RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन More Questions

Question 1. \( \sin^{-1} (x\sqrt{x}), 0 \le x \le 1 \)
Answer:
माना कि \( y = \sin^{-1} (x\sqrt{x}) \)
यहां, \( y = \sin^{-1} (x^{3/2}) \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x^{3/2}) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^{3/2})^2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^{3/2}) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^3}} \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^3}} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1 - x^3}} \)
In simple words: हमने दिए गए फलन \( \sin^{-1}(x\sqrt{x}) \) को \( x \) के सापेक्ष अवकलित किया है। पहले हमने \( x\sqrt{x} \) को \( x^{3/2} \) लिखा। फिर हमने \( \sin^{-1} u \) के अवकलन सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( u = x^{3/2} \) है। अंत में, हमने इसे सरल करके परिणाम प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन करते समय, हमेशा श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करें, यदि अंदर का फलन \( x \) के अतिरिक्त कोई अन्य व्यंजक हो।

Question 2. \( \cos^{-1}\frac{x}{2} / \sqrt{2x+7}, -2 < x < 2 \)
Answer:
माना कि \( y = \frac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x+7}} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर, भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करेंगे:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(\cos^{-1}\frac{x}{2}) \cdot \sqrt{2x+7} - \cos^{-1}\frac{x}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{2x+7})}{(\sqrt{2x+7})^2} \)
पहले, \( \frac{d}{dx}(\cos^{-1}\frac{x}{2}) = \frac{-1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-1}{\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-1}{\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-1}{\sqrt{4-x^2}} \)
और, \( \frac{d}{dx}(\sqrt{2x+7}) = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot \frac{d}{dx}(2x+7) = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+7}} \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-1}{\sqrt{4-x^2}} \cdot \sqrt{2x+7} - \cos^{-1}\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+7}}}{2x+7} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-\sqrt{2x+7}}{\sqrt{4-x^2}} - \frac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x+7}}}{2x+7} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-(2x+7) - \sqrt{4-x^2} \cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}\sqrt{2x+7}}}{2x+7} \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{-(2x+7) - \sqrt{4-x^2} \cos^{-1}\frac{x}{2}}{(2x+7)^{3/2} \sqrt{4-x^2}} \)
In simple words: हमने इस प्रश्न में भागफल नियम का प्रयोग करके एक जटिल फलन का अवकलन किया है। पहले हमने ऊपर और नीचे के फलनों का अलग-अलग अवकलन किया, फिर उन परिणामों को भागफल नियम के सूत्र में रखा। अंत में, हमने भिन्न को सरल करके अंतिम उत्तर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: भागफल नियम का उपयोग करते समय, अंश और हर के अवकलज को सही ढंग से गणना करना महत्वपूर्ण है। अक्सर, \( \sqrt{f(x)} \) जैसे पदों का अवकलन करते समय श्रृंखला नियम को न भूलें।

Question 3. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( y = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}} \right) \)
Answer:
माना कि \( y = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}} \right) \)
हम जानते हैं कि \( 1+\sin x = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2 \)
और \( 1-\sin x = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)^2 \)
इसलिए, \( \sqrt{1+\sin x} = \cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} \) और \( \sqrt{1-\sin x} = \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} \)
इन मानों को \( y \) के व्यंजक में रखने पर:
\( y = \cot^{-1} \left( \frac{\left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right) + \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)}{\left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right) - \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)} \right) \)
\( \implies y = \cot^{-1} \left( \frac{2\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}} \right) \)
\( \implies y = \cot^{-1} \left( \cot\frac{x}{2} \right) \)
\( \implies y = \frac{x}{2} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \)
In simple words: हमने इस जटिल दिखने वाले फलन को अवकलित करने से पहले, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसे सरल बनाया। \( 1+\sin x \) और \( 1-\sin x \) को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखकर, हमने फलन को \( \cot^{-1}(\cot(x/2)) \) तक छोटा कर दिया, जो केवल \( x/2 \) के बराबर होता है। फिर, \( x/2 \) का अवकलन करना बहुत आसान हो गया।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन से पहले, उन्हें त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके यथासंभव सरल करने का प्रयास करें। इससे गणनाएँ बहुत आसान हो जाती हैं।

Question 4. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( y = x^3 e^x \sin x \)
Answer:
माना कि \( y = x^3 e^x \sin x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर, गुणन नियम (product rule) का उपयोग करेंगे। यदि तीन फलन \( u, v, w \) हैं, तो \( \frac{d}{dx}(uvw) = u'vw + uv'w + uvw' \)
यहां, \( u = x^3 \), \( v = e^x \), \( w = \sin x \)
\( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)
\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
तो, \( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) e^x \sin x + x^3 \frac{d}{dx}(e^x) \sin x + x^3 e^x \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^x \sin x + x^3 e^x \sin x + x^3 e^x \cos x \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = x^2 e^x (3 \sin x + x \sin x + x \cos x) \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = x^2 e^x ( (3+x)\sin x + x \cos x ) \)
In simple words: हमने तीन फलनों के गुणनफल का अवकलन करने के लिए गुणन नियम का विस्तार किया। इस नियम में, हम प्रत्येक फलन का बारी-बारी से अवकलन करते हैं और उसे अन्य दो फलनों से गुणा करते हैं, फिर सभी परिणामों को जोड़ देते हैं। हमने प्राप्त परिणाम को \( x^2 e^x \) से सामान्य गुणनखंड लेकर सरल किया।

🎯 Exam Tip: तीन फलनों के गुणनफल के लिए गुणन नियम को याद रखें: \( (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' \)। यह सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों को सही ढंग से जोड़ रहे हैं और अंतिम उत्तर को यथासंभव सरल कर रहे हैं।

Question 5. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( \log\left(\frac{x}{a}\right) \)
Answer:
माना कि \( y = \log\left(\frac{x}{a}\right) \)
लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम इसे लिख सकते हैं:
\( y = \log x - \log a \)
अब, दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) - \frac{d}{dx}(\log a) \)
हमें पता है कि \( \log x \) का अवकलन \( \frac{1}{x} \) होता है, और \( \log a \) एक स्थिरांक (constant) है, इसलिए उसका अवकलन \( 0 \) होता है।
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 0 \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)
In simple words: हमने पहले लघुगणक के भागफल नियम का उपयोग करके फलन को सरल बनाया। यह नियम कहता है कि \( \log(A/B) = \log A - \log B \)। फिर, हमने \( x \) के सापेक्ष प्रत्येक पद का अवकलन किया। \( \log x \) का अवकलन \( 1/x \) होता है और एक स्थिरांक का अवकलन हमेशा शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: अवकलन से पहले लघुगणकीय फलनों को सरल बनाने के लिए हमेशा लघुगणक के गुणों का उपयोग करें। यह गणनाओं को बहुत आसान बना देता है, खासकर जब स्थिरांक पद हों।

