RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Exercise 8.2

Question 1. सिद्ध कीजिए f(x) = x² अन्तराल (0, ∞) में वर्धमान तथा अन्तराल (-∞, 0) में हासमान है।
Answer:
माना \(x_1, x_2 \in R\) इस प्रकार हैं कि \(x_1 < x_2\).
**स्थिति 1: जब \(x \in (0, \infty)\) (वर्धमान के लिए)**
माना \(x_1, x_2 \in (0, \infty)\) और \(x_1 < x_2\).
उदाहरण के लिए, यदि \(x_1 = 2\) और \(x_2 = 3\), तो \(2 < 3\).
तब \(f(x_1) = x_1^2 = 2^2 = 4\) और \(f(x_2) = x_2^2 = 3^2 = 9\).
यहाँ \(4 < 9\), यानि \(f(x_1) < f(x_2)\).
अतः, जब \(x \in (0, \infty)\), तो फलन \(f(x) = x^2\) वर्धमान है।

**स्थिति 2: जब \(x \in (-\infty, 0)\) (ह्रासमान के लिए)**
माना \(x_1, x_2 \in (-\infty, 0)\) और \(x_1 < x_2\).
उदाहरण के लिए, यदि \(x_1 = -3\) और \(x_2 = -2\), तो \(-3 < -2\).
तब \(f(x_1) = x_1^2 = (-3)^2 = 9\) और \(f(x_2) = x_2^2 = (-2)^2 = 4\).
यहाँ \(9 > 4\), यानि \(f(x_1) > f(x_2)\).
अतः, जब \(x \in (-\infty, 0)\), तो फलन \(f(x) = x^2\) ह्रासमान है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग हिस्सों में देखा. जब x का मान धनात्मक होता है, तो फलन का मान बढ़ता है, और जब x का मान ऋणात्मक होता है, तो फलन का मान घटता है.

🎯 Exam Tip: फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने की जांच करने के लिए हमेशा दिए गए अन्तराल में \(x_1 < x_2\) लेकर \(f(x_1)\) और \(f(x_2)\) की तुलना करें।

Question 2. सिद्ध कीजिए कि f(x) = a\(^x\), 0 < a < 1, R में ह्रासमान
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = a^x\), जहाँ \(0 < a < 1\) है।
माना \(x_1, x_2 \in R\) इस प्रकार हैं कि \(x_1 < x_2\).
चूँकि आधार \(a\) 0 और 1 के बीच है (अर्थात, \(0 < a < 1\)), इसलिए जब घात बढ़ती है, तो फलन का मान घटता है।
\(x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2}\)
\[\text{यह इसलिए है क्योंकि } 0 < a < 1 \text{ के लिए, यदि } x_1 < x_2 \text{ हो, तो } a^{x_1} > a^{x_2} \text{ होता है।}\]
अतः, \(f(x_1) > f(x_2)\).
चूँकि यह सभी \(x_1, x_2 \in R\) के लिए सत्य है, इसलिए फलन \(f(x) = a^x\) अन्तराल R में ह्रासमान है।
In simple words: जब आधार 0 से 1 के बीच होता है, तो घात बढ़ने पर संख्या का मान घटता है. इसीलिए यह फलन हमेशा घटता रहता है.

🎯 Exam Tip: चरघातांकी फलन \(a^x\) की प्रकृति आधार \(a\) के मान पर निर्भर करती है। यदि \(a > 1\), तो फलन वर्धमान होता है; यदि \(0 < a < 1\), तो फलन ह्रासमान होता है।

Question 4. f(x) = x\(^{100}\) + sin x + 1, x ∈ (0, \(\frac {\pi }{2}\))
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = x^{100} + \sin x + 1\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 100x^{99} + \cos x\)
अन्तराल \((0, \frac{\pi}{2})\) में,
हम जानते हैं कि \(\cos x > 0\) और \(x > 0\) होने के कारण \(100x^{99} > 0\).
\( \implies \) \(f'(x) = 100x^{99} + \cos x > 0\)
अतः, अन्तराल \((0, \frac{\pi}{2})\) में फलन \(f(x)\) निरन्तर वर्धमान है।
In simple words: फलन का अवकलन करने पर, हमने देखा कि दिए गए अन्तराल में अवकलज हमेशा धनात्मक है. इसका मतलब है कि फलन इस अन्तराल में लगातार बढ़ रहा है.

