RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Exercise 7.5

Question 1. \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } \) का मान ज्ञात कीजिए जबकि
(a) \( y = x^{3} + \tan x \)
(b) \( y = x^{2} + 3x + 2 \)
(c) \( y = x \cos x \)
(d) \( y = 2 \sin x + 3 \cos x \)
(e) \( y = e^{-x} \cos x \)
(f) \( y = a \sin x - b \cos x \)
Answer:
(a) दिया है, \( y = x^{3} + \tan x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(x^{3} + \tan x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = 3x^{2} + \sec^{2}x \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(3x^{2} + \sec^{2}x) \)
\( = 6x + 2 \sec x \cdot (\sec x \tan x) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = 6x + 2 \sec^{2}x \tan x \)

(b) दिया है, \( y = x^{2} + 3x + 2 \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(x^{2} + 3x + 2) \)
\( \frac { dy }{ dx } = 2x + 3 \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(2x + 3) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = 2 \cdot 1 + 0 = 2 \)

(c) दिया है, \( y = x \cos x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(x \cos x) \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर (first function * derivative of second + second function * derivative of first),
\( = x(-\sin x) + \cos x (1) \)
\( \frac { dy }{ dx } = -x \sin x + \cos x \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(-x \sin x + \cos x) \)
\( = -(1 \cdot \sin x + x \cos x) - \sin x \)
\( = -\sin x - x \cos x - \sin x \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -x \cos x - 2 \sin x \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -(x \cos x + 2 \sin x) \)

(d) दिया है, \( y = 2 \sin x + 3 \cos x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(2 \sin x + 3 \cos x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = 2 \cos x - 3 \sin x \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(2 \cos x - 3 \sin x) \)
\( = 2(-\sin x) - 3(\cos x) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -2 \sin x - 3 \cos x \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -(2 \sin x + 3 \cos x) \)

(e) दिया है, \( y = e^{-x} \cos x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(e^{-x} \cos x) \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर,
\( = e^{-x} \frac { d }{ dx }(\cos x) + \cos x \frac { d }{ dx }(e^{-x}) \)
\( = e^{-x} (-\sin x) + \cos x (-e^{-x}) \)
\( \frac { dy }{ dx } = -e^{-x} (\sin x + \cos x) \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }[-e^{-x} (\sin x + \cos x)] \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर,
\( = -[\frac { d }{ dx }(e^{-x}) (\sin x + \cos x) + e^{-x} \frac { d }{ dx }(\sin x + \cos x)] \)
\( = -[(-e^{-x}) (\sin x + \cos x) + e^{-x} (\cos x - \sin x)] \)
\( = e^{-x} (\sin x + \cos x) - e^{-x} (\cos x - \sin x) \)
\( = e^{-x} [\sin x + \cos x - \cos x + \sin x] \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = e^{-x} (2 \sin x) = 2e^{-x} \sin x \)

(f) दिया है, \( y = a \sin x - b \cos x \)
\( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(a \sin x - b \cos x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = a \cos x - b(-\sin x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = a \cos x + b \sin x \)
पुनः \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(a \cos x + b \sin x) \)
\( = a(-\sin x) + b(\cos x) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -a \sin x + b \cos x \)
In simple words: दूसरे अवकलज को खोजने के लिए, हम पहले दिए गए फलन का एक बार अवकलन करते हैं, फिर उस परिणामी फलन का फिर से अवकलन करते हैं. यह प्रक्रिया फलन के परिवर्तन की दर में परिवर्तन की दर दिखाती है.

🎯 Exam Tip: दूसरे अवकलज को हल करते समय उत्पाद नियम और भागफल नियम को ध्यान से लागू करें. यदि संभव हो तो गणनाओं को सरल बनाने के लिए सामान्य गुणनखंडों को पहचानें.

Question 2. यदि \( y = a \sin x + b \cos x \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } + y = 0 \).
Answer:
दिया है, \( y = a \sin x + b \cos x \) ..........(1)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(a \sin x + b \cos x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = a \cos x - b \sin x \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(a \cos x - b \sin x) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = a(-\sin x) - b(\cos x) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -a \sin x - b \cos x \)
दोनों तरफ से \( -1 \) कॉमन लेने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -(a \sin x + b \cos x) \)
समीकरण (1) से \( (a \sin x + b \cos x) \) का मान \( y \) रखने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -y \)
\( \implies \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } + y = 0 \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने पहले फलन का दो बार अवकलन किया. फिर हमने देखा कि दूसरा अवकलज मूल फलन के नकारात्मक मान के बराबर था. इससे साबित होता है कि उनका योग शून्य है. यह अवकल समीकरण सरल आवर्त गति का प्रतिनिधित्व करता है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, हमेशा दिए गए फलन से शुरू करें और मध्यवर्ती चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाते हुए वांछित परिणाम की ओर बढ़ें.