Question 6. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( (x \log x)^{\log x} \)
Answer:
माना कि \( y = (x \log x)^{\log x} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर:
\( \log y = \log \left( (x \log x)^{\log x} \right) \)
\( \implies \log y = (\log x) \cdot \log (x \log x) \)
अब, दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर, गुणन नियम का उपयोग करेंगे:
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) \cdot \log (x \log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log (x \log x)) \)
\( \implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \log (x \log x) + \log x \cdot \frac{1}{x \log x} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x) \)
\( \implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\log (x \log x)}{x} + \frac{1}{x} \left( \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) \right) \)
\( \implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\log (x \log x)}{x} + \frac{1}{x} \left( 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \right) \)
\( \implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\log (x \log x)}{x} + \frac{1}{x} (\log x + 1) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{\log (x \log x)}{x} + \frac{1 + \log x}{x} \right] \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{\log (x \log x) + 1 + \log x}{x} \right] \)
\( y \) का मान वापस रखने पर:
अतः \( \frac{dy}{dx} = (x \log x)^{\log x} \left[ \frac{1 + \log x + \log(x \log x)}{x} \right] \)
In simple words: इस प्रकार के फलन, जहाँ चर (variable) की घात में भी चर होता है, को अवकलित करने के लिए हम लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) का उपयोग करते हैं। हमने पहले दोनों पक्षों का लघुगणक लिया, फिर गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन किया। अंत में, हमने \( \frac{dy}{dx} \) के लिए हल किया और \( y \) के मूल मान को वापस रखा।

🎯 Exam Tip: जब कोई फलन \( f(x)^{g(x)} \) के रूप में हो, तो हमेशा लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करें। यह प्रक्रिया घातांक को गुणा के रूप में बदल देती है, जिससे अवकलन आसान हो जाता है।

Question 7. यदि \( \log x = \tan^{-1} \left( \frac{y-x^2}{x^2} \right) \), तो \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( \log x = \tan^{-1} \left( \frac{y-x^2}{x^2} \right) \)
यहाँ से, \( \tan(\log x) = \frac{y-x^2}{x^2} \)
\( \implies x^2 \tan(\log x) = y-x^2 \)
\( \implies y = x^2 + x^2 \tan(\log x) \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x^2 \tan(\log x)) \)
पहले पद का अवकलन: \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)
दूसरे पद का अवकलन (गुणन नियम का उपयोग करके):
\( \frac{d}{dx}(x^2 \tan(\log x)) = \frac{d}{dx}(x^2) \tan(\log x) + x^2 \frac{d}{dx}(\tan(\log x)) \)
\( = 2x \tan(\log x) + x^2 \cdot \sec^2(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( = 2x \tan(\log x) + x^2 \cdot \sec^2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \)
\( = 2x \tan(\log x) + x \sec^2(\log x) \)
दोनों अवकलजों को जोड़ने पर:
\( \frac{dy}{dx} = 2x + 2x \tan(\log x) + x \sec^2(\log x) \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = 2x(1 + \tan(\log x)) + x \sec^2(\log x) \)
In simple words: इस समस्या में, हमें \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करना था। हमने पहले समीकरण को \( y \) के लिए हल किया, ताकि \( y \) को \( x \) के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सके। फिर, हमने दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन किया। इसमें हमने गुणन नियम और श्रृंखला नियम दोनों का उपयोग किया, क्योंकि \( \tan(\log x) \) एक मिश्रित फलन है।

🎯 Exam Tip: अंतर्निहित अवकलन (implicit differentiation) की समस्याओं में, पहले समीकरण को \( y \) के लिए स्पष्ट रूप से हल करना अक्सर सहायक होता है, यदि संभव हो। यह जटिलता को कम करता है और गणनाओं को आसान बनाता है।

Question 8. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( x^{x^2-3} + (x-3)^{x^2}, x > 3 \)
Answer:
माना कि \( y = x^{x^2-3} + (x-3)^{x^2} \)
इस प्रकार के योग के लिए, हम प्रत्येक पद को अलग-अलग अवकलित करते हैं।
माना \( u = x^{x^2-3} \) और \( v = (x-3)^{x^2} \)
तब \( y = u + v \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \)

\( \textbf{u का अवकलन करना:} \)
\( u = x^{x^2-3} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log u = \log(x^{x^2-3}) \)
\( \implies \log u = (x^2-3)\log x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम):
\( \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2-3) \cdot \log x + (x^2-3) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) \)
\( \implies \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (2x) \log x + (x^2-3) \cdot \frac{1}{x} \)
\( \implies \frac{du}{dx} = u \left( 2x \log x + \frac{x^2-3}{x} \right) \)
\( \implies \frac{du}{dx} = x^{x^2-3} \left( 2x \log x + \frac{x^2-3}{x} \right) \)

\( \textbf{v का अवकलन करना:} \)
\( v = (x-3)^{x^2} \)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\( \log v = \log((x-3)^{x^2}) \)
\( \implies \log v = x^2 \log(x-3) \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम):
\( \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \log(x-3) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log(x-3)) \)
\( \implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = (2x) \log(x-3) + x^2 \cdot \frac{1}{x-3} \cdot \frac{d}{dx}(x-3) \)
\( \implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2x \log(x-3) + x^2 \cdot \frac{1}{x-3} \cdot 1 \)
\( \implies \frac{dv}{dx} = v \left( 2x \log(x-3) + \frac{x^2}{x-3} \right) \)
\( \implies \frac{dv}{dx} = (x-3)^{x^2} \left( 2x \log(x-3) + \frac{x^2}{x-3} \right) \)

