)
\( y - 2a = -x + a \)
\( x + y - 3a = 0 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( x - y + a = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( x + y - 3a = 0 \) है। ये रेखाएँ प्राचलिक वक्र से संबंधित हैं।
In simple words: हमने x और y के समीकरणों को 't' के सापेक्ष अवकलित किया और फिर \( \frac{dy}{dx} \) से ढलान का सूत्र पाया। \( t = 1 \) का उपयोग करके बिन्दु \( (a, 2a) \) और ढलान 1 ज्ञात की। अंत में, ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण लिखे।

🎯 Exam Tip: प्राचलिक वक्रों के लिए, \( \frac{dx}{dt} \) और \( \frac{dy}{dt} \) दोनों की गणना करें और फिर \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) का उपयोग करें। दिए गए 't' के मान पर सभी आवश्यक मानों (x, y और ढलान) का मूल्यांकन करें।

 

Question 8. (h) \( x = \theta + \sin \theta, y = 1 - \cos\theta, \theta = \frac {\pi }{2} \) पर
Answer: दिया गया वक्र प्राचलिक रूप में है: \( x = \theta + \sin \theta \) और \( y = 1 - \cos\theta \)। हमें \( \theta = \frac {\pi }{2} \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने हैं।
\( \theta \) के सापेक्ष x का अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{d\theta} = 1 + \cos \theta \)
\( \theta \) के सापेक्ष y का अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{d\theta} = \sin \theta \)
अब, स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \) ज्ञात करें:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \)
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) पर वक्र के निर्देशांक ज्ञात करें:
\( x = \frac{\pi}{2} + \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 1 \)
\( y = 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 0 = 1 \)
बिन्दु: \( \left(\frac{\pi}{2} + 1, 1\right) \)
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करें:
\( m_{tangent} = \frac{\sin (\pi/2)}{1 + \cos (\pi/2)} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 1 = 1\left(x - \left(\frac{\pi}{2} + 1\right)\right) \)
\( y - 1 = x - \frac{\pi}{2} - 1 \)
\( y = x - \frac{\pi}{2} \)
\( x - y - \frac{\pi}{2} = 0 \)
अब, अभिलम्ब की प्रवणता:
\( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{1} = -1 \)
अभिलम्ब का समीकरण (बिन्दु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \)):
\( y - 1 = -1\left(x - \left(\frac{\pi}{2} + 1\right)\right) \)
\( y - 1 = -x + \frac{\pi}{2} + 1 \)
\( x + y = \frac{\pi}{2} + 2 \)
अतः, स्पर्श रेखा का समीकरण \( x - y - \frac{\pi}{2} = 0 \) और अभिलम्ब का समीकरण \( x + y = \frac{\pi}{2} + 2 \) है। यह प्राचलिक वक्र के एक विशिष्ट बिन्दु पर रेखाओं का वर्णन करता है।
In simple words: हमने x और y के समीकरणों को \( \theta \) के सापेक्ष अवकलित किया और फिर ढलान का सूत्र पाया। \( \theta = \frac{\pi}{2} \) का उपयोग करके बिन्दु \( \left(\frac{\pi}{2} + 1, 1\right) \) और ढलान 1 ज्ञात की। अंत में, ढलान और बिन्दु का उपयोग करके स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण लिखे।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज और विशिष्ट कोणों के लिए उनके मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है। बीजगणितीय सरलीकरण करते समय \( \pi \) वाले पदों को ध्यान से संभालें।

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