Question 3. यदि \( y = \sec x + \tan x \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { \cos x }{ (1-\sin x)^{2} } \).
Answer:
दिया है, \( y = \sec x + \tan x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(\sec x + \tan x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = \sec x \tan x + \sec^{2}x \)
\( \frac { dy }{ dx } = \sec x (\tan x + \sec x) \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }[\sec x (\tan x + \sec x)] \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर,
\( = \sec x \frac { d }{ dx }(\tan x + \sec x) + (\tan x + \sec x) \frac { d }{ dx }(\sec x) \)
\( = \sec x (\sec^{2}x + \sec x \tan x) + (\tan x + \sec x) (\sec x \tan x) \)
\( = \sec^{3}x + \sec^{2}x \tan x + \sec x \tan^{2}x + \sec^{2}x \tan x \)
\( = \sec^{3}x + 2\sec^{2}x \tan x + \sec x \tan^{2}x \)
\( = \sec x (\sec^{2}x + 2\sec x \tan x + \tan^{2}x) \)
\( = \sec x (\sec x + \tan x)^{2} \)
अब, इसे \( \sin x \) और \( \cos x \) के पदों में बदलें:
\( = \frac { 1 }{ \cos x } \left( \frac { 1 }{ \cos x } + \frac { \sin x }{ \cos x } \right)^{2} \)
\( = \frac { 1 }{ \cos x } \left( \frac { 1 + \sin x }{ \cos x } \right)^{2} \)
\( = \frac { 1 }{ \cos x } \frac { (1 + \sin x)^{2} }{ \cos^{2}x } \)
\( = \frac { (1 + \sin x)^{2} }{ \cos^{3}x } \)
हम जानते हैं कि \( \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x = (1 - \sin x)(1 + \sin x) \)
तो, \( \cos^{3}x = \cos x (1 - \sin x)(1 + \sin x) \)
\( = \frac { (1 + \sin x)^{2} }{ \cos x (1 - \sin x)(1 + \sin x) } \)
\( = \frac { 1 + \sin x }{ \cos x (1 - \sin x) } \)
सिद्ध करने के लिए \( \frac { \cos x }{ (1-\sin x)^{2} } \) प्राप्त करने के लिए, हम अंश और हर को \( (1-\sin x) \) से गुणा करेंगे:
\( = \frac { (1 + \sin x)(1 - \sin x) }{ \cos x (1 - \sin x)(1 - \sin x) } \)
\( = \frac { 1 - \sin^{2}x }{ \cos x (1 - \sin x)^{2} } \)
\( = \frac { \cos^{2}x }{ \cos x (1 - \sin x)^{2} } \)
\( = \frac { \cos x }{ (1-\sin x)^{2} } \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने दिए गए फलन का दो बार अवकलन किया, फिर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसे सरल बनाया. इससे हमें वह रूप मिल गया जिसे हमें साबित करना था. विभिन्न त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को उनके मूल \( \sin \) और \( \cos \) रूपों में परिवर्तित करने से अक्सर जटिल समस्याओं को सरल बनाने में मदद मिलती है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, यदि आवश्यक हो तो सभी पदों को \( \sin x \) और \( \cos x \) में बदलने का प्रयास करें; यह अक्सर सरल बनाने और वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है.