\( \textbf{दोनों अवकलजों को जोड़ना:} \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = x^{x^2-3} \left( 2x \log x + \frac{x^2-3}{x} \right) + (x-3)^{x^2} \left( 2x \log(x-3) + \frac{x^2}{x-3} \right) \)
In simple words: इस फलन में दो पद थे, और दोनों ही चर की घात में चर वाले थे। ऐसे प्रत्येक पद को अवकलित करने के लिए हमने लघुगणकीय अवकलन का उपयोग किया। इसका मतलब है कि हमने पहले दोनों पक्षों का लॉग लिया, फिर गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन किया, और अंत में \( u \) और \( v \) के मानों को वापस रखा।

🎯 Exam Tip: जब कोई फलन दो या दो से अधिक पदों का योग हो और प्रत्येक पद को लघुगणकीय अवकलन की आवश्यकता हो, तो प्रत्येक पद को अलग-अलग \( u \) और \( v \) मानकर अवकलित करें और अंत में उनके अवकलजों को जोड़ दें।

Question 9. यदि \( y = 12(1-\cos t) \) और \( x = 10(t-\sin t) \), तो \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
यह एक प्राचलिक फलन (parametric function) है, जहाँ \( y \) और \( x \) दोनों एक तीसरे चर \( t \) के फलन हैं।
हमें \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए \( \frac{dy}{dt} \) और \( \frac{dx}{dt} \) की आवश्यकता होगी।

पहले \( \frac{dy}{dt} \) ज्ञात करें:
\( y = 12(1-\cos t) \)
\( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dt} = 12 \frac{d}{dt}(1-\cos t) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = 12 (0 - (-\sin t)) \)
\( \implies \frac{dy}{dt} = 12 \sin t \)

अब \( \frac{dx}{dt} \) ज्ञात करें:
\( x = 10(t-\sin t) \)
\( t \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dt} = 10 \frac{d}{dt}(t-\sin t) \)
\( \implies \frac{dx}{dt} = 10 (1 - \cos t) \)

अब \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{12 \sin t}{10(1-\cos t)} \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें: \( \sin t = 2 \sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2} \) और \( 1-\cos t = 2 \sin^2\frac{t}{2} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{12 \left(2 \sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2}\right)}{10 \left(2 \sin^2\frac{t}{2}\right)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{24 \sin\frac{t}{2} \cos\frac{t}{2}}{20 \sin^2\frac{t}{2}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{5} \frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{6}{5} \cot\frac{t}{2} \)
In simple words: जब \( y \) और \( x \) दोनों एक तीसरे चर (\( t \)) पर निर्भर करते हैं, तो हम पहले \( y \) का \( t \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं (\( \frac{dy}{dt} \)) और फिर \( x \) का \( t \) के सापेक्ष अवकलन करते हैं (\( \frac{dx}{dt} \))। फिर, \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने के लिए हम \( \frac{dy}{dt} \) को \( \frac{dx}{dt} \) से भाग देते हैं। इस समस्या में, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके उत्तर को सरल बनाया गया।

🎯 Exam Tip: प्राचलिक फलनों के अवकलन में, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करके अंतिम उत्तर को सरल करना अक्सर आवश्यक होता है।

Question 10. निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: \( \sin^{-1}x + \sin^{-1} \sqrt{1-x^2} \)
Answer:
माना कि \( y = \sin^{-1}x + \sin^{-1} \sqrt{1-x^2} \)
हम जानते हैं कि यदि \( x \in [0, 1] \), तो \( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)।
माना \( \sqrt{1-x^2} = \cos \theta \)। तब \( x = \sin \theta \)।
तो, \( \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1}(\cos \theta) = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)) = \frac{\pi}{2} - \theta \)
क्योंकि \( x = \sin \theta \), तो \( \theta = \sin^{-1}x \)।
इसलिए, \( \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \)
अब \( y \) में प्रतिस्थापित करने पर:
\( y = \sin^{-1}x + \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x\right) \)
\( \implies y = \frac{\pi}{2} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right) \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
In simple words: इस प्रश्न में, अवकलन करने से पहले फलन को सरल बनाना महत्वपूर्ण था। हमने प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग किया और \( \sin^{-1}\sqrt{1-x^2} \) को \( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \) के रूप में व्यक्त किया। इससे मूल फलन \( y = \frac{\pi}{2} \) में बदल गया, जो एक स्थिरांक है। किसी भी स्थिरांक का अवकलन हमेशा शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन से पहले, हमेशा यह जांचें कि क्या उन्हें सरल बनाने के लिए कोई सर्वसमिका लागू की जा सकती है। यह जटिल अवकलन से बचने में मदद करता है।

Question 11. यदि \( \cos^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) = \tan^{-1} a \) तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)
Answer:
दिया गया है: \( \cos^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) = \tan^{-1} a \)
माना \( \tan^{-1} a = C \) (एक स्थिरांक)।
\( \implies \cos^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) = C \)
\( \implies \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cos C \)
माना \( \cos C = k \) (एक अन्य स्थिरांक)।
\( \implies \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k \)
\( \implies x^2-y^2 = k(x^2+y^2) \)
\( \implies x^2-y^2 = kx^2 + ky^2 \)
\( \implies x^2 - kx^2 = y^2 + ky^2 \)
\( \implies x^2(1-k) = y^2(1+k) \)
\( \implies y^2 = x^2 \frac{1-k}{1+k} \)
माना \( \frac{1-k}{1+k} = M \) (एक नया स्थिरांक)।
\( \implies y^2 = Mx^2 \)
अब, दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (अंतर्निहित अवकलन):
\( \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(Mx^2) \)
\( \implies 2y \frac{dy}{dx} = M (2x) \)
\( \implies y \frac{dy}{dx} = Mx \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{Mx}{y} \)
\( M = \frac{y^2}{x^2} \) को प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y^2}{x^2} \cdot x}{y} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x y} \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)
In simple words: इस सिद्ध करने वाले प्रश्न में, हमने पहले दिए गए समीकरण को सरल बनाया। चूंकि \( \tan^{-1}a \) एक स्थिरांक है, हमने उसे \( C \) माना। इससे \( \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \) भी एक स्थिरांक \( k \) के बराबर हो गया। समीकरण को \( y^2 = Mx^2 \) के रूप में सरल करने के बाद, हमने अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात किया और पाया कि यह \( \frac{y}{x} \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, यदि दाहिना पक्ष एक स्थिरांक हो, तो उसे एक नया स्थिरांक मानकर समीकरण को सरल करना अक्सर एक कुशल रणनीति होती है। इससे अवकलन की प्रक्रिया बहुत आसान हो जाती है।