🎯 Exam Tip: \((0, \frac{\pi}{2})\) अन्तराल में त्रिकोणमितीय फलनों \(\sin x\) और \(\cos x\) के चिन्हों को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे अक्सर वर्धमान/ह्रासमान की जांच में सहायक होते हैं।

Question 5. f(x) = (x - 1)e\(^x\) + 1, x > 0.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = (x - 1)e^x + 1\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए),
\(f'(x) = \frac{d}{dx}((x-1)e^x) + \frac{d}{dx}(1)\)
\( \implies \) \(f'(x) = (x-1) \cdot e^x + e^x \cdot (1-0) + 0\)
\( \implies \) \(f'(x) = e^x(x - 1 + 1)\)
\( \implies \) \(f'(x) = xe^x\)
दिए गए अन्तराल \(x > 0\) के लिए,
हम जानते हैं कि \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है और \(x\) भी धनात्मक है।
तो, \(f'(x) = xe^x > 0\)
अतः, फलन \(f(x)\) दिए गए अन्तराल \(x > 0\) में निरन्तर वर्धमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और देखा कि परिणाम हमेशा धनात्मक आता है, जब x शून्य से बड़ा हो. इसलिए फलन लगातार बढ़ रहा है.

🎯 Exam Tip: \(e^x\) फलन हमेशा धनात्मक होता है, जो वर्धमान/ह्रासमान की जांच करते समय अवकलज के चिन्ह को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण होता है।

Question 6. f(x) = x\(^3\) - 6x\(^2\) + 12x – 1, x ∈ R.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 1\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 12\)
पदों को 3 से बाहर निकालने पर,
\(f'(x) = 3(x^2 - 4x + 4)\)
यह एक पूर्ण वर्ग का सूत्र है,
\(f'(x) = 3(x - 2)^2\)
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक या शून्य होता है, यानी \((x-2)^2 \ge 0\).
\( \implies \) \(f'(x) = 3(x - 2)^2 \ge 0\)
अतः, फलन \(f(x)\) अन्तराल R में वर्धमान है। (ध्यान दें, \(f'(x)=1\) का अर्थ है कि अवकलज न्यूनतम 1 है, जो कि यहाँ पर गलत है क्योंकि \(f'(x)\) 0 भी हो सकता है जब \(x=2\))
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और देखा कि परिणाम (अवकलज) हमेशा शून्य या शून्य से बड़ा होता है. इसका मतलब है कि फलन हमेशा बढ़ रहा है या स्थिर है, कभी घट नहीं रहा.

🎯 Exam Tip: यदि \(f'(x) \ge 0\) हो, तो फलन वर्धमान होता है। पूर्ण वर्ग बनाना अक्सर अवकलज के चिन्ह को निर्धारित करने में सहायक होता है।

निर्देश : (प्रश्न 7 से 10 तक) सिद्ध कीजिए कि फलन, सम्मुख दिए गए अन्तराल में ह्रासमान है ।

Question 7. f(x) = tan\(^{-1}\) x - x, x ∈ R.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = \tan^{-1} x - x\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1\)
\( \implies \) \(f'(x) = \frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2}\)
\( \implies \) \(f'(x) = \frac{-x^2}{1+x^2}\)
चूँकि \(x \in R\), इसलिए \(x^2 \ge 0\).
साथ ही, \(1+x^2 > 0\).
तो, \(\frac{-x^2}{1+x^2} \le 0\). यह \(x=0\) पर शून्य है और अन्य सभी \(x\) के लिए ऋणात्मक है।
अतः, \(f'(x) \le 0\).
इसलिए, फलन \(f(x)\) अन्तराल R में ह्रासमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और देखा कि परिणाम हमेशा शून्य या शून्य से छोटा होता है. इससे पता चलता है कि फलन लगातार घट रहा है.

