RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Exercise 7.6

Question 1. निम्नलिखित फलनों के लिए रोले की प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए
(a) \( f(x) = e^x (\sin x - \cos x), x \in \left[ \frac {\pi }{ 4 },\frac { 5\pi }{ 4 } \right] \)
(b) \( f(x) = (x – a)^m (x – b)^n, x \in [a, b], m, n \in N \)
(c) \( f(x) = |x|, x \in [-1, 1] \)
(d) \( f(x) = x^2 + 2x – 8, x \in [- 4, 2] \)
(e) \( f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 3-x & \text{यदि } 1 < x \le 2 \end{cases} \)
(f) \( f(x) = [x], x \in [-2, 2] \)
Answer:
(a) फलन \( f(x) = e^x (\sin x - \cos x) \) के लिए रोले की प्रमेय की सत्यता की जाँच:
1. \( f(x) = e^x (\sin x - \cos x) \) फलन दिए गए अंतराल \( \left[ \frac {\pi }{ 4 },\frac { 5\pi }{ 4 } \right] \) में सतत है, क्योंकि \( e^x, \sin x \) और \( \cos x \) सभी सतत फलन हैं.
2. फलन \( f(x) \) अंतराल \( \left( \frac {\pi }{ 4 },\frac { 5\pi }{ 4 } \right) \) में अवकलनीय है.
\( f'(x) = e^x (\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x) e^x \)
\( f'(x) = e^x (2 \sin x) \)
3. \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0 \)
\( f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{\frac{5\pi}{4}}\left(\sin\frac{5\pi}{4} - \cos\frac{5\pi}{4}\right) = e^{\frac{5\pi}{4}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})\right) = 0 \)
इस प्रकार, \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 0 \).
चूंकि रोले की प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in \left( \frac {\pi }{ 4 },\frac { 5\pi }{ 4 } \right) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = 0 \).
\( e^c (2 \sin c) = 0 \)
क्योंकि \( e^c \ne 0 \), तो \( 2 \sin c = 0 \)
\( \sin c = 0 \)
इससे \( c = \pi \) प्राप्त होता है.
क्योंकि \( \pi \in \left( \frac {\pi }{ 4 },\frac { 5\pi }{ 4 } \right) \), रोले की प्रमेय सत्यापित होती है. यह दर्शाता है कि फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है और दिए गए अंतराल में एक ऐसा बिंदु मौजूद है.
In simple words: फलन सतत और अवकलनीय है, और अंतराल के सिरों पर मान बराबर हैं. इसलिए, रोले का प्रमेय लागू होता है और \( c = \pi \) पर \( f'(c) = 0 \) पाया गया, जो दिए गए अंतराल में आता है.
(b) फलन \( f(x) = (x – a)^m (x – b)^n, x \in [a, b], m, n \in N \)
1. \( f(x) \) एक बहुपद फलन है, क्योंकि यह \( (x-a)^m \) और \( (x-b)^n \) का गुणनफल है, जो स्वयं बहुपद फलन हैं. बहुपद फलन हमेशा सतत होते हैं, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( [a, b] \) में सतत है.
2. बहुपद फलन हमेशा अवकलनीय होते हैं. अतः, \( f(x) \) अंतराल \( (a, b) \) में अवकलनीय है.
\( f'(x) = m(x-a)^{m-1}(x-b)^n + n(x-a)^m(x-b)^{n-1} \)
\( = (x-a)^{m-1}(x-b)^{n-1}[m(x-b) + n(x-a)] \)
इसका अस्तित्व है.
3. \( f(a) = (a-a)^m (a-b)^n = 0 \)
\( f(b) = (b-a)^m (b-b)^n = 0 \)
इस प्रकार, \( f(a) = f(b) = 0 \).
चूंकि रोले की प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (a, b) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = 0 \).
\( (c-a)^{m-1}(c-b)^{n-1}[m(c-b) + n(c-a)] = 0 \)
इससे \( m(c-b) + n(c-a) = 0 \)
\( mc - mb + nc - na = 0 \)
\( (m+n)c = mb + na \)
\( c = \frac{mb+na}{m+n} \)
क्योंकि \( c = \frac{mb+na}{m+n} \in (a, b) \), रोले की प्रमेय सत्यापित होती है. यह दिखाता है कि एक विशिष्ट बिंदु 'c' मौजूद है जो प्रमेय की शर्त को पूरा करता है.
In simple words: फलन बहुपद है, इसलिए यह सतत और अवकलनीय है. अंतराल के सिरों पर फलन के मान बराबर हैं. अतः, रोले का प्रमेय लागू होता है और हमें 'c' का मान \( \frac{mb+na}{m+n} \) मिलता है, जो दिए गए अंतराल में है.
(c) फलन \( f(x) = |x|, x \in [-1, 1] \)
1. निरपेक्ष मान फलन \( f(x) = |x| \) अपने पूरे डोमेन में सतत होता है, इसलिए यह अंतराल \( [-1, 1] \) में भी सतत है.
2. अवकलनीयता की जाँच: \( f(x) = |x| \) बिंदु \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है.
दायाँ पक्ष अवकलज (R.H.D. at \( x = 0 \)):
\( \text{R.H.D.} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \)
बायाँ पक्ष अवकलज (L.H.D. at \( x = 0 \)):
\( \text{L.H.D.} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \)
चूंकि \( \text{R.H.D.} \ne \text{L.H.D.} \), फलन \( f(x) = |x| \) बिंदु \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है, जो कि अंतराल \( (-1, 1) \) के अंदर आता है.