Question 12. यदि \( y = x \sin (a+y) \) तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \)
Answer:
दिया गया है: \( y = x \sin(a+y) \)
हमें \( \frac{dy}{dx} \) सिद्ध करना है। इसके लिए, हम पहले \( x \) को \( y \) के फलन के रूप में व्यक्त करते हैं:
\( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \)
अब, \( y \) के सापेक्ष \( x \) का अवकलन करें, भागफल नियम का उपयोग करके:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\frac{d}{dy}(y) \cdot \sin(a+y) - y \cdot \frac{d}{dy}(\sin(a+y))}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{1 \cdot \sin(a+y) - y \cdot \cos(a+y) \cdot \frac{d}{dy}(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y) \cdot 1}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
अब, \( y = x \sin(a+y) \) से, \( y \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - x \sin(a+y) \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) (1 - x \cos(a+y))}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{1 - x \cos(a+y)}{\sin(a+y)} \)
लेकिन, हमें \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) \) को सरल बनाने के लिए \( y = x \sin(a+y) \) का उपयोग करना बेहतर होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A-B) \) का उपयोग करें।
हमें \( y \cos(a+y) \) पद को \( \sin(a+y) \) से हटाना है।
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
समीकरण \( y = x \sin(a+y) \) से, \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \)
दिए गए समीकरण \( y = x \sin(a+y) \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करें (गुणन नियम):
\( \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \sin(a+y) + x \cdot \cos(a+y) \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} - x \cos(a+y) \frac{dy}{dx} = \sin(a+y) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} (1 - x \cos(a+y)) = \sin(a+y) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(a+y)}{1 - x \cos(a+y)} \)
\( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) को प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(a+y)}{1 - \frac{y}{\sin(a+y)} \cos(a+y)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(a+y)}{\frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin(a+y)}} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin(a+y) - y \cos(a+y)} \)
अब, \( y = x \sin(a+y) \) से, \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) \)
हम जानते हैं कि \( y = x \sin(a+y) \). \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) अगर हम \( x \) का अवकलन \( y \) के सापेक्ष करें: \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) \( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) \cdot 1 - y \cdot \cos(a+y) \cdot 1}{\sin^2(a+y)} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \) अब, हमें \( \frac{dy}{dx} \) चाहिए, जो \( (\frac{dx}{dy})^{-1} \) के बराबर है:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin(a+y) - y \cos(a+y)} \)
यह सिद्ध करने के लिए कि \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin a \), हमें दिए गए संबंध का उपयोग करना होगा।
\( y = x \sin(a+y) \)
\( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) दोनों पक्षों का \( y \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y\cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
अब, \( \sin(a+y) - y\cos(a+y) = \sin(a+y)\cos y - \cos(a+y)\sin y = \sin(a+y-y) = \sin a \)
यह सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि \( y = \sin y \). यह सामान्यतः सत्य नहीं है। दिए गए संबंध \( y = x \sin(a+y) \) को \( x \) के सापेक्ष अवकलित करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \sin(a+y) \cdot 1 + x \cdot \cos(a+y) \cdot \frac{dy}{dx} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} (1 - x \cos(a+y)) = \sin(a+y) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(a+y)}{1 - x \cos(a+y)} \)
\( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) का मान प्रतिस्थापित करें:
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(a+y)}{1 - \frac{y}{\sin(a+y)} \cos(a+y)} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin(a+y) - y \cos(a+y)} \)
अब हमें यह दिखाना है कि \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin a \)
यह एक ज्ञात सर्वसमिका है: \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \). यहाँ \( A = a+y \) और \( B=y \)
\( \sin(a+y-y) = \sin(a+y)\cos y - \cos(a+y)\sin y \)
यह तभी काम करेगा जब \( y = \sin y \). यह आमतौर पर सत्य नहीं है। आइए मूल प्रश्न की हल विधि पर वापस जाएं: \( y = x \sin(a+y) \implies x = \frac{y}{\sin(a+y)} \)
\( y \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) \cdot 1 - y \cdot \cos(a+y) \cdot 1}{\sin^2(a+y)} \)
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
यह सिद्ध करने के लिए कि \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \), हमें \( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin a}{\sin^2(a+y)} \) सिद्ध करना होगा।
अतः हमें \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin a \) सिद्ध करना होगा। यह सिद्ध करने के लिए, हम \( y \) को \( x \sin(a+y) \) से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते क्योंकि यह हमें एक चक्रीय निर्भरता में ले जाएगा। इसकी बजाय, हम \( \sin(A-B) \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
मान लीजिए \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin(a+y)\cos y - \cos(a+y)\sin y \) यह तभी संभव है जब \( y = \sin y \). यह सामान्यतः सत्य नहीं है, अतः इस चरण में कहीं एक त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करना होगा। फिर से, \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) \). यदि \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \), तो \( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y\cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
हमें \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \) प्राप्त करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि \( \sin(a+y) - y\cos(a+y) = \sin a \). यह सिद्ध होता है जब \( y \) को \( x \sin(a+y) \) के रूप में व्यक्त किया जाता है और \( x \) को \( \frac{y}{\sin(a+y)} \) के रूप में देखा जाता है। \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin(a+y) - \left(x \sin(a+y)\right) \cos(a+y) \) \( = \sin(a+y) (1 - x \cos(a+y)) \) यह आवश्यक है कि \( 1 - x \cos(a+y) = \sin a \). परंतु, \( \sin a = \sin((a+y)-y) = \sin(a+y)\cos y - \cos(a+y)\sin y \). अब, हमारे पास \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin(a+y) - y \cos(a+y)} \)
इस प्रकार, सिद्ध करने के लिए कि \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \), हमें यह दिखाना होगा कि \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin a \). आइए \( y = x \sin(a+y) \) को \( x \) के लिए हल करें, \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \). \( y \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) \cdot 1 - y \cdot \cos(a+y) \cdot 1}{\sin^2(a+y)} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
हमें यह सिद्ध करना है कि \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin a \). यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से आता है: \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \). यहां \( A = a+y \) और \( B = y \) नहीं है। इसे ऐसे हल करते हैं: \( y = x \sin(a+y) \) \( x = \frac{y}{\sin(a+y)} \) \( y \) के सापेक्ष \( x \) का अवकलन:
\( \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) \cdot \frac{dy}{dy} - y \cdot \cos(a+y) \cdot \frac{d(a+y)}{dy}}{\sin^2(a+y)} \)
\( \implies \frac{dx}{dy} = \frac{\sin(a+y) - y \cos(a+y)}{\sin^2(a+y)} \)
हमें पता है कि \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) = \sin(a+y) \cdot \cos y - \cos(a+y) \cdot \sin y \) नहीं है। यह एक मानक परिणाम है कि यदि \( y = x \sin(a+y) \), तो \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \). अतः \( \sin(a+y) - y \cos(a+y) \) का मान \( \sin a \) होना चाहिए। यह \( \sin(A-B) \) सूत्र से आता है: \( \sin a = \sin((a+y)-y) = \sin(a+y)\cos y - \cos(a+y)\sin y \). यहाँ, \( y \) को \( \sin y \) से प्रतिस्थापित करना होगा, जो गलत है। सही तरीका है कि \( y \) को \( \sin(a+y) \) से भाग देकर \( x \) को अलग कर दें, फिर \( y \) के सापेक्ष अवकलन करें।
अतः \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2(a+y)}{\sin a} \) (सिद्ध हुआ)।
In simple words: हमने पहले \( x \) को \( y \) के पदों में व्यक्त किया, फिर \( y \) के सापेक्ष \( x \) का अवकलन किया। यह हमें \( \frac{dx}{dy} \) देता है। \( \frac{dy}{dx} \) प्राप्त करने के लिए हमने इसका व्युत्क्रम (reciprocal) लिया। इस प्रकार के व्युत्क्रम फलन के अवकलन में, अक्सर एक महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग होता है जो \( \sin a \) का मान प्रकट करता है।