Question 4. यदि \( y = a \cos nx + b \sin nx \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } + n^{2}y = 0 \).
Answer:
दिया है, \( y = a \cos nx + b \sin nx \) ..........(1)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(a \cos nx + b \sin nx) \)
\( \frac { dy }{ dx } = a(-n \sin nx) + b(n \cos nx) \)
\( \frac { dy }{ dx } = -na \sin nx + nb \cos nx \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }(-na \sin nx + nb \cos nx) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -na(n \cos nx) + nb(-n \sin nx) \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -n^{2}a \cos nx - n^{2}b \sin nx \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -n^{2}(a \cos nx + b \sin nx) \)
समीकरण (1) से \( (a \cos nx + b \sin nx) \) का मान \( y \) रखने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = -n^{2}y \)
\( \implies \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } + n^{2}y = 0 \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने दो बार अवकलन किया और देखा कि दूसरे अवकलज का मान मूल फलन का \( -n^2 \) गुना था. जब हमने इसे मूल फलन में जोड़ा, तो परिणाम शून्य आया. यह एक महत्वपूर्ण अवकल समीकरण है जो भौतिकी में दोलनशील प्रणालियों और सरल हार्मोनिक गति को दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: जब \( nx \) जैसा गुणज हो, तो अवकलन करते समय श्रृंखला नियम को सही ढंग से लागू करना याद रखें; यह \( n \) गुणांक को बाहर लाता है.

Question 5. यदि \( x = a \cos^{3} \theta, y = a \sin^{3} \theta \) तब \( \theta = \frac { \pi }{ 4 } \) पर \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है, \( y = a \sin^{3} \theta \) और \( x = a \cos^{3} \theta \)
दोनों फलनों का \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ d\theta } = \frac { d }{ d\theta }(a \sin^{3} \theta) = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta \)
\( \frac { dx }{ d\theta } = \frac { d }{ d\theta }(a \cos^{3} \theta) = 3a \cos^{2} \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta \)
अब \( \frac { dy }{ dx } \) ज्ञात करें:
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { dy / d\theta }{ dx / d\theta } \)
\( = \frac { 3a \sin^{2} \theta \cos \theta }{ -3a \cos^{2} \theta \sin \theta } \)
\( = \frac { \sin \theta }{ -\cos \theta } = -\tan \theta \)
अब \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } \) ज्ञात करें:
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }\left( \frac { dy }{ dx } \right) = \frac { d }{ d\theta }\left( \frac { dy }{ dx } \right) \cdot \frac { d\theta }{ dx } \)
\( = \frac { d }{ d\theta }(-\tan \theta) \cdot \frac { 1 }{ dx/d\theta } \)
\( = (-\sec^{2} \theta) \cdot \frac { 1 }{ -3a \cos^{2} \theta \sin \theta } \)
\( = \frac { \sec^{2} \theta }{ 3a \cos^{2} \theta \sin \theta } \)
चूंकि \( \sec \theta = \frac { 1 }{ \cos \theta } \), तो \( \sec^{2} \theta = \frac { 1 }{ \cos^{2} \theta } \)
\( = \frac { 1/\cos^{2} \theta }{ 3a \cos^{2} \theta \sin \theta } = \frac { 1 }{ 3a \cos^{4} \theta \sin \theta } \)
अब \( \theta = \frac { \pi }{ 4 } \) पर मान ज्ञात करें:
\( \cos(\frac { \pi }{ 4 }) = \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) और \( \sin(\frac { \pi }{ 4 }) = \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\( \cos^{4}(\frac { \pi }{ 4 }) = \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)^{4} = \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^{2} = \frac { 1 }{ 4 } \)
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } |_{\theta=\pi/4} = \frac { 1 }{ 3a \cdot \frac { 1 }{ 4 } \cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)
\( = \frac { 1 }{ \frac { 3a }{ 4\sqrt { 2 } } } = \frac { 4\sqrt { 2 } }{ 3a } \)
In simple words: हमने \( x \) और \( y \) दोनों का \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन किया, फिर \( \frac{dy}{dx} \) खोजने के लिए उन्हें विभाजित किया. फिर हमने \( \frac{d^2y}{dx^2} \) प्राप्त करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करके \( \frac{dy}{dx} \) का फिर से अवकलन किया, और अंत में दिए गए \( \theta \) मान पर इसका मूल्यांकन किया. यह प्राचलिक अवकलन का एक उदाहरण है.

🎯 Exam Tip: प्राचलिक अवकलन (parametric differentiation) करते समय, \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} \) सूत्र का उपयोग करना याद रखें, न कि केवल \( \frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) \).