🎯 Exam Tip: \(\tan^{-1} x\) के अवकलज का मान \(1/(1+x^2)\) होता है, जो हमेशा धनात्मक होता है। इस तरह के प्रश्न में अवकलज का चिन्ह निर्धारित करना महत्वपूर्ण होता है।

Question 8. f(x) = sin\(^4\) x + cos\(^4\) x, x ∈ (0, \(\frac {\pi }{2}\))
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 4\sin^3 x \cos x + 4\cos^3 x (-\sin x)\)
\( \implies \) \(f'(x) = 4\sin^3 x \cos x - 4\cos^3 x \sin x\)
दोनों पदों से \(4\sin x \cos x\) को बाहर निकालने पर,
\( \implies \) \(f'(x) = 4\sin x \cos x (\sin^2 x - \cos^2 x)\)
\( \implies \) \(f'(x) = -4\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x)\)
हम जानते हैं कि \(2\sin x \cos x = \sin(2x)\) और \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)\).
\( \implies \) \(f'(x) = -2(2\sin x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x)\)
\( \implies \) \(f'(x) = -2\sin(2x)\cos(2x)\)
\( \implies \) \(f'(x) = -\sin(4x)\)
दिए गए अन्तराल \((0, \frac{\pi}{2})\) के लिए, \(4x\) का मान \((0, 2\pi)\) में होगा।
इस अन्तराल में, जब \(x \in (0, \frac{\pi}{4})\), तो \(4x \in (0, \pi)\), जिससे \(\sin(4x) > 0\).
\( \implies \) \(f'(x) = -\sin(4x) < 0\)
जब \(x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})\), तो \(4x \in (\pi, 2\pi)\), जिससे \(\sin(4x) < 0\).
\( \implies \) \(f'(x) = -\sin(4x) > 0\)
तो फलन पूरे \((0, \frac{\pi}{2})\) अन्तराल में ह्रासमान नहीं है। यह \((0, \frac{\pi}{4})\) में ह्रासमान है और \(( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})\) में वर्धमान है। प्रश्न के निर्देश के अनुसार, फलन को ह्रासमान सिद्ध करना था, इसलिए यह विशेष रूप से \((0, \frac{\pi}{4})\) में ह्रासमान है।
In simple words: फलन का अवकलन करने पर, हमें \(- \sin(4x)\) मिलता है. दिए गए अन्तराल के एक भाग में \(- \sin(4x)\) ऋणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि फलन उस भाग में घटता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों और उनके विभिन्न अन्तरालों में चिन्हों की स्पष्ट समझ रखें, खासकर जब व्युत्पन्न का चिन्ह निर्धारित कर रहे हों।

Question 9. f(x) = \(\frac {3}{x}\)+5, x ∈ R, x ≠ 0.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = \frac{3}{x} + 5\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{-1}) + \frac{d}{dx}(5)\)
\( \implies \) \(f'(x) = 3(-1)x^{-2} + 0\)
\( \implies \) \(f'(x) = -3x^{-2}\)
\( \implies \) \(f'(x) = \frac{-3}{x^2}\)
चूँकि \(x \in R, x \ne 0\) है, इसलिए \(x^2\) हमेशा धनात्मक होगा (\(x^2 > 0\)).
तो, \(\frac{-3}{x^2}\) हमेशा ऋणात्मक होगा (\(< 0\)).
अतः, \(f'(x) < 0\).
इसलिए, फलन \(f(x)\) अन्तराल R में, जहाँ \(x \ne 0\), ह्रासमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और पाया कि अवकलज का मान हमेशा ऋणात्मक होता है. इसका मतलब है कि फलन लगातार घट रहा है, केवल शून्य पर परिभाषित नहीं है.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक फलनों के अवकलज का चिन्ह निर्धारित करते समय, हर (denominator) के वर्ग पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि वह हमेशा धनात्मक होता है और चिन्ह को अंश (numerator) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

Question 10. f(x) = x² - 2x + 3, x < 1.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 2x - 2\)
\( \implies \) \(f'(x) = 2(x - 1)\)
दिए गए अन्तराल में \(x < 1\) है।
यदि \(x < 1\) है, तो \(x - 1\) का मान ऋणात्मक होगा (\(x - 1 < 0\)).
\( \implies \) \(f'(x) = 2(x - 1) < 0\)
अतः, \(f'(x) < 0\).
इसलिए, फलन \(f(x)\) दिए गए अन्तराल \(x < 1\) में ह्रासमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और देखा कि जब x का मान 1 से कम होता है, तो अवकलज हमेशा ऋणात्मक होता है. इससे पता चलता है कि फलन इस अन्तराल में लगातार घट रहा है.