इसलिए, रोले की प्रमेय का अवकलनीयता का प्रतिबन्ध इस फलन के लिए संतुष्ट नहीं होता है.
अतः, इस फलन के लिए रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है. एक फलन को अवकलनीय होने के लिए उसके ग्राफ में कोई तेज मोड़ नहीं होना चाहिए.
In simple words: फलन \( |x| \) सतत है, लेकिन \( x=0 \) पर यह चिकना नहीं है (इसमें एक नुकीला मोड़ है), इसलिए यह अवकलनीय नहीं है. क्योंकि रोले प्रमेय के लिए अवकलनीयता ज़रूरी है, यह फलन रोले प्रमेय को पूरा नहीं करता.
(d) फलन \( f(x) = x^2 + 2x – 8, x \in [-4, 2] \)
1. \( f(x) \) एक बहुपद फलन है, इसलिए यह अंतराल \( [-4, 2] \) में सतत है.
2. \( f'(x) = 2x + 2 \). यह \( f'(x) \) अंतराल \( (-4, 2) \) के प्रत्येक बिंदु पर परिमित और विद्यमान है, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( (-4, 2) \) में अवकलनीय है.
3. \( f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0 \)
\( f(2) = (2)^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \)
इस प्रकार, \( f(-4) = f(2) = 0 \).
चूंकि रोले की प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (-4, 2) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = 0 \).
\( 2c + 2 = 0 \)
\( 2c = -2 \)
\( c = -1 \)
क्योंकि \( -1 \in (-4, 2) \), रोले की प्रमेय सत्यापित होती है. यह दिखाता है कि एक द्विघात फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू हो सकता है.
In simple words: फलन एक साधारण बहुपद है, इसलिए यह हमेशा सतत और अवकलनीय होता है. अंतराल के शुरुआत और अंत में फलन का मान बराबर है. इसलिए, रोले प्रमेय लागू होता है और \( c=-1 \) पाया गया, जो अंतराल के अंदर है.
(e) फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 3-x & \text{यदि } 1 < x \le 2 \end{cases} \)
1. \( f(x) \) अंतराल \( [0, 2] \) में परिभाषित है. \( f(x) \) अंतराल \( [0, 2] \) में सतत है.
2. अवकलनीयता की जाँच बिंदु \( x=1 \) पर (जहां फलन बदल रहा है):
दायाँ पक्ष अवकलज (R.H.D. at \( x=1 \)):
\( Rf'(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
यहाँ \( f(1) = 1^2+1 = 2 \).
जब \( h > 0 \), तो \( 1+h > 1 \), इसलिए \( f(1+h) = 3-(1+h) \).
\( Rf'(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(3-(1+h)) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3-1-h-2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1 \)
बायाँ पक्ष अवकलज (L.H.D. at \( x=1 \)):
\( Lf'(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
जब \( h < 0 \), तो \( 1+h < 1 \), इसलिए \( f(1+h) = (1+h)^2+1 \).
\( Lf'(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{((1+h)^2+1) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1+2h+h^2+1-2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2+h) = 2 \)
चूंकि \( Rf'(1) \ne Lf'(1) \), फलन \( f(x) \) बिंदु \( x=1 \) पर अवकलनीय नहीं है, जो कि अंतराल \( (0, 2) \) के अंदर आता है.
इसलिए, रोले की प्रमेय का अवकलनीयता का प्रतिबन्ध इस फलन के लिए संतुष्ट नहीं होता है.
अतः, इस फलन के लिए रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है. फलन को अवकलनीय होने के लिए उसका ग्राफ चिकना होना चाहिए.
In simple words: यह फलन \( x=1 \) पर अपनी परिभाषा बदलता है. हमने देखा कि इस बिंदु पर इसके अवकलज का मान एक तरफ से अलग और दूसरी तरफ से अलग आता है, जिसका मतलब है कि यह \( x=1 \) पर अवकलनीय नहीं है. इसलिए, रोले प्रमेय यहाँ लागू नहीं होता.
(f) फलन \( f(x) = [x], x \in [-2, 2] \)
1. \( f(x) = [x] \) एक महत्तम पूर्णांक फलन है. यह फलन पूर्णांक बिंदुओं पर सतत नहीं होता है.
उदाहरण के लिए, बिंदु \( x = -1 \):
\( \lim_{x \to -1^-} [x] = -2 \)
\( \lim_{x \to -1^+} [x] = -1 \)
\( f(-1) = -1 \)
चूंकि \( \lim_{x \to -1^-} [x] \ne f(-1) \), फलन \( f(x) \) बिंदु \( x = -1 \) पर सतत नहीं है. इसी तरह, यह \( x=0, 1, 2 \) पर भी सतत नहीं है.
इसलिए, रोले की प्रमेय का सतत होने का प्रतिबन्ध इस फलन के लिए संतुष्ट नहीं होता है.
अतः, इस फलन के लिए रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है. एक सतत फलन में ग्राफ में कोई अंतराल या कूद नहीं होनी चाहिए.
In simple words: महत्तम पूर्णांक फलन \( [x] \) पूर्णांक बिंदुओं पर लगातार नहीं होता, यानी इसके ग्राफ में कूद होती है. रोले प्रमेय के लिए फलन का हर जगह सतत होना ज़रूरी है, इसलिए यह फलन रोले प्रमेय के नियमों को पूरा नहीं करता.