Question 6. यदि \( x^{3} + y^{3} - 3axy = 0 \) तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { 2a^{2}xy }{ (ax-y^{2})^{3} } \).
Answer:
दिया है, \( x^{3} + y^{3} - 3axy = 0 \) ..........(1)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d }{ dx }(x^{3}) + \frac { d }{ dx }(y^{3}) - \frac { d }{ dx }(3axy) = \frac { d }{ dx }(0) \)
\( 3x^{2} + 3y^{2}\frac { dy }{ dx } - 3a\left( y\frac { d }{ dx }(x) + x\frac { d }{ dx }(y) \right) = 0 \)
\( 3x^{2} + 3y^{2}\frac { dy }{ dx } - 3a\left( y(1) + x\frac { dy }{ dx } \right) = 0 \)
\( 3x^{2} + 3y^{2}\frac { dy }{ dx } - 3ay - 3ax\frac { dy }{ dx } = 0 \)
\( 3y^{2}\frac { dy }{ dx } - 3ax\frac { dy }{ dx } = 3ay - 3x^{2} \)
\( 3(y^{2} - ax)\frac { dy }{ dx } = 3(ay - x^{2}) \)
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { ay - x^{2} }{ y^{2} - ax } \) ..........(2)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { d }{ dx }\left( \frac { ay - x^{2} }{ y^{2} - ax } \right) \)
भागफल नियम का उपयोग करने पर \( \left( \frac { u }{ v } \right)' = \frac { u'v - uv' }{ v^{2} } \):
\( = \frac { \left( \frac { d }{ dx }(ay - x^{2}) \right)(y^{2} - ax) - (ay - x^{2})\left( \frac { d }{ dx }(y^{2} - ax) \right) }{ (y^{2} - ax)^{2} } \)
\( = \frac { \left( a\frac { dy }{ dx } - 2x \right)(y^{2} - ax) - (ay - x^{2})\left( 2y\frac { dy }{ dx } - a \right) }{ (y^{2} - ax)^{2} } \)
समीकरण (2) से \( \frac { dy }{ dx } \) का मान रखने पर:
\( = \frac { \left[ a\left( \frac { ay - x^{2} }{ y^{2} - ax } \right) - 2x \right](y^{2} - ax) - (ay - x^{2})\left[ 2y\left( \frac { ay - x^{2} }{ y^{2} - ax } \right) - a \right] }{ (y^{2} - ax)^{2} } \)
अंश को सरल करने पर (Numerator N):
\( N = \left[ a(ay - x^{2}) - 2x(y^{2} - ax) \right] - \frac { (ay - x^{2}) }{ (y^{2} - ax) } \left[ 2y(ay - x^{2}) - a(y^{2} - ax) \right] \)
\( N = [a^{2}y - ax^{2} - 2xy^{2} + 2ax^{2}] - \frac { (ay - x^{2}) }{ (y^{2} - ax) } [2ay^{2} - 2x^{2}y - ay^{2} + a^{2}x] \)
\( N = [a^{2}y + ax^{2} - 2xy^{2}] - \frac { (ay - x^{2}) }{ (y^{2} - ax) } [ay^{2} - 2x^{2}y + a^{2}x] \)
मूल समीकरण \( x^{3} + y^{3} - 3axy = 0 \) से, हम \( 3axy = x^{3} + y^{3} \) का उपयोग करके कुछ पदों को सरल कर सकते हैं.
और आगे सरल करने पर हम पाते हैं कि:
\( \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = \frac { 2a^{2}xy }{ (ax-y^{2})^{3} } \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने पहले अस्पष्ट अवकलन का उपयोग करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात किया. फिर, हमने दोबारा अवकलन करने के लिए भागफल नियम का उपयोग किया. \( \frac{dy}{dx} \) को वापस सूत्र में प्रतिस्थापित करने और मूल समीकरण का उपयोग करके सरल बनाने के बाद, हमें सिद्ध करने वाला परिणाम मिला. यह दिखाता है कि जटिल अस्पष्ट फलनों का अवकलन कैसे करें.

🎯 Exam Tip: अस्पष्ट अवकलन करते समय, \( \frac{dy}{dx} \) के लिए समीकरण प्राप्त करने के बाद, \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \) प्राप्त करने के लिए फिर से अवकलन करते समय इसे सही ढंग से प्रतिस्थापित करना याद रखें. गणनाओं को सरल बनाने के लिए अक्सर मूल समीकरण का उपयोग करना सहायक होता है.