🎯 Exam Tip: अवकलज का गुणनखंड करना उसके चिन्ह को समझने का एक प्रभावी तरीका हो सकता है, विशेष रूप से जब एक विशिष्ट अन्तराल के लिए जांच कर रहे हों।

Question 12. f(x) = x\(^4\) - 2x².
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = x^4 - 2x^2\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 4x^3 - 4x\)
स्थिर बिन्दुओं को ज्ञात करने के लिए, \(f'(x) = 0\) रखें:
\(4x^3 - 4x = 0\)
\(4x(x^2 - 1) = 0\)
\(4x(x - 1)(x + 1) = 0\)
इससे हमें क्रांतिक बिन्दु मिलते हैं: \(x = 0, x = 1, x = -1\).
ये बिन्दु वास्तविक संख्या रेखा को चार असंयुक्त अन्तरालों में विभाजित करते हैं:
\((-\infty, -1)\), \( (-1, 0)\), \( (0, 1)\), तथा \( (1, \infty)\).

**(a) अन्तराल \((-\infty, -1)\) के लिए**
\(f'(x) = 4x^3 - 4x\)
\(x = -2\) पर (जो इस अन्तराल में है),
\(f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24\)
चूँकि \(f'(-2) < 0\), इसलिए फलन इस अन्तराल में ह्रासमान है।
इसी प्रकार, इस अन्तराल के अन्य बिन्दुओं के लिए भी \(f'(x) < 0\) दिखाया जा सकता है।

**(b) अन्तराल \((0, 1)\) के लिए**
\(f'(x) = 4x^3 - 4x\)
\(x = 0.5\) पर (जो इस अन्तराल में है),
\(f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2.0 = 0.5 - 2.0 = -1.5\)
चूँकि \(f'(0.5) < 0\), इसलिए फलन इस अन्तराल में ह्रासमान है।
इसी प्रकार, इस अन्तराल के अन्य बिन्दुओं के लिए भी \(f'(x) < 0\) दिखाया जा सकता है।

**(c) अन्तराल \((-1, 0)\) के लिए**
\(f'(x) = 4x^3 - 4x\)
\(x = -0.5\) पर (जो इस अन्तराल में है),
\(f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2.0 = -0.5 + 2.0 = 1.5\)
चूँकि \(f'(-0.5) > 0\), इसलिए फलन इस अन्तराल में वर्धमान है।

**(d) अन्तराल \((1, \infty)\) के लिए**
\(f'(x) = 4x^3 - 4x\)
\(x = 2\) पर (जो इस अन्तराल में है),
\(f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24\)
चूँकि \(f'(2) > 0\), इसलिए फलन इस अन्तराल में वर्धमान है।
इसी प्रकार, इस अन्तराल के अन्य बिन्दुओं के लिए भी \(f'(x) > 0\) दिखाया जा सकता है।

सारांश:
फलन \(f(x)\) अन्तराल \((-\infty, -1) \cup (0, 1)\) में ह्रासमान है।
फलन \(f(x)\) अन्तराल \((-1, 0) \cup (1, \infty)\) में वर्धमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और क्रांतिक बिन्दु ढूंढे, जहाँ फलन का ढलान शून्य होता है. फिर हमने उन बिन्दुओं से बने अन्तरालों में अवकलज का चिन्ह जांचा. जहाँ अवकलज ऋणात्मक था, फलन घट रहा था, और जहाँ धनात्मक था, फलन बढ़ रहा था.

🎯 Exam Tip: अन्तरालों में फलन की एकदिष्टता (monotonicity) की जांच करने के लिए क्रांतिक बिन्दु (जहाँ \(f'(x)=0\) या अपरिभाषित) ज्ञात करना और फिर प्रत्येक अन्तराल में \(f'(x)\) का चिन्ह जांचना सबसे विश्वसनीय तरीका है।

Question 13. f(x) = 2x\(^3\) - 9x\(^2\) + 12x + 5.
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12\)
\(f'(x) = 6(x^2 - 3x + 2)\)

**वर्धमान मान के लिए:**
फलन के वर्धमान होने के लिए, \(f'(x) > 0\) होना चाहिए।
\(6(x^2 - 3x + 2) > 0\)
चूँकि \(6 > 0\) है, इसलिए \(x^2 - 3x + 2 > 0\).
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
\((x - 1)(x - 2) > 0\)
यह असमिका तब सत्य होती है जब \(x < 1\) या \(x > 2\).
अतः, फलन \(f(x)\) अन्तराल \((-\infty, 1) \cup (2, \infty)\) में वर्धमान है।

**ह्रासमान मान के लिए:**
फलन के ह्रासमान होने के लिए, \(f'(x) < 0\) होना चाहिए।
\(6(x^2 - 3x + 2) < 0\)
चूँकि \(6 > 0\) है, इसलिए \(x^2 - 3x + 2 < 0\).
\((x - 1)(x - 2) < 0\)
यह असमिका तब सत्य होती है जब \(1 < x < 2\).
अतः, फलन \(f(x)\) अन्तराल \((1, 2)\) में ह्रासमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन निकाला और फिर उसे शून्य के बराबर रखकर या शून्य से बड़ा/छोटा रखकर x के मानों का पता लगाया. इससे हमें वे अन्तराल मिले जहाँ फलन बढ़ रहा था और जहाँ घट रहा था.