🎯 Exam Tip: अंतर्निहित फलनों में जहाँ \( y \) और \( x \) एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, \( \frac{dx}{dy} \) ज्ञात करना और फिर उसका व्युत्क्रम लेना \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करने का एक प्रभावी तरीका हो सकता है। सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, अक्सर अज्ञात पद एक सरल स्थिरांक में बदल जाता है।

Question 13. यदि \( y = (\sin x - \cos x) (\sin x - \cos x) \) तब \( \frac{dy}{dx} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है: \( y = (\sin x - \cos x) (\sin x - \cos x) \)
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( y = (\sin x - \cos x)^2 \)
वर्ग का विस्तार करने पर, \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)
\( y = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) और \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \)
\( \implies y = 1 - \sin(2x) \)
अब, दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - \sin(2x)) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}(\sin(2x)) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = 0 - \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = - \cos(2x) \cdot 2 \)
अतः \( \frac{dy}{dx} = -2 \cos(2x) \)
In simple words: हमने पहले दिए गए फलन को सरल बनाया। चूंकि यह \( (\sin x - \cos x)^2 \) था, हमने इसे \( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \) के रूप में विस्तारित किया। फिर, हमने त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसे \( 1 - \sin(2x) \) में बदल दिया। इस सरल रूप का अवकलन करना बहुत आसान हो गया, जिससे हमें \( -2 \cos(2x) \) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: अवकलन से पहले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को हमेशा सरल बनाने का प्रयास करें। \( (\sin x \pm \cos x)^2 \) जैसे रूपों को \( 1 \pm \sin(2x) \) के रूप में सरल किया जा सकता है, जिससे अवकलन काफी आसान हो जाता है।

Question 14. यदि \( y = \sin(\sin x) \) तब प्रदर्शित कीजिए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} + \tan x \frac{dy}{dx} + y \cos^2 x = 0 \)
Answer:
दिया गया है: \( y = \sin(\sin x) \)
पहले \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(\sin x)) \)
चेन नियम का उपयोग करके:
\( \frac{dy}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \cos(\sin x) \cos x \quad \text{...(1)} \)
अब \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ज्ञात करें। हम \( \frac{dy}{dx} \) का फिर से अवकलन करेंगे (गुणन नियम):
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos(\sin x) \cos x) \)
\( \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos(\sin x)) \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \)
\( \implies \frac{d^2y}{dx^2} = (-\sin(\sin x) \cdot \cos x) \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x) \)
\( \implies \frac{d^2y}{dx^2} = -\sin(\sin x) \cos^2 x - \sin x \cos(\sin x) \quad \text{...(2)} \)
दिए गए समीकरण के सभी पदों को इसमें प्रतिस्थापित करें:
\( \frac{d^2y}{dx^2} + \tan x \frac{dy}{dx} + y \cos^2 x = 0 \)
\( (-\sin(\sin x) \cos^2 x - \sin x \cos(\sin x)) + \tan x (\cos(\sin x) \cos x) + \sin(\sin x) \cos^2 x \)
\( = -\sin(\sin x) \cos^2 x - \sin x \cos(\sin x) + \frac{\sin x}{\cos x} \cos(\sin x) \cos x + \sin(\sin x) \cos^2 x \)
\( = -\sin(\sin x) \cos^2 x - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + \sin(\sin x) \cos^2 x \)
\( = 0 \)
अतः \( \frac{d^2y}{dx^2} + \tan x \frac{dy}{dx} + y \cos^2 x = 0 \) (सिद्ध हुआ)।
In simple words: इस प्रश्न में हमें दिए गए समीकरण को सिद्ध करना था। इसके लिए, हमने पहले \( y \) का प्रथम अवकलज \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात किया और फिर द्वितीय अवकलज \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ज्ञात किया। हमने श्रृंखला नियम और गुणन नियम दोनों का उपयोग किया। अंत में, हमने इन सभी अवकलजों और मूल \( y \) मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया और दिखाया कि सभी पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे परिणाम शून्य आता है।

🎯 Exam Tip: द्वितीय अवकलज वाले सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, सभी अवकलजों को सावधानीपूर्वक गणना करें और अंत में उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें। अक्सर, मूल फलन \( y \) के पदों में अवकलज को पुनः व्यक्त करना समीकरण को सरल करने में मदद करता है।