🎯 Exam Tip: रोले के प्रमेय को लागू करने से पहले हमेशा तीनों शर्तों (सततता, अवकलनीयता, और अंत बिंदुओं पर फलन के मानों की समानता) की सावधानीपूर्वक जाँच करें. यदि एक भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो प्रमेय लागू नहीं होगा.

Question. (a) दिया हुआ फलन \( f(x) = x + \frac{1}{x}, x \in [1, 3] \)
Answer: (यह लाग्रांज मध्यमान प्रमेय से संबंधित है, जैसा कि स्रोत में 'लाग्रांज मध्यमान प्रमेय' का उल्लेख है).
1. फलन \( f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x} \) अंतराल \( [1, 3] \) में सतत है क्योंकि यह \( x=0 \) को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत है, और \( x=0 \) दिए गए अंतराल में नहीं है.
2. \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} \). यह फलन अंतराल \( (1, 3) \) के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित और परिमित है, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( (1, 3) \) में अवकलनीय है.
चूंकि लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (1, 3) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \).
यहाँ \( a=1, b=3 \).
\( f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2 \)
\( f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3} \)
तो, \( \frac{f(3) - f(1)}{3-1} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{2} = \frac{\frac{10-6}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
अब \( f'(c) = \frac{2}{3} \)
\( 1 - \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c^2-1}{c^2} = \frac{2}{3} \)
\( 3(c^2-1) = 2c^2 \)
\( 3c^2 - 3 = 2c^2 \)
\( c^2 = 3 \)
\( c = \pm \sqrt{3} \)
क्योंकि \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) और \( -\sqrt{3} \approx -1.732 \). दिए गए अंतराल \( (1, 3) \) में केवल \( \sqrt{3} \) ही आता है.
इसलिए, \( c = \sqrt{3} \in (1, 3) \), और लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है. यह एक ऐसा बिंदु 'c' ढूंढता है जहां फलन का तात्कालिक ढलान औसत ढलान के बराबर होता है.
In simple words: फलन सतत और अवकलनीय है. लाग्रांज प्रमेय को लागू करने के लिए हमने \( c \) का मान निकाला. \( c = \sqrt{3} \) मिला, जो दिए गए अंतराल में है. इससे प्रमेय सही साबित होता है.