🎯 Exam Tip: त्रिघात फलन की एकदिष्टता की जांच करते समय, अवकलज को गुणनखंडित करना और फिर संख्या रेखा पर चिन्ह योजना (sign scheme) का उपयोग करना बहुत उपयोगी होता है।

Question 15. a का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = x² + ax + 5 अन्तराल [1, 2] में वर्धमान है।
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = x^2 + ax + 5\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(f'(x) = 2x + a\)
हमें दिया गया है कि फलन अन्तराल \([1, 2]\) में वर्धमान है।
वर्धमान होने के लिए, \(f'(x) \ge 0\) होना चाहिए।
तो, \(2x + a \ge 0\)
\(a \ge -2x\)
चूँकि \(x \in [1, 2]\) है, इसका मतलब है \(1 \le x \le 2\).
यदि \(1 \le x \le 2\) है, तो \(2 \le 2x \le 4\).
तो, \(-4 \le -2x \le -2\).
\(a \ge -2x\) के लिए, \(a\) का न्यूनतम मान \(-2x\) के अधिकतम मान के बराबर होगा।
\(-2x\) का अधिकतम मान \(-2\) है (जब \(x=1\)).
इस प्रकार, \(a \ge -2\).
अतः, \(a\) का न्यूनतम मान \(-2\) है।
In simple words: फलन के बढ़ते रहने के लिए, हमने उसके ढलान (अवकलज) को शून्य या धनात्मक रखा. फिर x के दिए गए मानों का उपयोग करके, हमने 'a' का सबसे छोटा मान निकाला.

🎯 Exam Tip: किसी अन्तराल में फलन के वर्धमान होने के लिए, \(f'(x) \ge 0\) होना चाहिए। जब \(a\) का न्यूनतम मान पूछा जाए, तो \(a \ge g(x)\) की स्थिति में \(g(x)\) के अधिकतम मान का उपयोग करें।

Question 16. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = tan\(^{-1}\) (sin x + cos x), अन्तराल (0, \(\frac {\pi }{4}\)) में वर्धमान फलन है।
Answer:
दिया गया फलन है \(f(x) = \tan^{-1} (\sin x + \cos x)\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर, (चेन नियम का उपयोग करके)
\(f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x)\)
\( \implies \) \(f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)\)
हर (denominator) को सरल करने पर:
\(1 + (\sin x + \cos x)^2 = 1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)\)
\( = 1 + (1 + \sin(2x))\)
\( = 2 + \sin(2x)\)
तो, \(f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin(2x)}\)
दिए गए अन्तराल \((0, \frac{\pi}{4})\) में,
हम जानते हैं कि \(\cos x > \sin x\).
तो, अंश (\(\cos x - \sin x\)) धनात्मक होगा (\( > 0\)).
साथ ही, \(\sin(2x)\) अन्तराल \((0, \frac{\pi}{4})\) में धनात्मक होता है, क्योंकि \(2x \in (0, \frac{\pi}{2})\).
तो, हर (\(2 + \sin(2x)\)) भी धनात्मक होगा (\( > 0\)).
अतः, \(f'(x) = \frac{\text{धनात्मक}}{\text{धनात्मक}} = \text{धनात्मक}\)
\( \implies \) \(f'(x) > 0\)
इसलिए, फलन \(f(x)\) अन्तराल \((0, \frac{\pi}{4})\) में निरन्तर वर्धमान है।
In simple words: हमने फलन का अवकलन किया और उसे सरल बनाया. फिर दिए गए अन्तराल में अंश और हर दोनों का मान जांचा. दोनों धनात्मक निकले, जिसका मतलब है कि अवकलज धनात्मक है और फलन लगातार बढ़ रहा है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं जैसे \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) और \(2\sin x \cos x = \sin(2x)\) का उपयोग करके अवकलज को सरल करना अक्सर चिन्ह निर्धारण में सहायक होता है।