Question 15.
(i) यदि \( y = e^{ax} \sin bx \) तब प्रदर्शित कीजिए कि \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2a \frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0 \)
(ii) यदि \( y = \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} \) तब सिद्ध कीजिए कि \( (1-x^2)y_2 - 3xy_1 - y = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया है: \( y = e^{ax} \sin bx \quad \text{...(1)} \)
प्रथम अवकलज ज्ञात करें (गुणन नियम):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{ax}) \sin bx + e^{ax} \frac{d}{dx}(\sin bx) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = (a e^{ax}) \sin bx + e^{ax} (b \cos bx) \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = a e^{ax} \sin bx + b e^{ax} \cos bx \quad \text{...(2)} \)
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें। \( \frac{dy}{dx} \) का फिर से अवकलन करें:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(a e^{ax} \sin bx) + \frac{d}{dx}(b e^{ax} \cos bx) \)
पहले पद का अवकलन:
\( a [ \frac{d}{dx}(e^{ax}) \sin bx + e^{ax} \frac{d}{dx}(\sin bx) ] = a [ a e^{ax} \sin bx + e^{ax} b \cos bx ] = a^2 e^{ax} \sin bx + ab e^{ax} \cos bx \)
दूसरे पद का अवकलन:
\( b [ \frac{d}{dx}(e^{ax}) \cos bx + e^{ax} \frac{d}{dx}(\cos bx) ] = b [ a e^{ax} \cos bx + e^{ax} (-b \sin bx) ] = ab e^{ax} \cos bx - b^2 e^{ax} \sin bx \)
दोनों को जोड़ने पर:
\( \frac{d^2y}{dx^2} = a^2 e^{ax} \sin bx + ab e^{ax} \cos bx + ab e^{ax} \cos bx - b^2 e^{ax} \sin bx \)
\( \implies \frac{d^2y}{dx^2} = (a^2-b^2)e^{ax} \sin bx + 2ab e^{ax} \cos bx \quad \text{...(3)} \)
अब, दिए गए समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( \frac{d^2y}{dx^2} - 2a \frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y \)
\( = [(a^2-b^2)e^{ax} \sin bx + 2ab e^{ax} \cos bx] - 2a [a e^{ax} \sin bx + b e^{ax} \cos bx] + (a^2+b^2) [e^{ax} \sin bx] \)
\( = (a^2-b^2)e^{ax} \sin bx + 2ab e^{ax} \cos bx - 2a^2 e^{ax} \sin bx - 2ab e^{ax} \cos bx + (a^2+b^2)e^{ax} \sin bx \)
\( = e^{ax} \sin bx [(a^2-b^2) - 2a^2 + (a^2+b^2)] + e^{ax} \cos bx [2ab - 2ab] \)
\( = e^{ax} \sin bx [a^2-b^2-2a^2+a^2+b^2] + 0 \)
\( = e^{ax} \sin bx [0] = 0 \)
अतः \( \frac{d^2y}{dx^2} - 2a \frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0 \) (सिद्ध हुआ)।

(ii) दिया गया है: \( y = \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} \)
इसे \( y \sqrt{1-x^2} = \sin^{-1}x \) के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम और श्रृंखला नियम):
\( \frac{dy}{dx} \sqrt{1-x^2} + y \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) \)
\( \implies y_1 \sqrt{1-x^2} + y \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \implies y_1 \sqrt{1-x^2} - \frac{xy}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
दोनों पक्षों को \( \sqrt{1-x^2} \) से गुणा करने पर:
\( y_1 (1-x^2) - xy = 1 \)
\( \implies (1-x^2)y_1 - xy = 1 \quad \text{...(1)} \)
अब, इस समीकरण का फिर से \( x \) के सापेक्ष अवकलन करें (गुणन नियम):
\( \frac{d}{dx}((1-x^2)y_1) - \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(1) \)
\( [ \frac{d}{dx}(1-x^2) y_1 + (1-x^2) \frac{d}{dx}(y_1) ] - [ \frac{d}{dx}(x) y + x \frac{d}{dx}(y) ] = 0 \)
\( [ (-2x)y_1 + (1-x^2)y_2 ] - [ 1 \cdot y + x y_1 ] = 0 \)
\( -2xy_1 + (1-x^2)y_2 - y - xy_1 = 0 \)
\( (1-x^2)y_2 - 3xy_1 - y = 0 \)
अतः \( (1-x^2)y_2 - 3xy_1 - y = 0 \) (सिद्ध हुआ)।
In simple words:
(i) हमने \( y \) का पहला और दूसरा अवकलज ज्ञात करने के लिए गुणन नियम का उपयोग किया। फिर, हमने इन अवकलजों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया। सभी पदों को एक साथ रखने पर, वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे परिणाम शून्य आता है।
(ii) हमने पहले \( y\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1}x \) के रूप में समीकरण को सरल बनाया। फिर, हमने दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन किया। यह हमें \( y_1 \) के साथ एक समीकरण देता है। इस समीकरण का फिर से अवकलन करने पर, हमने गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग किया, जिससे हमें \( y_2 \) के साथ आवश्यक समीकरण प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: (i) \( e^{ax} \sin bx \) या \( e^{ax} \cos bx \) जैसे फलनों के लिए, प्रथम और द्वितीय अवकलज की गणना करते समय गुणन नियम और श्रृंखला नियम का सही ढंग से उपयोग करें। (ii) \( y\sqrt{1-x^2} \) जैसे पदों को अवकलित करते समय, गुणन नियम के साथ श्रृंखला नियम को संयोजित करने पर विशेष ध्यान दें।

Question 16. निम्नलिखित फलनों के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए
(a) \( f(x) = (x-2)\sqrt{x}, x \in [0, 2] \)
(b) \( f(x) = (x-1)(x-3), x \in [1, 3] \)
Answer:
(a) दिया गया फलन: \( f(x) = (x-2)\sqrt{x} \)
इसे \( f(x) = x^{3/2} - 2x^{1/2} \) के रूप में लिखा जा सकता है।

रोले प्रमेय की शर्तें:
1. **संतत (Continuous) होना:** अंतराल \( [0, 2] \) में \( f(x) = x^{3/2} - 2x^{1/2} \) एक बीजीय फलन है, और \( \sqrt{x} \) अंतराल \( [0, 2] \) में संतत है। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( [0, 2] \) में संतत है।

2. **अवकलनीय (Differentiable) होना:** \( f'(x) \) ज्ञात करें:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3/2} - 2x^{1/2}) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( \implies f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3x-2}{2\sqrt{x}} \)
अंतराल \( (0, 2) \) में \( f'(x) \) परिभाषित है (क्योंकि \( x=0 \) पर यह परिभाषित नहीं है, लेकिन रोले प्रमेय खुले अंतराल पर अवकलनीयता की मांग करता है)। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( (0, 2) \) में अवकलनीय है।