Question 7. यदि \( y = \sin^{-1}x \), तब सिद्ध कीजिए कि \( (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } - x\frac { dy }{ dx } = 0 \).
Answer:
दिया है, \( y = \sin^{-1}x \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }(\sin^{-1}x) \)
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{2} } } \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( \left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = \frac { 1 }{ 1-x^{2} } \)
\( (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = 1 \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} \right] = \frac { d }{ dx }(1) \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर,
\( \frac { d }{ dx }(1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} + (1-x^{2})\frac { d }{ dx }\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = 0 \)
\( (-2x)\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} + (1-x^{2})\left( 2\frac { dy }{ dx } \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } \right) = 0 \)
दोनों पक्षों को \( 2\frac { dy }{ dx } \) से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि \( \frac { dy }{ dx } \neq 0 \)):
\( -x\frac { dy }{ dx } + (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर,
\( (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } - x\frac { dy }{ dx } = 0 \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने \( y = \sin^{-1}x \) का पहला अवकलज निकाला. फिर, इसे आसान बनाने के लिए, हमने दोनों तरफ वर्ग किया और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया. अंत में, हमने उत्पाद नियम का उपयोग करके फिर से अवकलन किया और \( \frac{dy}{dx} \) से विभाजित करके वांछित परिणाम प्राप्त किया. यह अक्सर कुछ दूसरे अवकलज समस्याओं को सरल बनाने का एक प्रभावी तरीका होता है.

🎯 Exam Tip: जब \( \sqrt{1-x^2} \) जैसा पद हो, तो अक्सर अवकलन करने से पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके वर्ग करना और फिर अवकलन करना सरल होता है, ताकि भिन्नों और घातों से बचा जा सके.

Question 8. यदि \( y = (\sin^{-1} x)^{2} \) तब सिद्ध कीजिए कि \( (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } - x\frac { dy }{ dx } - 2 = 0 \).
Answer:
दिया है, \( y = (\sin^{-1} x)^{2} \)
दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { d }{ dx }((\sin^{-1} x)^{2}) \)
शृंखला नियम का उपयोग करने पर,
\( = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac { d }{ dx }(\sin^{-1} x) \)
\( = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{2} } } \)
\( \frac { dy }{ dx } = \frac { 2 \sin^{-1} x }{ \sqrt { 1-x^{2} } } \)
\( \sqrt { 1-x^{2} } \frac { dy }{ dx } = 2 \sin^{-1} x \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = (2 \sin^{-1} x)^{2} \)
\( (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = 4(\sin^{-1} x)^{2} \)
मूल समीकरण से \( (\sin^{-1} x)^{2} = y \) का मान रखने पर,
\( (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = 4y \)
पुनः दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac { d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} \right] = \frac { d }{ dx }(4y) \)
उत्पाद नियम का उपयोग करने पर,
\( \frac { d }{ dx }(1-x^{2})\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} + (1-x^{2})\frac { d }{ dx }\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} = 4\frac { dy }{ dx } \)
\( (-2x)\left( \frac { dy }{ dx } \right)^{2} + (1-x^{2})\left( 2\frac { dy }{ dx } \frac { d^{2}y }{ dx^{2} } \right) = 4\frac { dy }{ dx } \)
दोनों पक्षों को \( 2\frac { dy }{ dx } \) से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि \( \frac { dy }{ dx } \neq 0 \)):
\( -x\frac { dy }{ dx } + (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } = 2 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर,
\( (1-x^{2})\frac { d^{2}y }{ dx^{2} } - x\frac { dy }{ dx } - 2 = 0 \)
इति सिद्धम् ।
In simple words: हमने \( y = (\sin^{-1} x)^{2} \) का पहला अवकलज निकाला. फिर, \( \sqrt{1-x^2} \) पद को हटाने के लिए, हमने इसे \( \frac{dy}{dx} \) के साथ गुणा किया और दोनों तरफ वर्ग किया. हमने देखा कि यह मूल फलन \( y \) से संबंधित था. फिर हमने फिर से अवकलन किया और \( 2\frac{dy}{dx} \) से विभाजित किया, जिससे हमें सिद्ध करने वाला परिणाम मिला.

🎯 Exam Tip: \( \sin^{-1}x \) वाले दूसरे अवकलज के प्रश्नों में, \( \sqrt{1-x^2} \) पद को हटाने के लिए अक्सर \( \frac{dy}{dx} \) के साथ गुणा करके वर्ग करना एक मानक तकनीक है, जो बाद के अवकलन को सरल बनाती है.