🎯 Exam Tip: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय के लिए भी सततता और अवकलनीयता की शर्तें महत्वपूर्ण हैं. औसत दर की गणना करते समय \( \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \) सूत्र का सही उपयोग करें.

Question. (b) दिया हुआ फलन \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-1}, x \in [0, 2] \)
Answer: (यह लाग्रांज मध्यमान प्रमेय से संबंधित है).
फलन \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \). यह फलन \( x=1 \) पर अपरिभाषित है, क्योंकि \( x=1 \) पर हर शून्य हो जाता है. चूंकि \( x=1 \) अंतराल \( [0, 2] \) के अंदर आता है, इसलिए फलन अंतराल \( [0, 2] \) में सतत नहीं है.
यदि कोई फलन अपने दिए गए अंतराल में सतत नहीं है, तो लाग्रांज मध्यमान प्रमेय लागू नहीं हो सकती है.
इसलिए, इस फलन के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय लागू नहीं होती है. सततता मध्यमान प्रमेय की एक मूल शर्त है.
In simple words: फलन \( x=1 \) पर परिभाषित नहीं है, और यह बिंदु दिए गए अंतराल के अंदर है. इसलिए, फलन पूरे अंतराल में सतत नहीं है. चूंकि लाग्रांज प्रमेय के लिए सततता आवश्यक है, यह प्रमेय यहाँ लागू नहीं होता.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक फलनों में, हमेशा हर (denominator) को देखें कि वह दिए गए अंतराल में कहीं शून्य तो नहीं हो रहा. यदि ऐसा होता है, तो फलन उस बिंदु पर असतत होगा और लाग्रांज प्रमेय लागू नहीं होगा.

Question. (c) दिया हुआ फलन \( f(x) = x^2 - 3x + 2, x \in [-2, 3] \)
Answer: (यह लाग्रांज मध्यमान प्रमेय से संबंधित है).
1. फलन \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \) एक बहुपद फलन है, इसलिए यह अंतराल \( [-2, 3] \) में सतत है.
2. \( f'(x) = 2x - 3 \). यह फलन अंतराल \( (-2, 3) \) के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित और परिमित है, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( (-2, 3) \) में अवकलनीय है.
चूंकि लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (-2, 3) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \).
यहाँ \( a=-2, b=3 \).
\( f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 \)
\( f(3) = (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \)
तो, \( \frac{f(3) - f(-2)}{3-(-2)} = \frac{2 - 12}{3+2} = \frac{-10}{5} = -2 \)
अब \( f'(c) = -2 \)
\( 2c - 3 = -2 \)
\( 2c = -2 + 3 \)
\( 2c = 1 \)
\( c = \frac{1}{2} \)
क्योंकि \( c = \frac{1}{2} \in (-2, 3) \), लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है. यह दिखाता है कि इस अंतराल में एक बिंदु ऐसा है जहाँ वक्र की तात्कालिक ढलान अंतराल के औसत ढलान के बराबर है.
In simple words: फलन बहुपद है, इसलिए यह सतत और अवकलनीय है. हमने \( c \) का मान निकाला. \( c = \frac{1}{2} \) मिला, जो दिए गए अंतराल में है. इससे प्रमेय सही साबित होता है.

🎯 Exam Tip: लाग्रांज प्रमेय में, \( c \) का मान हमेशा खुले अंतराल \( (a,b) \) के अंदर आना चाहिए, न कि सिर्फ बंद अंतराल \( [a,b] \) में.