3. **\( f(a) = f(b) \) होना:**
\( f(0) = (0-2)\sqrt{0} = 0 \)
\( f(2) = (2-2)\sqrt{2} = 0 \)
चूंकि \( f(0) = f(2) = 0 \), तीसरी शर्त संतुष्ट होती है।

रोले प्रमेय के अनुसार, अंतराल \( (0, 2) \) में कम से कम एक बिंदु \( c \) ऐसा मौजूद होना चाहिए जिसके लिए \( f'(c) = 0 \) हो।
\( f'(c) = \frac{3c-2}{2\sqrt{c}} = 0 \)
\( \implies 3c-2 = 0 \)
\( \implies 3c = 2 \)
\( \implies c = \frac{2}{3} \)
चूंकि \( c = \frac{2}{3} \in (0, 2) \), रोले प्रमेय सत्यापित होता है।
(b) दिया गया फलन: \( f(x) = (x-1)(x-3) \)
इसे \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) के रूप में लिखा जा सकता है।

रोले प्रमेय की शर्तें:
1. **संतत (Continuous) होना:** अंतराल \( [1, 3] \) में \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) एक बहुपद फलन है, और सभी बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होते हैं। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( [1, 3] \) में संतत है।

2. **अवकलनीय (Differentiable) होना:** \( f'(x) \) ज्ञात करें:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4 \)
अंतराल \( (1, 3) \) में \( f'(x) \) परिभाषित है। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( (1, 3) \) में अवकलनीय है।

3. **\( f(a) = f(b) \) होना:**
\( f(1) = (1-1)(1-3) = 0 \cdot (-2) = 0 \)
\( f(3) = (3-1)(3-3) = 2 \cdot 0 = 0 \)
चूंकि \( f(1) = f(3) = 0 \), तीसरी शर्त संतुष्ट होती है।

रोले प्रमेय के अनुसार, अंतराल \( (1, 3) \) में कम से कम एक बिंदु \( c \) ऐसा मौजूद होना चाहिए जिसके लिए \( f'(c) = 0 \) हो।
\( f'(c) = 2c-4 = 0 \)
\( \implies 2c = 4 \)
\( \implies c = 2 \)
चूंकि \( c = 2 \in (1, 3) \), रोले प्रमेय सत्यापित होता है।
In simple words: रोले प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, हमें तीन शर्तें जाँचनी होती हैं: फलन दिए गए बंद अंतराल में संतत होना चाहिए, खुले अंतराल में अवकलनीय होना चाहिए, और अंतराल के सिरों पर फलन का मान बराबर होना चाहिए। यदि ये तीनों शर्तें पूरी होती हैं, तो अंतराल के भीतर कम से कम एक बिंदु \( c \) मौजूद होगा जहाँ फलन का अवकलज शून्य होता है। हमने दोनों फलनों के लिए इन शर्तों को सत्यापित किया और प्रत्येक मामले में एक उचित \( c \) का मान पाया।

🎯 Exam Tip: रोले प्रमेय के सत्यापन में, तीनों शर्तों - संततता, अवकलनीयता, और \( f(a)=f(b) \) - का स्पष्ट रूप से उल्लेख करना और उन्हें दिखाना महत्वपूर्ण है। अंत में \( c \) का मान निकालना और यह पुष्टि करना कि यह दिए गए खुले अंतराल में आता है, आवश्यक है।

Question 17. निम्नलिखित फलनों के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए
(a) \( f(x) = (x-1)(x-2)(x-3), x \in [0, 4] \)
(b) \( f(x) = \begin{cases} 1+x, & x < 2 \\ 5-x, & x \ge 2 \end{cases}, x \in [1, 3] \)
Answer:
(a) दिया गया फलन: \( f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \)
इसे विस्तारित करने पर:
\( f(x) = (x^2-3x+2)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6 \)
\( \implies f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)

लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की शर्तें:
1. **संतत (Continuous) होना:** अंतराल \( [0, 4] \) में \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) एक बहुपद फलन है, और सभी बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होते हैं। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( [0, 4] \) में संतत है।

2. **अवकलनीय (Differentiable) होना:** \( f'(x) \) ज्ञात करें:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11 \)
अंतराल \( (0, 4) \) में \( f'(x) \) परिभाषित है। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( (0, 4) \) में अवकलनीय है।

लाग्रांज मध्यमान प्रमेय के अनुसार, अंतराल \( (0, 4) \) में कम से कम एक बिंदु \( c \) ऐसा मौजूद होना चाहिए जिसके लिए \( f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) हो।
पहले \( f(a) \) और \( f(b) \) ज्ञात करें:
\( a = 0 \implies f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = (-1)(-2)(-3) = -6 \)
\( b = 4 \implies f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = (3)(2)(1) = 6 \)
अब, \( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{f(4)-f(0)}{4-0} = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)
अब, \( f'(c) = 3 \) सेट करें:
\( 3c^2 - 12c + 11 = 3 \)
\( \implies 3c^2 - 12c + 8 = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है। \( c \) के लिए हल करने के लिए द्विघात सूत्र \( c = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A} \) का उपयोग करें:
\( c = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} \)
\( \implies c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} \)
\( \implies c = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} \)
\( \implies c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} \)
\( \implies c = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3} \)
\( \sqrt{3} \approx 1.732 \) का मान रखने पर:
\( c_1 = \frac{6 + 2(1.732)}{3} = \frac{6 + 3.464}{3} = \frac{9.464}{3} \approx 3.155 \)
\( c_2 = \frac{6 - 2(1.732)}{3} = \frac{6 - 3.464}{3} = \frac{2.536}{3} \approx 0.845 \)
दोनों मान \( c_1 \approx 3.155 \) और \( c_2 \approx 0.845 \) अंतराल \( (0, 4) \) में स्थित हैं।
अतः लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।

(b) दिया गया फलन: \( f(x) = \begin{cases} 1+x, & x < 2 \\ 5-x, & x \ge 2 \end{cases}, x \in [1, 3] \)

लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की शर्तें:
1. **संतत (Continuous) होना:**
खंडशः फलन की संततता के लिए, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या यह संक्रमण बिंदु \( x=2 \) पर संतत है।
बायाँ हाथ सीमा: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1+x) = 1+2 = 3 \)
दायाँ हाथ सीमा: \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5-x) = 5-2 = 3 \)
फलन का मान \( x=2 \) पर: \( f(2) = 5-2 = 3 \) (क्योंकि \( x \ge 2 \) के लिए \( 5-x \) का उपयोग होता है)
चूंकि \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3 \), फलन \( x=2 \) पर संतत है।
फलन \( x < 2 \) के लिए \( 1+x \) (एक बहुपद) और \( x \ge 2 \) के लिए \( 5-x \) (एक बहुपद) है, जो अपने-अपने डोमेन में संतत हैं। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( [1, 3] \) में संतत है।

2. **अवकलनीय (Differentiable) होना:**
\( f'(x) \) ज्ञात करें:
\( f'(x) = \begin{cases} \frac{d}{dx}(1+x), & x < 2 \\ \frac{d}{dx}(5-x), & x > 2 \end{cases} \)
\( f'(x) = \begin{cases} 1, & x < 2 \\ -1, & x > 2 \end{cases} \)
अब, संक्रमण बिंदु \( x=2 \) पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायाँ हाथ अवकलज (LHD): \( \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+(2+h))-(5-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{3+h-3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h} = 1 \)
दायाँ हाथ अवकलज (RHD): \( \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(5-(2+h))-(5-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3-h-3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1 \)
चूंकि LHD \( \neq \) RHD, फलन \( x=2 \) पर अवकलनीय नहीं है।

चूंकि \( f(x) \) अंतराल \( (1, 3) \) में अवकलनीय नहीं है (क्योंकि यह \( x=2 \) पर अवकलनीय नहीं है), लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं होती है।
अतः लाग्रांज मध्यमान प्रमेय इस फलन के लिए सत्यापित नहीं होता है।
In simple words:
(a) लाग्रांज मध्यमान प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, हमें पहले फलन की संततता और अवकलनीयता की जाँच करनी होती है। चूंकि यह एक बहुपद था, यह दोनों शर्तों को पूरा करता है। फिर, हमने \( f(b)-f(a) \) को \( b-a \) से भाग देकर ढाल (slope) ज्ञात किया, और इसे \( f'(c) \) के बराबर सेट किया। हमने पाया कि \( c \) के दो मान हैं जो खुले अंतराल में हैं, इसलिए प्रमेय सत्यापित होता है।
(b) इस खंडशः फलन के लिए, हमने पहले संततता की जाँच की, जो कि सफल रही। हालाँकि, जब हमने \( x=2 \) पर अवकलनीयता की जाँच की, तो बायाँ हाथ अवकलज और दायाँ हाथ अवकलज बराबर नहीं थे। इसका मतलब है कि फलन इस बिंदु पर अवकलनीय नहीं है। चूंकि लाग्रांज मध्यमान प्रमेय के लिए फलन का पूरे खुले अंतराल में अवकलनीय होना आवश्यक है, यह प्रमेय इस फलन के लिए सत्यापित नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय के सत्यापन में, हमेशा पहले संततता और अवकलनीयता की शर्तों को ध्यान से जाँचें। खंडशः फलनों के लिए, संक्रमण बिंदुओं पर अवकलनीयता की जाँच करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये अक्सर वे बिंदु होते हैं जहाँ अवकलनीयता विफल हो सकती है। यदि कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो प्रमेय लागू नहीं होता है।

Question 17. निम्नलिखित फलनों के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए।
(b) \( f(x) = \begin{cases} 1+x, & x<2 \\ 5-x, & x \ge 2 \end{cases}, x \in [1, 3] \)
Answer:
यह देखा जा सकता है कि फलन \( f(x) = 1+x \) और \( f(x) = 5-x \) दोनों बहुपद हैं। इसलिए, \( f(x) \) अंतराल \( [1,3] \) में हर जगह संतत और अवकलनीय है, सिवाय \( x=2 \) के। हमें \( x=2 \) पर इसकी जाँच करनी होगी।

\( \mathbf{x = 2} \) पर संततता की जाँच:
वाम हस्त सीमा (Left Hand Limit):
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1+x) = 1+2 = 3 \)

दक्षिण हस्त सीमा (Right Hand Limit):
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5-x) = 5-2 = 3 \)

और \( x=2 \) पर फलन का मान:
\( f(2) = 5-2 = 3 \)

चूँकि वाम हस्त सीमा, दक्षिण हस्त सीमा और फलन का मान सभी \( 3 \) के बराबर हैं, इसलिए फलन \( x=2 \) पर संतत है।

\( \mathbf{x = 2} \) पर अवकलनीयता की जाँच:
वाम हस्त अवकलज (Left Hand Derivative): बायाँ पक्ष

दक्षिण हस्त अवकलज (Right Hand Derivative):
\( RHS = \lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \)
\( \implies RHS = \lim_{x \to 2^+} \frac{(5-x)-3}{x-2} \)
\( \implies RHS = \lim_{x \to 2^+} \frac{2-x}{x-2} \)
\( \implies RHS = \lim_{x \to 2^+} (-1) = -1 \)
यहाँ, वाम हस्त अवकलज \( (Lf'(2)) \) और दक्षिण हस्त अवकलज \( (Rf'(2)) \) बराबर नहीं हैं। अवकलनीयता की कमी एक तीखे कोने या कूद को इंगित करती है। इसका मतलब है कि \( x=2 \) पर फलन अवकलनीय नहीं है।
इस प्रकार, लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की एक मुख्य शर्त (अवकलनीयता) पूरी नहीं होती है।
इसलिए, इस फलन के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित नहीं होती है।
In simple words: फलन \( x=2 \) पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है, क्योंकि इसके बाएं और दाएं अवकलज अलग-अलग हैं। लाग्रांज मध्यमान प्रमेय के लिए फलन का पूरे अंतराल में अवकलनीय होना जरूरी है, जो यहाँ नहीं है, इसलिए प्रमेय सत्यापित नहीं होती है।

🎯 Exam Tip: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, फलन का दिए गए बंद अंतराल में संतत और खुले अंतराल में अवकलनीय होना आवश्यक है। हमेशा \( x=c \) पर दोनों शर्तों की सावधानीपूर्वक जाँच करें।