Question. (d) दिया हुआ फलन \( f(x) = \frac{1}{4x-1}, x \in [1, 4] \)
Answer: (यह लाग्रांज मध्यमान प्रमेय से संबंधित है).
1. फलन \( f(x) = \frac{1}{4x-1} \). यह फलन तब अपरिभाषित होता है जब \( 4x-1 = 0 \), यानी \( x = \frac{1}{4} \). चूंकि \( x = \frac{1}{4} \) दिए गए अंतराल \( [1, 4] \) में नहीं है, इसलिए फलन अंतराल \( [1, 4] \) में सतत है.
2. \( f'(x) = \frac{d}{dx} (4x-1)^{-1} = -1(4x-1)^{-2} \cdot 4 = \frac{-4}{(4x-1)^2} \). यह फलन अंतराल \( (1, 4) \) में परिभाषित और परिमित है, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( (1, 4) \) में अवकलनीय है.
चूंकि लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (1, 4) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \).
यहाँ \( a=1, b=4 \).
\( f(1) = \frac{1}{4(1)-1} = \frac{1}{3} \)
\( f(4) = \frac{1}{4(4)-1} = \frac{1}{15} \)
तो, \( \frac{f(4) - f(1)}{4-1} = \frac{\frac{1}{15} - \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{1-5}{15}}{3} = \frac{-4/15}{3} = \frac{-4}{45} \)
अब \( f'(c) = \frac{-4}{45} \)
\( \frac{-4}{(4c-1)^2} = \frac{-4}{45} \)
\( (4c-1)^2 = 45 \)
\( 4c-1 = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5} \)
\( 4c = 1 \pm 3\sqrt{5} \)
\( c = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{4} \)
अब हम इन मानों की जाँच करते हैं:
\( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
\( c_1 = \frac{1 + 3(2.236)}{4} = \frac{1 + 6.708}{4} = \frac{7.708}{4} \approx 1.927 \)
\( c_2 = \frac{1 - 3(2.236)}{4} = \frac{1 - 6.708}{4} = \frac{-5.708}{4} \approx -1.427 \)
दिए गए अंतराल \( (1, 4) \) में केवल \( c_1 \approx 1.927 \) ही आता है.
इसलिए, \( c = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{4} \approx 1.92 \in (1, 4) \), और लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है. यह दिखाता है कि इस तर्कसंगत फलन के लिए भी प्रमेय वैध है.
In simple words: फलन \( x=\frac{1}{4} \) पर परिभाषित नहीं है, लेकिन यह बिंदु दिए गए अंतराल से बाहर है, इसलिए फलन सतत और अवकलनीय है. \( c \) का मान \( \frac{1+3\sqrt{5}}{4} \) आया, जो अंतराल के अंदर है. इससे लाग्रांज प्रमेय सही साबित होता है.

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{45} \) को \( 3\sqrt{5} \) के रूप में सरल करना गणनाओं को आसान बनाता है. अंत में प्राप्त \( c \) मानों को हमेशा दिए गए खुले अंतराल में जांचें.

Question. (d) दिया हुआ फलन \( f(x) = \cos 2x, x \in [0, \pi] \)
Answer: (यह रोले की प्रमेय से संबंधित है, जैसा कि स्रोत में 'रोले के प्रमेय' का उल्लेख है).
1. \( f(x) = \cos 2x \) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो अपने पूरे डोमेन में सतत होता है, इसलिए यह अंतराल \( [0, \pi] \) में भी सतत है.
2. \( f'(x) = -2 \sin 2x \). यह फलन अंतराल \( (0, \pi) \) के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित और परिमित है, इसलिए \( f(x) \) अंतराल \( (0, \pi) \) में अवकलनीय है.
3. \( f(0) = \cos(2 \cdot 0) = \cos 0 = 1 \)
\( f(\pi) = \cos(2 \cdot \pi) = \cos 2\pi = 1 \)
इस प्रकार, \( f(0) = f(\pi) = 1 \).
चूंकि रोले की प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए एक बिंदु \( c \in (0, \pi) \) का अस्तित्व है जहाँ \( f'(c) = 0 \).
\( -2 \sin 2c = 0 \)
\( \sin 2c = 0 \)
इसका मतलब है \( 2c = n\pi \) जहाँ \( n \) एक पूर्णांक है.
\( c = \frac{n\pi}{2} \)
दिए गए अंतराल \( (0, \pi) \) के लिए, \( n=1 \) लेने पर \( c = \frac{\pi}{2} \) प्राप्त होता है.
क्योंकि \( \frac{\pi}{2} \in (0, \pi) \), रोले की प्रमेय सत्यापित होती है. यह दर्शाता है कि एक त्रिकोणमितीय फलन के लिए भी रोले का प्रमेय लागू हो सकता है.
In simple words: फलन \( \cos 2x \) हमेशा सतत और अवकलनीय होता है. अंतराल के सिरों पर \( f(0) \) और \( f(\pi) \) के मान बराबर हैं. इसलिए, रोले प्रमेय लागू होता है और \( c = \frac{\pi}{2} \) पाया गया, जो अंतराल के अंदर है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के लिए, सततता और अवकलनीयता की शर्तों को याद रखें. \( \sin x \) और \( \cos x \) दोनों अपने डोमेन में सतत और अवकलनीय होते हैं. \( \cos 2\pi \) का मान \( \cos 0 \) के बराबर होता है, जो कि 1 है.